【常考?jí)狠S題】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略（滬教版）專題02 代數(shù)方程 壓軸題（八大題型）（原卷版）

專題02代數(shù)方程壓軸題（八大題型）目錄：題型1：分式方程與其他方程、不等式題型2：復(fù)合型無理方程題型3：二元二次方程方程綜合題型4：代數(shù)方程綜合題型5：換元法題型6：新定義題題型7：代數(shù)方程的實(shí)際應(yīng)用題型8：代數(shù)方程與一次函數(shù)題型1：分式方程與其他方程、不等式1．已知關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)，且關(guān)于的不等式組有解且至多有2個(gè)整數(shù)解，則符合條件的整數(shù)有（

）A．2 B．3 C．4 D．52．若整數(shù)a使得關(guān)于x的不等式組解集為，使得關(guān)于y的分式方程＝+2的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的和為（

）A．﹣21 B．﹣20 C．﹣17 D．﹣163．要使關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且使關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)的所有整數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)4．若整數(shù)使得關(guān)于的方程的解為整數(shù)，且關(guān)于的不等式組有偶數(shù)解且至多有3個(gè)偶數(shù)解，則所有符合條件的整數(shù)的和為（

）A．–12 B．–9 C．12 D．15題型2：復(fù)合型無理方程5．方程的解的情況是（）A．無解 B．恰有一解 C．恰有兩個(gè)解 D．有無窮多個(gè)解6．方程的解是．7．“程，課程也，二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程．”這是我國古代著名數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》對(duì)方程一詞給出的注釋，對(duì)于一些特殊的方程，我們給出兩個(gè)定義：①若兩個(gè)方程有相同的一個(gè)解，則稱這兩個(gè)方程為“相似方程”；②若兩個(gè)方程有相同的整數(shù)解，則稱這兩個(gè)方程為“相伴方程”．(1)判斷分式方程與無理方程是否是“相似方程”，并說明理由；(2)已知關(guān)于，的方程：和，它們是“相似方程”嗎？如果是，請寫出它們的公共解；如果不是，請說明理由；(3)已知關(guān)于，的二元一次方程：和（其中為整數(shù)）是“相伴方程”，求的值．題型3：二元二次方程方程綜合8．若實(shí)數(shù)x,y滿足，則的值是（

）A． B． C． D．9．已知x，y為實(shí)數(shù)，且滿足，記的最大值為M，最小值為m，則（

）．A． B． C． D．10．觀察表一，尋找規(guī)律，表二、表三、表四分別是從表一中截取的一部分，則a+b﹣m＝．題型4：代數(shù)方程綜合11．以下說法：①關(guān)于x的方程的解是x=c（c≠0）；

②方程組正整數(shù)的解有2組；

③已知關(guān)于x，y的方程組，其中﹣3≤a≤1，當(dāng)a=1時(shí)，方程組的解也是方程x+y=4﹣a的解；其中正確的有（

）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③12．我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)k都可以進(jìn)行這樣的分解：k＝m×n（m，n是正整數(shù)，且m≤n），在k的所有這種分解中，如果m，n兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱m×n是k的最佳分解，并規(guī)定：．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因?yàn)?8﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以．(1)【探索規(guī)律】f（20）＝；f（36）＝；(2)若x是正整數(shù)，猜想f（x2＋2x）＝；(3)【應(yīng)用規(guī)律】若f（）＝，其中x是正整數(shù)，求x的值；(4)若，其中x是正整數(shù)，所有x的值的和為．題型5：換元法13．閱讀下列材料：方程：是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)?，解這個(gè)方程得：，．當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴所以原方程有四個(gè)根：，，，．在這個(gè)過程中，我們利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．(1)利用換元法解方程得到方程的解為______．(2)若，求的值．(3)利用換元法解方程：．14．閱讀下列材料：為解方程可將方程變形為然后設(shè)，則，原方程化為①，解①得，．當(dāng)時(shí)，無意義，舍去；當(dāng)時(shí)，，解得；∴原方程的解為，；上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題．利用以上學(xué)習(xí)到的方法解下列方程：（1）；（2）．題型6：新定義題15．我們不妨約定：若一個(gè)關(guān)于的一元一次方程能寫成的形式，其中，，為常數(shù)并且能構(gòu)成直角三角形的三邊，則稱此方程為“一元勾股方程”．滿足條件的直角三角形的面積稱為此方程對(duì)應(yīng)的“股雅值”．如：方程，可寫成，，則，，能構(gòu)成直角三角形的三邊，所以是一元勾股方程．此時(shí)對(duì)應(yīng)的“股雅值”為．(1)請說明：是一元勾股方程；(2)若方程（）為一元勾股方程，該方程的解為，求其對(duì)應(yīng)的“股雅值”；(3)關(guān)于x的方程（）為一元勾股方程，其對(duì)應(yīng)的“股雅值”為，關(guān)于的方程無解，求原一元勾股方程的解．題型7：代數(shù)方程的實(shí)際應(yīng)用16．2月開學(xué)季來臨，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三種不同主題的開學(xué)大禮包．已知2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價(jià)之比為，銷量之比為．開學(xué)后不久，根據(jù)市場需求，在2月下旬文具店老板對(duì)三種主題大禮包售價(jià)進(jìn)行了調(diào)整，其中B主題大禮包售價(jià)比2月上旬降低了，C主題大禮包在2月上旬售價(jià)的基礎(chǔ)上打八折，從而使得B、C兩種主題大禮包銷售額相較于2月上旬有所增加，A主題大禮包銷售額相較于2月上旬有所下降．若A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額之比為，且A主題大禮包減少的銷售額占2月下旬三種主題大禮包總銷售額的，則2月下旬B、C兩種主題大禮包的銷量之比為．17．為迎接春節(jié)，某商場計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種品牌的恤衫共100件．已知乙品牌每件的進(jìn)價(jià)比甲品牌每件的進(jìn)價(jià)貴30元，且用6000元購買甲品牌的件數(shù)恰好是用6000元購買乙品牌件數(shù)的2倍．(1)甲、乙兩種品牌每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？(2)商場決定購進(jìn)甲、乙兩種品牌恤衫的資金不少于3600元，且購進(jìn)甲品牌恤衫至少78件，求該商場有哪幾種進(jìn)貨方案；(3)在（2）的條件下，商場決定甲品牌恤衫以每件50元出售，乙品牌恤衫以每件100元出售，若該商場推出促銷活動(dòng)：顧客購買一件恤衫持購物票據(jù)可抽獎(jiǎng)一次，每人限購一件，一等獎(jiǎng)共有1個(gè)，所購恤衫按標(biāo)價(jià)返款100%；二等獎(jiǎng)共有3個(gè)，所購恤衫按標(biāo)價(jià)返款50%．該商場將這100件恤衫全部售出后共獲利2220元，直接寫出抽到的二等獎(jiǎng)中，購買的乙種品牌恤衫有多少件．18．1月份，甲、乙兩商店從批發(fā)市場購進(jìn)了相同單價(jià)的某種商品，甲商店用1050元購進(jìn)的商品數(shù)量比乙商店用1260元購進(jìn)的數(shù)量少10件．(1)求該商品的單價(jià)；(2)2月份，兩商店以單價(jià)元/件（低于1月份單價(jià)）再次購進(jìn)該商品，購進(jìn)總價(jià)均不變．①試比較兩家商店兩次購進(jìn)該商品的平均單價(jià)的大小．②已知，甲商店1月份以每件30元的標(biāo)價(jià)售出了一部分，剩余部分與2月份購進(jìn)的商品一起售賣，2月份第一次按標(biāo)價(jià)9折售出一部分且未超過1月份售出數(shù)量的一半，第二次在第一次基礎(chǔ)上再降價(jià)2元全部售出，兩個(gè)月的總利潤為1050元，求甲商店1月份可能售出該商品的數(shù)量．19．某服裝店用4500元購進(jìn)一批襯衫，很快售完，服裝店老板又購進(jìn)第二批該款式的襯衫，已知進(jìn)價(jià)每件比第一批降低了10元，若第二次購貨款為2100元，則進(jìn)貨量是第一次的一半．(1)這兩次各購進(jìn)這種襯衫多少件？(2)若第一批襯衫的售價(jià)是200元/件，老板想讓這兩批襯衫售完后的總利潤不低于1950元，且不高于2250元，第二批襯衫的售價(jià)有哪幾種方案？（售價(jià)是10的倍數(shù)）(3)在（2）的條件下，服裝店從第二批襯衫中拿出幾件獎(jiǎng)勵(lì)員工，其余襯衫全部售出，銷售這兩批襯衫共獲利1680元．直接寫出獎(jiǎng)勵(lì)員工襯衫的件數(shù)．20．5月20日是全國學(xué)生營養(yǎng)日，小紅為了得知自己平時(shí)攝入的早餐各營養(yǎng)成分含量是否達(dá)到人體攝入的標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)計(jì)了以下活動(dòng)：I調(diào)查：小紅根據(jù)自己的飲食習(xí)慣調(diào)查了以下三種食物的營養(yǎng)成分表，且發(fā)現(xiàn)每麥片所含的蛋白質(zhì)比每牛奶所含蛋白質(zhì)的4倍多6克，獲得160克蛋白質(zhì)所需麥片與獲得25克蛋白質(zhì)所需牛奶的克數(shù)相同．營養(yǎng)麥片（每）牛奶（每）雞蛋（每個(gè)）蛋白質(zhì)_________g_________g常量元素含鈉含鈣/Ⅱ計(jì)算：（1）請求出營養(yǎng)麥片和牛奶（每）所含蛋白質(zhì)各為多少克．（2）小紅某一天的早晨吃了營養(yǎng)麥片和牛奶共，且獲得常量元素沒有超過，請求出此份早餐所含蛋白質(zhì)的最大值．III設(shè)計(jì)：根據(jù)調(diào)查，小紅發(fā)現(xiàn)想讓早餐更符合人體攝入要求，早餐應(yīng)攝入不少于的蛋白質(zhì)，常量元素鈉、鈣攝入總量共（兩種常量元素均攝?。u蛋與營養(yǎng)麥片總質(zhì)量不超過（每個(gè)雞蛋的質(zhì)量按計(jì)算）．已知營養(yǎng)麥片和牛奶的克數(shù)、雞蛋的個(gè)數(shù)均為整數(shù)，請你結(jié)合評(píng)價(jià)表設(shè)計(jì)一種符合要求的早餐方案并填表（不同方案得分不同，具體見表）．方案評(píng)價(jià)表優(yōu)秀方案營養(yǎng)麥片、牛奶、雞蛋三種食物均有3分良好方案只含有營養(yǎng)麥片和牛奶兩種食物2分方案：種類營養(yǎng)麥片牛奶雞蛋質(zhì)量_________g_________g_________個(gè)題型8：代數(shù)方程與一次函數(shù)21．某商場售賣甲、乙兩種不同的電視機(jī)，第一季度甲型電視機(jī)的售價(jià)比乙型電視機(jī)售價(jià)少元，甲型電視機(jī)銷售額為元，乙型電視機(jī)銷售量是甲型電視機(jī)的兩倍，且乙型電視機(jī)的銷售額是甲型電視機(jī)的倍．(1)求甲、乙兩種電視機(jī)的售價(jià)；(2)經(jīng)過市場調(diào)查，兩種電視機(jī)的售價(jià)和銷售量均滿足一次函數(shù)的關(guān)系，在第一季度的售價(jià)和銷售量的基礎(chǔ)上，甲型電視機(jī)售價(jià)元與銷售量臺(tái)的關(guān)系如圖所示，乙型電視機(jī)售價(jià)元與銷售量臺(tái)的關(guān)系為該商場計(jì)劃第二季度再進(jìn)一批甲、乙兩種電視機(jī)共臺(tái)，且甲型電視機(jī)的進(jìn)貨數(shù)量不低于乙型電視機(jī)的倍，商場第二季度剛好售賣完這批電視機(jī)，銷售額為元．求第二季度甲的電視機(jī)的銷售量及售價(jià)．22．如圖，過A（0，6），B（6，0）兩點(diǎn)的直線與直線y=x交