經(jīng)管類微積分-課件

應(yīng)用技術(shù)型高等教育“十二五”規(guī)劃教材經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分

微積分

第一章函數(shù)與極限一、集合二、函數(shù)第一節(jié)函數(shù)一、集合的概念1.集合(set):具有確定性質(zhì)的對(duì)象的總體.組成集合的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素.例如：太陽(yáng)系的九大行星； 教室里的所有同學(xué)。如果a是集合M中的元素，則記作否則記作由有限個(gè)元素組成的集合稱為有限集由無(wú)限個(gè)元素組成的集合稱為無(wú)限集2．分類：3．表示方法：①列舉法②描述法4.集合之間的關(guān)系例如：例如：規(guī)定空集為任何集合的子集.不含任何元素的集合稱為空集5.數(shù)集分類:N—自然數(shù)集Z—整數(shù)集Q—有理數(shù)集R—實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:—正整數(shù)集研究某一問(wèn)題時(shí)所考慮的對(duì)象的全體稱為全集，用I表示；把差集I\A特別稱為余集或補(bǔ)集，記作Ac.1.并集:2.交集:3.差集:4.余集:二、集合的運(yùn)算三、區(qū)間和鄰域1.區(qū)間(interval):是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).有限區(qū)間無(wú)限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.稱為半閉半開區(qū)間,稱為半開半閉區(qū)間,2.鄰域(neighborhood):點(diǎn)的去心鄰域把開區(qū)間稱為a的左δ鄰域，把開區(qū)間稱為a的右δ鄰域，因變量自變量D稱為定義域，記作Df，即Df=

D

.函數(shù)值的全體構(gòu)成的數(shù)集稱為值域，記為：四、函數(shù)的概念自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f2.函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.約定:

定義域是使表達(dá)式有意義的自變量能取的一切實(shí)數(shù)值.定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)．是多值函數(shù)(1)符號(hào)函數(shù)3.幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyo(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過(guò)的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線顯然:在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).例綜上，有:M-Myxoy=f(x)X有界無(wú)界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性(bounded)五、函數(shù)的幾種特性2．函數(shù)的奇偶性(parity)偶函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x3．函數(shù)的單調(diào)性(monotonicity)xyoxyo4．函數(shù)的周期性(periodicity)（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指最小正周期）.六、反函數(shù)(inversefunction)DWDW反函數(shù).定理（反函數(shù)存在定理）：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)f必存在單調(diào)的反函數(shù)，且此反函數(shù)與f具有相同的單調(diào)性.例解反函數(shù)的相關(guān)視頻反函數(shù)1反函數(shù)2反函數(shù)3反函數(shù)4七、復(fù)合函數(shù)(compoundfunction)定義:復(fù)合函數(shù)，其中例因此能夠形成復(fù)合函數(shù)注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成.冪函數(shù)八、初等函數(shù)指數(shù)(exponentialfunction)和對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)正弦函數(shù)三角函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)反三角函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成的并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).九、常見的經(jīng)濟(jì)函數(shù)一、需求函數(shù)

如果價(jià)格是決定需求量的最主要因素，可以認(rèn)為Q是P的函數(shù)。記作則f稱為需求函數(shù).二、供給函數(shù)

如果價(jià)格是決定供給量的最主要因素，可以認(rèn)為Q是P的函數(shù)。記作則G稱為供給函數(shù).一般地，供給函數(shù)可以用以下簡(jiǎn)單函數(shù)近似代替：線性函數(shù)：冪函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：

在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出需求曲線D和供給曲線S，兩條曲線的交點(diǎn)稱為供需平衡點(diǎn)，該點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為供需平衡價(jià)格.E供需平衡點(diǎn)供需平衡價(jià)格三、市場(chǎng)均衡四、成本函數(shù)成本是生產(chǎn)一定數(shù)量產(chǎn)品所需要的各種生產(chǎn)要素投入的價(jià)格或費(fèi)用總額，它由固定成本與可變成本兩部分組成.支付固定生產(chǎn)要素的費(fèi)用支付可變生產(chǎn)要素的費(fèi)用五、收益函數(shù)總收益是生產(chǎn)者出售一定數(shù)量產(chǎn)品所得到的全部收入.用Q表示出售的產(chǎn)品數(shù)量，R表示總收益,表示平均收益，則如果產(chǎn)品價(jià)格P保持不變，則成本、收益、利潤(rùn)函數(shù)公開課

視頻——成本、收益、利潤(rùn)函數(shù)1

視頻——成本、收益、利潤(rùn)函數(shù)2

視頻——成本、收益、利潤(rùn)函數(shù)3

第一章山東交通學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室第二節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義二、收斂數(shù)列的性質(zhì)“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”

——莊周1.引例：截丈問(wèn)題第一天截剩下的部分第二天截剩下的部分第n天截剩下的部分一、數(shù)列極限的定義稱為無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列。其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，按自然數(shù)稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng))。如一般項(xiàng)這個(gè)引例反映了數(shù)列的某種特性：對(duì)數(shù)列無(wú)限的接近這個(gè)常數(shù)a，a稱為其極限，如果存在某個(gè)常數(shù)a，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，2.數(shù)列的定義編號(hào)依次排列的一列數(shù)數(shù)列記為否則稱為發(fā)散數(shù)列。則稱這個(gè)數(shù)列為收斂數(shù)列，如一般項(xiàng)一般項(xiàng)一般項(xiàng)一般項(xiàng)收斂到0收斂到1發(fā)散發(fā)散收斂數(shù)列的特性：無(wú)限地接近某個(gè)常數(shù)a隨n的無(wú)限增大，3.數(shù)列的變化趨勢(shì)——極限觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)播放播放觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)通過(guò)對(duì)演示的觀察，得當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近于1。兩個(gè)數(shù)a和b之間的接近程度可以用兩數(shù)之差的絕對(duì)值來(lái)度量給定由只要有給定由只要有給定由只要有給定只要有定義：設(shè)為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意記或或者稱數(shù)列收斂于a.給定的正數(shù)(不論它多么小)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，則稱a是數(shù)列的極限，使時(shí)，證明欲使即使只要因此，取則時(shí),有故證明數(shù)列的極限為1.

例1已知思考：取可不可以？成立成立，即可。成立。注意（1）的作用在于衡量與a的接近程度，只要求（2）一經(jīng)給出，暫看作是固定的，由其決定N

（3）也可用代替，<號(hào)也可換成號(hào)，

N的相應(yīng)性（1）N與相關(guān)的，越小，N越大，但N不是的函數(shù)（2）重要的是N的存在性，找到即可，但N不唯一幾何解釋最多只有有限項(xiàng)落在該鄰域之外不能說(shuō)有無(wú)限項(xiàng)在該鄰域內(nèi)，如的任意性證明等比數(shù)列證明欲使只要?jiǎng)t當(dāng)n>N

時(shí),有故亦即例2設(shè)的極限為0.即因此，取1.收斂數(shù)列極限的唯一性定理1收斂數(shù)列的極限唯一。二、收斂數(shù)列的性質(zhì)2.收斂數(shù)列的有界性有界性否則無(wú)界。有界，無(wú)界定理2

收斂數(shù)列一定有界。使對(duì)一切有界成立，則如注意收斂必有界，發(fā)散不一定無(wú)界無(wú)界必發(fā)散，有界不一定收斂，雖有界但不收斂數(shù)列3.收斂數(shù)列的保號(hào)性如果且則當(dāng)時(shí)，定理3且則推論：如果從某項(xiàng)起且極限是a。定理4

如果數(shù)列收斂于a，則其任一子數(shù)列也收斂，注意如果數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同極限，發(fā)散。則證明數(shù)列發(fā)散的方法：a.定義c.找到的一個(gè)發(fā)散子列d.找到的兩個(gè)有不同4.收斂數(shù)列與其子列的關(guān)系子列：在數(shù)列中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持其在原數(shù)列中的如都是其子列先后次序，這樣得到的數(shù)列稱為原數(shù)列的子數(shù)列(或子列)。b.無(wú)界必發(fā)散極限的子列1.數(shù)列極限的兩種定義及應(yīng)用2.收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性;有界性;保號(hào)性;任一子數(shù)列收斂于同一極限小結(jié)練習(xí)：P241;3.3。證明時(shí),就有存在則當(dāng)即反例：原數(shù)列發(fā)散

第一章山東交通學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室第三節(jié)函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義二、函數(shù)極限的性質(zhì)問(wèn)題的引入對(duì)應(yīng)函數(shù)值無(wú)限接近于確定的數(shù)a.即當(dāng)時(shí)，而數(shù)列極限如果自變量可以取全體實(shí)數(shù)函數(shù)當(dāng)自變量在某一變化趨勢(shì)下的極限一、函數(shù)極限的定義13分兩種情況討論：1.自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限

如果函數(shù)則稱記作時(shí)的極限,

A為函數(shù)當(dāng)定義1設(shè)函數(shù)無(wú)限增大時(shí),當(dāng)或無(wú)限接近確定的常數(shù)A，如直線y＝0是的水平漸近線。則y＝C是的水平漸近線。一般的，如果2.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限(1)如果時(shí)，就說(shuō)A是當(dāng)時(shí)的極限。包含兩層意思：①②用表示是指可以任意小，這是在的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)的，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足即與充分接近的x而這些x必在的某鄰域內(nèi)，用表示，與在處是否有定義或有定義而是多少?zèng)]有關(guān)系。即當(dāng)時(shí)，成立，就說(shuō)A是當(dāng)時(shí)的極限定義2則稱常數(shù)

A

為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或記作即在點(diǎn)設(shè)的某去心鄰域內(nèi)有定義，時(shí),有當(dāng)時(shí),有當(dāng)如果在處是否有定義或有定義時(shí)是多少當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì),注意①②幾何解釋：不影響例1

證明解：當(dāng)時(shí)，成立，所以要使需要(2)單側(cè)極限有些函數(shù)在定義域內(nèi)某些點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式不同，如而有些函數(shù)僅在定義域內(nèi)某點(diǎn)一側(cè)有定義這時(shí)只能單側(cè)的討論極限，如上例。的左側(cè)無(wú)限接近于則稱

A為函數(shù)如果

當(dāng)無(wú)限接近確定的常數(shù)A，左極限：時(shí)的左極限當(dāng)右極限：注意存在定義常用于判定分段點(diǎn)處的極限例4

求求解：1.唯一性2.局部有界性則使3.局部保號(hào)性如果使或則或且如果如果存在，則唯一。推論若在或且或則二、函數(shù)極限的性質(zhì)時(shí)，時(shí)，內(nèi)，1.唯一性2.局部有界性3.局部保號(hào)性小結(jié)1.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限2.自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義二、函數(shù)極限的性質(zhì)極限的相關(guān)公開課1.極限的概念2.極限例題3.極限例題

第一章山東交通學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室第四節(jié)無(wú)窮小與無(wú)窮大一、無(wú)窮小二、無(wú)窮大三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系當(dāng)定義1若時(shí),函數(shù)則稱函數(shù)例如：函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮小;函數(shù)時(shí)為無(wú)窮小;數(shù)列當(dāng)為時(shí)的無(wú)窮小.時(shí)為無(wú)窮小.一、無(wú)窮小說(shuō)明:除0以外任何很小的常數(shù)都不是無(wú)窮小!因?yàn)楫?dāng)時(shí),顯然C只能是0!CC其中

為時(shí)的無(wú)窮小量.定理1(無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)

定義2

若任給M>0,一切滿足不等式的

x,總有則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮大,

使對(duì)若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作總存在二、無(wú)窮大1.無(wú)窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.函數(shù)為無(wú)窮大,必定無(wú)界.例如,函數(shù)但不是無(wú)窮大!但反之不真!注意:若則直線為曲線的鉛直漸近線.鉛直漸近線說(shuō)明:若為無(wú)窮大,為無(wú)窮小;若為無(wú)窮小,且則為無(wú)窮大.則據(jù)此定理,關(guān)于無(wú)窮大的問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為無(wú)窮小來(lái)討論.定理2在自變量的同一變化過(guò)程中,說(shuō)明:三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小的和仍是無(wú)窮小.四、無(wú)窮小、無(wú)窮大的運(yùn)算法則性質(zhì)2有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小.推論1

常數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小.性質(zhì)3

有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小.有限個(gè)無(wú)窮大的和仍是無(wú)窮大.無(wú)限個(gè)無(wú)窮小的和仍是無(wú)窮小.如如有界函數(shù)與無(wú)窮大的乘積仍是無(wú)窮大.如常數(shù)與無(wú)窮大的乘積仍是無(wú)窮大.非零有限個(gè)無(wú)窮大的乘積仍是無(wú)窮大.√例求解：利用定理2可知說(shuō)明:

y=0是的漸近線.1.無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義2.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系Th13.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系Th2小結(jié)

第一章山東交通學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室第五節(jié)極限運(yùn)算法則

一、函數(shù)極限的運(yùn)算法則二、數(shù)列的極限運(yùn)算法則則有定理1若一、函數(shù)極限的運(yùn)算法則（3）若B≠0,則（1）（2）例2例3注意：①②都存在時(shí)才可以用此法則，型需變換