經管類微積分-課件

應用技術型高等教育“十二五”規(guī)劃教材經濟數學——微積分

微積分

第一章函數與極限一、集合二、函數第一節(jié)函數一、集合的概念1.集合(set):具有確定性質的對象的總體.組成集合的每一個對象稱為該集合的元素.例如：太陽系的九大行星； 教室里的所有同學。如果a是集合M中的元素，則記作否則記作由有限個元素組成的集合稱為有限集由無限個元素組成的集合稱為無限集2．分類：3．表示方法：①列舉法②描述法4.集合之間的關系例如：例如：規(guī)定空集為任何集合的子集.不含任何元素的集合稱為空集5.數集分類:N—自然數集Z—整數集Q—有理數集R—實數集數集間的關系:—正整數集研究某一問題時所考慮的對象的全體稱為全集，用I表示；把差集I\A特別稱為余集或補集，記作Ac.1.并集:2.交集:3.差集:4.余集:二、集合的運算三、區(qū)間和鄰域1.區(qū)間(interval):是指介于某兩個實數之間的稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,全體實數.這兩個實數叫做區(qū)間的端點.有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.稱為半閉半開區(qū)間,稱為半開半閉區(qū)間,2.鄰域(neighborhood):點的去心鄰域把開區(qū)間稱為a的左δ鄰域，把開區(qū)間稱為a的右δ鄰域，因變量自變量D稱為定義域，記作Df，即Df=

D

.函數值的全體構成的數集稱為值域，記為：四、函數的概念自變量因變量對應法則f2.函數的兩要素:定義域與對應法則.約定:

定義域是使表達式有意義的自變量能取的一切實數值.定義:如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值總是只有一個，這種函數叫做單值函數，否則叫做多值函數．是多值函數(1)符號函數3.幾個特殊的函數舉例1-1xyo(2)取整函數y=[x][x]表示不超過的最大整數12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線顯然:在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同的式子來表示的函數,稱為分段函數.例綜上，有:M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數的有界性(bounded)五、函數的幾種特性2．函數的奇偶性(parity)偶函數yxox-x奇函數yxox-x3．函數的單調性(monotonicity)xyoxyo4．函數的周期性(periodicity)（通常說周期函數的周期是指最小正周期）.六、反函數(inversefunction)DWDW反函數.定理（反函數存在定理）：單調函數f必存在單調的反函數，且此反函數與f具有相同的單調性.例解反函數的相關視頻反函數1反函數2反函數3反函數4七、復合函數(compoundfunction)定義:復合函數，其中例因此能夠形成復合函數注意:1.不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的;2.復合函數可以由兩個以上的函數經過復合構成.冪函數八、初等函數指數(exponentialfunction)和對數函數指數函數

對數函數正弦函數三角函數余弦函數正切函數余切函數反三角函數冪函數,指數函數,對數函數,三角函數和反三角函數統稱為基本初等函數.

由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數復合步驟所構成的并可用一個式子表示的函數，稱為初等函數.九、常見的經濟函數一、需求函數

如果價格是決定需求量的最主要因素，可以認為Q是P的函數。記作則f稱為需求函數.二、供給函數

如果價格是決定供給量的最主要因素，可以認為Q是P的函數。記作則G稱為供給函數.一般地，供給函數可以用以下簡單函數近似代替：線性函數：冪函數：指數函數：

在同一個坐標系中作出需求曲線D和供給曲線S，兩條曲線的交點稱為供需平衡點，該點的橫坐標稱為供需平衡價格.E供需平衡點供需平衡價格三、市場均衡四、成本函數成本是生產一定數量產品所需要的各種生產要素投入的價格或費用總額，它由固定成本與可變成本兩部分組成.支付固定生產要素的費用支付可變生產要素的費用五、收益函數總收益是生產者出售一定數量產品所得到的全部收入.用Q表示出售的產品數量，R表示總收益,表示平均收益，則如果產品價格P保持不變，則成本、收益、利潤函數公開課

視頻——成本、收益、利潤函數1

視頻——成本、收益、利潤函數2

視頻——成本、收益、利潤函數3

第一章山東交通學院高等數學教研室第二節(jié)數列的極限一、數列極限的定義二、收斂數列的性質“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”

——莊周1.引例：截丈問題第一天截剩下的部分第二天截剩下的部分第n天截剩下的部分一、數列極限的定義稱為無窮數列，簡稱數列。其中的每個數稱為數列的項，按自然數稱為通項(一般項)。如一般項這個引例反映了數列的某種特性：對數列無限的接近這個常數a，a稱為其極限，如果存在某個常數a，當n無限增大時，2.數列的定義編號依次排列的一列數數列記為否則稱為發(fā)散數列。則稱這個數列為收斂數列，如一般項一般項一般項一般項收斂到0收斂到1發(fā)散發(fā)散收斂數列的特性：無限地接近某個常數a隨n的無限增大，3.數列的變化趨勢——極限觀察數列時的變化趨勢當播放播放觀察數列時的變化趨勢當觀察數列時的變化趨勢當觀察數列時的變化趨勢當觀察數列時的變化趨勢當觀察數列時的變化趨勢當觀察數列時的變化趨勢當觀察數列時的變化趨勢當觀察數列時的變化趨勢當觀察數列時的變化趨勢當觀察數列時的變化趨勢當觀察數列時的變化趨勢當觀察數列時的變化趨勢當觀察數列時的變化趨勢當觀察數列時的變化趨勢當通過對演示的觀察，得當n無限增大時，無限接近于1。兩個數a和b之間的接近程度可以用兩數之差的絕對值來度量給定由只要有給定由只要有給定由只要有給定只要有定義：設為一數列，如果存在常數a，對于任意記或或者稱數列收斂于a.給定的正數(不論它多么小)，總存在正整數N，使得當時，則稱a是數列的極限，使時，證明欲使即使只要因此，取則時,有故證明數列的極限為1.

例1已知思考：取可不可以？成立成立，即可。成立。注意（1）的作用在于衡量與a的接近程度，只要求（2）一經給出，暫看作是固定的，由其決定N

（3）也可用代替，<號也可換成號，

N的相應性（1）N與相關的，越小，N越大，但N不是的函數（2）重要的是N的存在性，找到即可，但N不唯一幾何解釋最多只有有限項落在該鄰域之外不能說有無限項在該鄰域內，如的任意性證明等比數列證明欲使只要則當n>N

時,有故亦即例2設的極限為0.即因此，取1.收斂數列極限的唯一性定理1收斂數列的極限唯一。二、收斂數列的性質2.收斂數列的有界性有界性否則無界。有界，無界定理2

收斂數列一定有界。使對一切有界成立，則如注意收斂必有界，發(fā)散不一定無界無界必發(fā)散，有界不一定收斂，雖有界但不收斂數列3.收斂數列的保號性如果且則當時，定理3且則推論：如果從某項起且極限是a。定理4

如果數列收斂于a，則其任一子數列也收斂，注意如果數列有兩個子數列收斂于不同極限，發(fā)散。則證明數列發(fā)散的方法：a.定義c.找到的一個發(fā)散子列d.找到的兩個有不同4.收斂數列與其子列的關系子列：在數列中任意抽取無限多項并保持其在原數列中的如都是其子列先后次序，這樣得到的數列稱為原數列的子數列(或子列)。b.無界必發(fā)散極限的子列1.數列極限的兩種定義及應用2.收斂數列的性質:唯一性;有界性;保號性;任一子數列收斂于同一極限小結練習：P241;3.3。證明時,就有存在則當即反例：原數列發(fā)散

第一章山東交通學院高等數學教研室第三節(jié)函數的極限一、函數極限的定義二、函數極限的性質問題的引入對應函數值無限接近于確定的數a.即當時，而數列極限如果自變量可以取全體實數函數當自變量在某一變化趨勢下的極限一、函數極限的定義13分兩種情況討論：1.自變量趨于無窮大時函數的極限

如果函數則稱記作時的極限,

A為函數當定義1設函數無限增大時,當或無限接近確定的常數A，如直線y＝0是的水平漸近線。則y＝C是的水平漸近線。一般的，如果2.自變量趨于有限值時函數的極限(1)如果時，就說A是當時的極限。包含兩層意思：①②用表示是指可以任意小，這是在的過程中實現的，所對應的函數值滿足即與充分接近的x而這些x必在的某鄰域內，用表示，與在處是否有定義或有定義而是多少沒有關系。即當時，成立，就說A是當時的極限定義2則稱常數

A

為函數當時的極限,或記作即在點設的某去心鄰域內有定義，時,有當時,有當如果在處是否有定義或有定義時是多少當時的變化趨勢,注意①②幾何解釋：不影響例1

證明解：當時，成立，所以要使需要(2)單側極限有些函數在定義域內某些點兩側表達式不同，如而有些函數僅在定義域內某點一側有定義這時只能單側的討論極限，如上例。的左側無限接近于則稱

A為函數如果

當無限接近確定的常數A，左極限：時的左極限當右極限：注意存在定義常用于判定分段點處的極限例4

求求解：1.唯一性2.局部有界性則使3.局部保號性如果使或則或且如果如果存在，則唯一。推論若在或且或則二、函數極限的性質時，時，內，1.唯一性2.局部有界性3.局部保號性小結1.自變量趨于有限值時函數的極限2.自變量趨于無窮大時函數的極限一、函數極限的定義二、函數極限的性質極限的相關公開課1.極限的概念2.極限例題3.極限例題

第一章山東交通學院高等數學教研室第四節(jié)無窮小與無窮大一、無窮小二、無窮大三、無窮小與無窮大的關系當定義1若時,函數則稱函數例如：函數當時為無窮小;函數時為無窮小;數列當為時的無窮小.時為無窮小.一、無窮小說明:除0以外任何很小的常數都不是無窮小!因為當時,顯然C只能是0!CC其中

為時的無窮小量.定理1(無窮小與函數極限的關系)

定義2

若任給M>0,一切滿足不等式的

x,總有則稱函數當時為無窮大,

使對若在定義中將①式改為①則記作(正數X),記作總存在二、無窮大1.無窮大不是很大的數,它是描述函數的一種狀態(tài).2.函數為無窮大,必定無界.例如,函數但不是無窮大!但反之不真!注意:若則直線為曲線的鉛直漸近線.鉛直漸近線說明:若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則據此定理,關于無窮大的問題都可轉化為無窮小來討論.定理2在自變量的同一變化過程中,說明:三、無窮小與無窮大的關系性質1有限個無窮小的和仍是無窮小.四、無窮小、無窮大的運算法則性質2有界函數與無窮小的乘積仍是無窮小.推論1

常數與無窮小的乘積仍是無窮小.性質3

有限個無窮小的乘積仍是無窮小.有限個無窮大的和仍是無窮大.無限個無窮小的和仍是無窮小.如如有界函數與無窮大的乘積仍是無窮大.如常數與無窮大的乘積仍是無窮大.非零有限個無窮大的乘積仍是無窮大.√例求解：利用定理2可知說明:

y=0是的漸近線.1.無窮小與無窮大的定義2.無窮小與函數極限的關系Th13.無窮小與無窮大的關系Th2小結

第一章山東交通學院高等數學教研室第五節(jié)極限運算法則

一、函數極限的運算法則二、數列的極限運算法則則有定理1若一、函數極限的運算法則（3）若B≠0,則（1）（2）例2例3注意：①②都存在時才可以用此法則，型需變換