第8章方差分析

第八章方差分析方差分析方法引導(dǎo)單因素方差分析雙因素方差分析（本科）第8章方差分析ppt課件第一節(jié)方差分析方法引導(dǎo)方差分析問題的提出方差分析的基本原理（本科）第8章方差分析ppt課件一、方差分析問題的提出在科學(xué)試驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中，有很多因素會(huì)影響到最終產(chǎn)品的質(zhì)量，比如原料的質(zhì)量、配比、工藝流程等。而且這些因素的影響程度各不相同。如何評(píng)測(cè)這些因素對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的影響程度，就成為一個(gè)亟需解決的問題。首先看一個(gè)醫(yī)學(xué)研究的實(shí)例。【例8-1】為研究某種新安眠藥的效果，將18只試驗(yàn)小白鼠隨機(jī)的等分成三組，各組分別注射不同劑量的這種安眠藥，觀察每只小白鼠從注射到入睡的時(shí)間，得到數(shù)據(jù)如下表。

表8-1小白鼠安眠藥試驗(yàn)入睡時(shí)間數(shù)據(jù)組號(hào)劑量mg入睡時(shí)間（分鐘）(interval)10.521231924252321.019212018222031.5151013141115（本科）第8章方差分析ppt課件可以看出不同劑量的安眠藥效果有差異，表明安眠藥的劑量對(duì)入睡時(shí)間有一定的影響；同時(shí)同一劑量下的六只小白鼠的入睡時(shí)間各不相同，這表明入睡時(shí)間除了受到安眠藥劑量的影響之外，還有某些偶然性因素及測(cè)量誤差的影響。使用統(tǒng)計(jì)圖表可以簡明的分析數(shù)據(jù)基本狀況，從箱線圖（圖8-1）可以看出，除了第二組分布基本對(duì)稱分布以外，其余兩組都是左偏分布。圖8-1小白鼠安眠藥試驗(yàn)入睡時(shí)間的箱線圖（本科）第8章方差分析ppt課件如果我們想檢驗(yàn)這三個(gè)水平的平均入睡時(shí)間之間的差別，在正態(tài)總體假設(shè)前提下，即檢驗(yàn)

、

、

，可以采用t檢驗(yàn)。但這會(huì)導(dǎo)致犯第一類錯(cuò)誤的概率增大而失去檢驗(yàn)的意義。比如在顯著性水平

，假設(shè)這些檢驗(yàn)相互獨(dú)立時(shí)，全部假設(shè)檢驗(yàn)都正確接受原假設(shè)的概率是

，可見犯一類錯(cuò)誤的概率大幅增長。要正確合理的解決以上問題，就需要使用方差分析。方差分析，簡稱ANOVA（analysisofvariance），就是利用試驗(yàn)觀測(cè)值總偏差的可分解性，將不同條件所引起的偏差與試驗(yàn)誤差分解開來，按照一定的規(guī)則進(jìn)行比較，以確定條件偏差的影響程度以及相對(duì)大小。當(dāng)已經(jīng)確認(rèn)某幾種因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響時(shí)，可使用方差分析檢驗(yàn)確定哪種因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響最為顯著及估計(jì)影響程度。（本科）第8章方差分析ppt課件在介紹方差分析之前，先要明確以下一些術(shù)語和概念。1．試驗(yàn)結(jié)果：在一項(xiàng)試驗(yàn)中用來衡量試驗(yàn)效果的特征量，也稱試驗(yàn)指標(biāo)或指標(biāo)，類似函數(shù)的因變量或者目標(biāo)函數(shù)。2．試驗(yàn)因素：試驗(yàn)中，凡是對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)可能產(chǎn)生影響的原因都稱為因素，或稱為因子，類似函數(shù)的自變量。試驗(yàn)中需要考察的因素稱為試驗(yàn)因素，簡稱為因素。一般用大寫字母表示。3．因素水平：因素在試驗(yàn)中所處的各種狀態(tài)或者所取的不同值，稱為該因素的水平，簡稱水平。一般用下標(biāo)區(qū)分。同樣因素水平有時(shí)可以取得具體的數(shù)量值，有時(shí)只能取到定性值（如好，中，差等）。（本科）第8章方差分析ppt課件二、方差分析的基本原理（一）方差分解原理從圖8-1可以看出，如果劑量因素對(duì)三個(gè)分組的入睡時(shí)間沒有影響，則三個(gè)分組的入睡時(shí)間差異僅由隨機(jī)因素引起的；而如果劑量因素對(duì)入睡時(shí)間有顯著影響，則還應(yīng)考慮劑量因素。一般的，試驗(yàn)結(jié)果的差異性可由離差平方和表示，離差平方和又可分解為組間方差與組內(nèi)方差。其中，組間方差為因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響的加總；組內(nèi)方差則是各組內(nèi)的隨機(jī)影響的加總。如果組間方差明顯高于組內(nèi)方差，說明樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)的主要來源是組間方差，因素是引起波動(dòng)的主要原因，則認(rèn)為因素對(duì)試驗(yàn)的結(jié)果存在顯著的影響；否則認(rèn)為波動(dòng)主要來自組內(nèi)方差，即因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著。（本科）第8章方差分析ppt課件（二）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由上面的分析可知，因素以及因素之間的“交互作用”對(duì)試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響，不僅要看組間方差與組內(nèi)方差的比較，同時(shí)也要考慮重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)，因?yàn)槿绻麑⒚恳淮为?dú)立觀測(cè)的結(jié)果作為一個(gè)獨(dú)立變量，方差則是所有變量和其均值的殘差平方和。構(gòu)成方差的獨(dú)立變量個(gè)數(shù)越多，其方差越大；而獨(dú)立變量個(gè)數(shù)越小，其方差越小。在統(tǒng)計(jì)中這些獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)稱為自由度。為了消除自由度對(duì)方差大小的影響，我們用方差除去自由度后的結(jié)果來比較兩者相對(duì)大小。由此得到一個(gè)檢驗(yàn)因素影響是否顯著的統(tǒng)計(jì)量：F統(tǒng)計(jì)量的值越大，就越能說明組間方差是離差平方和的主要來源，因素影響顯著；F統(tǒng)計(jì)量的值越小，就越能說明組內(nèi)方差是離差平方和的主要來源，因素影響不顯著。（本科）第8章方差分析ppt課件第二節(jié)

單因素方差分析單因素條件下的平方和分解公式因素作用顯著性的檢驗(yàn)應(yīng)注意的問題（本科）第8章方差分析ppt課件一、單因素條件下的平方和分解公式在試驗(yàn)中只考慮一個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響顯著性的方差分析稱為單因素方差分析。為了檢驗(yàn)該因素的不同水平下的均值是否有顯著差異，我們可在該因素的不同水平下進(jìn)行一組重復(fù)試驗(yàn)（或抽樣）；并將處不同水平下的試驗(yàn)結(jié)果作為來自不同總體的樣本，即得到了多個(gè)組別的重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果。一般，單因素方差分析的試驗(yàn)結(jié)果可以記為下表。

次數(shù)水平12……n合計(jì)均值……………………合計(jì)－－－－（本科）第8章方差分析ppt課件

表示在

水平下，第

次實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果?？傠x差平方和

表示試驗(yàn)結(jié)果的差異性的總和（8.1）（8.2）（8.3）（8.4）（8.5）（本科）第8章方差分析ppt課件按方差分解的原理可得：交叉項(xiàng)為零，因?yàn)椋ū究疲┑?章方差分析ppt課件同時(shí)可以得到：

為組間方差，由不同水平下的各組均值和總平均值的殘差平方和；是組內(nèi)方差，即各組實(shí)驗(yàn)結(jié)果和各組均值的殘差平方和。由此可得離差平方和的分解公式：（8.6）（8.7）（8.8）（本科）第8章方差分析ppt課件二、因素作用顯著性的檢驗(yàn)若記各水平下的總體均值為

，則檢驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著性就是檢驗(yàn)假設(shè)：或簡單寫成

由前所述，只要建立關(guān)于

與

的F統(tǒng)計(jì)量就可以進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。在此之前，先要推算出對(duì)應(yīng)的自由度。（8.9）（8.10）（本科）第8章方差分析ppt課件

是所有

與總均值的殘差平方和，但這nr個(gè)需要滿足的一個(gè)約束條件

，因此只有nr-1個(gè)獨(dú)立變量，即自由度是nr-1。是因素在不同水平下的均值

的殘差平方和，應(yīng)滿足約束條件，因此自由度是r-1。

是由所有的

相對(duì)于各水平下均值的殘差平方和，要滿足r個(gè)約束條件（i=1,2,…，r），所以

的自由度是r(n-1)。綜上，、和的自由度滿足： nr-1=(r-1)+r(n-1)

方差除去自由度后，就可以得到組間均方差

與組內(nèi)均方差

：

（8.11）（8.12）（8.13）（本科）第8章方差分析ppt課件進(jìn)一步，可直接構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)前面提出的假設(shè)（8.9）或（8.10），F(xiàn)值越大，越說明組間方差大于組內(nèi)方差，因此組間方差構(gòu)成了離差平方和的主要來源，即因素的不同水平對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響較大，應(yīng)拒絕原假設(shè)；反之，說明組內(nèi)方差是主要來源，不能拒絕原假設(shè)。對(duì)于給定的顯著性水平α，查F分布表得臨界值，當(dāng)F>時(shí)，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為因素對(duì)總體有顯著影響；當(dāng)F<時(shí)，不能拒絕原假設(shè)，即不能拒絕因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著。（8.14）（本科）第8章方差分析ppt課件為了方便分析，通常我們把方差分析列成一張方差分析表。表8-3單因素試驗(yàn)的方差分析表差異源平方和自由度均方差F統(tǒng)計(jì)量組間組內(nèi)－總計(jì)－－（本科）第8章方差分析ppt課件【例8-2】請(qǐng)對(duì)【例8-1】進(jìn)行單因素方差分析（顯著水平α＝0.05）。解：這是一個(gè)等重復(fù)的單因素試驗(yàn)。根據(jù)題意，設(shè)在三種劑量下的入睡時(shí)間均值為

。檢驗(yàn)安眠藥劑量對(duì)入睡時(shí)間是否有顯著影響就是建立假設(shè)檢驗(yàn)

，

不全相等。使用Excel軟件中的單因素方差分析可以很方便的得到如下的分析表。

從表中可以看出

值p＝1.08E-06，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于α＝0.05。所以認(rèn)為安眠藥劑量對(duì)入睡時(shí)間存在顯著影響，應(yīng)該拒絕原假設(shè)

。表8-4Excel得到的方差分析表差異源平方和自由度均方差F值P值F臨界值劑量2912145.539.324321.08E-063.682317誤差55.5153.7－－－總計(jì)346.517－－－－（本科）第8章方差分析ppt課件【例8-3】現(xiàn)有四種不同產(chǎn)地的化工原料，按照同樣的工藝合成一新產(chǎn)品，測(cè)得新產(chǎn)品的熔點(diǎn)（單位：攝氏度）數(shù)據(jù)如下表。請(qǐng)分析原料產(chǎn)地對(duì)產(chǎn)品熔點(diǎn)的影響（顯著水平

α＝0.05）。解：這是一個(gè)不等重復(fù)的單因素試驗(yàn)。由題意設(shè)原料來自四個(gè)產(chǎn)地的產(chǎn)品熔點(diǎn)均值為

?？梢越⒓僭O(shè)檢驗(yàn)

，

不全相等。由Excel軟件的方差分析可以得到下表。

由于

值p=0.274499，大于顯著水平α＝0.05。所以認(rèn)為原料產(chǎn)地不會(huì)對(duì)新產(chǎn)品的熔點(diǎn)產(chǎn)生顯著影響，不能拒絕原假設(shè)

。重復(fù)測(cè)得新產(chǎn)品的熔點(diǎn)（單位：攝氏度）1234產(chǎn)地A1124.0123.0123.5123.0A2123.0122.0－－A3121.5121.0123.0－A4123.5121.0－－表8-5Excel得到的方差分析表差異源平方和自由度均方差F值P值F臨界值組間4.42992431.4766411.5953420.2744994.34683組內(nèi)6.47916770.925595－－－總計(jì)10.9090910－－－－（本科）第8章方差分析ppt課件三、應(yīng)注意的問題1．方差分析需滿足的假設(shè)條件。方差分析實(shí)質(zhì)上是對(duì)各總體均值相等假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，為了得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的精確分布，要求滿足的前提條件是（1）每次試驗(yàn)都是獨(dú)立進(jìn)行的；（2）各樣本都是來自正態(tài)總體的；（3）各總體的方差是相等的。只有滿足這些條件，方差分析的結(jié)果才是有效的。而一般地，我們總認(rèn)為以上的假定條件都是滿足的或近似滿足的。2．在實(shí)際問題中，各水平下的總體的試驗(yàn)次數(shù)可以相等也可以不等，分析過程和結(jié)論基本不變。但是當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)相差較大或因素較多時(shí)應(yīng)該考慮采用廣義線性模型分析，以消除非均衡試驗(yàn)設(shè)計(jì)的影響。3．方差分析只能判斷各總體的均值是否相等，而不能判斷出哪個(gè)總體的均值是大還是小，這時(shí)需要在均值不等的前提下，將采用多重比較法進(jìn)一步比較各個(gè)均值的大小。（本科）第8章方差分析ppt課件第三節(jié)

雙因素方差分析無交互作用的雙因素方差分析有交互作用的雙因素方差分析（本科）第8章方差分析ppt課件在實(shí)際問題中往往需要考察多個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響程度，這時(shí)就需要進(jìn)行多因素試驗(yàn)的方差分析。多因素方差分析和單因素方差分析基本原理相同，但除了考慮因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響之外，還需要考慮因素之間的相互影響，這種多個(gè)因素的不同水平的組合對(duì)指標(biāo)的影響稱為因素間的交互作用。本節(jié)主要介紹雙因素方差分析，多因素方差分析的原理和雙因素方差分析相同，可以類推得到。先看下面的例題【例8-4】有一工業(yè)產(chǎn)品，在兩種不同用量的催化劑（P,N）作用下產(chǎn)量如下表:P=0P=4N=0400450N=6430560（本科）第8章方差分析ppt課件這里，有兩個(gè)因素P和N對(duì)產(chǎn)量起作用。從圖形上可以清楚看到，當(dāng)P=0時(shí)和當(dāng)P=4時(shí)，對(duì)應(yīng)的N=0和N=6的產(chǎn)量各不相同。這就表明因素P的影響程度要受因素N的水平影響，即存在因素之間的交互作用。而若P=0和P=4的兩條直線平行，則可以認(rèn)為

之間不存在交互作用或者交互作用不顯著。圖8-2P,N對(duì)產(chǎn)量的交互效應(yīng)（本科）第8章方差分析ppt課件對(duì)于存在交互作用的情況，必須要在兩個(gè)因素的各種水平組合下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，并利用重復(fù)試驗(yàn)的平均值來估計(jì)該水平組合對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響，以區(qū)分出試驗(yàn)誤差和交互作用。而對(duì)于交互作用不顯著的情況則沒有必要重復(fù)試驗(yàn)。因此雙因素方差分析可以分為無交互作用的方差分析和有交互作用的方差分析。而無交互作用的方差分析無需重復(fù)試驗(yàn)；有交互作用的方差分析需要在不同水平組合下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，其中又有等重復(fù)的雙因素方差分析和不等重復(fù)的雙因素方差分析之分。本節(jié)主要介紹無交互作用的方差分析和等重復(fù)的交互作用的方差分析。（本科）第8章方差分析ppt課件一、無交互作用的雙因素方差分析A與B是待確認(rèn)是否對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響的兩個(gè)因素，假定A,B之間無交互作用，在兩個(gè)因素的各種水平組合下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)可得表8-6。

是在因素A的各個(gè)水平下s個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的均值；

是在因素B的各種水平下r個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的均值。表8-6無交互作用的雙因素方差分析數(shù)據(jù)表因素B

均值……因素A……………………均值……（本科）第8章方差分析ppt課件根據(jù)方差分解原理可得：依次展開有：（8.15）（8.16）（8.17）（8.18）（8.19）（本科）第8章方差分析ppt課件

表示的是因素A的各個(gè)水平下各組試驗(yàn)結(jié)果與該組均值的殘差平方和，是因素B的各個(gè)水平下各組試驗(yàn)結(jié)果與該組均值的殘差平方和，

是A，B所有水平組合下的試驗(yàn)結(jié)果和均值的殘差平方和。類似單因素方差分析可知，

的自由度為rs-1，的自由度為r-1，的自由度為s-1，的自由度為(r-1)(s-1)。對(duì)應(yīng)的均方差為：（8.20）（8.21）（8.22）（本科）第8章方差分析ppt課件檢驗(yàn)因素A與B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著的F統(tǒng)計(jì)量分別為：綜合以上結(jié)論可以得到方差分析表：（8.23）（8.24）表8-7無交互作用的雙因素方差分析表差異源平方和自由度均方差F統(tǒng)計(jì)量A因素B因素誤差－總計(jì)－－（本科）第8章方差分析ppt課件【例8-5】為了給同規(guī)格的四種品牌（brand）的電視機(jī)鑒定評(píng)分，邀請(qǐng)了5位專家（scorer）評(píng)價(jià)，結(jié)果見下表。

假設(shè)各水平搭配下總體服從正態(tài)分布且同方差，且鑒定人無法知道電視機(jī)的品牌（即鑒定人與電視機(jī)品牌無交互作用），試用方差分析檢驗(yàn)品牌和專家是否對(duì)評(píng)分有影響（顯著水平α＝0.05）。專家B1B2B3B4B5品牌A179878A21010889A375546A486744（本科）第8章方差分析ppt課件解：設(shè)電視機(jī)品牌因素為α，專家因素為β，由題意建立假設(shè)檢驗(yàn)：可由Excel軟件的方差分析直接得到以下方差分析表?？梢钥闯鲈谄放坪蛯＜覂蓚€(gè)因素中，專家的p值=0.089981>0.05，可以認(rèn)為專家對(duì)評(píng)分沒有顯著影響。而品牌的p值=0.000446，說明電視機(jī)品牌對(duì)評(píng)分有顯著影響。表8-8Excel得到的無交互作用的雙因素方差分析表差異源平方和自由度均方差F值P值F臨界值品牌43.2314.412.992480.0004463.4903專家11.542.8752.5939850.0899813.25916誤差13.3121.108333－－－總計(jì)6819－－－－（本科）第8章方差分析ppt課件【例8-6】在一個(gè)品酒試驗(yàn)中，有9位品師（scorer）分別獨(dú)立的對(duì)四種酒（brand）做出評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)結(jié)果用七分制表示：(1)最喜歡，(2)很喜歡，(3)輕微喜歡，(4)一般，(5)輕微不喜歡，(6)很不喜歡，(7)最不喜歡。試驗(yàn)結(jié)果如下表。請(qǐng)分析品酒師和酒型對(duì)得分指標(biāo)的影響（顯著水平α＝0.05）。酒

型ABCD品酒師152662613536443433655334562344756558232393445（本科）第8章方差分析ppt課件解：設(shè)電視機(jī)品牌因素為α，專家因素為β，由題意建立假設(shè)檢驗(yàn)：由Excel軟件得到下表:因?yàn)槠肪茙熞蛩氐膒值=0.16088，酒型因素的p值=0.16221，所以品酒師和酒型兩個(gè)因素都對(duì)評(píng)分沒有顯著影響。表8-9Excel得到的雙因素?zé)o交互作用的方差分析表差異源平方和自由度均方差F值P值F臨界值品酒師20.7222282.59031.657780.160882.35508酒型8.7532.91671.866670.162213.00879誤差37.5241.5625－－－總計(jì)66.9722235－－－－（本科）第8章方差分析ppt課件二、有交互作用的雙因素方差分析當(dāng)因素之間存在交互作用時(shí)，為了區(qū)分隨機(jī)誤差和交互作用，需要在不同的水平組合下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)。設(shè)在因素A與因素B每一個(gè)水平組合下等重復(fù)的試驗(yàn)t次，得到表8-10。表8-10有交互作用的雙因素方差分析數(shù)據(jù)表因素

B……因素A……………………（本科）第8章方差分析ppt課件

表示的是在水平組合

下第k次實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。在該組合下實(shí)驗(yàn)結(jié)果的均值為：進(jìn)一步記：（8.25）（8.27）（8.26）（8.28）（本科）第8章方差分析ppt課件和無交互作用的方差分析類似，離差平方和可以分解為：其中：（8.33）（8.32）（8.31）（8.29）（8.34）（8.30）（本科）第8章方差分析ppt課件交叉項(xiàng)

表示兩個(gè)因素的取值水平組合下的試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的因素水平組合方差。

、

、

、

和

的自由度分別是rst-1、r-1、s-1、(r-1)(s-1)和rs(t-1)?？捎?jì)算出均方差：則F統(tǒng)計(jì)量依次為：（8.40）（8.35）（8.36）（8.37）（8.38）（8.39）（8.41）（本科）第8章方差分析ppt課件總結(jié)以上結(jié)論可以得到方差分析表8-11：表8-11雙因素等重復(fù)試驗(yàn)方差分析表差異源平方和自由度均方差F統(tǒng)計(jì)量因素因素交互作用誤差－總計(jì)－－（本科）第8章方差分析ppt課件【例8-7】一連鎖便利店想要進(jìn)行抽獎(jiǎng)銷售，為此設(shè)計(jì)了三種不同的銷售點(diǎn)展示牌類型，同時(shí)還選擇了收銀臺(tái)和入口處兩個(gè)不同的地點(diǎn)擺放。試驗(yàn)選擇了18家分店進(jìn)行，每種組合隨機(jī)分配了三家分店，各分店的彩票銷售數(shù)量（單位：百張）見下表。

請(qǐng)?jiān)陲@著水平α＝0.05下，分析兩種因素是否對(duì)彩票銷售有顯著影響。展示牌類型ABC收銀臺(tái)旁43,39,4039,38,4357,60,49便利店入口處53,46,5158,55,5047,42,46（本科）第8章方差分析ppt課件解：這是一個(gè)有交互作用的雙因素重復(fù)試驗(yàn)。由題意設(shè)展示牌位置因素為α，展示牌類型因素為β，交互作用為γ，建立假設(shè)檢驗(yàn)：由Excel得到下表：由表可以得出結(jié)論：展示牌的不同位置