第8章方差分析

第八章方差分析方差分析方法引導單因素方差分析雙因素方差分析（本科）第8章方差分析ppt課件第一節(jié)方差分析方法引導方差分析問題的提出方差分析的基本原理（本科）第8章方差分析ppt課件一、方差分析問題的提出在科學試驗和生產實踐中，有很多因素會影響到最終產品的質量，比如原料的質量、配比、工藝流程等。而且這些因素的影響程度各不相同。如何評測這些因素對產品質量的影響程度，就成為一個亟需解決的問題。首先看一個醫(yī)學研究的實例?！纠?-1】為研究某種新安眠藥的效果，將18只試驗小白鼠隨機的等分成三組，各組分別注射不同劑量的這種安眠藥，觀察每只小白鼠從注射到入睡的時間，得到數據如下表。

表8-1小白鼠安眠藥試驗入睡時間數據組號劑量mg入睡時間（分鐘）(interval)10.521231924252321.019212018222031.5151013141115（本科）第8章方差分析ppt課件可以看出不同劑量的安眠藥效果有差異，表明安眠藥的劑量對入睡時間有一定的影響；同時同一劑量下的六只小白鼠的入睡時間各不相同，這表明入睡時間除了受到安眠藥劑量的影響之外，還有某些偶然性因素及測量誤差的影響。使用統計圖表可以簡明的分析數據基本狀況，從箱線圖（圖8-1）可以看出，除了第二組分布基本對稱分布以外，其余兩組都是左偏分布。圖8-1小白鼠安眠藥試驗入睡時間的箱線圖（本科）第8章方差分析ppt課件如果我們想檢驗這三個水平的平均入睡時間之間的差別，在正態(tài)總體假設前提下，即檢驗

、

、

，可以采用t檢驗。但這會導致犯第一類錯誤的概率增大而失去檢驗的意義。比如在顯著性水平

，假設這些檢驗相互獨立時，全部假設檢驗都正確接受原假設的概率是

，可見犯一類錯誤的概率大幅增長。要正確合理的解決以上問題，就需要使用方差分析。方差分析，簡稱ANOVA（analysisofvariance），就是利用試驗觀測值總偏差的可分解性，將不同條件所引起的偏差與試驗誤差分解開來，按照一定的規(guī)則進行比較，以確定條件偏差的影響程度以及相對大小。當已經確認某幾種因素對試驗結果有顯著影響時，可使用方差分析檢驗確定哪種因素對試驗結果的影響最為顯著及估計影響程度。（本科）第8章方差分析ppt課件在介紹方差分析之前，先要明確以下一些術語和概念。1．試驗結果：在一項試驗中用來衡量試驗效果的特征量，也稱試驗指標或指標，類似函數的因變量或者目標函數。2．試驗因素：試驗中，凡是對試驗指標可能產生影響的原因都稱為因素，或稱為因子，類似函數的自變量。試驗中需要考察的因素稱為試驗因素，簡稱為因素。一般用大寫字母表示。3．因素水平：因素在試驗中所處的各種狀態(tài)或者所取的不同值，稱為該因素的水平，簡稱水平。一般用下標區(qū)分。同樣因素水平有時可以取得具體的數量值，有時只能取到定性值（如好，中，差等）。（本科）第8章方差分析ppt課件二、方差分析的基本原理（一）方差分解原理從圖8-1可以看出，如果劑量因素對三個分組的入睡時間沒有影響，則三個分組的入睡時間差異僅由隨機因素引起的；而如果劑量因素對入睡時間有顯著影響，則還應考慮劑量因素。一般的，試驗結果的差異性可由離差平方和表示，離差平方和又可分解為組間方差與組內方差。其中，組間方差為因素對試驗結果的影響的加總；組內方差則是各組內的隨機影響的加總。如果組間方差明顯高于組內方差，說明樣本數據波動的主要來源是組間方差，因素是引起波動的主要原因，則認為因素對試驗的結果存在顯著的影響；否則認為波動主要來自組內方差，即因素對試驗結果的影響不顯著。（本科）第8章方差分析ppt課件（二）檢驗統計量由上面的分析可知，因素以及因素之間的“交互作用”對試驗結果是否有顯著影響，不僅要看組間方差與組內方差的比較，同時也要考慮重復試驗的次數，因為如果將每一次獨立觀測的結果作為一個獨立變量，方差則是所有變量和其均值的殘差平方和。構成方差的獨立變量個數越多，其方差越大；而獨立變量個數越小，其方差越小。在統計中這些獨立變量的個數稱為自由度。為了消除自由度對方差大小的影響，我們用方差除去自由度后的結果來比較兩者相對大小。由此得到一個檢驗因素影響是否顯著的統計量：F統計量的值越大，就越能說明組間方差是離差平方和的主要來源，因素影響顯著；F統計量的值越小，就越能說明組內方差是離差平方和的主要來源，因素影響不顯著。（本科）第8章方差分析ppt課件第二節(jié)

單因素方差分析單因素條件下的平方和分解公式因素作用顯著性的檢驗應注意的問題（本科）第8章方差分析ppt課件一、單因素條件下的平方和分解公式在試驗中只考慮一個因素對試驗結果影響顯著性的方差分析稱為單因素方差分析。為了檢驗該因素的不同水平下的均值是否有顯著差異，我們可在該因素的不同水平下進行一組重復試驗（或抽樣）；并將處不同水平下的試驗結果作為來自不同總體的樣本，即得到了多個組別的重復試驗結果。一般，單因素方差分析的試驗結果可以記為下表。

次數水平12……n合計均值……………………合計－－－－（本科）第8章方差分析ppt課件

表示在

水平下，第

次實驗的實驗結果。總離差平方和

表示試驗結果的差異性的總和（8.1）（8.2）（8.3）（8.4）（8.5）（本科）第8章方差分析ppt課件按方差分解的原理可得：交叉項為零，因為（本科）第8章方差分析ppt課件同時可以得到：

為組間方差，由不同水平下的各組均值和總平均值的殘差平方和；是組內方差，即各組實驗結果和各組均值的殘差平方和。由此可得離差平方和的分解公式：（8.6）（8.7）（8.8）（本科）第8章方差分析ppt課件二、因素作用顯著性的檢驗若記各水平下的總體均值為

，則檢驗因素對試驗結果影響的顯著性就是檢驗假設：或簡單寫成

由前所述，只要建立關于

與

的F統計量就可以進行假設檢驗。在此之前，先要推算出對應的自由度。（8.9）（8.10）（本科）第8章方差分析ppt課件

是所有

與總均值的殘差平方和，但這nr個需要滿足的一個約束條件

，因此只有nr-1個獨立變量，即自由度是nr-1。是因素在不同水平下的均值

的殘差平方和，應滿足約束條件，因此自由度是r-1。

是由所有的

相對于各水平下均值的殘差平方和，要滿足r個約束條件（i=1,2,…，r），所以

的自由度是r(n-1)。綜上，、和的自由度滿足： nr-1=(r-1)+r(n-1)

方差除去自由度后，就可以得到組間均方差

與組內均方差

：

（8.11）（8.12）（8.13）（本科）第8章方差分析ppt課件進一步，可直接構造F統計量來檢驗前面提出的假設（8.9）或（8.10），F值越大，越說明組間方差大于組內方差，因此組間方差構成了離差平方和的主要來源，即因素的不同水平對試驗結果影響較大，應拒絕原假設；反之，說明組內方差是主要來源，不能拒絕原假設。對于給定的顯著性水平α，查F分布表得臨界值，當F>時，拒絕原假設，認為因素對總體有顯著影響；當F<時，不能拒絕原假設，即不能拒絕因素對試驗結果的影響不顯著。（8.14）（本科）第8章方差分析ppt課件為了方便分析，通常我們把方差分析列成一張方差分析表。表8-3單因素試驗的方差分析表差異源平方和自由度均方差F統計量組間組內－總計－－（本科）第8章方差分析ppt課件【例8-2】請對【例8-1】進行單因素方差分析（顯著水平α＝0.05）。解：這是一個等重復的單因素試驗。根據題意，設在三種劑量下的入睡時間均值為

。檢驗安眠藥劑量對入睡時間是否有顯著影響就是建立假設檢驗

，

不全相等。使用Excel軟件中的單因素方差分析可以很方便的得到如下的分析表。

從表中可以看出

值p＝1.08E-06，遠遠小于α＝0.05。所以認為安眠藥劑量對入睡時間存在顯著影響，應該拒絕原假設

。表8-4Excel得到的方差分析表差異源平方和自由度均方差F值P值F臨界值劑量2912145.539.324321.08E-063.682317誤差55.5153.7－－－總計346.517－－－－（本科）第8章方差分析ppt課件【例8-3】現有四種不同產地的化工原料，按照同樣的工藝合成一新產品，測得新產品的熔點（單位：攝氏度）數據如下表。請分析原料產地對產品熔點的影響（顯著水平

α＝0.05）。解：這是一個不等重復的單因素試驗。由題意設原料來自四個產地的產品熔點均值為

?？梢越⒓僭O檢驗

，

不全相等。由Excel軟件的方差分析可以得到下表。

由于

值p=0.274499，大于顯著水平α＝0.05。所以認為原料產地不會對新產品的熔點產生顯著影響，不能拒絕原假設

。重復測得新產品的熔點（單位：攝氏度）1234產地A1124.0123.0123.5123.0A2123.0122.0－－A3121.5121.0123.0－A4123.5121.0－－表8-5Excel得到的方差分析表差異源平方和自由度均方差F值P值F臨界值組間4.42992431.4766411.5953420.2744994.34683組內6.47916770.925595－－－總計10.9090910－－－－（本科）第8章方差分析ppt課件三、應注意的問題1．方差分析需滿足的假設條件。方差分析實質上是對各總體均值相等假設進行檢驗，為了得到檢驗統計量的精確分布，要求滿足的前提條件是（1）每次試驗都是獨立進行的；（2）各樣本都是來自正態(tài)總體的；（3）各總體的方差是相等的。只有滿足這些條件，方差分析的結果才是有效的。而一般地，我們總認為以上的假定條件都是滿足的或近似滿足的。2．在實際問題中，各水平下的總體的試驗次數可以相等也可以不等，分析過程和結論基本不變。但是當試驗次數相差較大或因素較多時應該考慮采用廣義線性模型分析，以消除非均衡試驗設計的影響。3．方差分析只能判斷各總體的均值是否相等，而不能判斷出哪個總體的均值是大還是小，這時需要在均值不等的前提下，將采用多重比較法進一步比較各個均值的大小。（本科）第8章方差分析ppt課件第三節(jié)

雙因素方差分析無交互作用的雙因素方差分析有交互作用的雙因素方差分析（本科）第8章方差分析ppt課件在實際問題中往往需要考察多個因素對試驗結果的影響程度，這時就需要進行多因素試驗的方差分析。多因素方差分析和單因素方差分析基本原理相同，但除了考慮因素對試驗結果的影響之外，還需要考慮因素之間的相互影響，這種多個因素的不同水平的組合對指標的影響稱為因素間的交互作用。本節(jié)主要介紹雙因素方差分析，多因素方差分析的原理和雙因素方差分析相同，可以類推得到。先看下面的例題【例8-4】有一工業(yè)產品，在兩種不同用量的催化劑（P,N）作用下產量如下表:P=0P=4N=0400450N=6430560（本科）第8章方差分析ppt課件這里，有兩個因素P和N對產量起作用。從圖形上可以清楚看到，當P=0時和當P=4時，對應的N=0和N=6的產量各不相同。這就表明因素P的影響程度要受因素N的水平影響，即存在因素之間的交互作用。而若P=0和P=4的兩條直線平行，則可以認為

之間不存在交互作用或者交互作用不顯著。圖8-2P,N對產量的交互效應（本科）第8章方差分析ppt課件對于存在交互作用的情況，必須要在兩個因素的各種水平組合下進行重復試驗，并利用重復試驗的平均值來估計該水平組合對試驗結果的影響，以區(qū)分出試驗誤差和交互作用。而對于交互作用不顯著的情況則沒有必要重復試驗。因此雙因素方差分析可以分為無交互作用的方差分析和有交互作用的方差分析。而無交互作用的方差分析無需重復試驗；有交互作用的方差分析需要在不同水平組合下進行重復試驗，其中又有等重復的雙因素方差分析和不等重復的雙因素方差分析之分。本節(jié)主要介紹無交互作用的方差分析和等重復的交互作用的方差分析。（本科）第8章方差分析ppt課件一、無交互作用的雙因素方差分析A與B是待確認是否對試驗結果有顯著影響的兩個因素，假定A,B之間無交互作用，在兩個因素的各種水平組合下進行重復試驗可得表8-6。

是在因素A的各個水平下s個試驗結果的均值；

是在因素B的各種水平下r個試驗結果的均值。表8-6無交互作用的雙因素方差分析數據表因素B

均值……因素A……………………均值……（本科）第8章方差分析ppt課件根據方差分解原理可得：依次展開有：（8.15）（8.16）（8.17）（8.18）（8.19）（本科）第8章方差分析ppt課件

表示的是因素A的各個水平下各組試驗結果與該組均值的殘差平方和，是因素B的各個水平下各組試驗結果與該組均值的殘差平方和，

是A，B所有水平組合下的試驗結果和均值的殘差平方和。類似單因素方差分析可知，

的自由度為rs-1，的自由度為r-1，的自由度為s-1，的自由度為(r-1)(s-1)。對應的均方差為：（8.20）（8.21）（8.22）（本科）第8章方差分析ppt課件檢驗因素A與B對試驗結果的影響是否顯著的F統計量分別為：綜合以上結論可以得到方差分析表：（8.23）（8.24）表8-7無交互作用的雙因素方差分析表差異源平方和自由度均方差F統計量A因素B因素誤差－總計－－（本科）第8章方差分析ppt課件【例8-5】為了給同規(guī)格的四種品牌（brand）的電視機鑒定評分，邀請了5位專家（scorer）評價，結果見下表。

假設各水平搭配下總體服從正態(tài)分布且同方差，且鑒定人無法知道電視機的品牌（即鑒定人與電視機品牌無交互作用），試用方差分析檢驗品牌和專家是否對評分有影響（顯著水平α＝0.05）。專家B1B2B3B4B5品牌A179878A21010889A375546A486744（本科）第8章方差分析ppt課件解：設電視機品牌因素為α，專家因素為β，由題意建立假設檢驗：可由Excel軟件的方差分析直接得到以下方差分析表?？梢钥闯鲈谄放坪蛯＜覂蓚€因素中，專家的p值=0.089981>0.05，可以認為專家對評分沒有顯著影響。而品牌的p值=0.000446，說明電視機品牌對評分有顯著影響。表8-8Excel得到的無交互作用的雙因素方差分析表差異源平方和自由度均方差F值P值F臨界值品牌43.2314.412.992480.0004463.4903專家11.542.8752.5939850.0899813.25916誤差13.3121.108333－－－總計6819－－－－（本科）第8章方差分析ppt課件【例8-6】在一個品酒試驗中，有9位品師（scorer）分別獨立的對四種酒（brand）做出評價。評價結果用七分制表示：(1)最喜歡，(2)很喜歡，(3)輕微喜歡，(4)一般，(5)輕微不喜歡，(6)很不喜歡，(7)最不喜歡。試驗結果如下表。請分析品酒師和酒型對得分指標的影響（顯著水平α＝0.05）。酒

型ABCD品酒師152662613536443433655334562344756558232393445（本科）第8章方差分析ppt課件解：設電視機品牌因素為α，專家因素為β，由題意建立假設檢驗：由Excel軟件得到下表:因為品酒師因素的p值=0.16088，酒型因素的p值=0.16221，所以品酒師和酒型兩個因素都對評分沒有顯著影響。表8-9Excel得到的雙因素無交互作用的方差分析表差異源平方和自由度均方差F值P值F臨界值品酒師20.7222282.59031.657780.160882.35508酒型8.7532.91671.866670.162213.00879誤差37.5241.5625－－－總計66.9722235－－－－（本科）第8章方差分析ppt課件二、有交互作用的雙因素方差分析當因素之間存在交互作用時，為了區(qū)分隨機誤差和交互作用，需要在不同的水平組合下進行重復試驗。設在因素A與因素B每一個水平組合下等重復的試驗t次，得到表8-10。表8-10有交互作用的雙因素方差分析數據表因素

B……因素A……………………（本科）第8章方差分析ppt課件

表示的是在水平組合

下第k次實驗的實驗結果。在該組合下實驗結果的均值為：進一步記：（8.25）（8.27）（8.26）（8.28）（本科）第8章方差分析ppt課件和無交互作用的方差分析類似，離差平方和可以分解為：其中：（8.33）（8.32）（8.31）（8.29）（8.34）（8.30）（本科）第8章方差分析ppt課件交叉項

表示兩個因素的取值水平組合下的試驗結果產生的因素水平組合方差。

、

、

、

和

的自由度分別是rst-1、r-1、s-1、(r-1)(s-1)和rs(t-1)?？捎嬎愠鼍讲睿簞tF統計量依次為：（8.40）（8.35）（8.36）（8.37）（8.38）（8.39）（8.41）（本科）第8章方差分析ppt課件總結以上結論可以得到方差分析表8-11：表8-11雙因素等重復試驗方差分析表差異源平方和自由度均方差F統計量因素因素交互作用誤差－總計－－（本科）第8章方差分析ppt課件【例8-7】一連鎖便利店想要進行抽獎銷售，為此設計了三種不同的銷售點展示牌類型，同時還選擇了收銀臺和入口處兩個不同的地點擺放。試驗選擇了18家分店進行，每種組合隨機分配了三家分店，各分店的彩票銷售數量（單位：百張）見下表。

請在顯著水平α＝0.05下，分析兩種因素是否對彩票銷售有顯著影響。展示牌類型ABC收銀臺旁43,39,4039,38,4357,60,49便利店入口處53,46,5158,55,5047,42,46（本科）第8章方差分析ppt課件解：這是一個有交互作用的雙因素重復試驗。由題意設展示牌位置因素為α，展示牌類型因素為β，交互作用為γ，建立假設檢驗：由Excel得到下表：由表可以得出結論：展示牌的不同位置