全國統(tǒng)考2025版高考數(shù)學大一輪復習第4章三角函數(shù)解三角形第2講三角恒等變換1備考試題文含解析

第四章三角函數(shù)、解三角形其次講三角恒等變換練好題·考點自測1.下列說法錯誤的是()A.兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是隨意的B.存在實數(shù)α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立C.公式tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ可以變形為tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαD.存在實數(shù)α,使tan2α=2tanα2.[2024全國卷Ⅲ,9,5分]已知2tanθ-tan(θ+π4)=7,則tanθ=()A.-2 B.-1 C.1 D.23.[2024大同市調(diào)研測試]已知tanα2=3,則sinα1A.3 B.13 C.-3 D.4.[2024全國卷Ⅱ,11,5分][文]已知α∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,則sinα=()A.15 B.5C.33 D.5.[2024全國卷Ⅱ,13,5分][文]若sinx=-23,則cos2x=6.tan67.5°-tan22.5°=.

7.[2024江蘇,13,5分]已知tanαtan(α+π4)=拓展變式1.[2024全國卷Ⅲ,5,5分][文]已知sinθ+sin(θ+π3)=1,則sin(θ+π6)=(A.12 B.33 C.232.1+cos20°2sin20°-sin10°(13.已知α∈(0,π),化簡:(1+sinα+cos4.[2024陜西省部分學校摸底檢測]數(shù)學家華羅庚提倡的“0.618優(yōu)選法”在各領域都應用廣泛,0.618就是黃金分割比m=5-12的近似值,黃金分割比還可以表示成2sin18°,則m4-A.4 B.5+1 C.2 D.5-5.[2024云南省部分學校統(tǒng)一檢測]已知α為銳角,cosα=35,則tan(π4+α2A.13 B.126.(1)已知α∈(0,π2),β∈(0,π2),tanα=cos2β1-A.α+β=π2 B.α-β=π4 C.α+β=π4 D.α+2(2)已知α,β為銳角,且(1-3tanα)·(1-3tanβ)=4,則α+β=7.已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=3-12,則tanθ答案第四章三角函數(shù)、解三角形其次講三角恒等變換1.C對于C,只有當α,β,α+β都不等于kπ+π2(k∈Z)時,公式才成立,故C錯誤,選C2.D由已知得2tanθ-tanθ+113.B因為tanα2=3,所以sinα4.B因為2sin2α=cos2α+1,所以4sinαcosα=2cos2α.因為α∈(0,π2),所以cosα>0,sinα>0,所以2sinα=cosα,所以4sin2α=cos2α.又sin2α+cos2α=1,所以sin2α+4sin2α=1,即sin2α=15,所以sinα=555.19因為sinx=-23,所以由二倍角公式,得cos2x=1-2sin2x=1-2×(-236.2由tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)得tan67.5°-tan22.5°=tan45°(1+tan67.5°tan22.5°)=tan45°(1+tan67.5°·1tan67.7.210tanαtanα+11-tanα=tanα(1-tanα)tanα+1=-23,解得tanα=2或tanα=-13.當tanα=2時,sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=451.B∵sinθ+sin(θ+π3)=32sinθ+32cosθ=3sin(θ+π6)=1,∴sin(θ+π2.32原式=2cos210°2×2sin10°cos10°-sin10°·(cos5°sin5°-sin5°cos5°)=cos10°2sin10°-sin10°·3.cosα原式=(2cos2α2+2sinα2cosα2)·(cosα2-sinα2)4cos24.C∵m=5-12=2sin18°,∴5.D解法一因為α為銳角,且cosα=35,所以sinα=45,tanα2=sinα1+cosα解法二因為α為銳角,且cosα=35,所以sinα=45,所以tanα=2tanα21-tan2α26.(1)B解法一已知等式可化為sinαcosα=cos2β1-sin2β,即sinα(1-sin2β)=cosαcos2β,整理得cosαcos2β+sinαsin2β=sinα,即cos(α-2β)=sinα.因為α∈(0,π2),β∈(0,π2),所以α-2β∈(-π,π2).又cos(α-2β)=sinα>0,所以α-2β∈(-π2,π2).又cos(α-2β)=sin[(α-2β)+π2],且α-2β+π2∈(0,π),α∈(0,π2),所以α-2β+π2=α或α-2β+π2=π-α.當α-2β+π2=α時,解法二tanα=cos2β1-sin2β=cos2β-sin2βcos2β+sin2β-2sinβcosβ=(cosβ+sinβ(2)2π3將(1-3tanα)(1-3tanβ)=4綻開,得-3(tanα+tanβ)=3(1-tanα·tanβ),即tanα+tanβ1-tanαtanβ=tan(α+β)=-3,由于7.-3解法一將sinθ+cosθ=3-12兩邊同時平方,得1+2sinθcosθ=1-32,即sinθcosθ=故sinθcosθ=sinθcosθ解得tanθ=-3或tanθ=-∵θ∈(0,π),sinθcosθ=-34<0,∴θ∈(π2,π).由sinθ+cosθ=3-12>0可知sinθ>-cosθ,即|sinθ|>|cosθ|,故則tanθ<-1,∴tanθ=-3解法二由sinθ+cosθ=3-12①,得sinθcosθ又θ∈(0,π),∴sinθ>0,cosθ<0,∴sinθ-cosθ>0.又(s