2022新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第11章解三角形 課時(shí)練習(xí)題及章末綜合檢測(cè)含答案解析

第11章解三角形

11.1余弦定理...........................................................1

11.2正弦定理...........................................................5

11.3余弦定理、正弦定理的應(yīng)用...........................................10

第11章測(cè)評(píng).............................................................17

11.1余弦定理

1.在ZkABC中，若〃=舊力=3，=60°，則<?=（）

A.1B.2C.4D.6

踴C

|解析［由余弦定理，得a2=b2+C2-2/?CCOSA,13=9+（r-3c,/-3。-4=0,解得c=4（負(fù)值舍去）.

2.在A45C中，若4貝|j疝C的值為（）

A.iB.①。立D.3

2223

踴c

廨就由余弦定理，得cosC=a2—2'c2=工.因?yàn)镃W（0,7i）,所以C二%inL@.故選C.

'----12ab232

3.（多選）在銳角三角形ABC中力=l,c=2,則。的值不可以是（）

A.1B.2C.3D.4

悟家|ACD

|解析|若a為最大邊，則Z?2+c2-?2>0,^P/<5,，〃<花,若c為最大邊，則標(biāo)+廬天乂）,即〃2>3,

?*a>V3,故A/5.

4.如果將直角三角形的三邊增加同樣的長(zhǎng)度，那么新三角形的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C鈍角三角形D.由增加的長(zhǎng)度確定

制A

|解析［設(shè)直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別為〃力《,且足+從二c2,三條邊均增加同樣的長(zhǎng)度三

邊長(zhǎng)度變?yōu)閍+"U?+m,c+"z,此時(shí)最長(zhǎng)邊為c+肛設(shè)該邊所對(duì)角為。，則由余弦定理，得cos

6_(a+m)2+(b+m)2-(c+m)27n2+2m(a+d-c)

.因?yàn)閙>0,?+力-。>0,所以COS。>0,所以。為銳角，其

2(a+m)(b+m)2(a+m)(b+m)

他各角必為銳角，故新三角形是銳角三角形.

5.在ZkABC中,AB=3,BC=g/C=4,則邊AC上的高為（）

A.—B.—C.-D.3V3

222

^M|B

國(guó)附在AABC中,A8=3,8C=WX4C=4,由余弦定理，得cosA二絲笠著=槳手

???A=60°.???邊AC上的高力=48sinA=3sin60°;型.故選B.

2

6.在A4BC中,〃=3力=5,0=7,則其最大內(nèi)角為.

I解析I由題意，得。>力>4,則角C最大.丁COSC=":be=3+：：=士且0<C<7t,,C=§.

7.在△ABC中，己知B=C,26=75凡則cosA=.

22

|解析|由B=C,得b=c=^-a.由余弦定理，得coSA-：：—=Q。)、,)°=1

1----122bc2號(hào)聾a3

8.在A45C中，己知Q/=4M+C=2瓦且最大內(nèi)角為120°,則該三角形的周長(zhǎng)為;最

小角的余弦值為.

喜］30if

|解析|由a?b=4,a+c=2b,得所以a>b,a>c^?a是最長(zhǎng)邊，所以角A最大.由余

弦定理，得cos120°="-4)+?-8)-a,負(fù)簞得4=14(〃=4舍去)，所以Z?=10,c=6,故△A5C的周長(zhǎng)

2(a-4)(a-8)

為30.最小內(nèi)角為C,cos。=空生濘=H

2X14X102X14X1014

9.在A48C中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,6,c.若(〃2+/-。2)匕11B=V5ac,則角B的度數(shù)

為______.

答案160?；?20°

|解析|由余弦定理，得2accosBtanB=V5〃c,整理，得sin8二景所以5=60°或120°.

10.在△ABC中，若t7=8,Z?=7,cos。=稱,則最大角的余弦值是(）

14

AB.--cD.--

-l6-78

蠲C

由余弦定理，得?=。2+戶2"cosC=82+72-2x8x7x2=9,所以c=3,故。最大，所以最大

14

72+32-82_1

角的余弦值為cos4="+：2x7x3-7

11.（2020吉林長(zhǎng)春高一檢測(cè)）在ZUBC中,若以守>0,則“Bq）

2ab

A.一定是銳角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是鈍角三角形

D.是銳角或直角三角形

空C

廨就由°2七2產(chǎn)>0得cosc>0,所以cosC<0,從而。為鈍角，因此△A8C一定是鈍角三角形.

1--------12ab

n.^ABC中，若從二。。，則B的取值范圍是)

A?(喝B.[M

C.M]D.)

答案A

(a-c/+ac

|解析卜osB=

2ac

，察+鴻，

V0<B<7T,ABG(0^].

13.在△ABC中,B。為/ABC的平分線,48=3,8。二2工。二四,貝1」sinZABD=

圈

麗|因?yàn)锽。為NABC的平分線，所以NABOW/ABC由余弦定理，得cosN

.“AB2+BC2-AC232+22-(V7)21

ABC-----------=---------=-

2ABBC2X3X2

所以cosZABC=1-2sin2Z4BD=|,

所以sinNABDg

14.如圖，在△ABC中,已知點(diǎn)。在邊8c上KOL4C于點(diǎn)A,sinN8AC=￥HB=3VL4O=3,

則BD的長(zhǎng)為

答案K

因?yàn)閟inZBAC=—ADLAC,

3

所以sin（：+4B4D）=乎,

所以cos/B出手.

在△曲￡）中，由余弦定理，得

BD=y/AB24-AD2-2ABADcos/-BAD

=J(3煙2+32.2x3&X3X乎=V5.

15.若24+1,4,24-1為鈍角三角形的三邊長(zhǎng),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

國(guó)因?yàn)?〃+1/,2〃-1是三角形的三邊長(zhǎng)，

a+2a-l>2a+1,

所以Q>0,解得。>2.設(shè)最長(zhǎng)邊2。+1所對(duì)的角為0,

2a-l>0,

則。>90°,所以COSJ+(2Q-1)2.(2Q+1)2=a(a-8)<0解得工<「<8.

2a(2a-l)2a(2a-l)’2

綜上可知實(shí)數(shù)4的取值范圍是(2,8).

16.在△ABC中,BC="1C="且4力是方程f-2恁+2=0的兩根,2cos(A+8)=1.

⑴求角C的大??；

(2)求A8的長(zhǎng).

|^|(1)*.*cosC=cosE-(A+8)[=-cos(A+8)=-：,且。￡(0,兀),；.C=y.

(2)??Z力是方程f-2岳+2=0的兩根，

.(a+b=2V5,

,kab=2,

：.AB2=b2+a2-2abcosC=(a+b)2-ab=10,

：.AB=V10.

11.2正弦定理

1.在△ABC中，已知。二8,8=60°,C=75°,則b等于()

A.4V6B.4>/5C.4V3D.y

踴A

除耐???A+8+C=180°,又8=60°,C=75°,

AA=1800-B-C=45°.

由正弦定理，一=b

sinRs\nBy

、，

，口,asinB8sin60°Ar7LA

得力"-r=《k=45后故選A.

2.在A48C中，若。=3力二火43則角C的大小為（）

A：B;C：D二

6432

這D

|解析|由正弦定理=，—，得sin。=竺=v3sin?=2■因?yàn)椤?gt;人所以A>8,所以8二二,所

1--------1sinAsmBa326

3.在&48。中/8=2,3。=5,"8。的面積為4,則85乙48。等于()

A.|B.±|C.-1D.±|

^M|B

廨就由S=yBBCsinNABC,得4=^x2x5sinN4BC,解得sinN43C=g,從而cosNABC=土(

4.在AABC中，。=2A,COS4二,則￡的值為()

4a

13

A.2B.-C.-D.1

22

踴C

麗I由正弦定理，得￡=堊=曰馬=2sinXcos4=2cosA=2xW=2.

1----------1asin/1sin.4sin442

某市在“舊城改造”工程中計(jì)劃在如圖所示的一塊三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境.已

知這種草皮的價(jià)格為。元/n￡則購(gòu)買這種草皮需要()

A.450。元B.225。元

C150。元D.300。元

踴C

健麗由已知可求得草皮的面積為S《x20x30sin150°=150(0?),則購(gòu)買草皮的費(fèi)用為

150。元.

6.在A45C中"sinA,則AABC一定是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

^M]B

廨福由已知，得3=2二所以sin5=1,所以8=90。，故AASC一定是直角三角形.

7.在AABC中,B=45°,C=60°,c=l,則最短邊的長(zhǎng)等于.

健麗由三角形內(nèi)角和定理，得A=75°.由三角形的邊角關(guān)系，得B所對(duì)的邊匕為最短邊.

由正弦定理導(dǎo)=高，得公黑

8.在A48C中,出?=60,SMBC=15百,AABC的外接圓半徑為百，則邊c的長(zhǎng)為.

答案3

|解析|「SAABC二弁sinC=15A/3,?Z?=60,

AsinC二"故c=2RsinC=3.

2

9.在ZkABC中，己知A=60°,c=，.

⑴求sinC的值；

⑵當(dāng)a=l時(shí)，求A4BC的面積.

解⑴在AABC中，因?yàn)锳=60°,c=2所以由正弦定理，得sinC=—=-x—=—.

7a7214

（2）0為。=7,所以c=1x7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得72=廬+32-2必3乂去解得

Z?=8或b=?5（舍去）.

所以A48C的面積S=1^csinA=1x8x3x^=6>/3.

10.在△4BC中,A=60°/=4/5力②則B等于（）

A.45°或135°B.1350

C.45°D.以上答案都不對(duì)

踴C

朝???加8=*=券=今

1----1a4V32

，B=45°或135°.又心瓦???5=45°，故選C.

a+b+c

11.在△ABC中4=60°,。=瓜,貝IJ等于（）

sin4+sinF+sinC

A8遍平C265/3

A.——B---D.2V3

33

答案B

a+b+cc八aV132回

由a=2RsinA,b=2Rs\n5,c=2RsinC得------------------=2n=-----=--------

sin/l+sinB+sinCsirMsin60c3,

12.在AABC中，若34cosC=4csinA,4A5C的面積S=10/=4,則a的值為（）

A23

ATT常D.g

答案B

底責(zé)由34cosC=4csinA,得就=康.又由正弦定理，得爵=三?

33

???tanC=0???sinC=-.

1?3

又S=-absinC=10,Z?=4,sinC=-,

???a=g,故選B.

13.在△ABC中，若67=V2,/?=2,sin8+cosB=四，則角A的大小為.

宣30。

廨洞由sinB+cosB=或，得1+sin28=2,所以sin28=1,所以8=45,.由正弦定理，得sin

A;竺詈=國(guó)75°=：因?yàn)?所以A<5,所以A=30°.

14.在△ABC中，已知?2tan8二從tanH,試判斷△A3C的形狀.

假由已知，得后陋二戶列上又由正弦定理得加24列更二si「B.也1,即列f=sinB

11,

_COSBCOSi4cosBcos/lCOSBC0S4

所以sinAcosA=sinBcos8,即sin2A=sin2B.所以2A=28或2A+28=180°，所以

A=3或A+3=90°，即△4BC是等腰三角形或直角三角形.

15.己知ZUBC的外接圓半徑為R,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為。力，c,且滿足2/?(sin2A-

sin2Q=(y/2a-b)sin民求△ABC面積的最大值.

國(guó)由正弦定理，得〃2_/=(夜”份"

即^+b2-(r=V2ab.

由余弦定理，得cosC=貯察=曼=名

（）

VCG0,7T,/.C=74.

.-.S=>inC4x2/?sinA.2/?sinB4

=V2/?2sinAsinfi=V2/?2sin>4（^

A

cosA+-2sin

=/?2（sinAcosA+sin2A）

=R-（jsm-2r4AH.--1--C-O--S-2-4XJ

士停sin（24：）+,.

???A￡（0,））.??.嗚W（一,沁

Asin（24-^）W（考,l].??.S40,等叫

???ZkABC面積的最大值為當(dāng)擔(dān)R2

16.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃力了,且滿足csinA=acosC.

(1)求角C的大小；

⑵求VIsinA-cos(B+力的最大值,并求取得最大值時(shí)角A,8的大小.

假(1)由正弦定理及已知條件得sinCsinA=sinAcosC.

因?yàn)?<A<7t,所以sinA>0,

從而sinC=cosC,則C=2.

4

⑵由⑴知，B哼4

于是，5sinAcos(9+：)=VSsinAcos(nA)

=V3sin4+cosA=2sin(4+：).

因?yàn)?<4<拳所以卜A+：<詈

從而當(dāng)A+S=也即A與時(shí),2sin(4+］取得最大值2.

綜上所述,J5sinA-cos(B+：)的最大值為2,此時(shí)A吟8二工.

17.在AABC中是邊3C上的點(diǎn),A。平分NB4OA8。的面積是的面積的2倍.

⑴求黑;

(2)若1QC考求BD和AC的長(zhǎng).

1BADsinNBA。,

SAADC=|AC-ADsinZCAD.

因?yàn)?“5。=25沙。。,/胡。=/?！?gt;,所以48=24。.

由正弦定理，得等=*=/

sinCAB2

(2)因?yàn)镾&ABD:SAADC=BD：DC,

所以BD=2DC=a.

在AABD和A4OC中，由余弦京理知,

222

AB=AD+BD-2ADBDcosZADBi

AC2=AD2+DC2-2ADDCCOSZADC.

故AB2+2AC2=3AD1+BD1+2DC2=6.

由(1)次口AB=2AC,所以AC=1.

11.3余弦定理、正弦定理的應(yīng)用

1.如圖，在河岸一側(cè)取A,8兩點(diǎn),在河岸另一側(cè)取一點(diǎn)C,若"二12m,借助測(cè)角儀測(cè)得N

C4B=45°,ZCBA=60°，則。處河面寬C。為（）

A.6(3+V3)mB.6(3-V3)m

C,6(3+2>/3)mD.6(3-2V3)m

BD

解析由《sin600sin(90--60°)=與CD,=AB=AD+BD=

CDAD

CD

lsin45。sin(90°-45。)UD=

號(hào)）CO=I2=CO=6（3?V5）m,故選B.

2.如圖Q,C,B三點(diǎn)在地面同一直線上QOo,從CQ兩點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)A的仰角分別是

￡,a（av￡）,則點(diǎn)4離地面的高度A3等于（）

cos(a-/?)

Casinacos/?Dacosasin/?

'sin(/?-a)?cos(a-/?)

鹿A

庭困在A4DC中,NOAC=￡-a

由正弦定理，得

sin(/?-a)sina

?A二_asina

..人?34

???AB二ACsin夕若署

3.一艘船上午9:30在A處,測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°的方向，且與它相距8&nmile,

之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10:00到達(dá)8處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東

75°的方向，則此船的航速是()

A.8(V6+V2)nmile/hB.8(V6-V2)nmile/h

C.16(V6+V2)nmile/hD.16(V6—V2)nmile/h

踴D

庭責(zé)由題意，得在ZiSAB中,NBAS=30°,NSB4=180°-75°=105°,ZBSA=45°.

由正弦定理，得SAAB

sinl050sin456

即8-二9

sinl05°sin450'

解得AB=8（連一魚），

故此船的航速為更浮?=16（遍-V2）（nmile/h）.

2

4.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉，在其正東方向相距40nmile的B處有一艘漁船

遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20nmile的。處

的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東0的方向即沿直線前往3處救援，則cos9等于（）

B.叵

14

^35/21「421

C-ZTD./

時(shí)B

國(guó)責(zé)在型8。中,48=404。=20,/34。=120°.

由余弦定理，得8c2=4#+AC2-2ABAC?COS120°=2800,所以8。=20夕.

由正弦定理，得sinZACB=^rsmZBAC=—.

BC7

由NR4C=120°,得NACB為銳角，故cosNACB二手.故cos6>=cos(Z

ACB+3O0)=cosZACBcos300-sinZACBsin30°彎.

5.某船在岸邊A處向正東方向航行x海里后到達(dá)B處,然后朝南偏西60°方向航行3海

里到達(dá)C處，若A處與。處的距離為V3海里，則%的值為.

霹K或2V3

底附在△ABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSB,

即f+9-2式?3cos30°=(V3)2,

即f-3岳+6=0,

解得x=2V5或x=y/3.

6.已知甲船在島B的正南方A處，8=10nmile,甲船以4nmile/h的速度向正北方向的島

8航行,同時(shí)乙船自島B出發(fā)以6nmile/h的速度向北偏東60°的方向航行,當(dāng)甲、乙兩

船距離最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是h.

就

廨洞如圖,設(shè)甲、乙兩船距離最近時(shí)航行時(shí)間為th,距離為snmile,此時(shí)甲船到達(dá)。處，

則甲船距離5島(10-4f)nmile,乙船距離8島6/nmile,所以由余弦定理，得cos

120°=嗎：：常哈52,化簡(jiǎn)得$2=28尸-20什100,所以當(dāng)六戰(zhàn)時(shí),卡取最小值，即當(dāng)

甲、乙兩船距離最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是三h.

14

7.緝私巡邏艇在一小島A南偏西50°的方向，距小島A12海里的8處，發(fā)現(xiàn)隱藏在小島

A邊上的一走私船正開始向小島A北偏西10°方向行駛,測(cè)得其速度為每小時(shí)10海里,

問巡邏艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在兩個(gè)小時(shí)后截獲該走私船?(參考數(shù)

據(jù):sin380-0.62)

凰如圖所示所在射線即走私船航行路線，假設(shè)巡邏艇在C處檢獲走私船，巡邏艇的速

度為每小時(shí)x海里，則BC=2x4C=20.

依題意NR4C=180°-50°-10°=120°,

由余弦定理，得=A4+AC^ZAaACcos120°=122+202?2xl2x20x(?J=784,所以

8028,

因?yàn)樗詘=14.

又由正弦定理，得sinNABC二"空/竺=與￡々0.62.所以/ABO38。.

而如圖所示的RSAD8中,乙48。=40°.所以NEBC=90°-38°-40°=12°.即巡邏

艇用每小時(shí)14海里的速度向北偏東12°的方向航行.

8.如圖所示，在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CQ的頂端C相對(duì)于山坡的斜

度為15°，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)8處,又測(cè)得C相對(duì)于山坡的斜度為45°,若。。二50

m,山坡的坡角為仇則cos8=(

A.—B.V3-1

2

C.2-V3D.—

2

■B

麗|在ZLABC中，由正弦定理，得

8C=等喏=喘泮*^5。（乃-巧（m）.在ABCD中，由正弦定理，得sinZ

遍-物

8Csin“8D_50(sin45°=V3-1.

由題圖知cos。=sin/AOE■二sinNBOC=V5-l,故選B.

9.（2021福建期中）如圖，為了測(cè)量8,C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上AQ兩點(diǎn)，已知N

ADC=90°,ZA=60°/8=2,8。=2遍,。。二的后,則8。的長(zhǎng)為（）

A.4V3

C.6V5

|^M|A

^§在443。中,NA=60°,AB=2、8O=2VS,

由正弦定理?

sinz.ADBsinzjf

得sin/A小弓泮斗

因?yàn)?BDC=90°?NADB,

所以cosNBOC=sinNAOB二空

4

在△BCD中QC=4V5,8O=2通，

由余弦定理，得

BC2=fiD2+DC2-2BD?DCcosZBDC

=(2V6)2+(4V3)2-2x2V6x4V3x—

4

=48,

所以BCM?

故選A.

10.

B

(2020江蘇高一期末)如圖，我方炮兵陣地位于A處，兩移動(dòng)觀察所分別設(shè)在CQ兩處.已

知△ACD為正三角形.當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在點(diǎn)8時(shí)，測(cè)得BC=1千米千米.

(1)若測(cè)得NO8C=g,求AABC的面積;

⑵若我方炮火的最遠(yuǎn)射程為4千米，試問目標(biāo)8是否在我方炮火射程范圍內(nèi)?

假(1)在△BCD中,由余弦定理得CD'BC+BA-ZBDBCCGSNDBC,

.*.CZ)2=l+4-2=3.

*:BD2=CD2+BC2,

??"叫，

???S^nc=^AGBCsin/ACB

=-XV3xlxsin(2+”=—.

2234

(2)設(shè)NCBD=a,/CDB=。,在bBCD中,由余弦定理得CD2=5-4cosa,

由正弦定理得COsin夕=sina.

在AAB。中，

AB1=Bb1+AD1-2BDADcos

=9-4cosa-2ADcos/?+2V3ADsin°

=9-4cosa-2ADy/1-sin2p+2V3sina

=9-4cosa-2x//4D2-sin2a+2V3sina

=9-4cosa-2(2-cosa)+2V3sina

=5+4sinJ?

W9,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),A8取到最大值3,

???3<4,?,?目標(biāo)B在我方炮火射程范圍內(nèi).

11.如圖4,8,CQ都在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)（與水平面垂直的平面）,艮力為海島上兩座燈塔的

塔頂.測(cè)量船于A處測(cè)得點(diǎn)8和點(diǎn)。的仰角分別為75°,30°,于C處測(cè)得點(diǎn)8和點(diǎn)。

的仰角均為60°,AC=1km,求點(diǎn)BQ間的距離.

概方法一在"CO中,NAQC=60°-ZDAC=60°-30°=30°.由正弦定理，得

力Csinl20°

AD=

sin300

在△ABC中,N4BC=75°-60°=15°,N4CB=60°,

由正弦定理，得鬻一=專漁.在△A08中,NB4)=180°-75°-30°=75°,

由余弦定理，

得BDZAB?+4。2-2484。(：05750=

/3V2+V6\23V2+V6廠o

(——-——)+3-2x——-——xV5cos75。

3國(guó)n

2

即點(diǎn)B,D間的距離為號(hào)出km.

方法二如圖，記AD與BC的交點(diǎn)為M.

由外角定理，得NCD4=N6(T-ND4C=60°-30°=30°,所以AC=QC.又易知N

MCD=ZMCA=60°，所以AAMC絲△OMC,

所以M為A。的中點(diǎn)，所以BA=BD.

4Csin60°3A/2+V6

又AB二:

sinl502

所以瓦）=越氈,

2

所以點(diǎn)B,D間的距離為吟速km.

第11章測(cè)評(píng)

（時(shí)間:120分鐘滿分:150分）

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分洪40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

l.^ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是。力,c,若。：。：c=4：3：2,則2s叱誣）

sin2c

AA-3

7

D?T

答案D

.由題意含=黑鬻=塞、因?yàn)椤?：‘二4：3：2,設(shè)所伙63g=2上由

余弦定理可得cos。=啜親/則2sini4-sinB(8-3)fc=J.故選D.

sin2c4X決

2.在直角梯形46CO中,ABC=90。46=28。=2co，貝ijcosZDAC=()

A2V5V5

A.——BR

5Tc呼

踴c

底責(zé)如圖所示，不妨設(shè)8C=CO=1，則AB=2,過點(diǎn)。作OE_LA氏垂足為點(diǎn)E.

B

易知四邊形BCDE是正方形，則BE=CD=1,

所以AE二A8W

在RtAADE中/。=，4E2+DE2=々，在RtAABC中力。-〃勿+BC?=遙，

在△AC。中，由余弦定理，得cosNO4c=任黑薩=藍(lán)其=嚓.故選C.

3若列絲=?=芷，則三角形ABC是（）

abc

A.等邊三角形

B.有一內(nèi)角是30°的直角三角形

C,等腰直角三角形

D.有一內(nèi)角是30°的等腰三角形

踴C

|解析|因?yàn)閊^=a與所以acosB=Z>sin4,所以由正弦定理得sinAcosB=sin石sinA,又sin

AM,所以cosB=sin8,所以8=45°.同理045°,故A=90°.所以三角形ABC是等腰直

角三角形.

4.（2021浙江杭州上城校級(jí)期中）在△ABC中，若A=105°,8=45°,6=2近，則c=（）

A.—B.l

2

C.V2D.2

踴D

底麗在AABC中,???A=105°,8=45°力=2或，

AC=1800-A-B=30°.

,bsinC2V2X1

..c=——=-L=2?

sinBv2

2

故選D.

5.

如圖，一船自西向東勻速航行，上午1（）時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔64海里的

加處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處,則這只船的航行速度為（）

A.2V6海勤時(shí)

B.4V6海

C.8V6海fi/W

D.l6n海里洞

gSjc

底面由題意PM=64海里,NMPN=120；在APMN中，由正弦定理，得

MN二第3竺二32①海里，所以船的航行速度為三匹二8遍海里/H寸.故選C.

sinzMNP14-10

6.在中，若bsin2A+V2asin8=06=應(yīng)（?,則￡的值為（）

a

A.1B.—C.—D.—

357

ggc

|解析|因?yàn)閎sin24+&〃sinB=0,

所以sinBsin2A+V2sinAsinB=0,

即2sinBsinAcosA+V^sinAsin8=0.

由于sinBsinA#）,所以cosA二母,因?yàn)?/p>

0cA〈兀，所以A二科，又力二0c,

4

由余弦定理可得a2=b2+c2-2cbcosA=2C2+C2+2C2=5C2,

所以￡=匹.故選C.

Q5

7.一游客在A處望見在正北方向有一塔氏在北偏西45°方向的C處有一寺廟，此游客騎

車向西行1km后到達(dá)。處,這時(shí)塔和寺廟分別在游客的北偏東30°和北偏西150方向,

則塔8與寺廟C的距離為（）

A.2kmB.V3km

C.V2kmD.lkm

鹿C

履前由題可得N3D4=90°-30°=60°,在RsABO中4)=1,所以在"CQ

中工。=1,24。。=1050,/OAC=45°,所以NOCA=30°,

ADs\nZ.ADCA/6+^2

所以由正弦定理，得AC二

sinzDC/l-2-,

在AABC中，由余弦定理，得BC2=AC2+AB2-2ACABCOS45°=巴型+3-2x亞%x

42

V3x曰二2,所以8c=&.故選C.

8.如圖，某建筑物的高度BC=300m,一架無人機(jī)。上的儀器觀測(cè)到建筑物頂部。的仰角

為15°,地面某處A的俯角為45°,且NBAC=60°,則此無人機(jī)距離地面的高度P。為

()

A.100mB.200m

C.300mD.100m

制B

除責(zé)根據(jù)題意，得在R3A5C中,23AC=60°,BC=300m,所以AC=焉［=等二200百

V

m.

在AACQ中,NAQC=450+15°=60°,ZQAC=180°-45°-60°=75°，所以N

2CA=180°-ZAQC-ZQAC=45°.

由正弦定理閥品=嬴源？

解得Ag=200^X^=20()72m.

在RSAPQ中『Q二AQsin45°=200m.故選B.

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分洪20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在"BC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為。力,c,下列結(jié)論正確的是()

A.a2=br+C2-2/?CCOSA

BasinB=bsinA

C.a=bcosC+ccosB

D.acosB+bcosA=sinC

答案|ABC

麻祠在A中，由余弦定理得『二層+d?2bccosA,故A正確;

在B中,由正弦定理得3=b

sinB1

asinB=bsinA,故B正確;

在C中，

由余弦定理得

a2+b2-c2a2+c2-b2

右邊二Z;x+CX

2ab2ac

整理,得右邊二a,左邊二右邊，故C正確;

在D中,由余弦定理得

------+隊(duì)-------

acosB+bcosA=a><2ac2bc=c/sinC,

故D錯(cuò)誤.故選ABC.

10.在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）

A.b=104=45°,C=70°

B.Z?=45,C=48,B=60°

C.a=14,Z?=16,4=45°

Da=7,b=54=80°

|^M|BC

廨洞選項(xiàng)B滿足csin60°v0<c,選項(xiàng)C滿足bsin45°v〃v。,所以B,C有兩解;對(duì)于選項(xiàng)

A,可求3=180°-A-C=65°，三角般有-解;對(duì)于選項(xiàng)D,由sin8二也竺，且〃<凡可得B為

a

銳角，只有一解,所以三角形只有一解.故選BC.

11.（2020山東高三模擬）在aABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若8二28,c=3,A+3C=兀,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.cosC=—B.sinB=-

33

C.a=3D.SMBC=V2

答案AD

麗因?yàn)锳+3C=兀，所以3=2C,根據(jù)正弦定理可得鑒=高，即2V3sinC=6sinCeosC,

因?yàn)閟inC#),故cosC=^,sinC=y,sinB=sin2C=2sinCeosC=^2+b2-2abcosC,化

簡(jiǎn)得〃2-4。+3=0,解得〃=3,或.若。=3,此時(shí)4=。二2,8=2,不滿足題意，故

42

a=l.S^ABc=^cibs\nC=|xlx2V3xy=魚.故選AD.

12.在△ABC中，角ABC所對(duì)的邊分別為。力,c,且5+份：(a+c)：(Hc)=9：10：I,則下

列結(jié)論正確的是()

A.sinA：sinB：sinC=4：5：6

B.A48C是鈍角三角形

C.A48C的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍

D.若c=6,則0BC外接圓半徑為苧

|答案|ACD

|解析|m+b):(a+c)?(b+c)=9I10：11,可設(shè)Q+Z?=9f,〃+c=10f,Z?+c=l"，>0,解得

a=4f,b=5f,c=6i,可得sinA:sin3：sinC=a:b:c=4:5:6,故A正確;其中c為最大

邊,COSC=a+b,C=1"+25’-36'=2>0,即C為銳角，故B錯(cuò)誤;其中。為最小邊，由COS

2ab2-4t-5t8

b2+c2-a225t2+36t2-16t23十/a...-9.1小、一r

A4=-----=------------=一，可得cos2A=2COS2/4-1=2X—-1=-=cosC.由2A,C￡(0,兀)，可

2bc2-5t-6t4168

得2A=C,故C正確;若c=6,則2R二肅=冷=瑞，所以△AB。外接圓半徑為"，故D正

確.故選ACD.

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分

13.在△48C中,a=l,sinA二圣sinC二|,貝?。輈=.

答案|34

朝由正弦定理，得。=鬻=苓=3位.

10

14.在△ABC中,〃=3力=4,c=6,貝1JbccosA+accosB+abcosC的值是

隆祠因?yàn)閏osA二9箸，

所以hccosA^C^+c2-^2).

同理,accos^=玄標(biāo)+上從)，

abcos。=加2+戶/)

所以hccosA+accosB+abcosC=1(^2+Z?2+C2)=y.

15.為了研究問題方便，有時(shí)將余弦定理寫成蘇-2McosC+/=d,利用這個(gè)結(jié)構(gòu)解決如下

問題:若三個(gè)正實(shí)數(shù)x,y,z,滿足x2+v/+戶9/+戶+22=16,22+〃+/=25,則

xy+yz+zx=.

福80

朝設(shè)ZiABC的角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

在^ABC內(nèi)取點(diǎn)。，使得/A08=NB0C=NA0C二手，

［殳OA=x,OB=y,OC=z,

由余弦定理得廿二f?與cosNAOB+^f2+孫+9=9,所以c=3.

同理可得。=4力=5.因?yàn)?十^二店,所以NABC=90°.

△ABC的面積為S^ABC=^IC=6.

又因?yàn)镾MBC=SAAOB+SABOC+SMOC

12TT,12n,12n

=3盯iSn-+3yzsm—+-zxsin—

rx

二?(xy+yz+zx)=6,所以xy+yz+zx=Sy/3.

16.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在其《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問題及二次測(cè)望方

法廣今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步,令后表與前表參相直.從前表卻行一百

二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合.從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰,

亦與表末參合.問島高及去表各幾何?''這一方法領(lǐng)先印度500多年，領(lǐng)先歐洲1300多年.

其大意為:測(cè)量望海島PQ的高度及離岸距離,在海岸邊立兩根等高的標(biāo)桿

A8Cr)(PQH6,CO共面，均垂直于地面)，使目測(cè)點(diǎn)￡與尸,8共線,目測(cè)點(diǎn)F與PQ共線，測(cè)

出AE.CFAC即可求出島高和距離（如圖）.若則

PQ=,EQ=.

麗設(shè)/AEB=a,/CFD=。,

則tana=^,tan0吟

在△「￡：尸中PE_EF

'sin￡sin(a-0)'

EFsin0dsinp

得PE=

sin(a-/?)sin(a-py

dsinasin/?

所以PQ=PEsina-

sin(a-。)

_dsinasinp

sinacos/?-cosasin/J

_dtanatan/?_d為_dr

tana-tan/?b-a

「八cldcosasinl?dcosasin/?

EQ=PEcosa=-：----=------------

sin(a-p)sinacos/?-cosasin/?

dtanS_d?石_da

""一'r?‘—?1.

tana-tan/?--b-a

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在A4BC中，內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為。力,c,且asin8+l=bsinA+2cosC.

⑴求角。的大小；

(2)若〃=2/2+62=2(?,求AABC的面積.

1）由正弦定理，得ab

siMsinB

6rsinB=bsinA.

又〃sinB+l=Z?sinA+2cosC,

2cosC=l,cosC=1.

又0＜。＜兀,＜c..

(2)由余弦定理，得c2=a2+b2-ah,

???。=2々2+。2=2/,

,?.4+/=2(4+/-2份,解得b=2.

ShABC=^cibsinC=1x2x2xsin；=y/3.

18.(12分)(2020山東)在①“c=V5,②csinA=3,③c=V5b這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下

面的問題中，若問題中的三角形存在，求c的值;若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題:是否存在△"(7,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,瓦4且sin4=V3sin

氏O：_________?

6

闞由c=?和余弦定理，得

11/F="

—62ab2

由sinA=V3sinB及正弦定理，得a=V3b.

于是受震=號(hào),由此可得b=c.

2V30，2

方案一:選條件①.

由①解得a=\/3,b=c=i.

因此，選條件①時(shí)，問題中的三角形存在，此時(shí)c=1.

方案二:選條件②.

因?yàn)閎=c,所以B=C=I

由A+8+C=7t,得人=成—^=Y.

由②csinA=3,即csiny=3,

所以c=b=2y/3,a=6.

因此，選條件②時(shí)，問題中的三角形存在，此時(shí)C=2A/5.

方案三:選條件③.

由③c=V5b,與b=c矛盾.

因此，選條件③時(shí)，問題中的三角形不存在.

19.(12分)要測(cè)量對(duì)岸兩點(diǎn)AB之間的距離，選取相距200m的C,D兩點(diǎn),并測(cè)得N

4DC=105°,N8DC=15°,N8CQ=120°