6.4.3用頻率分布直方圖估計總體分布課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

第6章統(tǒng)計學(xué)初步用頻率分布直方圖估計總體分布湘教版

數(shù)學(xué)

必修第一

冊課標要求1.能夠根據(jù)所給具體數(shù)據(jù),作出頻率分布表,畫頻率分布直方圖.2.能夠利用頻率分布直方圖估計總體分布的數(shù)字特征.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點用頻率分布直方圖估計總體分布根據(jù)平均數(shù)的意義可知,樣本平均數(shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和,從而在頻率分布直方圖中,樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替.這樣我們就可近似估計樣本的平均數(shù).根據(jù)中位數(shù)的意義可知,在樣本中,有50%的個體小于或等于中位數(shù),也有50%的個體大于或等于中位數(shù).因此,在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等,由此可估計樣本中位數(shù)的值.根據(jù)眾數(shù)的意義可知,可將頻率分布直方圖中最高矩形所在區(qū)間的中點所對應(yīng)的數(shù)據(jù)作為樣本眾數(shù)的估計值.名師點睛樣本的頻率分布直方圖與總體的關(guān)系(1)隨機抽樣得到的樣本的頻率分布直方圖是總體分布的近似.(2)由抽樣的隨機性可以想到,如果隨機抽取另一個樣本,所形成的樣本頻率分布直方圖會與前一個樣本的頻率分布直方圖有所不同.過關(guān)自診一個容量為80的樣本中數(shù)據(jù)的最大值是140,最小值是51,組距是10,則應(yīng)將樣本數(shù)據(jù)分為(

)A.10組

B.9組

C.8組

D.7組B重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一頻率分布直方圖的繪制【例1】

某高校在2024年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學(xué)生的筆試成績,按成績分組,得到的頻率分布表如下:分數(shù)分段頻數(shù)頻率[160,165)50.05[165,170)①0.35[170,175)30②[175,180)200.20[180,185]100.10合計1001.00(1)請先求出頻率分布表中①②處應(yīng)填寫的數(shù)據(jù),并完成如圖所示的頻率分布直方圖;(2)為了選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績高的第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進入第二輪面試,求第3,4,5組每組各應(yīng)抽取多少名學(xué)生進入第二輪面試.解

(1)由題意可知,第2組的頻數(shù)為0.35×100=35,頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)律方法

繪制頻率分布直方圖應(yīng)注意的問題在繪制出頻率分布表后,畫頻率分布直方圖的關(guān)鍵就是確定小矩形的高.一般地,頻率分布直方圖中兩坐標軸上的單位長度是不一致的,合理的定高方變式訓(xùn)練1為增強市民節(jié)能環(huán)保意識,某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者,現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者,他們的年齡情況如下表所示:分組(單位:歲)頻數(shù)頻率[20,25)50.05[25,30)①0.20[30,35)35②[35,40)300.30[40,45]100.10合計1001.00(1)頻率分布表中的①②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)?(2)補全如圖所示的頻率分布直方圖.解

(1)設(shè)年齡在[25,30)歲的頻數(shù)為x,年齡在[30,35)歲的頻率為y.解得x=20,y=0.35,故①處應(yīng)填20,②處應(yīng)填0.35.(方法2)由題意得5+x+35+30+10=100,0.05+0.20+y+0.30+0.10=1,解得x=20,y=0.35,故①處填20,②處填0.35.(2)由頻率分布表知年齡在[25,30)歲的頻率是0.20,組距是5,補全頻率分布直方圖如圖所示.探究點二頻率分布直方圖的應(yīng)用1.求頻率分布直方圖縱坐標中的參數(shù)【例2】

某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識競賽”活動,為了了解本次競賽學(xué)生成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的分數(shù)(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本(樣本容量為n)進行統(tǒng)計,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出如圖所示的頻率分布直方圖,但由于不慎丟失了部分數(shù)據(jù).已知得分在[50,60)的有8人,在[90,100)的有2人,由此推測頻率分布直方圖中的x=(

)A.0.04 B.0.03

C.0.02

D.0.01B解析

得分在[50,60)的有8人,在[90,100)的有2人,由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知(0.004+0.010+0.016+x+0.040)×10=1,解得x=0.03.故選B.規(guī)律方法

由于頻率分布直方圖中的縱坐標為

,因此涉及縱坐標中含參數(shù)問題,應(yīng)根據(jù)頻率之和為1列式求解.2.根據(jù)頻率分布直方圖求樣本數(shù)據(jù)在某一區(qū)間內(nèi)的頻率(數(shù))【例3】

在某次數(shù)學(xué)測驗后,將參加考試的500名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績制成頻率分布直方圖(如圖),則在該次測驗中成績不低于100分的學(xué)生人數(shù)是(

)A.210

B.205

C.200

D.195C解析

由頻率分布直方圖,得在該次測驗中成績不低于100分的學(xué)生的頻率為1-(0.012+0.018+0.030)×10=0.4,則在該次測驗中成績不低于100分的學(xué)生人數(shù)為500×0.4=200.故選C.規(guī)律方法

根據(jù)頻率分布直方圖(表)求樣本數(shù)據(jù)在某一區(qū)間內(nèi)的頻率就是樣本數(shù)據(jù)在該區(qū)間內(nèi)的各組頻率的和,而求解相應(yīng)的頻數(shù)要用頻率乘以樣本容量.3.根據(jù)頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)【例4】

對某小區(qū)100戶居民的月均用水量進行統(tǒng)計,得到樣本的頻率分布直方圖如圖,則估計此樣本的眾數(shù)、中位數(shù)分別為(

)A.2.25,2.5 B.2.25,2.02C.2,2.5 D.2.5,2.25B解析

眾數(shù)是指樣本中出現(xiàn)頻率最高的數(shù),在頻率分布直方圖中通常取頻率最大的組區(qū)間的組中值,所以眾數(shù)為

=2.25,中位數(shù)是頻率為0.5的分界點,由頻率分布直方圖可知前4組的頻率和為(0.08+0.16+0.30+0.44)×0.5=0.49,因此中位數(shù)出現(xiàn)在第5組,設(shè)中位數(shù)為x,則(x-2)×0.5=0.01,則x=2.02,故選B.規(guī)律方法

1.眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,就是最高矩形的底邊中點的橫坐標.2.中位數(shù):中位數(shù)在頻率分布直方圖左右兩邊直方圖的面積應(yīng)相等,也就是累積頻率為0.5時對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù),求解時常借助比例法求解.變式訓(xùn)練2某校為了解高二年級學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績的分布情況,從該年級的1120名學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,發(fā)現(xiàn)都在[80,150]內(nèi),現(xiàn)將這100名學(xué)生的成績按照[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分組后,得到的頻率分布直方圖如圖所示,則下列說法正確的是(

)A.頻率分布直方圖中a的值為0.040B.樣本數(shù)據(jù)低于130分的頻率為0.3C.總體的中位數(shù)(保留1位小數(shù))估計為123.3分D.總體分布在[90,100)的頻數(shù)一定與總體分布在[100,110)的頻數(shù)相等C解析

由頻率分布直方圖得(0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.030,故A錯誤;樣本數(shù)據(jù)低于130分的頻率為1-(0.025+0.005)×10=0.7,故B錯誤;[80,120)的頻率為(0.005+0.010+0.010+0.015)×10=0.4,[120,130)的頻率為0.030×10=0.3,故總體的中位數(shù)(保留1位小數(shù))估計為120+×10≈123.3(分),故C正確;樣本分布在[90,100)的頻數(shù)一定與樣本分布在[100,110)的頻數(shù)相等,總體分布在[90,100)的頻數(shù)不一定與總體分布在[100,110)的頻數(shù)相等,故D錯誤.故選C.4.根據(jù)頻率分布直方圖求方差【例5】

從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值,由測量表得如下頻率分布直方圖.根據(jù)頻率分布直方圖估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的組中值作代表).解

質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)為

=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.質(zhì)量指標值的樣本方差為s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.規(guī)律方法

根據(jù)頻率分布直方圖求一組數(shù)據(jù)的方差的方法:先利用組中值乘以頻率(即每組矩形的面積)求和得

,再將平均數(shù)減去每組的組中值平方后乘以該組的頻率求和.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標1234561.某地一種植物一年生長的高度如下表:高度/cm[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]棵數(shù)2030804030則該植物一年生長在[30,40)內(nèi)的頻率是(

)A.0.80 B.0.65

C.0.40 D.0.25C解析

由頻率含義可計算其結(jié)果.由頻率的定義得80÷(20+30+80+40+30)=0.40.1234562.(多選題)下列說法正確的是(

)A.頻率分布直方圖中每個小矩形的高就是該組的頻率B.頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和等于1C.頻率分布直方圖中各個小矩形的寬一樣大D.頻數(shù)分布直方圖中每個長方形的高就是該組的頻數(shù)BCD1234563.[2024甘肅慶陽?？紝W(xué)業(yè)考試]某地發(fā)起“尋找綠色合伙人——低碳生活知識競賽”活動,選取了n人參與問卷調(diào)查,將他們的成績進行適當分組后,得到如圖所示的頻率分布直方圖,且成績落在[90,100]內(nèi)的人數(shù)為10,則n=(

)A.60 B.80

C.100

D.120C123456解析

由題圖可知,10×(0.006+0.012+0.02+0.032+0.02+m)=1,解得m=0.01,則成績在[90,100]內(nèi)的頻率為0.1.由0.1n=10,得n=100.故選C.1234564.為了了解某地區(qū)10000名高三男生的身體發(fā)育情況,抽查了該地區(qū)100名年齡為17~18歲的高三男生體重(單位:kg),得到頻率分布直方圖如圖.根據(jù)圖示,請你估計該地區(qū)高三男生中體重在[56.5,64.5]的學(xué)生人數(shù)是(

)A.40 B.400C.4000 D.4400C123456解析

依題意得,該地區(qū)高三男生中體重在[56.5,64.5]的學(xué)生人數(shù)是10

000×(0.03+2×0.05+0.07)×2=4

000.123