第15講一元二次不等式的綜合問題（三大題型歸納易錯(cuò)分層練）（原卷版）

第15講一元二次不等式的綜合問題目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01簡單的分式不等式 1題型02簡單的一元二次不等式恒成立問題 4題型03一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用 6易錯(cuò)歸納 9分層練習(xí) 10夯實(shí)基礎(chǔ) 10能力提升 16創(chuàng)新拓展 22題型01簡單的分式不等式【解題策略】分式不等式的解法(1)對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元二次不等式組求解，但要注意等價(jià)變形，保證分母不為零．(2)對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解【典例分析】【例1】例1解下列不等式：(1)eq\f(x＋1,2x－1)<0；(2)eq\f(1－x,3x＋5)≥0；(3)eq\f(x－1,x＋2)>1.【變式演練】【變式1】（2324高一上·山東濰坊·期末）已知關(guān)于x的不等式的解集是，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B．1 C． D．2【變式2】（2324高一上·河北滄州·期末）不等式的解集為．【變式3】解下列不等式：(1)eq\f(x＋1,x－3)≥0；(2)eq\f(5x＋1,x＋1)<3.題型02簡單的一元二次不等式恒成立問題【解題策略】一元二次不等式恒成立問題的解法(1)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，考慮x2的系數(shù)和對應(yīng)方程的判別式的符號這兩個(gè)方面．(2)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題：分離參數(shù)后，求相應(yīng)二次函數(shù)的最值，使參數(shù)大于(小于)這個(gè)最值【典例分析】【例2】對?x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范圍．【變式演練】【變式1】（2324高一上·浙江金華·期末）若對于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2】．若關(guān)于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．【變式3】（2022高一上·江蘇南京·專題練習(xí)）對于不等式與沒有共同解，求的取值范圍．題型03一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用【解題策略】利用不等式解決實(shí)際問題的一般步驟(1)選取合適的字母表示題目中的未知數(shù)．(2)由題目中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)．(3)求解所列出的不等式(組)．(4)結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案【典例分析】【例3】某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元的價(jià)格收購某農(nóng)產(chǎn)品，并每100元納稅10元(又稱征稅率為10個(gè)百分點(diǎn))，計(jì)劃可收購a萬擔(dān)．政府為了鼓勵(lì)收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x>0)個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測收購量可增加2x個(gè)百分點(diǎn)．(1)寫出降稅后稅收y(萬元)與x的關(guān)系式；(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計(jì)劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．【變式演練】【變式1】（2324高一上·河北滄州·階段練習(xí)）某商店購進(jìn)一批紀(jì)念章，每枚的最低售價(jià)為15元，若每枚按最低售價(jià)銷售，每天能賣出45枚，每枚售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少3枚，為了使這批紀(jì)念章每天獲得600元以上的銷售額，則這批紀(jì)念章的銷售單價(jià)（單位：元）的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】（2021高一·全國·課后作業(yè)）甲廠以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時(shí)可獲得利潤元．要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤不低于3000元，則x的最小值是．【變式3】（2324高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）2022年2月24日,俄烏爆發(fā)戰(zhàn)爭，至今戰(zhàn)火未熄.2023年10月7日巴以又爆發(fā)沖突.與以往戰(zhàn)爭不同的是，無人機(jī)在戰(zhàn)場中起到了偵察和情報(bào)收集，攻擊敵方目標(biāo)和反偵察等多種功能，扮演了重要的角色.某無人機(jī)企業(yè)原有200名科技人員，年人均工資萬元，現(xiàn)加大對無人機(jī)研發(fā)的投入，該企業(yè)把原有科技人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名且，調(diào)整后研發(fā)人員的年人均工資增加，技術(shù)人員的年人均工資調(diào)整為萬元.(1)若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前200名科技人員的年總工資，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人?(2)為了激勵(lì)研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在工資方面要同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①研發(fā)人員的年總工資始終不低于技術(shù)人員的年總工資;②技術(shù)人員的年人均工資始終不減少.請問是否存在這樣的實(shí)數(shù)，滿足以上兩個(gè)條件，若存在，求出的范圍;若不存在,說明理由.易錯(cuò)點(diǎn)認(rèn)為分式不等式與一元二次不等式等價(jià)致錯(cuò)[山東濰坊三縣2022期中聯(lián)考]若關(guān)于x的不等式eq\f(3x＋a,x－1)≤1的解集為[－eq\f(5,2)，1)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－6B．－eq\f(7,2)C.eq\f(3,2)D．4【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2324高一上·寧夏固原·階段練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C．或 D．或2．（2324高一上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2324高一上·北京東城·期中）已知不等式對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A． B．C． D．4．（2324高一上·北京·階段練習(xí)）某市有塊三角形荒地，如圖所示，（單位：米），現(xiàn)市政府要在荒地中開辟一塊矩形綠地，其中點(diǎn)分別在線段上，若要求綠地的面積不少于7500平方米，則的長度（單位：米）范圍是（

）

A． B． C． D．二、多選題5．（2324高一上·廣東·階段練習(xí)）若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．（2223高一上·全國·課后作業(yè)）有純農(nóng)藥液一桶，倒出8升后用水加滿，然后又倒出4升后再用水加滿，此時(shí)桶中所含的純農(nóng)藥藥液不超過桶的容積的，則桶的容積可能為（

）A．7 B．9 C．11 D．13三、填空題7．（2324高一上·上海寶山·期末）不等式的解集為.8．（2223高一上·四川綿陽·階段練習(xí)）某種襯衫進(jìn)貨價(jià)為每件元，若以元一件出售，則每天能賣出件；若每件提價(jià)元，則每天賣出件數(shù)將減少一件，為使每天出售襯衫的凈收入不低于元，則每件襯衫的售價(jià)的取值范圍是．(假設(shè)每件襯衫的售價(jià)是m)9．（2324高一上·上海青浦·期末）若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題10．（2324高一上·北京·期中）若二次函數(shù)滿足，且(1)確定函數(shù)的解析式；(2)若在區(qū)間上不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.11．（2324高一上·全國·課后作業(yè)）某縣地處水鄉(xiāng)，縣政府原計(jì)劃從今年起填湖圍造一部分生產(chǎn)和生活用地，但根據(jù)前幾年抗洪救災(zāi)得到的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)和環(huán)境保護(hù)、生態(tài)平衡的要求，準(zhǔn)備重新研究修改計(jì)劃，為了尋求合理的計(jì)劃，需要研究以下問題：(1)若按原計(jì)劃填湖造地，水面的減少必然導(dǎo)致蓄水能力的下降，為了保證防洪能力不會(huì)下降，除了填湖每平方千米b元費(fèi)用外，還需要增加排水設(shè)備費(fèi)用，且排水設(shè)備所需經(jīng)費(fèi)與當(dāng)年所填湖造地面積x（單位：平方千米）的平方成正比，其比例系數(shù)為a，又知每平方千米地面的年平均收益為c元（其中a，b，c均為常數(shù)），若按原計(jì)劃填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，試求所填面積x的最大值．(2)如果以每年1%的速度減少填湖造地的新增面積，并為了保證湖的蓄洪能力和環(huán)保要求，填湖造地的總面積三年內(nèi)不能超過現(xiàn)有水面面積的，求今年填湖造地的面積最多只能占現(xiàn)有水面的百分之幾．【能力提升】一、單選題1．（2223高二下·河南安陽·階段練習(xí)）某地每年消耗木材約20萬立方米，每立方米售價(jià)480元，為了減少木材消耗，決定按征收木材稅，這樣，每年的木材消耗量減少萬立方米，為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于180萬元，t的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2324高一上·浙江寧波·階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．（2324高一上·云南昆明·期中）命題：R，是假命題，則實(shí)數(shù)的值可能是（

）A． B．C． D．4．（2324高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集為R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2223高一上·全國·課后作業(yè)）某商場若將進(jìn)貨單價(jià)為元的商品按每件元出售，每天可銷售件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)來增加利潤．已知這種商品每件銷售價(jià)提高元，銷售量就要減少件．那么要保證每天所賺的利潤在元以上，每件銷售價(jià)可能為（

）A．元 B．元 C．元 D．元6．（2324高一上·安徽滁州·期中）已知不等式的解集為或，則（

）A．B．C．不等式的解集為D．不等式的解集為三、填空題7．（2324高一上·上?！て谥校┎坏仁降慕饧癁?8．（2324高一上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）不等式的解集為.9．（2324高一上·上海奉賢·期末）不等式的解集用區(qū)間表示為.四、解答題10．（2324高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）求關(guān)于x的不等式的解集：(1)已知集合，則求集合P；(2)設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)A與實(shí)數(shù)3對應(yīng)，點(diǎn)B與實(shí)數(shù)x對應(yīng)，已知線段AB的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不大于5，求x的取值范圍．11．（2324高一上·陜西西安·期末）某公司決定對旗下的某商品進(jìn)行一次評估，該商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件.(1)據(jù)市場調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和銷售策略調(diào)整，并提高定價(jià)到元.公司擬投入萬元作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)每件商品的定價(jià).【創(chuàng)新拓展】一、單選題1．（2324高一上·廣東深圳·期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2324高一上·河南開封·期末）已知集合，則（

）A． B．C． D．三、填空題3．（2324高一上·