安徽省合肥市高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的應用 3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點教案 新人教A版必修1

安徽省合肥市高中數(shù)學第三章函數(shù)的應用3.1.1方程的根與函數(shù)的零點教案新人教A版必修1主備人備課成員教學內(nèi)容《安徽省合肥市高中數(shù)學第三章函數(shù)的應用3.1.1方程的根與函數(shù)的零點》新人教A版必修1。本節(jié)內(nèi)容主要包括以下部分：

1.理解方程的根與函數(shù)的零點之間的關系；

2.學會運用函數(shù)的圖像分析方程的根的情況；

3.掌握零點存在定理，并能應用于實際問題的求解；

4.通過具體例題，培養(yǎng)學生的觀察能力、邏輯思維能力和解決問題的能力。

教學內(nèi)容緊密圍繞函數(shù)零點的概念，以及如何從函數(shù)圖像和零點存在定理的角度分析并解決實際問題，確保學生能夠掌握函數(shù)零點的基礎知識，為后續(xù)學習打下堅實基礎。核心素養(yǎng)目標1.培養(yǎng)學生運用數(shù)學語言和符號表達問題的能力，提高邏輯思維能力；

2.培養(yǎng)學生通過函數(shù)圖像分析問題，提升幾何直觀和空間想象能力；

3.培養(yǎng)學生運用零點存在定理解決問題的能力，增強數(shù)學運算和數(shù)學建模素養(yǎng)；

4.引導學生從實際情境中抽象出數(shù)學問題，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，提高解決實際問題的能力。學習者分析1.學生已經(jīng)掌握了函數(shù)的基本概念、圖像及其性質(zhì)，理解了函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等相關知識，為學習函數(shù)的零點奠定了基礎。

2.學生對數(shù)學學習的興趣參差不齊，部分學生對數(shù)學有較高的興趣和積極態(tài)度，具備一定的邏輯思維能力和探究精神；而另一部分學生可能對數(shù)學感到畏懼，需要引導和鼓勵。學生在小組合作中表現(xiàn)出不同的學習風格，有的擅長獨立思考，有的喜歡討論交流。

3.學生在學習函數(shù)零點時可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：難以理解方程的根與函數(shù)零點之間的關系；在分析函數(shù)圖像時，對關鍵點的判斷和把握不夠準確；應用零點存在定理解決問題時，可能會出現(xiàn)運算錯誤或理解不透的情況。針對這些困難，教師需要給予有針對性的指導和幫助。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學資源1.硬件資源：

-投影儀

-電子白板

-學生用計算機

2.軟件資源：

-數(shù)學教學軟件（如幾何畫板、Mathematica等）

-PowerPoint演示文稿

3.課程平臺：

-學校教學管理系統(tǒng)

-紙質(zhì)教材及配套練習冊

4.信息化資源：

-電子教材

-網(wǎng)絡教學資源（數(shù)學論壇、在線教育平臺等）

5.教學手段：

-小組合作學習

-探究式教學

-案例分析

-互動問答教學過程設計1.導入環(huán)節(jié)（5分鐘）

創(chuàng)設情境：以實際生活中的問題為例，如“某商品的價格與銷售量之間的關系”，引導學生思考價格與銷售量之間的函數(shù)關系。接著提出問題：“如何通過函數(shù)來確定商品的最佳售價？”激發(fā)學生的學習興趣和求知欲。

2.講授新課（20分鐘）

（1）回顧函數(shù)基本概念，引導學生理解方程的根與函數(shù)零點之間的關系。

（2）通過案例分析，講解函數(shù)圖像與零點的關系，使學生掌握如何從圖像角度分析零點。

（3）介紹零點存在定理，講解其應用方法，并結合具體例子進行分析。

（4）強調(diào)本節(jié)課的重點：理解方程的根與函數(shù)的零點之間的關系，掌握零點存在定理及其應用。

3.鞏固練習（10分鐘）

設計以下練習題，讓學生獨立完成，鞏固對新知識的理解和掌握。

（1）判斷以下方程有幾個實數(shù)根，并說明理由：

a.x^2-2x+1=0

b.x^2+2x+1=0

c.x^2-3x+2=0

（2）已知函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x-1，試分析其零點的個數(shù)。

（3）利用零點存在定理，求解方程2x^3-3x^2-5x+2=0的一個實數(shù)根。

4.課堂提問（5分鐘）

針對練習題中的難點和重點進行提問，了解學生對新知識的掌握情況。同時，鼓勵學生提問，解答他們在學習過程中遇到的困惑。

5.雙邊互動環(huán)節(jié)（5分鐘）

將學生分成小組，每組選擇一道練習題進行討論，分享解題思路和技巧。教師巡回指導，針對學生的討論給予及時反饋和引導。

6.核心素養(yǎng)能力拓展（5分鐘）

設計一道綜合性的問題，如“已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，求解函數(shù)的零點，并分析零點所在的區(qū)間”，要求學生運用所學知識解決問題，提高他們的邏輯思維能力和數(shù)學建模素養(yǎng)。

7.總結與反思（5分鐘）

教師引導學生總結本節(jié)課所學內(nèi)容，強調(diào)方程的根與函數(shù)的零點之間的關系，以及零點存在定理的應用。同時，鼓勵學生反思自己在學習過程中的收獲和不足，為下一節(jié)課的學習做好準備。

本教學過程設計緊扣實際教學過程中的重難點，注重師生互動，充分調(diào)動學生的學習積極性，培養(yǎng)他們的核心素養(yǎng)能力。整個教學過程用時45分鐘，符合實際學情。知識點梳理1.函數(shù)的零點定義：函數(shù)f(x)的零點是使得f(x)=0的x值，即f(x)在x軸上的交點。

2.方程的根與函數(shù)零點的關系：一元二次方程ax^2+bx+c=0的根就是對應二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的零點。

3.函數(shù)零點的判定定理：

-零點存在性定理：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一點c∈(a,b)，使得f(c)=0。

-零點的唯一性定理：若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)，且在(a,b)內(nèi)單調(diào)，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)零點唯一。

4.函數(shù)零點的求解方法：

-圖像法：通過分析函數(shù)圖像的走勢和與x軸的交點來確定零點的個數(shù)和位置。

-二分法：利用零點存在性定理，通過不斷二分區(qū)間來逼近零點。

-牛頓迭代法：利用函數(shù)的切線來逐步逼近零點。

5.函數(shù)零點在實際問題中的應用：

-求解實際問題的方程，如成本與收益平衡點、化學反應的平衡點等。

-確定函數(shù)的極值點，通過求解導數(shù)的零點來找到函數(shù)的極值。

6.零點的性質(zhì)：

-如果函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)且f(a)=0，則x=a是f(x)的一個零點。

-如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)且f(x)在I上變號，則根據(jù)零點存在性定理，f(x)在I內(nèi)至少有一個零點。

7.零點的判定定理在實際問題中的應用：

-確定函數(shù)零點所在的區(qū)間。

-估算零點的近似值。

8.函數(shù)零點的求解策略：

-觀察法：對于簡單的函數(shù)，可以通過直接觀察來確定零點。

-計算法：對于復雜的函數(shù)，可以利用計算工具（如計算器、計算機軟件）來求解零點。

本知識點梳理涵蓋了教材第三章3.1.1節(jié)的核心內(nèi)容，包括函數(shù)零點的定義、判定定理、求解方法以及在實際問題中的應用。這些知識點是理解和解決與函數(shù)零點相關問題的關鍵，對于學生的數(shù)學學習和解題能力提升具有重要意義。教學反思與改進在這節(jié)“方程的根與函數(shù)的零點”的教學中，我設計了多種教學活動，旨在幫助學生理解函數(shù)零點的概念及其與方程根之間的關系。課后，我認為有以下幾點需要反思和改進：

1.導入環(huán)節(jié)：我嘗試通過生活中的實際例子來激發(fā)學生的興趣，但感覺效果并不如預期。在今后的教學中，我需要更多地了解學生的興趣點和認知水平，選擇更貼近他們生活經(jīng)驗和認知水平的案例，以提高他們的學習興趣。

2.講授新課：在講解函數(shù)零點的判定定理和求解方法時，我發(fā)現(xiàn)部分學生對這些概念的理解仍然較為模糊。在以后的教學中，我需要更加注重學生的理解程度，及時調(diào)整教學節(jié)奏，增加與學生的互動，確保他們能夠真正掌握這些關鍵知識點。

3.鞏固練習：從學生的練習情況來看，他們在應用零點存在定理解決問題時仍存在一些困難。針對這一點，我計劃在未來的教學中增加一些典型例題的講解，讓學生通過實際操作和思考，更好地掌握零點存在定理的應用。

4.課堂提問：在課堂提問環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)部分學生回答問題時表現(xiàn)緊張，可能是因為害怕犯錯。為了營造一個輕松的學習氛圍，我將在以后的教學中更多地鼓勵學生，關注他們的優(yōu)點，培養(yǎng)他們的自信心。

5.雙邊互動環(huán)節(jié)：雖然我鼓勵學生進行小組討論，但仍有部分學生參與度不高。針對這個問題，我將在以后的教學中加強對小組討論的引導，確保每位學生都能積極參與，提高他們的合作能力。

改進措施：

1.針對導入環(huán)節(jié)，我將提前了解學生的興趣點和認知水平，選擇更具吸引力的案例進行導入。

2.在講授新課過程中，我將更加注重學生的理解程度，增加課堂提問和互動環(huán)節(jié)，及時了解他們的學習狀況。

3.針對鞏固練習，我將增加典型例題的講解，讓學生在實際操作中掌握零點存在定理的應用。

4.在課堂提問環(huán)節(jié)，我將給予學生更多的鼓勵和肯定，培養(yǎng)他們的自信心。

5.加強小組討論的引導，確保每位學生都能積極參與，提高雙邊互動環(huán)節(jié)的效果。重點題型整理題型一：求解函數(shù)零點

例題：已知函數(shù)f(x)=x^2-2x-3，求函數(shù)的零點。

解答：首先，將函數(shù)f(x)設置為0，即x^2-2x-3=0。通過因式分解，得到(x-3)(x+1)=0。解得x=3或x=-1。因此，函數(shù)f(x)的零點為x=3和x=-1。

題型二：利用零點存在性定理確定零點所在區(qū)間

例題：已知函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x-1在區(qū)間[1,2]上連續(xù)，判斷其零點所在的區(qū)間。

解答：計算f(1)和f(2)的值，f(1)=1^3-6*1^2+9*1-1=3，f(2)=2^3-6*2^2+9*2-1=-5。由于f(1)>0且f(2)<0，根據(jù)零點存在性定理，函數(shù)f(x)的零點存在于區(qū)間(1,2)內(nèi)。

題型三：利用零點求解實際問題

例題：某商品的成本函數(shù)為C(x)=3x+1000，銷售價格函數(shù)為P(x)=80-0.01x，其中x為銷售數(shù)量。求盈利平衡點的銷售數(shù)量。

解答：盈利平衡點即成本等于銷售收入，即C(x)=P(x)。將兩個函數(shù)相等，得到3x+1000=80-0.01x。解這個方程，得到x=2000。因此，銷售數(shù)量為2000時，商品達到盈利平衡點。

題型四：判斷函數(shù)零點的個數(shù)

例題：已知函數(shù)g(x)=x^3-3x^2+2x，判斷函數(shù)g(x)的零點個數(shù)。

解答：觀察函數(shù)g(x)的表達式，可以看出g(x)=x(x^2-3x+2)。通過因式分解，得到g(x)=x(x-1)(x-2)。因此，函數(shù)g(x)有三個零點，分別為x=0，x=1和x=2。

題型五：利用圖像分析函數(shù)零點

例題：已知函數(shù)h(x)=e^x/(x-1)，繪制函數(shù)圖像，并分析零點個數(shù)。

解答：通過繪制函數(shù)圖像，可以看出函數(shù)h(x)在x=1處有一個垂直漸近線。在x>1的區(qū)間內(nèi)，函數(shù)圖像從負無窮逐漸上升至0，然后變?yōu)檎?。因此，函?shù)h(x)在x=1的右側有一個零點。板書設計-函數(shù)零點定義：f(x)=0的解

-方程根與零點關系：一元二次方程的根即為對應函數(shù)的零點

2.零點存在性定理

-定理內(nèi)容：若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，f(a)與f(b)異號，則至少存在一點c∈(a,b)，使得