2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題。（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（3分）下列二次根式中，最簡二次根式是（）A． B． C． D．2．（3分）以下列長度的三條線段為邊，能組成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．，，2 C．6，8，10 D．1，，3．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．4．（3分）在?ABCD中，∠A：∠B＝2：3，則∠C的度數(shù)為（）A．36° B．72° C．108° D．144°5．（3分）如圖所示，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是（）A．﹣1 B．﹣+1 C．+1 D．6．（3分）下列結(jié)論中，不正確的是（）A．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 B．對角線相等的平行四邊形是矩形 C．正方形的一條對角線之長為4，則此正方形的面積是8 D．順次連接四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)所得的四邊形為菱形，則四邊形ABCD一定滿足AC⊥BD7．（3分）已知，若a，b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且a＜m＜b，則a+b的值為（）A．11 B．12 C．13 D．148．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣2，2），B（2，1），點(diǎn)P（x，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．結(jié)合圖形得出式子的最小值是（）A．3 B． C．5 D．二、填空題。（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分．）9．（3分）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．10．（3分）命題“如果m＝n，那么”的逆命題是命題（填“真”或“假”），用一組m，n的值說明你的判斷，這組m，n的值可以是m＝，n＝．11．（3分）《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為．12．（3分）如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)．若AD＝6，DE＝5，則CD的長等于．13．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點(diǎn)，AE＝AB，則∠EBC＝．14．（3分）圖1中的直角三角形斜邊長為4，將四個(gè)圖1中的直角三角形分別拼成如圖2所示的正方形，其中陰影部分的面積分別記為S1，S2，則S1+S2的值為．15．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在坐標(biāo)軸上，AB＝AC＝5，B（﹣3，0），點(diǎn)D在第一象限，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是．16．（3分）如圖，矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別與AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)BF交AC于點(diǎn)M，連結(jié)DE、BO．若∠COB＝60°，F(xiàn)O＝FC，則下列結(jié)論：①FB垂直平分OC；②DE＝EF；③△EOB≌△CMB；④S△AOE：S△BCM＝2：3．其中正確結(jié)論有（填序號(hào)）．三、解答題。（本大題共10個(gè)小題，第17題，第19-23題，每題各5分，18題4分，24-26每題各6分，共52分．）17．（5分）計(jì)算：．18．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上兩個(gè)點(diǎn)，且BE＝DF，證明：AE＝CF．19．（5分）下面是小東設(shè)計(jì)的“作矩形”的尺規(guī)作圖過程已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如圖，①作線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)O；②連接BO并延長，在延長線上截取OD＝OB③連接AD，CD所以四邊形ABCD即為所求作的矩形根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵OA＝，OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形（）（填推理的依據(jù)）．∵∠ABC＝90°，四邊形ABCD是矩形（）（填推理的依據(jù)）20．（5分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，設(shè)每個(gè)小正方形的邊長為1．以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫圖．（1）在圖1中，畫一個(gè)直角△ABC，使它的斜邊長為；（2）在圖2中，畫一個(gè)等腰△ABC，使它的底邊長為，腰長為5；（3）在圖3中，畫一個(gè)等腰直角△ABC，使它斜邊長為．21．（5分）在四邊形ABCD中，∠DCB＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，，求四邊形ABCD的面積．22．（5分）在學(xué)習(xí)了第18章特殊平行四邊形之后，老師給班級(jí)同學(xué)出了一道思考題．如圖，已知∠AOB，點(diǎn)C在射線OA上，點(diǎn)D，E在射線OB上，其中OC＝OD，四邊形CEDF是平行四邊形，請只用無刻度的直尺畫出菱形CODN，并說明理由．小明經(jīng)過思考后，給出了自己的作法：①連接CD，EF，相交于點(diǎn)M；②連接OM并延長交CF的延長線于點(diǎn)N；③連接DN，四邊形CODN即為所求作的菱形．根據(jù)小明的設(shè)計(jì)，完成下面問題：（1）補(bǔ)全圖形；（2）證明四邊形CODN為菱形；（3）若，∠AOB＝60°，求ON的長．23．（5分）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，DE∥BC．求證：點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．24．（6分）（1）觀察，計(jì)算，判斷：（只填寫符號(hào)：＞，＜，＝）①當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，；②當(dāng)a＝2，b＝2時(shí)，；③當(dāng)a＝3，b＝2時(shí)，；…（2）根據(jù)第（1）問，當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，判斷與的數(shù)量關(guān)系并證明．（提示：）（3）實(shí)踐應(yīng)用：要制作面積為2平方米的長方形畫框，利用第（2）問證明得出的結(jié)論直接寫出畫框周長的最小值為．25．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2．給出如下定義：若一個(gè)矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且MN是它的一條對角線，則稱這個(gè)矩形是MN的“非常矩形”，如圖1，點(diǎn)M（1，1）和點(diǎn)N（4，3），它們的“非常矩形”是矩形MPNQ．（1）在點(diǎn)A（1，2），B（1，﹣1），C（﹣2，2）中，與點(diǎn)O構(gòu)成的“非常矩形”的周長是6的點(diǎn)是；（2）若在第一象限有一點(diǎn)T（x，y）與點(diǎn)（0，﹣1）構(gòu)成的“非常矩形”，且它的周長是8，求x，y滿足的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2，等邊△DEF的邊DE在x軸上，頂點(diǎn)F在y軸的正半軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，3），若在△DEF的邊上存在一點(diǎn)H，使得點(diǎn)G，H的“非常矩形”為正方形，請直接寫出a的取值范圍．26．（6分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M在CD邊上，點(diǎn)N在正方形ABCD外部，且滿足∠CMN＝90°，CM＝MN．連接AN，CN，取AN的中點(diǎn)E，連接BE，AC，交于F點(diǎn)．（1）依題意補(bǔ)全圖形1，則∠CBE的度數(shù)為（直接寫出答案）；（2）請?zhí)骄烤€段BE，AD，CN所滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AB＝2，若點(diǎn)M沿著線段CD從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，則在該運(yùn)動(dòng)過程中，線段EN所掃過的面積為（直接寫出答案）．

2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題。（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（3分）下列二次根式中，最簡二次根式是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義（二次根式的被開方數(shù)中不含有分母，且不存在開方開得盡的因數(shù)或因式）解決此題．【解答】解：A．根據(jù)最簡二次根式的定義，，得不是最簡二次根式，那么A不符合題意．B．根據(jù)最簡二次根式的定義，是最簡二次根式，那么B符合題意．C．根據(jù)最簡二次根式的定義，被開方數(shù)含有字母，不是最簡二次根式，那么C不符合題意．D．根據(jù)最簡二次根式的定義，被開方數(shù)是小數(shù)，不是最簡二次根式，那么D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解決本題的關(guān)鍵．2．（3分）以下列長度的三條線段為邊，能組成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．，，2 C．6，8，10 D．1，，【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：A、∵22+32＝4+9＝13，42＝16，∴22+32≠42，∴以三條線段2，3，4為邊不能組成直角三角形，故A不符合題意；B、∵（）2+（）2＝2+3＝5，22＝4，∴（）2+（）2≠22，∴以三條線段，，2為邊不能組成直角三角形，故B不符合題意；C、∵62+82＝36+64＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴以三條線段6，8，10為邊能組成直角三角形，故C符合題意；D、∵12+（）2＝1+2＝3，（）2＝5，∴12+（）2≠（）2，∴以三條線段1，，為邊不能組成直角三角形，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．3．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的加法，減法，乘法，除法法則進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、與不能合并，故A不符合題意；B、3﹣＝2，故B不符合題意；C、×＝，故C符合題意；D、÷＝，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．（3分）在?ABCD中，∠A：∠B＝2：3，則∠C的度數(shù)為（）A．36° B．72° C．108° D．144°【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，即可求∠C的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C．∵∠A：∠B＝2：3∴∠B＝∠A．∴∠A+∠A＝180°．解得：∠A＝72°，∠B＝108°．∴∠C＝∠A＝72°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖所示，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是（）A．﹣1 B．﹣+1 C．+1 D．【分析】首先計(jì)算出直角三角形斜邊的長，然后再確定a的值．【解答】解：∵＝，∴a＝﹣1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，關(guān)鍵是利用勾股定理計(jì)算出直角三角形斜邊長．6．（3分）下列結(jié)論中，不正確的是（）A．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 B．對角線相等的平行四邊形是矩形 C．正方形的一條對角線之長為4，則此正方形的面積是8 D．順次連接四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)所得的四邊形為菱形，則四邊形ABCD一定滿足AC⊥BD【分析】根據(jù)四邊形的判定及性質(zhì)一一分析判斷．【解答】解：A．對角線互相垂直的四邊形是菱形，故本選項(xiàng)的結(jié)論正確，不符合題意；B．對角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項(xiàng)的結(jié)論正確，不符合題意；C．正方形的一條對角線之長為4，則其邊長為2，則此正方形的面積是8，故本選項(xiàng)的結(jié)論正確，不符合題意；D．順次連接四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)所得的四邊形為菱形，則四邊形ABCD一定滿足AC＝BD，故本選項(xiàng)的結(jié)論不正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了各種四邊形的相關(guān)判定和性質(zhì)，從角、邊、對角線的角度進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．7．（3分）已知，若a，b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且a＜m＜b，則a+b的值為（）A．11 B．12 C．13 D．14【分析】先根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算求出m的值，然后根據(jù)完全平方數(shù)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：＝＝2，∵36＜40＜49，∴6＜＜7，∴6＜2＜7，∵6＜m＜7，∵a，b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且a＜m＜b，∴a＝6，b＝7，∴a+b＝6+7＝13，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估算無理數(shù)的大小，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣2，2），B（2，1），點(diǎn)P（x，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．結(jié)合圖形得出式子的最小值是（）A．3 B． C．5 D．【分析】所求式子表示點(diǎn)P（x，0）到兩點(diǎn)A（﹣2，2），B（2，1）距離之和，因此將問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題即可．【解答】解：設(shè)P（x，0），∵A（﹣2，2），B（2，1），∴表示PA+PB，∵點(diǎn)B（2，1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′（2，﹣1），∴PA+PB的最小值為AB′＝＝5，即的最小值為5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查最短路徑問題，涉及軸對稱，勾股定理．看出所給式子是點(diǎn)P（x，0）到兩點(diǎn)A（﹣2，2），B（2，1）距離之和是解題的關(guān)鍵．二、填空題。（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分．）9．（3分）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是x≥﹣1．【分析】根據(jù)二次根式的定義可知被開方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)，列不等式求解．【解答】解：根據(jù)題意得：x+1≥0，解得x≥﹣1，故答案為：x≥﹣1．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義．10．（3分）命題“如果m＝n，那么”的逆命題是假命題（填“真”或“假”），用一組m，n的值說明你的判斷，這組m，n的值可以是m＝﹣1，n＝1．【分析】根據(jù)假命題的定義、二次根式的性質(zhì)與化簡解決此題．【解答】解：命題“如果m＝n，那么”的逆命題是“如果，則m＝n”是假命題．如：當(dāng)m＝﹣1，n＝1，此時(shí)，但m≠n．故答案為：假，﹣1，1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查假命題、二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握假命題的定義、二次根式的性質(zhì)與化簡是解決本題的關(guān)鍵．11．（3分）《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為x2+62＝（10﹣x）2．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，再利用勾股定理列出方程即可．【解答】解：如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則AB＝10﹣x，BC＝6，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2．故答案為：x2+62＝（10﹣x）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．12．（3分）如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)．若AD＝6，DE＝5，則CD的長等于8．【分析】由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AC＝2DE＝10，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理來求線段CD的長即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴△ADC是直角三角形，∵E是AC的中點(diǎn)，DE＝5，∴AC＝10．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，根據(jù)勾股定理得：CD＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線．利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求得AC的長是解題的關(guān)鍵．13．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點(diǎn)，AE＝AB，則∠EBC＝22.5°．【分析】由AB＝AE，在正方形中可知∠BAC＝45°，進(jìn)而求出∠ABE，又知∠ABE+∠ECB＝90°，故能求出∠EBC．【解答】解：∵正方形ABCD中，E是對角線AC上一點(diǎn)，∴∠BAC＝45°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，∵∠ABE+∠ECB＝90°，∴∠EBC＝22.5°，故答案為22.5°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的對角線平分對角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確求出∠ABE的度數(shù)．14．（3分）圖1中的直角三角形斜邊長為4，將四個(gè)圖1中的直角三角形分別拼成如圖2所示的正方形，其中陰影部分的面積分別記為S1，S2，則S1+S2的值為16．【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，∵△ABC是直角三角形，∴S1+S2＝BC2+AC2＝AB2＝42＝16，故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在坐標(biāo)軸上，AB＝AC＝5，B（﹣3，0），點(diǎn)D在第一象限，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（6，4）．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BO＝OC，再利用平行四邊形的對邊相等解答即可．【解答】解：∵AB＝AC＝5，OA⊥BC，∴BO＝OC＝3，∴BC＝6，OA＝4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝6，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，4），故答案為：（6，4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，同時(shí)考查了坐標(biāo)與圖形特點(diǎn)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BO＝OC解答．16．（3分）如圖，矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別與AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)BF交AC于點(diǎn)M，連結(jié)DE、BO．若∠COB＝60°，F(xiàn)O＝FC，則下列結(jié)論：①FB垂直平分OC；②DE＝EF；③△EOB≌△CMB；④S△AOE：S△BCM＝2：3．其中正確結(jié)論有①②④（填序號(hào)）．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB∥CD，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得OB＝OC，根據(jù)FO＝FC，即可判斷①選項(xiàng)；先證明△OBF≌△CBF（SSS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠CBF＝∠OBF，∠CFB＝∠OFB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)一步可知OB垂直平分EF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DE＝DF，進(jìn)一步可知△DFE是等邊三角形，即可判斷②選項(xiàng)；根據(jù)OB＝CB≠M(fèi)B，即可判斷③選項(xiàng)；先證明△AOE≌△COF（SAS），可知S△AOE＝S△COF，設(shè)FM＝x，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，可得BM＝3x，根據(jù)，，可得S△CMF：S△BMC＝FM：BM＝1：3，進(jìn)一步即可判斷④選項(xiàng)．【解答】解：在矩形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB∥CD，∵O為AC的中點(diǎn)，∴OB＝OC，∵∠COB＝60°，∴△BOC是等邊三角形，∴BO＝BC，∵FO＝FC，∴FB垂直平分OC，故①符合題意；在△OBF和△CBF中，，∴△OBF≌△CBF（SSS），∴∠CBF＝∠OBF，∠CFB＝∠OFB，在等邊△BOC中，∠CBO＝60°，∴∠CBF＝∠OBF＝30°，∴∠OFB＝∠CFB＝60°，∴∠DFE＝60°，∵∠OBA＝∠ABC﹣∠OBC＝30°，∴∠EBF＝60°，∴∠FEB＝60°，∴△BEF是等邊三角形，∵∠FBO＝∠EBO＝30°，∴BO平分∠EBF，∴OB⊥EF，OF＝OE，∴OB垂直平分EF，如圖，連接OD，在矩形ABCD中，O為AC的中點(diǎn)，∴D，O，B三點(diǎn)在同一直線上，∴D在線段EF的垂直平分線上，∴DF＝DE，∵∠DFE＝60°，∴△DFE是等邊三角形，∴DE＝EF，故②符合題意；∵OB＝CB≠M(fèi)B，∴△EOB不全等于△CMB，故③不符合題意；在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（SAS），∴S△AOE＝S△COF，∵FB垂直平分OC，∴S△COF＝2S△CMF，設(shè)FM＝x，∵∠CMF＝90°，∠FCM＝30°，∴FC＝2FM＝2x，∵∠BCD＝90°，∠CBF＝30°，∴BF＝2CF＝4x，∴BM＝BF﹣FM＝3x，∵，，∴S△CMF：S△BMC＝FM：BM＝1：3，∴S△AOE：S△BCM＝2：3，故④符合題意，綜上所述，正確的結(jié)論有①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．三、解答題。（本大題共10個(gè)小題，第17題，第19-23題，每題各5分，18題4分，24-26每題各6分，共52分．）17．（5分）計(jì)算：．【分析】首先計(jì)算零指數(shù)冪、開平方和絕對值，然后計(jì)算乘法，最后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可．【解答】解：＝2﹣+2﹣6×﹣1＝2﹣+2﹣3﹣1＝1﹣2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．18．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上兩個(gè)點(diǎn)，且BE＝DF，證明：AE＝CF．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，AB＝CD，由“SAS”可證△ABE≌△CDF，可得結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．19．（5分）下面是小東設(shè)計(jì)的“作矩形”的尺規(guī)作圖過程已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如圖，①作線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)O；②連接BO并延長，在延長線上截取OD＝OB③連接AD，CD所以四邊形ABCD即為所求作的矩形根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵OA＝OC，OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）．∵∠ABC＝90°，四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）（填推理的依據(jù)）【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可判斷．【解答】解：（1）如圖，矩形ABCD即為所求．（2）：∵OA＝OC，OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），∵∠ABC＝90°，四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）故答案為：OA＝OC，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．20．（5分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，設(shè)每個(gè)小正方形的邊長為1．以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫圖．（1）在圖1中，畫一個(gè)直角△ABC，使它的斜邊長為；（2）在圖2中，畫一個(gè)等腰△ABC，使它的底邊長為，腰長為5；（3）在圖3中，畫一個(gè)等腰直角△ABC，使它斜邊長為．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的定義以及題目要求畫出圖形即可；（2）根據(jù)等腰三角形的定義以及題目要求畫出圖形即可；（3）根據(jù)等腰直角三角形的定義以及題目要求畫出圖形即可；【解答】解：（1）如圖1中，△ABC即為所求；（2）如圖2中，△ABC即為所求；（3）如圖3中，△ABC即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．21．（5分）在四邊形ABCD中，∠DCB＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，，求四邊形ABCD的面積．【分析】先作輔助線，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，可以得到CE和BE的長，再根據(jù)S四邊形ABCD＝S△EAB﹣S△EDC，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【解答】解：延長AD，與BC的延長線于點(diǎn)E，∵∠DCB＝135°，∠ADC＝90°，∴∠DCE＝45°，∠EDC＝90°，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴DE＝DC，∵BC＝1，，∴DE＝，∴CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝1+2＝3，∵∠B＝90°，∠E＝45°，∴∠A＝∠E＝45°，∴AB＝BE＝3，∴S四邊形ABCD＝S△EAB﹣S△EDC＝＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．22．（5分）在學(xué)習(xí)了第18章特殊平行四邊形之后，老師給班級(jí)同學(xué)出了一道思考題．如圖，已知∠AOB，點(diǎn)C在射線OA上，點(diǎn)D，E在射線OB上，其中OC＝OD，四邊形CEDF是平行四邊形，請只用無刻度的直尺畫出菱形CODN，并說明理由．小明經(jīng)過思考后，給出了自己的作法：①連接CD，EF，相交于點(diǎn)M；②連接OM并延長交CF的延長線于點(diǎn)N；③連接DN，四邊形CODN即為所求作的菱形．根據(jù)小明的設(shè)計(jì)，完成下面問題：（1）補(bǔ)全圖形；（2）證明四邊形CODN為菱形；（3）若，∠AOB＝60°，求ON的長．【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形；（2）根據(jù)對角線垂直的平行四邊形是菱形證明即可；（3）求出OM，可得結(jié)論．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵四邊形CEDF是平行四邊形，∴CM＝DM，CN∥OD，∴∠CNM＝∠DOM，在△CMN和△DMO中，，∴△CMN≌△DMO（AAS），∴MN＝OM，∵CM＝DM，∴四邊形CODN是平行四邊形，∵OC＝OD，CM＝DM，∴ON⊥CD，∴四邊形CODN是菱形；（3）解：∵四邊形CODN是菱形，∴∠COM＝∠DOM＝30°，∴OM＝OC?cos30°＝2×＝3，∴ON＝2OM＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，菱形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．23．（5分）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，DE∥BC．求證：點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．【分析】延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接CF，首先證明△ADE≌△CFE（SAS），得AD＝CF，∠A＝∠FCE，然后證明四邊形BCFD是平行四邊形，進(jìn)而可以解決問題．【解答】證明：如圖，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接CF，∵E是AC的中點(diǎn)，∴AE＝EC，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD＝CF，∠A＝∠FCE，∴AB∥CF，∵DE∥BC，∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴BD＝CF，∴AD＝BD，∴點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．24．（6分）（1）觀察，計(jì)算，判斷：（只填寫符號(hào)：＞，＜，＝）①當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，＞；②當(dāng)a＝2，b＝2時(shí)，＝；③當(dāng)a＝3，b＝2時(shí)，＞；…（2）根據(jù)第（1）問，當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，判斷與的數(shù)量關(guān)系并證明．（提示：）（3）實(shí)踐應(yīng)用：要制作面積為2平方米的長方形畫框，利用第（2）問證明得出的結(jié)論直接寫出畫框周長的最小值為4米．【分析】（1）把各組a、b的值分別代入和中計(jì)算可判斷它們的大小公式；（2）由于（）2≥0，然后利用完全平方公式展開，變形后可得到≥；（3）設(shè)長方形的長寬分別為xm，ym，則xy＝2，利用（2）中的結(jié)論得到≥，則2（x+y）≥4，然后可確定鏡框周長的最小值．【解答】解：（1）當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，＝，＝，則＞；②當(dāng)a＝2，b＝2時(shí)，＝2，＝2，則＝；③當(dāng)a＝3，b＝2時(shí)，＝，＝，則＞；故答案為：＞，＝，＞；（2）≥；理由如下：∵（）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，∴≥；故答案為：≥；（3）設(shè)長方形的長為xm，寬是ym，則xy＝2，∵≥，∴x+y≥，∴2（x+y）≥4，即鏡框周長的最小值為4米．故答案為：4米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，先把二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．25．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2．給出如下定義：若一個(gè)矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且MN是它的一條對角線，則稱這個(gè)矩形是MN的“非常矩形”，如圖1，點(diǎn)M（1，1）和點(diǎn)N（4，3），它們的“非常矩形”是矩形MPNQ．（1）在點(diǎn)A（1，2），B（1，﹣1），C（﹣2，2）中，與點(diǎn)O構(gòu)成的“非常矩形”的周長是6的點(diǎn)是A；（2）若在第一象限有一點(diǎn)T（x，y）與點(diǎn)（0，﹣1）構(gòu)成的“非常矩形”，且它的周長是8，求x，y滿足的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2，等邊△DEF的邊DE在x軸上，頂點(diǎn)F在y軸的正半軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，3），若在△DEF的邊上存在一點(diǎn)H，使得點(diǎn)G，H的“非常矩形”為正方形，請直接寫出a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)“非常矩形”的定義，即可求解；（2）根據(jù)“非常矩形”的定義，即可求解；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得DF＝EF，可得當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)F重合時(shí)，正方形的周長最小；當(dāng)H與點(diǎn)E重合，點(diǎn)G位于G1的位置時(shí)，a取最小值；當(dāng)H與點(diǎn)D重合，點(diǎn)G位于G2的位置時(shí)，a取最大值，即可求解．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（1，2），∴與O構(gòu)成的“非常矩形”的周長為2×（1+2）＝6，符合題意；∵點(diǎn)B（1，﹣1），∴與O構(gòu)成的“非常矩形”的周長為2×（1+1）＝4，不符合題意；∵點(diǎn)C（﹣2，2），∴與O構(gòu)成的“非常矩形”的周長為2×（2+2）＝8，不符合題意；故答案為：A；（2）∵在第一象限有一點(diǎn)T（x，y）與點(diǎn)O構(gòu)成的“非常矩形”，且它的周長是8，∴2（x+y）＝8，∴x+y＝4；（3）∵△DEF是等邊三角形，∴DE＝DF＝EF，∵OF⊥DE，∴OD＝OE，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0），∴DE＝2OD＝2，∴DF＝EF＝2，∴OF＝＝，∵點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，3），∴點(diǎn)G在平行于x軸的直線上，設(shè)該直線交y軸于點(diǎn)K，∴OK＝3，∴KF＝3﹣，當(dāng)H與點(diǎn)E重合，點(diǎn)G位于G1的位置時(shí)，a取最小值，此時(shí)正方形的邊長為3，∴G1K＝3+1＝4，即a＝﹣4；當(dāng)H與點(diǎn)D重合