概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

§4.1數(shù)學(xué)期望引例某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，質(zhì)檢員每天對產(chǎn)品進(jìn)行檢查，以下是五月份產(chǎn)品的檢驗結(jié)果，求這個月的平均次品數(shù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計平均次品數(shù)0件次品出現(xiàn)的天數(shù)總的天數(shù)（0件次品）發(fā)生的頻率（0件次品）發(fā)生的概率近似于概率論與數(shù)理統(tǒng)計加權(quán)平均，數(shù)學(xué)期望的概念源于此。設(shè)表示每天出現(xiàn)的次品數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為：若無窮級數(shù)數(shù)學(xué)期望，記作E(X),即絕對收斂,則稱其為X的例已知隨機(jī)變量X的分布律如下。求E(X).X2349p1/85/81/81/8解概率論與數(shù)理統(tǒng)計例

已知隨機(jī)變量。求E(X).解概率論與數(shù)理統(tǒng)計

概率論與數(shù)理統(tǒng)計到站時刻

8:108:308:509:109:309:50

概率

1/63/62/6一旅客8:20到車站,求他候車時間的數(shù)學(xué)期望.例

按規(guī)定,某車站每天8:00~9:00和9:00~10:00

都恰有一輛客車到站,但到站時刻是隨機(jī)的,且兩者到站的時間相互獨(dú)立。其規(guī)律為：概率論與數(shù)理統(tǒng)計X1030507090

到站時刻

8:108:308:509:109:309:50

概率

1/63/62/6解：設(shè)旅客的候車時間為X（以分計），其分布律為概率論與數(shù)理統(tǒng)計

例一種常見的賭博游戲,其規(guī)則為:投擲一顆均勻的骰子，賭客猜精確的骰子點數(shù),凡猜中者以1比5得到獎金,否則其押金歸莊家所有,問此規(guī)則對莊家還是賭客更有利?解：不妨設(shè)一賭徒押了10元,X為賭徒最終輸贏數(shù)，顯然結(jié)果對莊家更有利！賭徒最終平均輸贏為即分布律為概率論與數(shù)理統(tǒng)計連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（或均值），記為E(X)。即的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望定義:設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，若積分絕對收斂,則稱積分例設(shè)X～U(a,b),求E(X)。解

X的概率密度為：

X的數(shù)學(xué)期望為：

概率論與數(shù)理統(tǒng)計例

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,求E(X).解

X的概率密度為所以,E(X)=概率論與數(shù)理統(tǒng)計例

X~N(,2),求E(X)

.奇函數(shù)解

概率論與數(shù)理統(tǒng)計例設(shè)隨機(jī)變X

的概率密度為求E(X

).解概率論與數(shù)理統(tǒng)計隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布,如何計算X的某個函數(shù)g(X)的期望？一種方法是，求出g(X)的分布，然后按照期望的定義把E[g(X)]計算出來.使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布,一般是比較復(fù)雜的.(1)當(dāng)X為離散型時,它的分布律為P(X=xk)=pk,定理:

設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù):Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))概率論與數(shù)理統(tǒng)計(2)當(dāng)X為連續(xù)型時,它的密度函數(shù)為f(x),若概率論與數(shù)理統(tǒng)計例

設(shè)隨機(jī)變量的分布律為

求

解

概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計例

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)求：（1）常數(shù)；（2）解（1）由概率密度函數(shù)的性質(zhì)有概率論與數(shù)理統(tǒng)計（2）概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計X

13P

3/41/4X103/83/8031/8001/8Y0123解:例（X,Y）的分布列為

概率論與數(shù)理統(tǒng)計Y

0123P

1/83/83/81/8概率論與數(shù)理統(tǒng)計例

設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為：

概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計X=1X=1概率論與數(shù)理統(tǒng)計數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及應(yīng)用推廣：（1）設(shè)C是常數(shù)，則

.（2）設(shè)為一隨機(jī)變量，C為常數(shù)，則有

（3）設(shè)為兩個隨機(jī)變量，則有相互獨(dú)立時推廣：概率論與數(shù)理統(tǒng)計（4）若為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有現(xiàn)就連續(xù)型證下面兩條：

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度、邊緣概率密度分別為

由隨機(jī)變量函數(shù)的期望得:概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計

由相互獨(dú)立得:解例且X,Y,Z相互獨(dú)立,求隨機(jī)變量W

2X+3Y

4Z

1

的數(shù)學(xué)期望.設(shè)隨機(jī)變量X~N

0,1

,Y~U

0,1,

Z~B

5,0.5

,概率論與數(shù)理統(tǒng)計=

np.因為:

P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以:

E(X)=E(Xi)==p例

求二項分布的數(shù)學(xué)期望.解設(shè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計則:

X=X1+X2+…+Xn，其中例

假定在國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量(單位:噸),它服[2000，4000]均勻分布，設(shè)每售出這種商品一噸可為國家掙得外匯3萬元，但假如銷售不出而積于倉庫，則每噸需浪費(fèi)保養(yǎng)費(fèi)1萬元，求應(yīng)組織多少貨源，才能使國家的收益最大.概率論與數(shù)理統(tǒng)計解隨機(jī)變量的概密度函數(shù)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計