2024-2025新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測(cè)26等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式含解析蘇教版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE5等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．(多選)在等差數(shù)列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，則a1等于()A．－1 B．3C．5 D．7解析：選AB由題意知a1＋(n－1)×2＝11，①Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)×2＝35，②由①②解得a1＝3或－1.2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S8＝16，a6＝1，則數(shù)列{an}的公差為()A.eq\f(3,2) B．－eq\f(3,2)C.eq\f(2,3) D．－eq\f(2,3)解析：選D設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S8＝16，a6＝1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S8＝8a1＋\f(8×7,2)d＝16，,a6＝a1＋5d＝1，))解得a1＝eq\f(13,3)，d＝－eq\f(2,3)，故數(shù)列{an}的公差為－eq\f(2,3).3．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，則n等于()A．10 B．15C．20 D．30解析：選C因?yàn)镾n＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d＝10n＋eq\f(1,2)n(n－1)×2＝n2＋9n，所以n2＋9n＝580，解得n＝20或n＝－29(舍)．4．設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項(xiàng)和．若S10＝S11，則a1等于()A．18 B．20C．22 D．24解析：選B由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.5．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，則使得an>0的最小正整數(shù)n為()A．7 B．8C．9 D．10解析：選B由S13＝eq\f(13（a1＋a13）,2)＝0，得a13＝12，則a1＋12d＝12，得d＝2，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整數(shù)n為8.6．已知{an}是等差數(shù)列，a4＋a6＝6，其前5項(xiàng)和S5＝10，則其公差d＝________．解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①S5＝5a1＋eq\f(1,2)×5×(5－1)d＝10，②由①②聯(lián)立解得a1＝1，d＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝________．解析：因?yàn)镾k＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5.答案：58．《張邱建算經(jīng)》卷上第22題為：今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第1天織5尺布，現(xiàn)在一月(按30天計(jì))共織390尺布，則每天比前一天多織________尺布(不作近似計(jì)算)．解析：由題意知，該女每天的織布尺數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{an}，其中a1＝5，S30＝390，設(shè)其公差為d，則S30＝30×5＋eq\f(30×29,2)d＝390，解得d＝eq\f(16,29).故該女子織布每天增加eq\f(16,29)尺．答案：eq\f(16,29)9．等差數(shù)列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若Sn＝242，求n.解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a10＝a1＋9d＝30，,a20＝a1＋19d＝50，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝2，))∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋eq\f(n（n－1）,2)×2，整理得n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.10．已知{an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S7＝7，S15＝75，求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n項(xiàng)和Tn.解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.∵S7＝7，S15＝75，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7a1＋21d＝7，,15a1＋105d＝75，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝1，,a1＋7d＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝1，))∴eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝－2＋eq\f(n－1,2)，∴eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差數(shù)列，且其首項(xiàng)為－2，公差為eq\f(1,2).∴Tn＝eq\f(1,4)n2－eq\f(9,4)n.[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．(多選)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，下列選項(xiàng)中可能是Sn的圖象的是()解析：選ABC因?yàn)镾n是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，所以Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù)，n∈N*)，則其對(duì)應(yīng)函數(shù)為y＝ax2＋bx.當(dāng)a＝0時(shí)，該函數(shù)的圖象是過原點(diǎn)的直線上一些孤立的點(diǎn)，如選項(xiàng)C；當(dāng)a≠0時(shí)，該函數(shù)的圖象是過原點(diǎn)的拋物線上一些孤立的點(diǎn)，如選項(xiàng)A，B；選項(xiàng)D中的曲線不過原點(diǎn)，不符合題意．12．(多選)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S7＝a4，則()A．a(chǎn)1＋a3＝0 B．a(chǎn)3＋a5＝0C．S3＝S4 D．S4＝S5解析：選BC因?yàn)镾7＝a4，所以7a1＋eq\f(7×6,2)d＝a1＋3d，即a1＋3d＝0，所以a4＝0，故C正確，D錯(cuò)誤；又a3＋a5＝a1＋2d＋a1＋4d＝2(a1＋3d)＝0，所以B正確；而a1＋a3＝a1＋a1＋2d＝2a1＋2d≠0，故A不正確．13．等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n＋1，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前10項(xiàng)和為________．解析：因?yàn)閍n＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝eq\f(n（3＋2n＋1）,2)＝n2＋2n，所以eq\f(Sn,n)＝n＋2，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是公差為1，首項(xiàng)為3的等差數(shù)列，所以前10項(xiàng)和為3×10＋eq\f(10×9,2)×1＝75.答案：7514．若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝13，d＝－4，記Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解：∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.當(dāng)n≤4時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝13n＋eq\f(n（n－1）,2)×(－4)＝15n－2n2；當(dāng)n≥5時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×eq\f(（13＋1）×4,2)－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n.∴Tn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15n－2n2，n≤4，n∈N*，,2n2－15n＋56，n≥5，n∈N*.))[C級(jí)拓展探究]15．在編號(hào)為1～9的九個(gè)盒子中，共放有351粒米，已知每個(gè)盒子都比它前一號(hào)盒子多放同樣粒數(shù)的米．(1)假如1號(hào)盒子內(nèi)放了11粒米，那么后面的盒子比它前一號(hào)的盒子多放幾粒米？(2)假如3號(hào)盒子內(nèi)放了23粒米，那么后面的盒子比它前一號(hào)的盒子多放幾粒米？解：設(shè)編號(hào)為1～9的九個(gè)盒子中分別放a1，a2，a3，…，a9粒米，則數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列．(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S9＝351，,a1＝11，))即9a1＋eq\f(9×8,2)d＝351，解得d＝7