高中數(shù)學(xué)新教材人教A版選擇性必修培優(yōu)練習(xí)：14 圓錐曲線的綜合問(wèn)題（學(xué)生版+解析版）

專題14圓錐曲線的綜合問(wèn)題

一、單選題

1.（2020?全國(guó)高三月考（文））若拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是雙曲線二——2L=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則

3PP

p=（）

A.2B.4C.8D.16

2.（2020?寧夏回族自治區(qū)銀川一中高三二模（理））拋物線y。=ax（a>0）的準(zhǔn)線與雙曲線C：?-?=1的

兩條漸近線所圍成的三角形面積為2在，則a的值為（）

A.8B.6C.4D.2

3.（2。19?甘肅省會(huì)寧縣第四中學(xué)高二期末）橢圓總+?=1與雙曲線尸一?=1有公共點(diǎn)尸,則尸與雙曲

線兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成三角形的面積為（）

A.48B.24C.224、，”D.12V3

4.（2019?湖北省高二期中）若如zW0,則方程如一,+〃=。與nx?+加,2=相〃所表示的曲線可能是圖中

的()

5.（2019?黑龍江省哈爾濱三中高二期中（文））以拋物線爐=8y的焦點(diǎn)為圓心，、后為半徑的圓，與直線

2%+y+m=0相切，則根=()

A.1或一9B.一1或9C.3或-7D.-3或7

22

6.（2019?河南省包屯高中高二期末）已知方程，+工=1的曲線為C,下面四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)是

4Tt-1

①當(dāng)1<I<4時(shí)，曲線C不一定是橢圓；

②當(dāng)/>4或f<l時(shí)，曲線C一定是雙曲線；

③若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，貝心</<?；

2

④若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，貝U〉4.

A.1B.2C.3D.4

22

7.（2020?北京人大附中高二期中）已知拋物線尤2=2py（p>0）的準(zhǔn)線被雙曲線^--匕=1截得的弦長(zhǎng)為6,

32

則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.B,（0,32）C.錯(cuò)］D.（0,2）

22

8.（2020?湖北省高三其他（文））己知拋物線丁=4&x的準(zhǔn)線與雙曲線j-1=1的兩條漸近線分別交

ab

于A,8兩點(diǎn)若雙曲線的離心率是孚，那么|AB|=（）

4f—2出

A.2B.-C.72D.

222

9.（2019?平遙縣第二中學(xué)校高二月考）設(shè)橢圓L+2L=1和雙曲線土—y2=i的公共焦點(diǎn)為耳，鳥(niǎo),p是

623

兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則cosN耳尸耳的值等于

10.（2019?福建省高三一模（理））如圖，點(diǎn)F是拋物線C：爐=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)4B分別在拋物線C和圓

爐+（〉，一1/=4的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且4B總是平行于y軸，貝周長(zhǎng)的取值范圍是（）

A.（3,6）B.（4,6）C.（4,8）D.（6.8）

二、多選題

22

11.（2019.常州市第一中學(xué)高二期中）若方程」一+工=1所表示的曲線為C，則下面四個(gè)選項(xiàng)中錯(cuò)誤的

3-tt-1''

是（）

A.若。為橢圓，貝也＜3B.若。是雙曲線，則其離心率有l(wèi)＜e＜J5

C.若。為雙曲線，貝卜＞3或/＜1D.若。為橢圓，且長(zhǎng)軸在y軸上，貝口＜/＜2

2222

12.（2019?福建省南安第一中學(xué)高二月考）已知橢圓M：二+==1（。＞匕＞0）,雙曲線N：二—4=1.若

a2b2m2n2

雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，下列結(jié)論正確

的是（）

A.橢圓的離心率e=J5—1B.雙曲線的離心率e=2

C.橢圓上不存在點(diǎn)A使得而?再＜0D.雙曲線上存在點(diǎn)3使得明?質(zhì)＜0

13.（2020?海南省高三二模）已知拋物線。：V=2px（2＞0）的焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線的距離為2,過(guò)點(diǎn)尸的直

線與拋物線交于尸，Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.C的準(zhǔn)線方程為y=-1B.線段尸。的長(zhǎng)度最小為4

C.M的坐標(biāo)可能為（3,2）D.=—3恒成立

三、填空題

22

14.（2019?湖北省高二期中）設(shè)雙曲線二+二=1的離心率為2,且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線f=i6y的焦點(diǎn)相

mn

同，則此雙曲線的方程是.

15.（2019?漣水縣第一中學(xué)高二月考）若直線丁=區(qū)+2與拋物線丁=尤只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的值為

16.（2020?四川省成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二開(kāi)學(xué)考試（理））過(guò)橢圓三+5=1內(nèi)一點(diǎn)尸（1,1）引一條恰好被尸點(diǎn)

平分的弦，則這條弦所在直線的方程是

22

17.（2020?浙江省高三月考）已知直線，：，=左（元優(yōu)/0）,橢圓。：3+4=1，點(diǎn)/（L0），若直線和

橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)AB,貝1」口43尸周長(zhǎng)是,口45尸的重心縱坐標(biāo)的最大值是

四、解答題

18.（2020?天水市第一中學(xué)高二月考）己知橢圓C：g+/=l（a>b>0）過(guò)點(diǎn)（J5,l）且離心率為2.

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在過(guò)點(diǎn)尸（0,3）的直線/與橢圓C相交于A,2兩點(diǎn)，且滿足麗=2兩.若存在，求出直線/的

方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

19.（2019?漣水縣第一中學(xué)高二月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：二=1m>6>0）過(guò)點(diǎn)

ab

31

p（i，5）,離心率為a.

（i）求橢圓。的方程；

（2）若斜率為走的直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，試探究。42+04是否為定值？若是定值，則求出

2

此定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.（2019?重慶巴蜀中學(xué)高二期中（理））已知拋物線C：V=4x.

（1）若p是拋物線C上任一點(diǎn)，e（2,3）,求點(diǎn)P到。和y軸距離之和的最小值；

（2）若□A5c的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線。上，其重心恰好為。的焦點(diǎn)歹，求口人臺(tái)。三邊所在直線的斜率

的倒數(shù)之和.

21.（2019?蘇州新草橋中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓C：q+’=l（a>Z，>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)卜弓）

點(diǎn)A是橢圓的下項(xiàng)點(diǎn).

（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)A且互相垂直的兩直線小4與直線y=x分別相交于E,b兩點(diǎn)，己知|04=|0同，求直線4的

斜率.

22.（2020?河南省高二月考（文））已知拋物線。：y2=2px（〃>o）的焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸的直線/與拋物線。

交于A,3兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為萬(wàn)，|A8|=5.

（I）求拋物線。的方程；

（II）若直線/的傾斜角為銳角，求與直線/平行且與拋物線。相切的直線方程.

23.（2019?安徽省蚌埠二中高三其他（文））已知點(diǎn)P在拋物線=2py（/?>0）上，且點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為

1,點(diǎn)尸到拋物線焦點(diǎn)f的距離為2

（1）求拋物線。的方程；

（2）若拋物線的準(zhǔn)線與》軸的交點(diǎn)為過(guò)拋物線焦點(diǎn)/的直線/與拋物線。交于A,B,且AB,

求|A尸|-1所|的值.

專題14圓錐曲線的綜合問(wèn)題

一、單選題

22

1.（2020?全國(guó)高三月考（文））若拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是雙曲線之——匕=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則

3PP

P=()

A.2B.4C.8D.16

【答案】D

【解析】

拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是Ao,

22

雙曲線"―1=1的一個(gè)焦點(diǎn)是（2標(biāo)0）,

由條件得勺2J3，解得。=16.

故選：D.

2.（2020?寧夏回族自治區(qū)銀川一中高三二模（理））拋物線產(chǎn)=ax（a>0）的準(zhǔn)線與雙曲線C：?-?=l的

兩條漸近線所圍成的三角形面積為2遮，貝Ua的值為（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【解析】

拋物線丫2=以9>0）的準(zhǔn)線為'=一：，雙曲線C：?-f=l的兩條漸近線為y=±"x，可得兩交點(diǎn)為

（-、等）,（一等），即有三角形的面積為半=2在，解得a=8,故選A.

3.（2019.甘肅省會(huì)寧縣第四中學(xué)高二期末）橢圓亡+二=1與雙曲線產(chǎn)一二=1有公共點(diǎn)P,則P與雙曲

492424

線兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成二角形的面積為（）

A.48B.24C.224V5D.1273

【答案】B

【解析】

結(jié)合橢圓性質(zhì)，可以得到8（0.5）,生（0,-5）

，,X21

V**---=17

建立方程好3，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為(W康,

、49+2411

故ZP6凡=j6后?￡=24,故選B.

4.（2019?湖北省高二期中）若機(jī)〃W0,則方程^^一丁+〃=。與九百+以/二相〃所表示的曲線可能是圖中

的（)

【答案】C

【解析】

2

〃zr—y+〃=O即為直線丁=g+”,nV+沖2=〃m即為曲線二十匕=1，mn^Q

mn

22

對(duì)于A選項(xiàng)，由直線方程可知，m>0,n>0,則曲線二十乙=1,加〃。0表示圓或橢圓，A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

mn

22

對(duì)于B選項(xiàng)，由直線方程可知，m<0,〃<0,則曲線工+匕=1,W0不存在，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

mn

22

對(duì)于C選項(xiàng)，由直線方程可知，m>0,n<0,則曲線上+匕=1,加〃/0表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線,

mn

C選項(xiàng)正確;

22

對(duì)于D選項(xiàng),由直線方程可知，m<0,n>0,則曲線工+2=1,m〃wO表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,

mn

D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

5.（2019?黑龍江省哈爾濱三中高二期中（文））以拋物線f=8y的焦點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，與直線

2x+y+7〃=0相切，則加=()

A.1或-9B.一1或9C.3或-7D.-3或7

【答案】C

【解析】

拋物線f=8y的焦點(diǎn)為（0,2）,

以拋物線3=8y的焦點(diǎn)為圓心，、后為半徑的圓可得:圓心為（0,2）,半徑

由直線2x+y+/=0與圓相切,可得：

.10+2+〃z|/r

圓心到直線的距離d=———=45,

A/4+1

解得根=3或-7.

故選:C.

22

6.（2019?河南省包屯高中高二期末）已知方程上+工=1的曲線為C,下面四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)是

47t-1

①當(dāng)1</<4時(shí)，曲線C不一定是橢圓；

②當(dāng)/>4或f<l時(shí)，曲線C一定是雙曲線；

③若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則

④若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，貝野〉4.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

對(duì)于①，當(dāng)f=°時(shí)，曲線表示為圓，所以不一定是橢圓，所以①正確

2

對(duì)于②，當(dāng)/〉4時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，當(dāng)。<1曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，所以一定是雙曲

線，所以②正確

'4-7〉0

對(duì)于③若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1〉0,解得所以③正確

2

4-r>r-1

4-t<0

對(duì)于④若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則，c,解得/〉4,所以④正確

?-1>0

綜上，四個(gè)選項(xiàng)都正確

所以選D

22

7.（2020?北京人大附中高二期中）已知拋物線f=2py（p>0）的準(zhǔn)線被雙曲線^--乙=1截得的弦長(zhǎng)為6,

32

則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.B.(0,32)C.D.(0,2)

【答案】D

【解析】

22

因?yàn)閽佄锞€X2=2py(p>0)的準(zhǔn)線被雙曲線上一21=1截得的弦長(zhǎng)為6

32

所以該準(zhǔn)線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)表示為［3,一代入雙曲線中321一；

32

得夕=4,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)

故選：D

22

8.(2020?湖北省高三其他(文))已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線二-3=1的兩條漸近線分別交

ab

于A,8兩點(diǎn)若雙曲線的離心率是手，那么|AB|=()

A.2B.-C.72D.

373

【答案】A

【解析】

拋物線y2=4A的準(zhǔn)線%=—J5.

?.?￡=述,°2=/+/,..心=且，因此雙曲線的漸近線方程為：y=士是X，

a3a33

雙曲線的一條漸近線方程與拋物線準(zhǔn)線方程聯(lián)立得：1,彳ly=i,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知：

V=———X

U3

\AB\=2

故選：A

22

9.（2019?平遙縣第二中學(xué)校高二月考）設(shè)橢圓工+匕=1和雙曲線一/=1的公共焦點(diǎn)為耳，耳,P是

62

兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則cosN^PE的值等于

11

A.-B.-

34

13

C.—D.一

95

【答案】A

【解析】

由題意知Fi（-2,0）,F2（2,0）,

\x2y2.[29

解方程組|，得|2

%212I

取P點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)，與,哂=一2-平,一辛，*=2-3點(diǎn)B

22）

（一2.通（2一9]+，

I22J2i

故選A.

10.（2019?福建省高三一模（理））如圖，點(diǎn)F是拋物線C:爐=4y的焦,點(diǎn)，點(diǎn)4B分別在拋物線C和圓

x：+（y—l/=4的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且48總是平行于y軸，則44F8周長(zhǎng)的取值范圍是（）

A.(3,6)B.(4.6)C.(4,8)D.(6.8)

【答案】B

【解析】

拋物線f=4y的焦點(diǎn)為(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-l,

圓(y-1)2+f=4的圓心為(0,1),

與拋物線的焦點(diǎn)重合，且半徑r=2,

尸B|=2,\AF\=yA+l,\AB\=yB-yA,

，三角形ABF的周長(zhǎng)=2+yA+1+VB-yA=犯+3,

Vl<yB<3,

二三角形ABB的周長(zhǎng)的取值范圍是(4,6).

故選：B.

二、多選題

22

11.(2019?常州市第一中學(xué)高二期中)若方程式+工=1所表示的曲線為C，則下面四個(gè)選項(xiàng)中錯(cuò)誤的

3-tt-1-,

是()

A.若。為橢圓，則1<3B.若。是雙曲線，則其離心率有l(wèi)<e<J5

C.若。為雙曲線，貝卜>3或D.若。為橢圓，且長(zhǎng)軸在》軸上，則1<2

【答案】AD

【解析】

22

若/=2,方程工+工=1即為/+/=1,它表示圓，A錯(cuò);

3-tt-1

對(duì)于選項(xiàng)B,若/<1,則方程可變形為三----上=1,它表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線;

3—t1—%

(3-0-2

2H------<A/2,1<e<A/2

3-t

22

若t>3,則方程可變形為上———=1,它表示焦點(diǎn)在》軸上的雙曲線;

t—\t-3

1(D-2

2+U<后，l<e<夜，故3正確;

T喑t-1

22

對(duì)于選項(xiàng)C,若/<1,則方程可變形為二2二=1,它表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線;

3—tl-t

若/〉3,則方程可變形為上———=1,它表示焦點(diǎn)在》軸上的雙曲線，故。正確;

t—\t-3

對(duì)于選項(xiàng)D,若2</<3,則0<3-<-1,故方程工+工=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓;

3—tt—1

若1</<2,貝iJ0<―1<3T,故工+上二=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則。錯(cuò);

3—1t—1

故選：AD

Xy2

12.（2019?福建省南安第一中學(xué)高二月考）已知橢圓M：—+=1（。>?！?）,雙曲線N：J—與=1.若

ab2mn

雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，下列結(jié)論正確

的是（）

A.橢圓的離心率e=J5—1B.雙曲線的離心率e=2

C.橢圓上不存在點(diǎn)A使得麗?再<0D.雙曲線上存在點(diǎn)3使得明.死'<（）

【答案】ABD

【解析】

‘石、

如圖，設(shè)出閭=2c,則由正六邊形性質(zhì)可得點(diǎn)/

（22J

2q2l2

由點(diǎn)/在橢圓上可得J+^=1,結(jié)合儲(chǔ)—b2=c2可得勺=2，J—3,

4/4b-a2

1—勺=14—2出=有—1，

橢圓離心率q=

2?2-（2C）2=2-4（A/3-1）2

a2<0

當(dāng)點(diǎn)A為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，cosZ7^A^＜0,此時(shí)而?南＜（）；

點(diǎn)弓?在雙曲線的漸近線上可得一嚇。即小G

13.（2020?海南省高三二模）已知拋物線。：丁2=2.（夕＞0）的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為2,過(guò)點(diǎn)尸的直

線與拋物線交于P,。兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.。的準(zhǔn)線方程為y=-1B.線段PQ的長(zhǎng)度最小為4

UUUUUU

C.M的坐標(biāo)可能為（3,2）D.OPO0=—3恒成立

【答案】BCD

【解析】

焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線的距離即為。=2,所以拋物線。的焦點(diǎn)為歹（1,0），準(zhǔn)線方程為x=-1，A項(xiàng)錯(cuò)誤.

當(dāng)PQ垂直于％軸時(shí)長(zhǎng)度最小，此時(shí)？（1,2）,0（1,—2）,所以|PQ|=4,2項(xiàng)正確.

設(shè)P（F，X），Q（w，%），直線PQ的方程為％=陽(yáng)+1.聯(lián)立「，消去y可得

[x=my+l

x2-（4m2+2）x+1=0,消去X可得/一小沖一4二0,所以為+%=4療+2,%+%=4加，當(dāng)機(jī)二1

時(shí)，可得M（3,2）,所以C正確，又毛9=1，%%=-，所以麗?麗=石工2+%為=—3,所以D正確.

故選：BCD

三、填空題

22

14.（2019?湖北省高二期中）設(shè)雙曲線工+乙=1的離心率為2,且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線V=i6y的焦點(diǎn)相

mn

同，則此雙曲線的方程是.

22

【答案】匕—土=1

412

【解析】

拋物線%2=16y的焦點(diǎn)為（0,4）在y軸上，故雙曲線c=4,又§=2na=2,

2

故人2=c?—a=12.

22

故雙曲線的方程為匕-土=1.

412

22

故答案為：=1

412

15.（2019?漣水縣第一中學(xué)高二月考）若直線y=H+2與拋物線，=工只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的值為

【答案】。或:

O

【解析】

聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得：公尤2+（4左—1）龍+4=o,

①若左=0,則x=4,滿足題意;

②若女wo,則A=(4左一1)2—16左2=0,解得k=’.

8

綜上所述，左=0或

8

故答案為：?；?

8

16.（2020?四川省成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二開(kāi)學(xué)考試（理））過(guò)橢圓3+5=1內(nèi)一點(diǎn)P（l,l）引一條恰好被P點(diǎn)

平分的弦，則這條弦所在直線的方程是

【答案】2x+3y-5=0

【解析】

由題意知，該直線斜率存在，設(shè)直線與橢圓交于A（玉,%）,5（9,%）兩點(diǎn)，斜率為k，

,+靖

=1

32222x1,

則,兩式相減得一§--------------,即一一=----k,所以左=——

2X+Xx-x32x13

y2x212

~1--=-1----

、32

2

所以所求直線方程為y—1=-j(x-l),即2x+3y—5=0.

故答案為：2x+3y—5=0.

%2,2

17.（2020?浙江省高三月考）已知直線/：y=＞（x+D住矛0）,橢圓C:—+乙=1,點(diǎn)/（1,0）,若直線和

43

橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)AB,則口48尸周長(zhǎng)是OABF的重心縱坐標(biāo)的最大值是.

【答案】8昱

6

【解析】

由題意知，可知/：y=Mx+l）（%w。）恒過(guò)定點(diǎn)（―1,0），此點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，記為八.

^ij|AF|+|AF'|=2?=4,|BF|+|BF'|=2a=4.所以AA3P的周長(zhǎng)為

|AB|+1AF|+忸/|=|AF[+1AF|+忸尸[+忸耳=4+4=8.設(shè)A(/%),3(%,%)

設(shè)口人3歹的重心縱坐標(biāo)為%?則yo=A±A±2=A±A.聯(lián)立直線與橢圓方程得

|22

—i——1

<43,整理得

?=左(％+1)

6

=X+%=2k=2

所以為—3-4/+3--3.當(dāng)左>0時(shí)，4左+—=

+—k

k

當(dāng)且僅當(dāng)4%=：,即心更時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)為<多=苴；

k2為4G6

3

當(dāng)k<0時(shí)，4k+-=~\-4k-卜》，當(dāng)且僅當(dāng)—4人=—7

k[Rek

即左=—走時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)為?—-'=—3.

2°6

綜上所述：為e.所以口43戶的重心縱坐標(biāo)的最大值是

6

故答案為：8;B

6

四、解答題

22萬(wàn)

18.（2020.天水市第一中學(xué)高二月考）己知橢圓C：0+/=l（a>>>O）過(guò)點(diǎn)（J5,l）且離心率為三

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在過(guò)點(diǎn)P（0,3）的直線/與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且滿足兩=2兩.若存在，求出直線/的

方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）二+二=1；（2）存在這樣的直線，直線方程為：y=±巫x+3.

422

【解析】

（1）由已知點(diǎn)代入橢圓方程得=+±=1

ab

由e=也得￡=交可轉(zhuǎn)化為6=2b°

2a2

由以上兩式解得片=412=2

22

所以橢圓C的方程為：—+^=1.

42

(2)存在這樣的直線.

當(dāng)/的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足麗=2麗,

所以設(shè)所求直線方程/：y=依+3代入橢圓方程化簡(jiǎn)得:

(1+2左2)/+12履+14=0

12k14

X]+X,=---------------7①x1,x=------------7?②

-1+2/-21+242

7

△=(12左)2-4xl4x(l+242)〉0,女2〉z(mì)，

設(shè)所求直線與橢圓相交兩點(diǎn)A(玉

由已知條件PB=2而可得％=2%,③

77

綜合上述①②③式子可解得左2=—〉一符合題意,

24

所以所求直線方程為：y=土耳x+3.

2

19.(2019?漣水縣第一中學(xué)高二月考)在平面直角坐標(biāo)系尤2y中，已知橢圓C：=+與=1(a>6>0)過(guò)點(diǎn)

ab~

31

離心率為；.

22

(1)求橢圓C的方程；

(2)若斜率為正的直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),試探究。V+^玄是否為定值？若是定值，則求出

2

此定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【答案】(1)—+^=1(2)是定值，7

43

【解析】

c1

(1)由離心率e————y得〃：。：c—2:粗：1,

a2

22

則可設(shè)橢圓C的方程為友+不=1,

313

由點(diǎn)尸（LR在橢圓C上，得『+:丁=1,即02=1,

24c24c2

22

所以橢圓c的方程為土+匕=1

43

（2）設(shè)直線/的方程為A（xi，yi）,Bg竺）,

2

12=

所以O(shè)^-^OB—X；+3——%；+々2+3——%2~(+元2?)+6.

X+n

由＜,2消去y得3『+2石〃X+2〃2—6=0.

3x2+4y2=12

當(dāng)/>0時(shí)，Xl+%2=-2°n,X\X2=------—

33

4/4n2-12

從而玉2+X,2=（X；+彳2）2—2/彳,二=4,

33

所以。42+032=7,為定值.

20.（2019?重慶巴蜀中學(xué)高二期中（理））已知拋物線C：V=4%.

（1）若尸是拋物線C上任一點(diǎn)，2（2,3）,求點(diǎn)P到。和y軸距離之和的最小值;

（2）若口A6c的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線。上，其重心恰好為。的焦點(diǎn)P,求口人6c三邊所在直線的斜率

的倒數(shù)之和.

【答案】⑴癡-1⑵0

【解析】

（1）由拋物線定義可知：p到。和y軸距離之和=|。。|+|。尸1NQ產(chǎn)i=JI3—1,

當(dāng)Q,p,歹三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值.

(~2、（、,2、

（2）設(shè)A亍%，乂，B，C亍%,為，）尸（1,。），%+%+%=0?

4(4

2_2

[”———1%+%1%+%

又□-=4=A±A，同理：A~4，k=4

kAB%4BCAC

.?.——1+——1+1——c=0

^AB^BCkAC

22(。＞人＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)['5'，3],L

21.(2019?蘇州新草橋中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試)已知橢圓。：、+4=]

a2b2

點(diǎn)A是橢圓的下項(xiàng)點(diǎn).

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)A且互相垂直的兩直線/一，2與直線V=x分別相交于E,斤兩點(diǎn)，已知|OE|=|O同，求直線4的

斜率.

?2

【答案】⑴=1(2)1+72

【解析】

3].