培優(yōu)課09 平面向量的綜合應(yīng)用

8.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E為PD中點(diǎn)，AD=2．(Ⅰ)求證：平面AEC⊥平面PCD．【答案】(Ⅰ)證明：取AD中點(diǎn)為O，BC中點(diǎn)為F，由側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，則FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD?FO，則CD⊥AE，又E是PD中點(diǎn)，則AE⊥PD，由線面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE?平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；培優(yōu)課09平面向量的綜合應(yīng)用培優(yōu)點(diǎn)一平面向量中與模有關(guān)的最值（范圍）問題典例1[2024·山東模擬]若平面向量a，b，c滿足a=1，b?c=解題觀摩[解析]在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，令a=1,0，設(shè)b=x1,y1,c=x2,y由于b+c=則b+c=y1+設(shè)a=x,將三個(gè)向量改成兩個(gè)向量1.已知向量a,b滿足a=2,b=1，若a?[解析]設(shè)向量a,b的夾角為θ，則θ∈[因?yàn)閍=2,b=所以?1≤cosθ≤?12將坐標(biāo)法變成幾何意義法2.已知向量a，b，c滿足a=1，b=2，a?b=?1，向量c?[解析]依題意可知cos?a,b?=a?ba?b=?11×由c?a與c?b的夾角為π4可知∠ACB=π4，所以O(shè),A因?yàn)锳B=?2,1，所以AB=5，由正弦定理得△培優(yōu)點(diǎn)二平面向量中與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題典例2已知e為單位向量，a?2e=b解題觀摩[解析]設(shè)a=OA,b=OB,則點(diǎn)B點(diǎn)A如圖所示，OA在當(dāng)OB//E2A時(shí)，a?易知當(dāng)OA與OB同向時(shí)，a?b取得最大值,最大值為6.故a?平面向量是在二維平面內(nèi)既有大小又有方向的量，在解決平面向量的范圍與最值問題時(shí)，常用代數(shù)法與幾何法兩種解法.1.代數(shù)法的基本思路是利用函數(shù)的思想，將目標(biāo)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)，也有一些問題需要通過不等式的技巧來解決.2.幾何法的基本思路是將條件轉(zhuǎn)化為幾何元素，構(gòu)圖后通過平面幾何的知識(shí)解決，當(dāng)然很多時(shí)候利用數(shù)形結(jié)合來解題也是高效的解題手段.常用方法：（1）定義法;（2）坐標(biāo)法；（3）基底法；（4）幾何意義法.單個(gè)動(dòng)點(diǎn)的范圍問題1.已知菱形ABCD的邊長為1，∠ABC=60°，E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則[解析]設(shè)AE=x，則DE?∴DE?DC定義法變?yōu)樽鴺?biāo)法2.在△ABC中，A=π3，AC=2，AB=5，[解析]過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB，DC所在的直線分別為x軸，在Rt△ACD中，CD=AC∴A?1,0由題意，設(shè)Px,0，x∈[?1,4∴當(dāng)x=2時(shí)，PB?培優(yōu)點(diǎn)三平面向量中與夾角有關(guān)的最值（范圍）問題典例3[2024·成都模擬]若平面向量a，b滿足a=b，且a?解題觀摩[解析]由a?3b=1兩邊同時(shí)平方得a所以cos?b所以cos?b,3設(shè)a=x1,y1,b=x2求變量的取值范圍、最值,往往要將目標(biāo)函數(shù)用某個(gè)變量表示,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題或采用基本不等式求解,期間要注意變量之間的關(guān)系.引入數(shù)量積的范圍條件考查角度的范圍已知非零向量a，b滿足a+b⊥a?b，a+b=2，若a?[解析]因?yàn)閍+b⊥a?又因?yàn)閍+b=所以a?又a?b的取值范圍為[?2,23]，所以?2≤2?a2≤23，解得43≤a2≤4，又?2≤a?b培優(yōu)點(diǎn)四平面向量中的恒成立問題典例4已知b=c=kk>2,b?c=0，若存在實(shí)數(shù)λ及單位向量a解題觀摩A.55 B.255 C.4[解析]以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，c=OC,b=OB所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)a=OA，可知點(diǎn)A在單位圓上，P是直線BC上任意一點(diǎn)，則OP=1?λb+λc，取OC的中點(diǎn)a?b12所以a?b+λb?c+12c+1則PA+PFmin=A1F=OF?平面向量恒成立問題大多考查向量的幾何屬性（如模的最值問題）和向量的數(shù)量屬性（如向量數(shù)量積的最值問題）.從形的角度，可以轉(zhuǎn)化為運(yùn)用點(diǎn)點(diǎn)距離、點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離等有關(guān)最值來求解；從數(shù)的角度，可以利用函數(shù)與方程或不等式求解.改變不等式的條件和設(shè)問形式1.已知向量a,b的夾角為π3，且對(duì)任意實(shí)數(shù)λ,a?λ[解析]a?a?由a?λb≥a設(shè)ab=t，則λ2?tλ+增加三角恒等變換知識(shí)2.已