高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案(新高考)第06講基本不等式及應(yīng)用(原卷版+解析)

第06講基本不等式及應(yīng)用1、基本不等式：(1)基本不等式成立的條件：.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2、幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥(a，b同號)．(3)ab≤(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3、利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正、二定、三相等”．1、【2022年新高考2卷】若x，y滿足x2A．x+y≤1 B．x+y≥?2C．x2+y2、【2021年乙卷文科】下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．3、【2020年新高考1卷（山東卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．1、在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A. B.C. D.2、一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，則這個矩形的長為________m，寬為________m時菜園面積最大．3、（2022·山東棗莊·一模）（多選題）已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．的最小值為4、（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）（多選題）已知，且.則下列選項正確的是（

）A．的最小值為B．的最小值為C．D．考向一運用基本不等式求函數(shù)的最值例1、(1)已知0<x<1，則x(4－3x)取得最大值時x的值為________．(2)已知x<eq\f(5,4)，則f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為________．(3)函數(shù)y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值為________．變式1、已知x>1，求y＝eq\f(x2＋2,x－1)的最小值．變式2、已知x≥1，求y＝eq\f(x2＋2,x＋1)的最小值．變式3、（1）（2022·江蘇泰州·一模）（多選題）下列函數(shù)中最小值為6的是（

）A． B．C． D．（2）（2022·廣東惠州·二模）函數(shù)有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2方法總結(jié)：(1)應(yīng)用基本不等式求值域一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件．如果不滿足等號的成立條件就用函數(shù)的單調(diào)性求解．(2)在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊（或換元）出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．考向二基本不等式中1的運用例2、(2022·湖北華中師大附中等六校開學(xué)考試聯(lián)考)若正數(shù)，滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.變式1、（2022·江蘇揚州·高三期末）已知正實數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則的最小值為__________．變式2、（2022·江蘇·金陵中學(xué)模擬預(yù)測）已知是正實數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的最小值為（

）A． B．9 C． D．2變式3、（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)二模）正項等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，且存在兩項使得，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．不存在變式4、（2022·湖南師大附中三模）（多選題）若，，，則的可能取值有（

）A． B． C． D．方法總結(jié)：(1)利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代換的方法可以求解形如【問題2】中的“已知兩正數(shù)之和為定值，求兩數(shù)倒數(shù)和的最值”或“已知兩正數(shù)倒數(shù)之和為定值，求兩正數(shù)和的最值”問題,是直接求解二元函數(shù)值域的一種方法．(3)解決問題時關(guān)注對已知條件和所求目標(biāo)函數(shù)式的變形，使問題轉(zhuǎn)化成可用“1”代換求解的模型考向三運用消參法解決不等式問題例3、(2022·江蘇淮安市六校第一次聯(lián)考)已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝EQ\F(1,y)－EQ\F(1,x)，則y的最大值為()A．1B．EQ\F(1,2)C．2D．EQ\F(1,3)變式1、(2022·江蘇南京市金陵中學(xué)高三10月月考)已知正實數(shù)，滿足，則的最小值是______．變式2、（2022·湖南·一模）已知，則_________．方法總結(jié)：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值考向四運用基本不等式解決實際問題例4、工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，另需投入成本C(x)(單位：萬元)，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時，C(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時，C(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450.已知每件商品的售價為0.05萬元，通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？變式1、(2022·福州高三期中)某縣一中計劃把一塊邊長為20m的等邊三角形ABC的邊角地開辟為植物新品種實驗基地，圖中DE把基地分成面積相等的兩部分，點D在AB上，點E在AC上．(1)設(shè)AD＝x(x>10)，DE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)若DE是灌溉輸水管道的位置，為節(jié)約成本，希望它最短，確定DE的位置，并求出ED長的最小值．變式2、（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）設(shè)矩形的周長為，把它沿對角線對折后，設(shè)交于點，此時點記作，如圖所示，設(shè)，，則△的面積的最大值為______．方法總結(jié)：利用基本不等式求解實際應(yīng)用題的方法：利用基本不等式解決實際問題，關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，列出函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式求最值．1、（2022·重慶·一模）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．2、（2022·福建·模擬預(yù)測）已知，，，則的最小值為（

）A．13 B．19 C．21 D．273、（2022·廣東·模擬預(yù)測）（多選題）已知實數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為16B．的最大值為9C．的最大值為9D．的最大值為4、（2022·河北保定·一模）（多選題）下面描述正確的是（

）A．已知，，且，則B．函數(shù)，若，且，則的最小值是C．已知，則的最小值為D．已知，則的最小值為5、（2022·重慶·模擬預(yù)測）（多選題）已知正數(shù)a，b滿足，則下列說法一定正確的是（

）A． B．C． D．6、（2022·廣東·模擬預(yù)測）（多選題）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．7、（2022·湖北·蘄春縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測）（多選題）若，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．8、（2022·湖南衡陽·三模）（多選題）已知實數(shù)，，．則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．第06講基本不等式及應(yīng)用1、基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2、幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3、利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正、二定、三相等”．1、【2022年新高考2卷】若x，y滿足x2A．x+y≤1 B．x+y≥?2C．x2+y【答案】BC【解析】因為ab≤a+b22≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y由x2+y2?xy=1可變形為x因為x2+y2?xy=1變形可得x?y=43+23故選：BC．2、【2021年乙卷文科】下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因為，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因為函數(shù)定義域為，而，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數(shù)定義域為，而且，如當(dāng)，，D不符合題意．故選：C．3、【2020年新高考1卷（山東卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；故選：ABD1、在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A選項，時，為負(fù)數(shù)，A錯誤.對于B選項，，，，但不存在使成立，所以B錯誤.對于C選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確.對于D選項，，，，但不存在使成立，所以D錯誤.故選：C2、一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，則這個矩形的長為________m，寬為________m時菜園面積最大．【答案】15eq\f(15,2)【解析】設(shè)矩形的長為xm，寬為ym，則x＋2y＝30，所以S＝xy＝eq\f(1,2)x·(2y)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))2＝eq\f(225,2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y，即x＝15，y＝eq\f(15,2)時取等號3、（2022·山東棗莊·一模）（多選題）已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．的最小值為【答案】ABD【解析】由得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，A正確；由得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，B正確；由正數(shù)a，b及知，，可得，故，C錯誤；令，則，兩邊同時平方得，整理得，又存在使，故，解得，D正確.故選：ABD.4、（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）（多選題）已知，且.則下列選項正確的是（

）A．的最小值為B．的最小值為C．D．【答案】BD【解析】解：由題意得：對于選項A：因為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，即，的最小值為，故A錯誤；對于選項B：因為，所以故當(dāng)時，的最小值為，故B正確；對于選項C：，故C錯誤；對于選項D：，當(dāng)時等號成立，但,故等號不成立,所以,故D正確.故選：BD考向一運用基本不等式求函數(shù)的最值例1、(1)已知0<x<1，則x(4－3x)取得最大值時x的值為________．(2)已知x<eq\f(5,4)，則f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為________．(3)函數(shù)y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值為________．【答案】(1)eq\f(2,3)(2)1(3)2eq\r(3)＋2【解析】(1)x(4－3x)＝eq\f(1,3)×(3x)·(4－3x)≤eq\f(1,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x＋4－3x,2)))2＝eq\f(4,3)，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝4－3x，即x＝eq\f(2,3)時，取等號．故所求x的值為eq\f(2,3).(2)因為x<eq\f(5,4)，所以5－4x>0，則f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1.當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1時，取等號．故f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為1.(3)y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋1＋2x－2＋3,x－1)＝eq\f(x－12＋2x－1＋3,x－1)＝(x－1)＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(3)＋2.當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝eq\r(3)＋1時，取等號．變式1、已知x>1，求y＝eq\f(x2＋2,x－1)的最小值．【解析】令x－1＝t(t>0)，則y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f((t＋1)2＋2,t)＝t＋eq\f(3,t)＋2≥2eq\r(3)＋2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(3,t)，即t＝eq\r(3)，即x＝eq\r(3)＋1時，取等號，所以y的最小值為2eq\r(3)＋2.變式2、已知x≥1，求y＝eq\f(x2＋2,x＋1)的最小值．【解析】令x＋1＝t(t≥2)，則y＝eq\f(x2＋2,x＋1)＝eq\f((t－1)2＋2,t)＝t＋eq\f(3,t)－2≥2eq\r(3)－2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(3,t)，即t＝eq\r(3)時，取等號．又因為t≥2，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)t＝2，即x＝1時，y有最小值，即ymin＝2＋eq\f(3,2)－2＝eq\f(3,2).變式3、（1）（2022·江蘇泰州·一模）（多選題）下列函數(shù)中最小值為6的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式成立的條件“一正二定三相等”，逐一驗證可得選項.【詳解】解：對于A選項，當(dāng)時，，此時，故A不正確.對于B選項，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”，故B正確.對于C選項，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”，故C正確.對于D選項，，當(dāng)且僅當(dāng)，即無解，故D不正確.故選：BC.（2）（2022·廣東惠州·二模）函數(shù)有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【分析】分離常數(shù)后，用基本不等式可解.【詳解】（方法1），，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.（方法2）令，，，.將其代入，原函數(shù)可化為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時.故選：D方法總結(jié)：(1)應(yīng)用基本不等式求值域一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件．如果不滿足等號的成立條件就用函數(shù)的單調(diào)性求解．(2)在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊（或換元）出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．考向二基本不等式中1的運用例2、(2022·湖北華中師大附中等六校開學(xué)考試聯(lián)考)若正數(shù)，滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），的最小值為.故選：C.變式1、（2022·江蘇揚州·高三期末）已知正實數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則的最小值為__________．【答案】##【解析】由題意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）＝4＋5＋＋≥9＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，時取等號，此時，故的最小值為．故答案為：變式2、（2022·江蘇·金陵中學(xué)模擬預(yù)測）已知是正實數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的最小值為（

）A． B．9 C． D．2【答案】B【分析】將代入，得到，的關(guān)系式，再應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最小值即可．【詳解】由函數(shù)的圖象經(jīng)過，則，即．，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號．故選：B．變式3、（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)二模）正項等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，且存在兩項使得，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．不存在【答案】B【分析】由等比數(shù)列通項公式及等差中項的性質(zhì)可得，進而有，利用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式最小值，注意等號是否成立.【詳解】由題設(shè)，若公比為且，則，所以，由，則，故，可得，所以，而，故等號不成立，又，故當(dāng)時，當(dāng)時，顯然，故時最小值為.故選：B變式4、（2022·湖南師大附中三模）（多選題）若，，，則的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】利用題設(shè)條件，將式子化成，觀察得出，之后利用乘以1不變，結(jié)合基本不等式求得其范圍，進而得到正確答案.【詳解】原式（當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號）.故選：CD.方法總結(jié)：(1)利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代換的方法可以求解形如【問題2】中的“已知兩正數(shù)之和為定值，求兩數(shù)倒數(shù)和的最值”或“已知兩正數(shù)倒數(shù)之和為定值，求兩正數(shù)和的最值”問題,是直接求解二元函數(shù)值域的一種方法．(3)解決問題時關(guān)注對已知條件和所求目標(biāo)函數(shù)式的變形，使問題轉(zhuǎn)化成可用“1”代換求解的模型考向三運用消參法解決不等式問題例3、(2022·江蘇淮安市六校第一次聯(lián)考)已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝EQ\F(1,y)－EQ\F(1,x)，則y的最大值為()A．1B．EQ\F(1,2)C．2D．EQ\F(1,3)【答案】D【解析】由題意可知，x＋3y＝EQ\F(1,y)－EQ\F(1,x)，則x＋EQ\F(1,x)＝EQ\F(1,y)－3y，因為x＞0，所以x＋EQ\F(1,x)＝EQ\F(1,y)－3y≥2EQ\R(,x·\F(1,x))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝EQ\F(1,x)，即x＝1時等號成立，即EQ\F(1,y)－3y≥2，又y＞0，所以可化為3y2＋2y－1≤0，解得0＜y≤EQ\F(1,3)，即y的最大值為EQ\F(1,3)，故答案選D．變式1、(2022·江蘇南京市金陵中學(xué)高三10月月考)已知正實數(shù)，滿足，則的最小值是______．【答案】【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號．所以則的最小值是，故答案為：變式2、（2022·湖南·一模）已知，則_________．【答案】3【分析】利用基本不等式求得，從而可得，求解出值，代入即可得值.【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即，得，所以，即，所以.故答案為：方法總結(jié)：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值考向四運用基本不等式解決實際問題例4、工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，另需投入成本C(x)(單位：萬元)，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時，C(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時，C(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450.已知每件商品的售價為0.05萬元，通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？【解析】(1)因為每件商品的售價為0.05萬元，所以x千件商品的銷售額為(0.05×1000x)萬元．依題意，得當(dāng)0<x<80時，L(x)＝1000x×0.05－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋10x))－250＝－eq\f(1,3)x2＋40x－250；當(dāng)x≥80時，L(x)＝1000x×0.05－(51x＋eq\f(10000,x)－1450)－250＝1200－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))，所以L(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋40x－250，0<x<80，,1200－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))，x≥80.))(2)當(dāng)0<x<80時，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－60)2＋950.當(dāng)x＝60時，L(x)max＝950萬元；當(dāng)x≥80時，L(x)＝1200－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))≤1200－2eq\r(10000)＝1000，當(dāng)且僅當(dāng)x＝100時，取等號，則L(x)max＝1000萬元．綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為100千件時，年利潤最大．變式1、(2022·福州高三期中)某縣一中計劃把一塊邊長為20m的等邊三角形ABC的邊角地開辟為植物新品種實驗基地，圖中DE把基地分成面積相等的兩部分，點D在AB上，點E在AC上．(1)設(shè)AD＝x(x>10)，DE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)若DE是灌溉輸水管道的位置，為節(jié)約成本，希望它最短，確定DE的位置，并求出ED長的最小值．【解析】(1)由已知得S△ADE＝eq\f(1,2)S△ABC，即eq\f(1,2)x·AE·sinA＝eq\f(1,2)·eq\f(1,2)AB·AC·sinA，即AE＝eq\f(200,x).在△ADE中，由余弦定理，得y2＝x2＋AE2－2x·AE·cosA＝x2＋eq\f(2002,x2)－200，故y＝eq\r(x2＋\f(2002,x2)－200)，10<x≤20.(2)由(1)，得y＝eq\r(x2＋\f(2002,x2)－200)≥eq\r(2\r(2002)－200)＝10eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝eq\f(2002,x2)，即x＝10eq\r(2)時，取等號，所以當(dāng)AD＝10eq\r(2)m，AE＝10eq\r(2)m時，ED最短，為10eq\r(2)m．變式2、（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）設(shè)矩形的周長為，把它沿對角線對折后，設(shè)交于點，此時點記作，如圖所示，設(shè)，，則△的面積的最大值為______．【答案】【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合基本不等式得到關(guān)于的一元二次不等式并求解集，結(jié)合△的面積即可得最大值，注意成立條件.【詳解】由題意△△，而，，所以，而矩形的周長為，則，整理得，僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所以，而，可得，則，而△的面積，故最大值為，此時.故答案為：方法總結(jié)：利用基本不等式求解實際應(yīng)用題的方法：利用基本不等式解決實際問題，關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，列出函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式求最值．1、（2022·重慶·一模）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】將代入，可得：（當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號）故選：D2、（2022·福建·模擬預(yù)測）已知，，，則的最小值為（

）A．13 B．19