第4章-數(shù)字控制器模擬化設(shè)計方法

第4章

數(shù)字控制器模擬化設(shè)計方法4.1模擬化設(shè)計的基本理論4.2連續(xù)域控制器離散化方法4.3數(shù)字PID控制器設(shè)計4.1模擬化設(shè)計的基本理論典型計算機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4.1所示，其中數(shù)字控制器絕大多數(shù)用計算機軟件編程實現(xiàn)控制算法，或者用數(shù)字硬件電路實現(xiàn)。圖4.1典型計算機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)4.1.1模擬化設(shè)計基本原理4.1.1模擬化設(shè)計基本原理圖4.1可等效為如圖4.2所示的連續(xù)系統(tǒng)，圖4.1中的被控對象、傳感器等組件一起構(gòu)成圖4.2所示的廣義對象。而A/D、數(shù)字控制算法、D/A等視為一個整體，構(gòu)成等效的連續(xù)控制器，輸入輸出均為模擬量。模擬化設(shè)計方法是并應(yīng)用連續(xù)系統(tǒng)理論設(shè)計等效連續(xù)控制器，再對離散化，得到數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)。圖4.2等效連續(xù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)4.1.2離散控制器模擬化的數(shù)學描述1.A/D的傳遞函數(shù)若不考慮量化效應(yīng)，A/D本質(zhì)上可視為一個理想的采樣開關(guān)，其輸入與輸出的頻率關(guān)系有（4-1）一般地，系統(tǒng)均具有低通特性，若采樣角頻率較高時，上式可取主頻近似：（4-2）則A/D的頻率特性可近似為（4-3）4.1.2離散控制器模擬化的數(shù)學描述2.數(shù)字控制算法對于數(shù)字控制算法，令，則其頻率特性為。3.D/A的頻率特性如第2章所述，D/A可抽象為一個零階保持器，其頻率特性為（4-4）等效控制器的頻率特性可近似為（4-6）滯后環(huán)節(jié)視為A/D和D/A的綜合近似環(huán)節(jié)。4.1.2離散控制器模擬化的數(shù)學描述設(shè)為數(shù)字控制算法的等效連續(xù)傳遞函數(shù)，令，代入式（4-6），得到（4-7）為非有理分式，可用一階泊松近似：

（4-8）圖4-3中的是被控對象、執(zhí)行機構(gòu)、傳感器、前置濾波器等為整體構(gòu)成的廣義對象傳遞函數(shù)。圖4-3簡化的等效連續(xù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

4.1.3數(shù)字控制器模擬化設(shè)計步驟（1）考慮根據(jù)性能指標要求和給定對象，應(yīng)用連續(xù)域設(shè)計方法，設(shè)計與數(shù)字控制算法等效的連續(xù)傳遞函數(shù)；（2）根據(jù)系統(tǒng)的性能要求，選擇采樣周期T；（3）選擇合適的離散化方法，將離散化為脈沖傳遞函數(shù)；（4）檢驗系統(tǒng)閉環(huán)性能，若指標滿足，進行下一步，否則重新改進設(shè)計：

選擇更合適的離散化方法

提高采樣頻率

修正連續(xù)域設(shè)計等；（5）將化為差分方程形式，進行計算機編程實現(xiàn)。4.2連續(xù)域控制器離散化方法4.2.1Z變換法1.離散化公式z變換法又叫脈沖響應(yīng)不變法?；舅枷胧牵弘x散近似后的數(shù)字控制與連續(xù)控制器的脈沖響應(yīng)在時刻保持一致。（4-9）設(shè)連續(xù)控制器的傳遞函數(shù)為（4-10）對上式進行z變換，得到：（4-11）

4.2.1Z變換法例4.1已知連續(xù)控制器，采樣周期T=0.01s，求數(shù)字控制器。解：由此可知，數(shù)字控制器實際是由連續(xù)控制器進行z變換而得到，兩者之間的等效關(guān)系為。

4.2.1Z變換法2.主要特性①與的脈沖響應(yīng)相同②若穩(wěn)定，必然穩(wěn)定。③離散化后的不能完全保持的頻率響應(yīng)。④z變換不具備串聯(lián)性質(zhì)，即⑤z變換法的應(yīng)用范圍為：連續(xù)控制器應(yīng)較容易地分解為關(guān)于復變量s的部分分式，的頻率響應(yīng)在奈奎斯特頻率以上處衰減較大、較快。

4.2.2前向差分法1．離散化公式連續(xù)傳遞函數(shù)的的一階前向差分離散化公式為（4-12）（1）時域上，前向差分變換法的實質(zhì)是將連續(xù)域中的微分用一階前向差分替換。（4-13）兩邊取z變換并整理得

與相比，則有4.2.2前向差分法（2）幾何上，前向差分法是一種矩形面積積分近似。如圖4-4，有（4-16）（4-17）兩式相減

對上式進行z變換，并整理得（4-19）圖4-4前向差分的面積近似

所以有4.2.2前向差分法2.主要特性

令，則其模為若有（對應(yīng)于z平面的單位圓），則（4-20）由式（4-20），只有當所有極點位于s平面左半平面上的一個以點為圓心，以為半徑的圓內(nèi)，離散化后的極點才映射到z平面的單位圓內(nèi)。

4.2.2前向差分法

(a)(b)圖4-5前向差分的映射關(guān)系(a)4.2.2前向差分法例4.2已知試用前向差分法離散化。解：由前向差分法公式，有因為，是穩(wěn)定的。若，則，則穩(wěn)定；若，則，則不穩(wěn)定。4.2.2前向差分法綜上所述，前向差分離散化方法具有如下特點：（1）變換公式簡單，具有串聯(lián)性，即（2）當采樣周期T較大時，等效精度較差；（3）穩(wěn)態(tài)增益維持不變，即：（4）穩(wěn)定，經(jīng)變換后，不一定穩(wěn)定。4.2.3雙線性變換法1.離散化公式雙線性變換法采用的梯形面積積分近似，實質(zhì)是將連續(xù)時間函數(shù)積分近似為有限個梯形面積之和，效果比前兩種方法要好，其離散化公式為（4-21）設(shè)連續(xù)傳遞函數(shù)（4-22）則對其進行拉氏反變換，整理得到對應(yīng)的控制算式（4-23）4.2.3雙線性變換法如圖4-6所示，增量的積分面積以梯形面積近似，則（4-24）對上式進行z變換，得到（4-25）整理得（4-26）比較和，可得

(4-27)圖4.6雙線性變換的面積近似圖

4.2.3雙線性變換法2.主要特性s平面與z平面的映射關(guān)系，如（4-28）式所示

（4-28）

根據(jù)上式，可得s平面與z平面的映射關(guān)系如下：1）當（s平面虛軸）→；2）當（s左半平面）→；3）當（s右半平面）→。4.2.3雙線性變換法例4.4已知連續(xù)控制器試用雙線性變換法求解：

4.2.3雙線性變換法綜合以上分析，雙線性變換法具有如下主要特點：（1）若穩(wěn)定，則必然穩(wěn)定；（2）將整個s平面的左半面映射到z平面的單位圓內(nèi)，因此不產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，但是頻率變換關(guān)系非線性，頻率軸發(fā)生畸變；（3）變換前后，穩(wěn)態(tài)增益不變；（4）具有串聯(lián)性，即。4.2.4階躍響應(yīng)不變法1.離散化公式該方法的基本思想是離散近似的數(shù)字控制器和原連續(xù)控制器的階躍響應(yīng)在時刻的采樣值一致。其離散化公式（4-33）設(shè)數(shù)字控制器和原連續(xù)控制器的階躍響應(yīng)分別為與，則有

（4-34）4.2.4階躍響應(yīng)不變法根據(jù)階躍響應(yīng)不變法離散化的基本思想，則有

(4-35)對(4-34)式兩邊同時進行z變換，則有

(4-36)對上式進行z變換，得

(4-37)

前面加了一個采樣器和零階保持器?？煽醋鹘o一個連續(xù)信號供給一個假想的采樣-保持裝置。4.2.4階躍響應(yīng)不變法例4.5已知連續(xù)控制器設(shè)采樣周期為T=1s，用階躍響應(yīng)不變法求數(shù)字控制器。解：

4.2.4階躍響應(yīng)不變法2.主要特性階躍響應(yīng)不變法加入了零階保持器，因此具有以下特性：（1）和的階躍響應(yīng)序列相同；（2）若穩(wěn)定，則離散近似后的也穩(wěn)定；（3）零階保持器具有低通作用，可減小頻率混疊現(xiàn)象；（4）離散控制器有相移，當采樣頻率較低時，應(yīng)進行補償；（5）穩(wěn)態(tài)增益不變；（6）不具備串聯(lián)性質(zhì)。4.3數(shù)字PID控制器設(shè)計（1）PID控制是目前技術(shù)最成熟、工程應(yīng)用最廣泛的一種控制方法。（2）具有結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)易于調(diào)整、不依賴于數(shù)學模型、魯棒性強、適用面廣等優(yōu)點。（3）PID控制算法很容易通過計算機編程實現(xiàn)、修正和完善，從而使其具有更大的靈活性和適應(yīng)性。（4）在被控對象結(jié)構(gòu)與參數(shù)不清，或無法得到精確的數(shù)學模型時，PID控制具有更大的優(yōu)勢。PID控制器是一種線性調(diào)節(jié)器，由系統(tǒng)給定值與實際輸出值得到偏差，并將其比例（P）、積分（I）和微分（D）進行線性組合，形成控制量的輸出，所以簡稱PID控制。

圖4-9PID控制器框圖4.3.1PID控制規(guī)律及其作用4.3.1PID控制規(guī)律及其作用其傳遞函數(shù)為

(4-38)

為PID控制器的輸入；為PID控制器的輸出。為比例系數(shù)；為積分時間常數(shù)；為微分時間常數(shù)，當和均為0時，系統(tǒng)為P控制，當為0時，系統(tǒng)稱為PI控制，當為0時，系統(tǒng)變?yōu)镻D控制。4.3.1PID控制規(guī)律及其作用對式（4-38）進行拉氏反變換，

（4-39）如圖4-10，在階躍信號作用下，首先比例、微分環(huán)節(jié)起主要控制作用，接著積分環(huán)節(jié)其主要作用，直到消除靜差。PID控制器的輸出由比例控制、積分控制和微分控制三部分組成，它們在控制器中所起的控制作用彼此相互獨立。

圖4-10PID控制器的階躍響應(yīng)4.3.1PID控制規(guī)律及其作用1.比例控制器比例控制器的控制規(guī)律為（4-40）當偏差不為0，比例控制器就會立即產(chǎn)生控制作用，使被控量向偏差減小的方向變化，控制作用的強弱決定于比例系數(shù)，如圖4-11所示。4-11比例控制器的階躍響應(yīng)4.3.1PID控制規(guī)律及其作用2.積分控制器積分控制器的控制規(guī)律為（4-41）積分時間常數(shù)表示積分速度的快慢，越大，積分速度越慢，積分作用越弱，反之則越強。若偏差不為0，積分控制器就將通過累積作用影響被控量，不斷減小偏差，直至消除。如圖4-12。圖4-12比例積分控制器的階躍響應(yīng)

4.3.1PID控制規(guī)律及其作用3.微分控制器微分控制器根據(jù)誤差變化趨勢，產(chǎn)生強烈的調(diào)節(jié)作用，使偏差盡快地消除在萌芽狀態(tài)。從而加快控制過程。其控制規(guī)律為（4-42）微分時間常數(shù)表示微分速度的快慢，越大，微分作用越強，反之則越弱。如圖4-13所示，一旦偏差發(fā)生變化，微分控制器會產(chǎn)生一個極大的控制作用，調(diào)整控制量減小偏差的變化。圖4-13微分控制器階躍響應(yīng)曲線4.3.1PID控制規(guī)律及其作用3類控制器性能比較如表4.1所示。表4-1P、I、D控制器性能比較參數(shù)優(yōu)點缺點P控制提高靈敏度、調(diào)節(jié)速度、減小偏差容易引起系統(tǒng)不穩(wěn)定I控制消除靜差誘發(fā)系統(tǒng)振蕩、降低快速性D控制加快響應(yīng)、減小超調(diào)不能消除靜差，引起系統(tǒng)不穩(wěn)定、易受干擾4.3.1PID控制規(guī)律及其作用4.PID控制PID控制綜合了P、I、D三種控制的優(yōu)點，既有比例控制的迅速的調(diào)節(jié)速度，又有積分控制消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，還有微分控制的超前控制作用。只要三個環(huán)節(jié)的控制參數(shù)、選擇合適，便可充分發(fā)揮三種控制規(guī)律的綜合優(yōu)點，得到很好的控制效果。4.3.2模擬PID控制器離散化常用的數(shù)字PID控制算法包括位置式PID與增量式PID算法兩種。1.位置式PID算法模擬PID控制器的傳遞函數(shù)為：（4-43）其控制算式為（4-44）4.3.2模擬PID控制器離散化當信號采樣周期T遠小于信號變化周期，則，，

則式（4-44）可近似離散為（4-45）式中為積分系數(shù)，為微分系數(shù)。

，，

4.3.2模擬PID控制器離散化位置式PID算法有兩個缺點：（1）累加誤差，占用計算機內(nèi)存較多。（2）安全性差。輸出的直接對應(yīng)的是執(zhí)行機構(gòu)的實際位置，一旦計算機發(fā)生故障，的大幅度變化會引起執(zhí)行機構(gòu)位置的突變，可能造成重大的生產(chǎn)事故。(a)位置式(b)增量式圖4.14PID計算機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)4.3.2模擬PID控制器離散化2.增量式PID算法由式(4-45)，可有

(4-46)將式(4-45)與式(4-46)兩式相減，得(4-47)由式(4-47)，計算機僅輸出控制量的增量，對應(yīng)于執(zhí)行器位置的改變量，故稱增量式PID算法。4.3.2模擬PID控制器離散化增量式算法具有下述特點：（1）較為安全，計算機只輸出控制增量，誤動作影響?。唬?）增量計算簡單，只需當前時刻偏差和歷史數(shù)據(jù)和，即可完成計算；（3）實現(xiàn)手動—自動無擾動切換，控制量沖擊小，能夠較平滑地過渡。（4）執(zhí)行機構(gòu)的實際位置的累加需要用計算機外的其他的硬件（如步進電機）實現(xiàn)。4.3.2模擬PID控制器離散化3.PID算法中的數(shù)值積分問題位置和增量算法中，積分控制采用矩形積分近似。如考慮采用梯形積分近似，則有

：新的比例系數(shù)：新的積分時間常數(shù)：新的微分時間常數(shù)。4.3.2模擬PID控制器離散化上述兩式相減，可得增量算法為

其中，，。調(diào)整上式各項加權(quán)系數(shù)，可得到控制精度較高的梯形法近似算式。4.3.3數(shù)字PID控制算法改進實際控制系統(tǒng)中，執(zhí)行機構(gòu)（如電動機或閥門）自身的機械物理特性決定了其受控范圍是有限的，即輸入的取值及其變化率均在有限范圍內(nèi)，（4-52）（1）位置式PID：控制系統(tǒng)在啟動、停止，或者大幅度提降給定值，或者有較大的擾動時，系統(tǒng)輸出有較大偏差，由于系統(tǒng)的慣性，這種偏差短時間不會消失，經(jīng)標準PID算法中的積分環(huán)節(jié)將有較大的積累值，可能使輸出控制量很大，甚至超出限定范圍，從而使系統(tǒng)超調(diào)增大，響應(yīng)延遲，起不到期望的控制效果，這種現(xiàn)象對大慣性對象更為嚴重。（2）增量式PID：當給定值發(fā)生階躍變化時，由比例項和微分項計算出的控制量，也可能引起超調(diào)和持續(xù)振蕩，動態(tài)性能變差。4.3.3數(shù)字PID控制算法改進1.積分分離PID控制算法基本思想是：當小于某個閾值時引入積分作用，而在系統(tǒng)偏差較大時，取消積分作用。（4-53）式中，，為根據(jù)系統(tǒng)的實際情況設(shè)置的分離閾值。（1）當時，采用PID控制，可消除系統(tǒng)靜差，從而保證系統(tǒng)的控制精度。（2）當時，采用PD控制，可大大降低超調(diào)量，改善系統(tǒng)的動態(tài)特性。4.3.3數(shù)字PID控制算法改進圖4-16積分分離PID控制4.3.3數(shù)字PID控制算法改進2.不完全微分PID控制算法（1）不完全微分PID控制算式為消除高頻干擾的影響，除了減小微分系數(shù)外，還需在標準PID控制器后面串聯(lián)一個低通濾波器，形成不完全微分PID控制算法。圖4-17不完全微分PID控制器圖中，為低通濾波器傳遞函數(shù)4.3.3數(shù)字PID控制算法改進上圖中（4-54）對其進行拉氏反變換（4-55）用后向差分法離散化為（4-56）為標準PID位置算式的輸出，整理合并得（4-57）

4.3.3數(shù)字PID控制算法改進同理可得不完全微分PID的增量算式（4-58）上述兩式中，，為標準PID增量算式的輸出。

（a）標準PID控制器微分作用（b）不完全微分PID控制器微分作用圖4-18數(shù)字PID控制器的控制作用4.3.3數(shù)字PID控制算法改進3.帶死區(qū)PID控制算法為了避免控制作用過于頻繁，在一些精度要求不太高的場合，考慮在標準數(shù)字PID控制器前面人為設(shè)置適當范圍的死區(qū)，此區(qū)域內(nèi)增益隨控制過程變化而變化，控制算法為

式中，為死區(qū)增益，可為0、0.25、0.5、1等等，可根據(jù)系統(tǒng)控制精度要求設(shè)置死區(qū)的閾值，使隨控制過程中所在不同范圍而變化。4.3.3數(shù)字PID控制算法改進控制流程圖如圖4-19所示。4.3.3數(shù)字PID控制算法改進4.消除積分不靈敏區(qū)PID控制算法標準數(shù)字PID控制算法增量式中的積分項輸出為（4-66）當計算機的運算字長較短時，如果采樣周期T較小，而積分時間常數(shù)較長，則可能使的值小于計算機計算精度而被丟掉，從而不產(chǎn)生積分控制作用，這種情況稱為積分不靈敏區(qū)，此時系統(tǒng)不能消除靜差。4.3.4PID調(diào)節(jié)參數(shù)整定實際控制系統(tǒng)中，PID控制的結(jié)構(gòu)確定，其參數(shù)，、的確定成為重要的工作。PID控制器的設(shè)計步驟如下：1）確定控制器的結(jié)構(gòu)①對于有自平衡性的被控對象，應(yīng)選擇包含積分環(huán)節(jié)的控制器，反之，則應(yīng)選擇不含積分環(huán)節(jié)的控制器。②對于具有滯后性質(zhì)的被控對象，或者工藝允許有殘差，應(yīng)加入微分環(huán)節(jié)。、

4.3.4PID調(diào)節(jié)參數(shù)整定2）參數(shù)整定所謂參數(shù)整定，就是合理選擇控制器的參數(shù)，使得控制系統(tǒng)的性能指標達到要求。①對于模擬PID控制器，參數(shù)整定是按照控制性能指標要求，決定控制器的參數(shù)、、，系統(tǒng)性能指標有單項性能指標和綜合指標。②對于數(shù)字PID控制器，參數(shù)的整定，同樣是根據(jù)控制性能要求，確定、、，此外，還需確定采樣周期T。4.3.4PID調(diào)節(jié)參數(shù)整定1.擴充臨界比例度法（1）選擇合適的采樣周期T。T要足夠小，可選擇為被控對象純滯后時間1/10以下。（2）按選定的T使系統(tǒng)按純比例控制工作。然后逐步增大，直到系統(tǒng)出現(xiàn)臨界振動狀態(tài)（持續(xù)4~5次等幅振蕩）。此時的比例系數(shù)為臨界比例系數(shù)，記下臨界比例度及臨界振蕩周期，如圖4-21所示。圖4-21等幅振蕩曲線4.3.4PID調(diào)節(jié)參數(shù)整定（3）選擇控制度?？刂贫榷x為模擬控制系統(tǒng)誤差平方的積分（）與對應(yīng)的模擬控制系統(tǒng)誤差平方的積分之比：（4-71）（4）根據(jù)選定的控制度，按表4.2計算采樣周期T和PID的參數(shù)、、值。（5）按計算所得參數(shù)在線運行試驗，如果性能不滿意，可根據(jù)經(jīng)驗和對P、I、D各控制項作用的理解，進一步調(diào)節(jié)參數(shù)，直到滿意為止。一般先調(diào)比例度，使系統(tǒng)處于最佳狀態(tài)，再細調(diào)積分時間常數(shù)與微分時間常數(shù)。4.3.4PID調(diào)節(jié)參數(shù)整定表4.2擴充臨界比例度法整定參數(shù)控制度控制規(guī)律1.05PI0.030.530.88—PID0.0140.630.490.141.20PI0.050.490.91—PID0.0430.470.470.161.50PI0.140.420.99—PID0.090.340.430.202.0PI0.220.361.05—PID0.160.270.400.224.3.4PID調(diào)節(jié)參數(shù)整定2.擴充階躍響應(yīng)曲線法

該方法是基于模擬控制器響應(yīng)曲線法的擴充：（1）斷開數(shù)字控制器，使系統(tǒng)處于開環(huán)狀態(tài)，輸入階躍信號，將被控對象的被控制量調(diào)到給定值附近，并使其穩(wěn)定下來，然后記錄對象的單位階躍響應(yīng)曲線。如圖4-22所示。圖4-22對象的響應(yīng)曲線4.3.4PID調(diào)節(jié)參數(shù)整定（2）在對象響應(yīng)曲線的拐點處做一切線，求得等效滯后時間、等效時間常數(shù)以及它們的比值。（3）選擇控制度。查表4.3求得PID的參數(shù)、、、值。（4）根據(jù)查得的參數(shù)在線運行試驗，使系統(tǒng)處于最佳狀態(tài)。、

4.3.4PID調(diào)節(jié)參數(shù)整定表4.3擴充階躍響應(yīng)曲線法PID參數(shù)控制度控制規(guī)律1.05PI0.100.843.4—PID0.051.152.00.451.20PI0.200.783.6—PID0.161.01.90.551.50PI0.50.683.9—PID0.340.851.620.652.0PI0.800.574.2—PID0.600.601.500.824.3.4PID調(diào)節(jié)參數(shù)整定3.試湊法確定PID參數(shù)（1）只整定比例部分。將由小到大變化，觀察相應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)，直到得到反應(yīng)快、超調(diào)小的響應(yīng)曲線。系統(tǒng)若無靜差或靜差在允許范圍內(nèi)，則只需用比例控制即可。（2）若靜差不能滿足要求，則加入積分控制。首先將第一步確定