《高等數(shù)學(xué)》(第三版)教案第三章全

《高等數(shù)學(xué)》（第三版）教案第三章全3.1.1不定積分的概念與積分公式教學(xué)目標： （1）理解原函數(shù)與不定積分的概念，不定積分的幾何意義；（2）掌握不定積分的基本積分公式、運算法則；（3）學(xué)會用直接積分法計算函數(shù)的不定積分。教學(xué)重點： （1）不定積分的概念；（2）用直接積分法計算函數(shù)的不定積分。教學(xué)難點： 對不定積分的幾何意義的理解。授課時數(shù)：3課時教學(xué)過程過程備注引言介紹本章學(xué)習的主要內(nèi)容。教師講授5′問題一輛火車以的速度勻速行駛．當啟動剎車系統(tǒng)時，火車以固定的減速度停下．設(shè)火車在啟動剎車系統(tǒng)秒后的速度和位移分別為和，需要解決的問題是：如何用表示和．我們知道，若已知位移函數(shù)，則可得到物體運動的速度函數(shù)；同樣若已知物體運動的速度函數(shù)，可得到物體運動的加速度函數(shù)．現(xiàn)在要解決的問題與上述過程剛好相反，即(1)已知速度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求速度函數(shù)；(2)已知位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求速度函數(shù)．這是求導(dǎo)數(shù)的逆運算問題，是積分學(xué)的基本概念之一．教師講授與學(xué)生回答相結(jié)合10′1.原函數(shù)與不定積分的概念新知識上面兩個問題實質(zhì)上都是在滿足函數(shù)的情況下如何求原來函數(shù)的問題，由此，抽象出原函數(shù)的概念．如果在區(qū)間上，函數(shù)與滿足，則稱函數(shù)是函數(shù)在該區(qū)間上的一個原函數(shù)．教師講授15′知識鞏固例1求函數(shù)的原函數(shù)．解因為，所以是的一個原函數(shù)；因為，所以是的一個原函數(shù)；因為（是任意常數(shù)），所以對于任意常數(shù)，都是的原函數(shù)．由例1不難得出：(1)函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個；(2)函數(shù)的兩個原函數(shù)之間只相差一個常數(shù)；(3)若函數(shù)為函數(shù)的一個原函數(shù)，則（是任意常數(shù)）表示的全部原函數(shù)．教師講授25′新知識函數(shù)在區(qū)間I上的全部原函數(shù)（為任意常數(shù)）稱為在區(qū)間I上的不定積分，記作：，即．（3.1）其中符號稱為不定積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，x稱為積分變量，C稱為積分常數(shù)．教師講授30′知識鞏固例2求下列各不定積分(1)；(2)．解(1)因為，所以是的一個原函數(shù)，因此．(2)因為，所以是的一個原函數(shù)，因此．在教師引領(lǐng)下共同完成40′做一做(1)已知，求；(2)求不定積分．在教師引領(lǐng)下完成55′新知識由不定積分的概念知，函數(shù)的不定積分與導(dǎo)數(shù)（或微分）互為逆運算，即(1)或．(2)或．教師講授60′2.不定積分的幾何意義探究由知，是的全部原函數(shù)．因為的圖像可以由拋物線沿軸移動個單位得到，所以的圖像是一族拋物線（如圖3-1所示），并且每條拋物線上橫坐標相同點處切線的斜率相等，都等于．圖3-1結(jié)合圖像動畫演示70′結(jié)論若是的一個原函數(shù)，則稱的圖形是的積分曲線．因為不定積分是的原函數(shù)的一般表達式，所以它對應(yīng)的圖形是一族積分曲線，稱它為積分曲線族．積分曲線族的特點是：(1)積分曲線族中任意一條曲線，可由其中某一條沿y軸平行移動而得到．(2)每條積分曲線上橫坐標相同點處，切線斜率相等，都等于，從而使相應(yīng)點的切線相互平行（如圖3-2所示）．圖3-2教師講授80′3.不定積分的基本積分公式、運算法則、直接積分法新知識基本積分公式函數(shù)的不定積分與導(dǎo)數(shù)（或微分）互為逆運算，因此，對每一個導(dǎo)數(shù)公式都可以得出一個相應(yīng)的積分公式．序號1．2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.運算法則不定積分有以下兩條運算法則．(1)(2)，（k為不等于零的常數(shù)）直接積分法利用運算法則及被積函數(shù)的恒等變形，將所求積分轉(zhuǎn)化為基本積分公式表中的積分進行計算．教師講授95′知識鞏固例3求下列不定積分(1)；(2)．解(1)，令，則． 說明：今后計算不定積分時，不必分別加積分常數(shù)，只需在最后加一個即可．(2)．例4求下列不定積分(1)；(2)．解(1)．(2)．例5一物體以速度（單位：）作直線運動，當時，物體經(jīng)過的路程，求該物體的運動方程．解因為，所以．當時，，因此，即，故該物體的運動方程為．教師講授在教師引領(lǐng)下完成110′教師講授115′練習3.1.11．求下列不定積分(1)； (2)；(3)； (4)；2．一曲線經(jīng)過點，且曲線上任意一點處的切線斜率為，求該曲線的方程．學(xué)生課上完成130′小結(jié)新知識：原函數(shù)與不定積分的概念，不定積分的幾何意義，不定積分的基本積分公式、運算法則，用直接積分法計算函數(shù)的不定積分。135′作業(yè)1.通過復(fù)習原函數(shù)與不定積分的關(guān)系，記憶不定積分的基本積分公式；2.完成高等數(shù)學(xué)習題集“”。3.1.2不定積分的計算教學(xué)目標：（1）學(xué)會用湊微分法計算函數(shù)的不定積分；（2）掌握分部積分法的步驟和關(guān)鍵，學(xué)會用分部積分法計算函數(shù)的不定積分。教學(xué)重點： 用湊微分法和分部積分法計算函數(shù)的不定積分。 教學(xué)難點： 對“湊微分”公式的理解，分部積分法的步驟和關(guān)鍵。授課時數(shù)：4課時.教學(xué)過程過程備注做一做完成下面等式(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．在教師提示下完成10′探究例6求不定積分．解1．解2令，則，代入原積分中，得，再將回代，得．因為，所以確定是的一個原函數(shù)，說明這種方法是正確的．利用這種方法可以很容易的計算出如、等不定積分，不必將被積函數(shù)展開，使得計算非常方便．這種做法是否具有普遍性呢？答案是肯定的．師生共同完成20′1.不定積分的換元積分法新知識一般地，若成立，則當是的可導(dǎo)函數(shù)時，也成立．這個結(jié)論表明：在基本積分公式中，自變量換成可導(dǎo)函數(shù)時，積分公式的形式不變，公式仍然成立，這樣就擴大了不定積分基本公式的適用范圍．通常把這種求不定積分的方法叫做第一類換元積分法，上述積分方法中關(guān)鍵是將被積表達式寫成的形式，稱為湊微分，因此第一類換元積分法又叫做湊微分法．湊微分法是一種最基本的積分方法，下面分兩種基本情況介紹．（1）形式為的不定積分（）考慮到，把被積函數(shù)中的湊微分，得，令，然后利用最基本積分公式求解．教師講授25′知識鞏固例7求．解因為，令，則．在運算熟練后，中間變量只需記在心里，而不必寫出來，例7的具體寫法是：．例8求解．例9求．解．教師講授在教師引領(lǐng)下完成40′新知識（2）形式為的不定積分把被積函數(shù)中的湊微分，得，令，然后利用最基本積分公式求解．教師講授45′知識鞏固例10求．解被積函數(shù)中含有和且，因此可以嘗試用與湊微分，即，所以．例11求．解被積函數(shù)中含有和且，因此可以嘗試用與湊微分，即，所以．例12求．解被積函數(shù)中含有和且，因此可以嘗試用與湊微分，即．所以．教師講授在教師引領(lǐng)下共同完成60′新知識一般地，當被積函數(shù)中的含有，，，，，，，，等因式時，可以考慮將它們與湊微分，即，，，，，，，，．在求解不定積分問題中，所用到的湊微分絕非只有這些．因此，對遇到的具體問題要認真分析，總結(jié)規(guī)律，逐步掌握這一積分方法．在教師引領(lǐng)下共同完成70′練習3.1.21．用湊微分法求下列不定積分(1)； (2)；(3)； (4)；學(xué)生課上完成90′2.不定積分的分部積分法新知識分部積分法是與兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)運算法則對應(yīng)的，也是一種基本積分方法．函數(shù)，乘積的導(dǎo)數(shù)公式是移項，得兩邊同時求不定積分，得即（3.2）上述公式稱為分部積分公式．它可以將求的積分問題轉(zhuǎn)化為求的積分，當積分較容易求出時，利用分部積分公式起到了化難為易的作用．教師講授100′知識鞏固例13求．分析用分部積分法求解，怎樣選取和呢？我們做下面的嘗試．解1設(shè)，，則，．應(yīng)用分部積分公式，得．解2設(shè)，，則，．應(yīng)用分部積分公式，得．（1）式（1）右端的積分比原來的積分更不易求出，說明這樣選取、是不合適的．教師講授110′新知識由例13可以看到：(1)選取和的原則是：容易求得，比原來的積分容易計算．(2)由求出，實質(zhì)還是湊微分．因此，使用分部積分公式的一般步驟是：．運算熟練后，、及、只需記在心里，而不必寫出來，例13的具體寫法是：．教師講授115′知識鞏固例14求．解．有時需要連續(xù)兩次湊微分，然后應(yīng)用分部積分公式進行計算．例15求．解．有些積分需要連續(xù)幾次用分部積分公式才能求出．例16求．解對于繼續(xù)用分部積分公式，上式．說明當被積函數(shù)只有一項時，此函數(shù)就是，就是，這時不需要湊微分，直接代入分部積分公式即可．教師講授在教師引領(lǐng)下共同完成135′練習3.1.22．用分部積分法求下列不定積分(1)；(2)；學(xué)生課上完成150′鏈接軟件利用高級計算器可以方便的計算不定積分．計算例16操作如下：1．單擊不定積分符號，在命令窗口出現(xiàn)符號后，輸入被積函數(shù)“”；2．單擊“輸入”，得到計算結(jié)果．即說明利用高級計算器計算不定積分，其結(jié)果可能與我們動手計算在形式上不同，兩種結(jié)果都是正確的，它們可以互化或只差一個常數(shù)．演示165′練習3.1.23．用計算器求下列不定積分(1)；(2)；學(xué)生課上完成175′小結(jié)新知識：不定積分的換元積分法（湊微分）和分部積分法。180′作業(yè)1.梳理不定積分的湊微分法、分部積分法；2.完成高等數(shù)學(xué)習題集“”。3.2.1定積分的概念教學(xué)目標：理解定積分的概念及幾何意義。教學(xué)重點： 定積分的概念。教學(xué)難點： 定積分的概念的理解。授課時數(shù)：2課時.教學(xué)過程過程備注探究1．面積問題圖3-5如何計算由曲線和直線、、圍成的圖形（圖3-4）的面積呢？圖3-5圖圖3-4回想第1章曾介紹利用“割圓術(shù)”求圓周長的方法，現(xiàn)在繼續(xù)用這種思想求上述圖形的面積．設(shè)所求面積為．第1步：以矩形面積做面積的近似值．通過作直線，，……，把面積分成個條形，再過上述直線與曲線的交點做平行于軸的直線，即可得到個矩形（圖3-5），這些矩形面積的和就是面積的近似值．容易看出：每個矩形的寬都是，高分別為函數(shù)在點，，……，，處的函數(shù)值，于是．利用公式得，．第2步：利用極限思想求面積．由圖3-5可以看到，隨著矩形個數(shù)的增加（當增大時），和越接近．因此，所求面積為矩形面積和的極限，即．一般地，由曲線和直線、、圍成的的平面圖形稱為曲邊梯形（圖3-6）．下面來計算曲邊梯形的面積．圖3-圖3-7圖3-6 （1）用直線，，……，將面積分成個等寬的小曲邊梯形（如圖3-7所示），每個小曲邊梯形的寬都是．這時，區(qū)間被分成個小區(qū)間：，，……，（其中，）， （2）用寬為、高分別為函數(shù)在每個小區(qū)間右端點處的函數(shù)值的矩形面積來近似代替對應(yīng)的小曲邊梯形面積，這些矩形面積的和就是面積的一個近似值．于是． （3）上述和的極限就是所求曲邊梯形的面積，即．事實上，可以用區(qū)間上任意一點處的函數(shù)值代替其右端點的函數(shù)值（1，2，……，）作為小矩形的高，每個小區(qū)間的長度即小矩形的寬也可以是不相等的，，……．在最大的小區(qū)間長度趨向零的條件下，可得到計算曲邊梯形面積的更一般的結(jié)果其中，，如圖3-8所示．ξξi圖3-82．路程問題作直線運動的物體，若在固定的時間內(nèi)速度是不變的，則路程可以用公式路程速度時間求出．但是，如果速度是變化的，路程不能用上述公式計算．那么，怎樣計算做變速直線運動的物體在固定時間內(nèi)經(jīng)過的路程呢？我們看下面的例子．某物體做變速直線運動，已知速度為是時間的連續(xù)函數(shù)，采用類似于計算曲邊梯形面積的方法，計算該物體在時間段經(jīng)過的路程．（1）把時間區(qū)間分成個小段，，……，，……，（其中，）， （2）記第段時間的長度為．任取一點，用這一刻的速度代替小段時間上的速度，得到第段時間物體經(jīng)過的路程的近似值（1，2，……，）．將物體在每小段時間經(jīng)過路程的近似值相加，可以得到在時間段經(jīng)過路程的近似值，即． （3）在最大的小段時間長度趨向于零的條件下，的極限就是所求的路程，，其中，．動畫演示圖3-4面積的求法總結(jié)求解步驟演示曲邊梯形的面積的求法總結(jié)求解步驟強調(diào)更一般的結(jié)果在教師引領(lǐng)下共同完成50′新知識上面兩個問題，雖然實際意義不同，但解決問題的方法完全相同，都是計算一種和式的極限．類似的問題還有很多，因此我們有必要對一般的這類和式的極限問題進行研究，這就是定積分問題．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，任取分點，把分成個小區(qū)間，記，，在每個小區(qū)間上任取一點，做乘積的和式，如果時上述和式的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記為．（3.3）其中稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，x稱為積分變量，區(qū)間稱為積分區(qū)間，、分別稱為積分下限和積分上限．此時也稱函數(shù)在區(qū)間上可積，否則稱不可積．根據(jù)上述結(jié)論，可知(1)由曲線和直線，，圍成的曲邊梯形的面積為．(2)做變速直線運動的物體，已知速度為是時間的連續(xù)函數(shù)，該物體在時間段經(jīng)過的路程為．關(guān)于定積分的幾點說明(1)定積分是一個確定的常數(shù)，它只與被積函數(shù)及積分上、下限有關(guān)，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即．(2)為討論方便，規(guī)定：；．圖3-10圖3-9(3)在區(qū)間上，當時，表示如圖3-6所示的曲邊梯形的面積；當時，表示如圖3-9所示的曲邊梯形的面積，所以；當有正有負時，表示如圖3-10所示圖形各面積的代數(shù)和，即．圖3-10圖3-9教師講授70′練習3.2.11．求的值．2．已知，求的值．3．利用定積分的幾何意義求定積分的值．在教師引領(lǐng)下學(xué)生課上完成85′小結(jié)新知識：定積分的概念及幾何意義90′作業(yè)1.梳理運用求“和式的極限”解決問題思路，寫出求解步驟。2.完成高等數(shù)學(xué)習題集“”。定積分的性質(zhì)及微積分基本公式教學(xué)目標：（1）了解定積分基本性質(zhì)；（2）介紹牛頓—萊布尼茨公式及用該公式計算定積分的方法。教學(xué)重點：（1）定積分基本性質(zhì)（2）牛頓—萊布尼茨公式。 教學(xué)難點： 對牛頓—萊布尼茨公式的理解。授課時數(shù)：1課時.教學(xué)過程過程備注新知識1．定積分的性質(zhì)定積分的一些基本性質(zhì)，將有助于計算一些簡單的積分．下面性質(zhì)的介紹中，假設(shè)有關(guān)函數(shù)都是可積的．性質(zhì)1對于任意的常數(shù)，有．性質(zhì)2兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分等于個函數(shù)定積分的代數(shù)和，即．注意：性質(zhì)2還可以推廣到有限多個函數(shù)的代數(shù)和的情形．性質(zhì)3被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號的外面，即（是常數(shù)，且）．性質(zhì)4對于任意三個數(shù)，，，總有．教師講授10′知識鞏固例1已知，，求．解應(yīng)用性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)3，得．例2已知，，求．解應(yīng)用性質(zhì)4，得．在教師引領(lǐng)下共同完成20′探究設(shè)一質(zhì)點沿直線運動，其速度，現(xiàn)需要計算該質(zhì)點從到這段時間經(jīng)過的路程．一方面，由定積分的概念知：；另一方面，由路程函數(shù)與速度函數(shù)之間的關(guān)系知：，即，因為當時，故，所以，從而．將上述兩方面結(jié)合起來，可以得到，其中，即是的一個原函數(shù)．在教師引領(lǐng)下共同完成27′新知識2．微積分基本公式可以將上述結(jié)論推廣到一般情形．一般地，若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且是在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則．（3.4）式（3.4）稱為牛頓萊布尼茲公式，也叫做微積分基本公式．為書寫方便，經(jīng)常把上式中的記為或，因此牛頓萊布尼茲公式又可以寫成或．牛頓萊布尼茲公式把求定積分歸結(jié)為求被積函數(shù)的原函數(shù)，使得定積分的計算通過不定積分的計算來完成．教師講授35′練習3.2.21．已知，，求的值．2．已知，，求的值．3．已知是的一個原函數(shù)，求的值學(xué)生課上完成42′小結(jié)新知識：定積分基本性質(zhì)，牛頓-萊布尼茲公式。45′作業(yè)完成高等數(shù)學(xué)習題集“”。3.2.3定積分的計算教學(xué)目標：（1）學(xué)會直接應(yīng)用牛頓萊布尼茲公式計算定積分；（2）學(xué)會應(yīng)用定積分的分部積分法則計算定積分。（3）學(xué)會對分段函數(shù)求定積分。教學(xué)重點： 定積分的計算方法。 教學(xué)難點： 定積分的分部積分法則。授課時數(shù)：3課時.教學(xué)過程過程備注1．直接應(yīng)用牛頓萊布尼茲公式計算新知識在計算定積分時，若能夠直接應(yīng)用不定積分的基本公式或第一類換元積分法則求出原函數(shù)，則可直接應(yīng)用牛頓萊布尼茲公式計算定積分．教師講授5′知識鞏固(1)直接應(yīng)用不定積分的基本公式求原函數(shù)例3計算．解第1步，計算不定積分求出原函數(shù)．因為，所以．第2步，分別將積分上、下限代入求差．熟練后，第一步不必寫出來，直接應(yīng)用牛頓萊布尼茲公式即可．例4計算．解．(2)應(yīng)用第一類換元積分法則求原函數(shù)例5計算．解．例6計算．解．例7計算．解．教師講授在教師引領(lǐng)下共同完成35′2．應(yīng)用定積分的分部積分法則計算新知識將不定積分的分部積分法則與牛頓萊布尼茲公式結(jié)合，可得到定積分的分部積分法則．設(shè)函數(shù)函數(shù)和在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分．（3.5）教師講授40′知識鞏固例8計算．解．例9計算．解．在教師引領(lǐng)下共同完成55′3．分段函數(shù)的定積分新知識當被積函數(shù)為分段函數(shù)時，需要利用定積分的性質(zhì)4，分段進行積分．教師講授60′知識鞏固例10已知求．解被積函數(shù)是分段函數(shù)，其圖像如圖3-11所示．用分段函數(shù)的分段點，將積分區(qū)間分為和，故圖3-11圖3-11．例11計算．解由于是分段函數(shù)，函數(shù)的分段點為，積分區(qū)間為和，故．教師講授在教師引領(lǐng)下共同完成75′練習3.2.31．計算下列各定積分．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6)．學(xué)生課上完成105′鏈接軟件利用高級計算器可以方便地計算定積分．例如計算操作如下：1．單擊定積分符號，在命令窗口出現(xiàn)符號后，輸入積分上、下限及被積函數(shù)“”；2．單擊“輸入”，得到計算結(jié)果．即．演示115′練習3.2.32．用高級計算器求下列定積分．(1)；(2)．學(xué)生課上完成125小結(jié)新知識：定積分的各種計算方法。135′作業(yè)1.梳理節(jié)中幾種不同的計算方法;2.完成高等數(shù)學(xué)習題集“作業(yè)”。3.2.4廣義積分教學(xué)目標：學(xué)會計算無窮區(qū)間上的廣義積分。教學(xué)重點： 無窮區(qū)間上的廣義積分的概念和計算。教學(xué)難點： 廣義積分概念的理解授課時數(shù)：1課時.教學(xué)過程過程備注探究計算由曲線，直線，圍成圖形的面積．觀察圖3-12看出，該圖形的右側(cè)是“開口”的，那么這個面積如何計算呢？圖圖3-12圖3-13為了求出這個面積，首先作直線．圖3-13中陰影部分的面積為． 顯然，直線越向右移動，越接近所求的面積．由極限的概念可知：，即在教師的引領(lǐng)下尋求解決問題的方法8′新知識在上面問題中，我們按照“首先求出定積分，然后再求極限”的方法得到這種開口曲邊梯形的面積．采用這種方法可以將在無窮區(qū)間上的定積分定義為有限區(qū)間上的定積分的極限．一般地，設(shè)函數(shù)分別在區(qū)間、及上連續(xù)，則(1)對于任意的，把極限稱為函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分，記為，即． 若極限存在，稱廣義積分收斂；若極限不存在，稱廣義積分發(fā)散．(2)對于任意的，把極限稱為函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分，記為，即． 若極限存在，稱廣義積分收斂；若極限不存在，稱廣義積分發(fā)散．(3)在無窮區(qū)間上的廣義積分，記為，且對于任意的常數(shù)C，．當和都收斂時，廣義積分收斂．教師講授18′知識鞏固例12計算廣義積分．解．計算無窮區(qū)間的廣義積分時，為書寫方便，在形式上可以沿用牛頓萊布尼茲公式的寫法．例如，．例13計算廣義積分．解．例14判斷廣義積分的斂散性．解．所以廣義積分收斂．例15判斷廣義積分的斂散性．解． 所以廣義積分發(fā)散．教師講授在教師引領(lǐng)下共同完成30′練習3.2.4 計算下列各廣義積分，并說明其斂散性．(1)；(2)；(3)；(4)．學(xué)生課上完成42′小結(jié)新知識：廣義積分的概念及計算方法。45′作業(yè)完成高等數(shù)學(xué)習題集“作業(yè)”。3.3.1定積分的微元法教學(xué)目標：理解定積分的微元法。教學(xué)重點：定積分的微元法。 教學(xué)難點： 定積分的微元法。授課時數(shù)：1課時.教學(xué)過程過程備注知識回顧回顧求曲邊梯形面積的問題．求如圖3-14所示的曲邊梯形面積的總的思路是：(1)把區(qū)間分成個長度分別為的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分成個窄曲邊梯形，用矩形面積代替第個窄曲邊梯形的面積，即，(2)求和，得的近似值，(3)求極限，得的精確值．圖圖3-14圖3-15為應(yīng)用方便，可以把上述步驟簡化．若用表示任一小區(qū)間上的窄曲邊梯形的面積，用如圖3-15所示的矩形面積作為的近似值，即或，稱為面積微元．于是曲邊梯形面積就是．在教師引領(lǐng)下共同完成15′新知識由上面討論可知：符合下列條件的所求量可以考慮用定積分來計算：(1)是與一個變量的變化區(qū)間有關(guān)的量；(2)對于區(qū)間具有可加性，即若把區(qū)間分成許多部分區(qū)間，則相應(yīng)地分成許多部分量，而等于所有部分量之和．用定積分計算所求量的步驟是：(1)選取一個變量為積分變量，并確定它的變化區(qū)間．例如：選取為積分變量，它的變化區(qū)間為．(2)任取小區(qū)間，求出相應(yīng)于這個小區(qū)間的部分量的近似值，稱為的微元．(3)所求量是在區(qū)間上的定積分，即．上述方法通常稱為定積分的微元法．教師講授30′已知某物體做變速直線運動，速度是時間的連續(xù)函數(shù)，現(xiàn)利用定積分計算物體在時間段經(jīng)過的路程．請指出：（1）積分變量與積分區(qū)間；（2）路程S的微元；（3）路程S．在教師提示下完成42′小結(jié)新知識：定積分的微元法。45′作業(yè)完成高等數(shù)學(xué)習題集“”。3.3.2定積分在幾何上的應(yīng)用教學(xué)目標：（1）學(xué)會求由上、下兩條曲線和（）及直線，圍成圖形的面積；（2）學(xué)會求由曲線（），直線，及圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。教學(xué)重點： 求上述面積、體積的方法。 教學(xué)難點： 用定積分表示上述面積、體積。授課時數(shù)：2課時.教學(xué)過程過程備注新知識圖3-161．由上、下兩條曲線和（）及直線，圍成圖形的面積圖3-16如圖3-16所示：選取為積分變量，在任取一個小區(qū)間．面積微元為，于是所求面積為．容易看出，上式中的被積函數(shù)可以看做是上邊曲線的方程與下面曲線的方程的差．用定積分的幾何意義解釋，所求面積可以看做分別以曲線和為曲邊的兩個曲邊梯形面積的差．即．（3.6）特殊情形是：當時，．教師講授10′知識鞏固圖3-17例1求由曲線，直線，，，所圍成圖形的面積．圖3-17解如圖3-17所示，根據(jù)上面結(jié)論得所求面積為．例2求由兩條拋物線和所圍成圖形的面積．圖3-18解如圖圖3-18解方程組得兩曲線的交點為、．所以，所求面積為．教師講授在教師引領(lǐng)