2024-2025學年新教材高考數(shù)學 第1章 空間向量與立體幾何 4 二面角教案 新人教B版選擇性必修第一冊

2024-2025學年新教材高考數(shù)學第1章空間向量與立體幾何4二面角教案新人教B版選擇性必修第一冊學校授課教師課時授課班級授課地點教具課程基本信息1.課程名稱：空間向量與立體幾何

2.教學年級和班級：高三年級1班

3.授課時間：2024年10月10日

4.教學時數(shù)：1課時（45分鐘）

二、教學內(nèi)容及目標

1.教學內(nèi)容：

（1）復(fù)習平面向量的概念及運算；

（2）引入空間向量的概念，掌握空間向量的運算；

（3）學習二面角的定義及其計算方法；

（4）運用空間向量與二面角解決立體幾何問題。

2.教學目標：

（1）理解并掌握空間向量的概念及運算；

（2）掌握二面角的定義及其計算方法；

（3）能夠運用空間向量與二面角解決立體幾何問題。

三、教學步驟

1.導入：復(fù)習平面向量的概念及運算，引導學生思考向量的擴展到空間向量的必要性。

2.新課講解：

（1）講解空間向量的概念，引導學生通過實物模型直觀理解空間向量；

（2）介紹空間向量的運算，如加法、減法、數(shù)乘等；

（3）引入二面角的定義，通過實物模型展示二面角的形狀；

（4）講解二面角的計算方法，如用向量表示法計算二面角。

3.例題講解：選取典型例題，引導學生運用空間向量與二面角解決立體幾何問題。

4.課堂練習：布置練習題，讓學生鞏固所學知識。

5.總結(jié)：對本節(jié)課的主要內(nèi)容進行總結(jié)，強調(diào)空間向量與二面角在立體幾何中的重要性。

四、課后作業(yè)

1.復(fù)習本節(jié)課所學內(nèi)容，整理筆記；

2.完成課后練習題，加深對空間向量與二面角的理解。

五、教學評價

1.課堂表現(xiàn)：觀察學生在課堂上的參與程度、提問回答等情況，了解學生的學習狀態(tài)；

2.課后作業(yè)：檢查學生完成作業(yè)的情況，評估學生對課堂所學知識的掌握程度。核心素養(yǎng)目標1.邏輯推理：通過學習空間向量與二面角，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，使其能夠運用所學知識解決立體幾何問題。

2.直觀想象：通過實物模型和幾何圖形的觀察，培養(yǎng)學生的直觀想象力，使其能夠形象地理解空間向量與二面角的概念和運用。

3.數(shù)學建模：通過典型例題和課堂練習，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力，使其能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，并運用空間向量與二面角解決。

4.數(shù)學運算：通過空間向量的運算和二面角的計算，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力，使其能夠熟練運用運算規(guī)則進行空間向量與二面角的計算。教學難點與重點1.教學重點

（1）空間向量的概念及其表示方法：學生需要理解空間向量是從起點到終點的有向線段，以及如何用有序數(shù)對表示空間向量。

（2）空間向量的運算規(guī)則：學生需要掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘等運算規(guī)則，以及這些運算在立體幾何中的應(yīng)用。

（3）二面角的定義及其計算方法：學生需要理解二面角是由兩個平面相交所形成的角，以及如何用向量表示法計算二面角。

（4）運用空間向量與二面角解決立體幾何問題：學生需要學會如何運用空間向量與二面角的知識解決立體幾何問題，如求解空間距離、角度和體積等。

2.教學難點

（1）空間向量的直觀理解：學生可能難以形象地理解空間向量的概念，特別是對于三維空間中的向量。

（2）空間向量運算的規(guī)則：學生可能對空間向量的加法、減法和數(shù)乘等運算規(guī)則理解不深，導致在實際應(yīng)用中出錯。

（3）二面角的計算方法：學生可能難以理解二面角的定義，以及如何用向量表示法進行計算。

（4）立體幾何問題的解決方法：學生可能不知道如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，并運用空間向量與二面角的知識解決。教學資源準備1.教材：確保每位學生都有《2024-2025學年新教材高考數(shù)學第1章空間向量與立體幾何》的教材或?qū)W習資料。

2.輔助材料：準備與教學內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，如空間向量的示意圖、二面角的模型圖等。

3.實驗器材：如果涉及實驗，確保實驗器材的完整性和安全性，如立體幾何模型、向量標尺等。

4.教室布置：根據(jù)教學需要，布置教室環(huán)境，如在講臺附近設(shè)置黑板和投影儀，學生桌椅排列成適合小組討論和實驗操作的布局。教學過程1.導入（5分鐘）

同學們，上節(jié)課我們學習了平面向量的概念及運算，今天我們將學習空間向量與立體幾何中的一個重要概念——二面角。希望大家能夠積極參與，共同探索空間向量與二面角的奧秘。

2.新課講解（15分鐘）

（1）空間向量（5分鐘）

同學們，空間向量是從起點到終點的有向線段，我們可以用有序數(shù)對來表示空間向量。假設(shè)有一個空間向量A→=(x,y,z)，其中x,y,z分別為該向量在x軸、y軸、z軸上的分量。

（2）二面角（5分鐘）

3.例題講解（15分鐘）

現(xiàn)在，我們來解決一些實際問題，看看如何運用空間向量與二面角來解決立體幾何問題。

例1：已知空間向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→與向量B→的夾角。

解：首先，我們計算向量A→與向量B→的點積，即A→·B→=1×4+2×5+3×6=26。然后，我們計算向量A→和向量B→的模長，分別為|A→|=√(1^2+2^2+3^2)=√14和|B→|=√(4^2+5^2+6^2)=√77。因此，向量A→與向量B→的夾角θ的余弦值為cosθ=A→·B→/(|A→||B→|)=26/(√14×√77)=2/7。所以，向量A→與向量B→的夾角為arccos(2/7)。

例2：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，CD=4，求二面角D-AA1-B的大小。

解：首先，我們找出長方體的對角線AC1，其長度為AC1=√(AB^2+BC^2+CD^2)=√(2^2+3^2+4^2)=√29。然后，我們找出平面AA1B1B和平面CC1DD1的法向量n1→和n2→。由于n1→垂直于平面AA1B1B，我們可以取n1→=AB→×BC→=(3,2,-1)。同理，我們可以取n2→=CD→×AC1→=(4,3,-2)。因此，二面角D-AA1-B的大小為θ=arccos|n1→·n2→|/|n1→||n2→|=arccos(1)/√(3^2+2^2+1^2)√(4^2+3^2+(-2)^2)=π/3。

4.課堂練習（15分鐘）

現(xiàn)在，我們來做一些課堂練習，鞏固一下今天所學的知識。

練習1：已知空間向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→與向量B→的夾角。

練習2：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，CD=4，求二面角D-AA1-B的大小。

5.總結(jié)（5分鐘）

6.課后作業(yè)（5分鐘）

同學們，課后請完成教材上的練習題，并預(yù)習下一節(jié)課的內(nèi)容。教學資源拓展六、教學資源拓展

1.拓展資源

（1）空間向量與立體幾何的相關(guān)論文和學術(shù)文章，以便學生能夠更深入地了解空間向量與立體幾何的理論基礎(chǔ)。

（2）空間向量與立體幾何的在線課程和教學視頻，如Coursera、edX等平臺上的相關(guān)課程，以便學生能夠從不同角度和層面理解知識。

（3）空間向量與立體幾何的數(shù)學競賽題目和解答，如AMC、AIME等競賽的相關(guān)題目，以便學生能夠通過競賽提高自己的數(shù)學能力。

（4）空間向量與立體幾何的應(yīng)用案例和實際問題，如工程設(shè)計、物理建模等領(lǐng)域中的應(yīng)用案例，以便學生能夠了解空間向量與立體幾何在實際生活中的應(yīng)用。

2.拓展建議

（1）建議學生閱讀空間向量與立體幾何的相關(guān)論文和學術(shù)文章，加深對理論知識的理解和掌握。

（2）建議學生參加空間向量與立體幾何的在線課程和教學視頻，從不同角度和層面學習知識，提高學習效果。

（3）建議學生參加空間向量與立體幾何的數(shù)學競賽，通過競賽提高自己的數(shù)學能力，培養(yǎng)解決問題的思維和能力。

（4）建議學生尋找空間向量與立體幾何的應(yīng)用案例和實際問題，了解知識在實際生活中的應(yīng)用，提高學習的興趣和動力。典型例題講解為了更好地幫助同學們理解和掌握空間向量與立體幾何的知識，下面我將講解一些典型的例題。

例題1：已知空間向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→與向量B→的夾角。

解：首先，我們計算向量A→與向量B→的點積，即A→·B→=1×4+2×5+3×6=26。然后，我們計算向量A→和向量B→的模長，分別為|A→|=√(1^2+2^2+3^2)=√14和|B→|=√(4^2+5^2+6^2)=√77。因此，向量A→與向量B→的夾角θ的余弦值為cosθ=A→·B→/(|A→||B→|)=26/(√14×√77)=2/7。所以，向量A→與向量B→的夾角為arccos(2/7)。

例題2：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，CD=4，求二面角D-AA1-B的大小。

解：首先，我們找出長方體的對角線AC1，其長度為AC1=√(AB^2+BC^2+CD^2)=√(2^2+3^2+4^2)=√29。然后，我們找出平面AA1B1B和平面CC1DD1的法向量n1→和n2→。由于n1→垂直于平面AA1B1B，我們可以取n1→=AB→×BC→=(3,2,-1)。同理，我們可以取n2→=CD→×AC1→=(4,3,-2)。因此，二面角D-AA1-B的大小為θ=arccos|n1→·n2→|/|n1→||n2→|=arccos(1)/√(3^2+2^2+1^2)√(4^2+3^2+(-2)^2)=π/3。

例題3：已知空間向量A→=(1,0,1)和B→=(0,1,1)，求向量A→與向量B→的夾角。

解：首先，我們計算向量A→與向量B→的點積，即A→·B→=1×0+0×1+1×1=1。然后，我們計算向量A→和向量B→的模長，分別為|A→|=√(1^2+0^2+1^2)=√2和|B→|=√(0^2+1^2+1^2)=√2。因此，向量A→與向量B→的夾角θ的余弦值為cosθ=A→·B→/(|A→||B→|)=1/(√2×√2)=1/2。所以，向量A→與向量B→的夾角為arccos(1/2)=π/3。

例題4：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，求二面角A-BC-D的大小。

解：首先，我們找出正方體的對角線AC1，其長度為AC1=√(AB^2+BC^2+CD^2)=√(2^2+2^2+2^2)=2√3。然后，我們找出平面ABCD的法向量n→，取n→=AB→×BC→=(2,2,-2)。因此，二面角A-BC-D的大小為θ=arccos(n→·CD→)/|n→||CD→|=arccos(2/2√3)=π/6。

例題5：已知空間向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→與向量B→的夾角的余弦值。

解：首先，我們計算向量A→與向量B→的點積，即A→·B→=1×4+2×5+3×6=26。然后，我們計算向量A→和向量B→的模長，分別為|A→|=√(1^2+2^2+3^2)=√14和|B→|=√(4^2+5^2+6^2)=√77。因此，向量A→與向量B→的夾角θ的余弦值為cosθ=A→·B→/(|A→||B→|)=26/(√14×√77)=2/7。所以，向量A→與向量B→的夾角的余弦值為2/7。課堂小結(jié)，當堂檢測課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們學習了空間向量與立體幾何中的二面角。我們首先介紹了空間向量的概念及其表示方法，然后學習了空間向量的運算規(guī)則，包括加法、減法和數(shù)乘。接著，我們引入了二面角的定義，并學習了如何用向量表示法計算二面角。最后，我們通過典型例題的講解，使同學們能夠運用空間向量與二面角解決實際問題。

當堂檢測：

下面進行當堂檢測，請同學們認真完成。

1.已知空間向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→與向量B→的夾角。

2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，CD=4，求二面角D-AA1-B的大小。

3.已知空間向量A→=(1,0,1)和B→=(0,1,1)，求向量A→與向量B→的夾角。

4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，求二面角A-BC-D的大小。

5.已知空間向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→與向量B→的夾角的余弦值。

請同學們在規(guī)定時間內(nèi)完成上述題目，我們將進行批改和講解。板書設(shè)計①空間向量的概念及其表示方法

1.空間向量是從起點到終點的有向線段，用有序數(shù)對表示。

2.空間向量的運算規(guī)則：加法、減法和數(shù)乘。

3.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：解決空間距離、角度和體積等問題。

②二面角的定義及其計算方法

1.二面角是由兩個平面相交所形成的角，用向量表示法計算。

2.二面角的計算步驟：找出法向量、計算點積、求解夾角。

3.二面角在立體幾何中的應(yīng)用：求解空間角度、判斷空間位置關(guān)系等。

③空間向量與二面角解決立體幾何問題的實例

1.例題：已知空間向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→與向量B→的夾角。

2.例題：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，CD=4，求二面角D-AA1-B的大小。

3.例題：已知空間向量A→=(1,0,1)和B→=(0,1,1)，求向量A→與向量B→的夾角。

4.例題：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，求二面角A-BC-D的大小。

5.例題：已知空間向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→與向量B→的夾角的余弦值。

九、板書設(shè)計

①空間向量的概念及其表示方法

②二面角的定義及其計算方法

③空間向量與二面角解決立體幾何問題的實例

九、板書設(shè)計

①空間向量的概念及其表示方法

②二面角的定義及其計算方法

③空間向量與二面角解決立體幾何問題的實例

④板書設(shè)計應(yīng)具有藝術(shù)性和趣味性

⑤板書設(shè)計應(yīng)條理清楚、重點突出、簡潔明了反思改進措施在這次教學過程中，我深刻反思了自己的教學方法和學生的學習情況，認為有許多可以改進的地方。以下是我對本次教學的反思和改進措施：

一、教學特色創(chuàng)新

1.引入實際案例：在講解空間向量與二面角的概念時，我引入了實際生活中的案例，如建筑設(shè)計中的空間向量應(yīng)用，使學生更直觀地理解了空間向量的概念和應(yīng)用。

2.利用多媒體教