專題1.2數(shù)軸中的動點問題（壓軸題專項講練）（人教版2024）

專題1.2數(shù)軸中的動點問題思想方法思想方法數(shù)形結合思想：所謂數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結合。分類討論思想：當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，我們就需要對研究對象進行分類，然后對每一類分別進行研究，得出每一類的結論，最后綜合各類的結果，得到整個問題的解答。分類討論的分類并非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：1.不重（互斥性）不漏（完備性）；2.按同一標準劃分（同一性）；3.逐級分類（逐級性）。典例分析典例分析【典例1】如圖，O是數(shù)軸的原點，A、B是數(shù)軸上的兩個點，A點對應的數(shù)是?1，B點對應的數(shù)是8，C是線段AB上一點，滿足ACBC（1）求C點對應的數(shù)；（2）動點M從A點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，當點M到達C點后停留2秒鐘，然后繼續(xù)按原速沿數(shù)軸向右勻速運動到B點后停止．在點M從A點出發(fā)的同時，動點N從B點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸勻速向左運動，一直運動到A點后停止．設點N的運動時間為t秒．①當MN=4時，求t的值；②在點M，N出發(fā)的同時，點P從C點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，當點P與點M相遇后，點P立即掉頭按原速沿數(shù)軸向右勻速運動，當點P與點N相遇后，點P又立即掉頭按原速沿數(shù)軸向左勻速運動到A點后停止．當PM=2PN時，請直接寫出t的值．【思路點撥】（1）根據(jù)A點，B點對應的數(shù)，得到AB=9，根據(jù)AC與BC的比值，得到AC=5，BC=4，得到C點對應的數(shù)是8?4=4；（2）①當M、N未相遇，M表示的數(shù)是?1+2t，N表示的數(shù)是8?t，得到8?t??1+2t=4，解得t=53；當M、N相遇后，M在BC上運動，M表示的數(shù)是4+2t?52?2=2t?5，N表示的數(shù)是8?t，得到2t?5?8?t=4，解得t=173；②當P與M還未第一次相遇時，P表示的數(shù)是4?3t，M表示的數(shù)是?1+2t，N表示的數(shù)是8?t，得到4?3t??1+2t=28?t?4?3t，解得t=?13，此種情況不存在；當P與M第一次相遇后，相遇后P掉頭按原速沿數(shù)軸向右勻速運動，在未遇到N前，P表示的數(shù)是4?3×1+3t?1=3t?2，得到3t?2??1+2t=28?t?3t?2，解得t=73；當P與N相遇后，未與M第二次相遇時，P表示的數(shù)是8?2.5?3t?2.5=13?3t，13?3t?4=28?t?13?3t，解得t=197【解題過程】解：（1）∵A點對應的數(shù)是?1，B點對應的數(shù)是8，∴AB=8+1=9，∵ACBC∴AC=5，BC=4，∴C點對應的數(shù)是8?BC=8?4=4，答：C點對應的數(shù)是4；（2）①∵運動t秒時，MN=4當M、N未相遇，則M在AC上運動，M表示的數(shù)是?1+2t，N在BC上運動，N表示的數(shù)是8?t，∴8?t??1+2t解得t=5當M、N相遇后，M在BC上運動，M表示的數(shù)是4+2t?52?2=2t?5，N在AC∴2t?5?8?t解得t=17綜上所述，t的值為53或17②當P與M還未第一次相遇時，P表示的數(shù)是4?3t，M表示的數(shù)是?1+2t，N表示的數(shù)是8?t，∵PM=2PN∴4?3t??1+2t解得t=?1由已知得，P與M在t=1時第一次相遇，相遇后P掉頭按原速沿數(shù)軸向右勻速運動，在未遇到N前，P表示的數(shù)是4?3×1+3∴3t?2??1+2t解得t=7由已知可知，當P與M在表示1的點處相遇，此時N運動到表示7的點處，再經(jīng)過7?13+1=1.5秒，即t=2.5時，P與N相遇，此時M正好運動到C，P與N相遇后又立即掉頭按原速沿數(shù)軸向左勻速運動，未與M第二次相遇，此時P表示的數(shù)是∴13?3t?4=28?t?解得t=19當P與M在點C處第二次相遇后直到到達A點前，P表示的數(shù)是13?3t，M在C點處，M表示的數(shù)是4，次情況2.5<t≤4.5，∴4?13?3t解得t=1，不合，∴這種情況不存在，當P運動到A后，若N為PM的中點，此時PM=2PN，∴?1+2t?5解得t=5.5，綜上所述，t的值為73，或19學霸必刷學霸必刷1．（2324七年級上·貴州畢節(jié)·階段練習）如圖，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動4cm到達A點，再向右移動5cm到達B點，然后再向右移動3cm到達C（1）請你在數(shù)軸上標出A、B、C三點的位置，并填空：A表示的數(shù)為_______，B表示的數(shù)為_______，C表示的數(shù)為______．（2）把點A到點C的距離記為AC，則AB=_____cm，AC=______cm；（3）若點A從（1）中的位置沿數(shù)軸以每秒1cm勻速向右運動，經(jīng)過多少秒使AC=3cm【思路點撥】本題考查數(shù)軸上點的表示，數(shù)軸上兩點間距離，數(shù)軸上動點問題．（1）根據(jù)題意利用觀察即可得到本題答案；（2）根據(jù)題意利用兩點間距離即可得到；（3）分情況討論當點A在點C的左側時和當點A在點C的右側時，分別列式即可得到本題答案．【解題過程】（1）解：由題意得：A點對應的數(shù)為?4，B點對應的數(shù)為1，點C對應的數(shù)為4，點A，B，C在數(shù)軸上表示如圖：A表示的數(shù)為?4，B表示的數(shù)為1，C表示的數(shù)為4，故答案為：?4，（2）解：∵A點對應的數(shù)為?4，B點對應的數(shù)為1，點C對應的數(shù)為4，∴AB=1?(?4)=5cm，AC=4?(?4)=8故答案為：5，8；（3）解∶①當點A在點C的左側時，設經(jīng)過x秒后點A到點C的距離為3cm，由題意得：8?x=3，解得：x=5；②當點A在點C的右側時，設經(jīng)過x秒后點A到點C的距離為3cm，由題意得：x?8=3，解得：x=11，綜上，經(jīng)過5或11秒后點A到點C的距離為3cm．2．（2324七年級上·安徽六安·期中）如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是8，若動點P從原點O出發(fā)，以2個單位/秒的速度向左運動，同時另一動點Q從點A出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動，到達原點后立即以原來的速度返回，向右運動，設運動的時間為t秒．（1）當t=0.5時，求點Q到原點O的距離；（2）當t=2.5時，求點Q到原點O的距離；（3）當點Q到點A的距離為4時，求點P到點Q的距離．【思路點撥】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間距離的表示方法是解題的關鍵．（1）先計算出點Q運動的路程，即可解答；（2）先計算出點Q的運動路程，即可解答；（3）①點Q向左運動4個單位長度，②點Q向左運動8個單位長度到原點，再向右運動4個單位長度，③點Q向左運動8個單位長度到原點，再向右運動12個單位長度．【解題過程】（1）解：當t=0.5時，4t=4×0.5=6，8?2=6，當t=0.5時，點Q到原點O的距離為6．（2）解：當t=2.5時，點Q運動的距離為4t=4×2.5=10，10?8=2，∴點Q到原點O的距離為2；（3）解：點Q到原點O的距離為4時，分三種情況討論：①點Q向左運動4個單位長度，此時運動時間：t=4÷4=1（秒），P點表示的數(shù)是?2，Q點表示的數(shù)是4；此時P點到Q點之間的距離是6．②點Q向左運動8個單位長度到原點，再向右運動4個單位長度，則點Q運動的距離為：8+4=12，運動時間：t=12÷4=3（秒）P點表示的數(shù)是?6，Q點表示的數(shù)是4；此時P點到Q點之間的距離是10．③點Q向左運動8個單位長度到原點，再向右運動12個單位長度，則點Q運動的距離為：8+12=20，運動時間：t=20÷4=5（秒）P點表示的數(shù)是?10，Q點表示的數(shù)是12；此時P點到Q點之間的距離是22．綜上，點P到點Q的距離為6或10或22．3．（2324七年級上·吉林長春·期中）如圖，點M、N均在數(shù)軸上，點M所對應的數(shù)是?3，點N在點M的右邊，且距M點4個單位長度，點P、Q是數(shù)軸上的兩個動點．（1）求出點N所對應的數(shù)；（2）當點P到點M、N的距離之和是5個單位長度時，求出此時點P所對應的數(shù)；（3）若點P、Q分別從點M、N出發(fā)，均沿數(shù)軸向左運動，點P每秒運動2個單位長度，點Q每秒運動3個單位長度．若點P先出發(fā)5秒后點Q出發(fā)，當P、Q兩點相距2個單位長度時，直接寫出此時點P、Q分別對應的數(shù)．【思路點撥】（1）根據(jù)兩點間的距離公式即可求解；（2）分兩種情況：①點P在點M的左邊，；②點P在點N的右邊，進行討論即可求解；（3）分兩種情況：①點P在點Q的左邊，②點P在點Q的右邊，進行討論即可求解；本題考查了兩點間的距離和數(shù)軸，解題的關鍵是熟練掌握數(shù)軸及“分類討論”的數(shù)學思想．【解題過程】（1）?3+4=1，故點N所對應的數(shù)是1；（2）5?4÷2=0.5①點P在點M的左邊，?3?0.5=?3.5，②點P在點N的右邊，1+0.5=1.5，故點P所對應的數(shù)是?3.5或1.5；（3）①點P在點Q的左邊，4+2×5?2÷點P對應的數(shù)是?3?5×2?12×2=?37，點Q對應的數(shù)是?37+2=?35；②點P在點Q的右邊，4+2×5+2÷點P對應的數(shù)是?3?5×2?16×2=?45，點Q對應的數(shù)是?45?2=?47，綜上可知：點P對應的數(shù)是?37，點Q對應的數(shù)是?35或點P對應的數(shù)是?45，點Q對應的數(shù)是?47．4．（2324七年級上·廣東廣州·階段練習）如圖，已知數(shù)軸上A，B，C三個點表示的數(shù)分別是a，b，c，且c?10=0，若點A沿數(shù)軸向右移動12個單位長度后到達點B，且點A，B

（1）a的值為，b?c的值為；（2）動點P，Q分別同時從點A，C出發(fā)，點P以每秒1個單位長度的速度向終點C移動，點Q以每秒m個單位長度的速度向終點A移動，點P表示的數(shù)為x．①若點P，Q在點B處相遇，求m的值；②若點Q的運動速度是點P的2倍，當點P，Q之間的距離為2時，求此時x的值．【思路點撥】（1）根據(jù)A、B兩點間的距離為12且A、B兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)即可求a，b；再根據(jù)絕對值為非負數(shù)求出c，從而得出結論；（2）①根據(jù)相遇時Q走的路程是4，根據(jù)速度×時間=路程列方程求出m的值；②根據(jù)點P，Q的路程之差的絕對值等于2列出方程，解方程即可.【解題過程】（1）∵|c?10|=0,∴c=10,∵AB=12,a,b互為相反數(shù),∴a=?6,b=6,∴b?c=6?10=?4,故答案為:?6，?4；（2）①∵點P的速度是每秒1個單位長度，點P,Q在點B處相遇,AB=12,∴點P從點A運動到點B所用時間為12秒，∵BC=4,∴12m=4,解得m②設運動時間為t秒，根據(jù)題意：|16?t?2t|=2,解得t=6或14∴x=∴x=0或?5．（2324七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，已知：a、b分別是數(shù)軸上兩點A、B所表示的有理數(shù)，滿足a+20+

（1）求A、B兩點相距多少個單位長度？（2）若C點在數(shù)軸上，C點到B點的距離是C點到A點距離的13，求C（3）點P從A點出發(fā)，先向左移動一個單位長度，再向右移動2個單位長度，再向左移動3個單位長度，再向右移動4個單位長度，如此下去，依次操作2023次后，求P點表示的數(shù)．【思路點撥】（1）先由絕對值和平方數(shù)的非負性求出a和b，再根據(jù)數(shù)軸上表示的數(shù)之間的距離的公式即可求解；（2）根據(jù)點的位置分情況討論即可求解；（3）點P向左移1個單位，再向右移動2個單位，依次規(guī)律，列出算式即可求解．【解題過程】（1）因為a?20+b?82=0，所以a?20=0，b?8所以a=?20，b=?8，?2??20答：A、B兩點相距12個單位長度；（2）①若點C在B點的右側，則CB=1所以CB=1所以點C表示的數(shù)為?8+6=?2．②若C點在A，B點之間，則CB=1所以CB=1所以點C表示的數(shù)為?8?3=?11．綜上，C點表示的數(shù)為?2或?11．（3）?20?1+2?3+4?5+6?7+??2021+2022?2023=?20+1011?2023=?1032，答：P點表示的數(shù)為?1032．6．（2324七年級上·湖北黃岡·期中）已知a、b為常數(shù)，且滿足a?12+b+202=0，其中a、b分別為點A、點B在數(shù)軸上表示的數(shù)，如圖所示，動點E、F分別從A、B同時開始運動，點E以每秒6個單位向左運動，點（1）求a、b的值；（2）請用含t的代數(shù)式表示點E在數(shù)軸上對應的數(shù)為：______；點F在數(shù)軸上對應的數(shù)為：______；（3）當E、F相遇后，點E繼續(xù)保持向左運動，點F在原地停留4秒后向左運動且速度變?yōu)樵瓉淼?倍，在整個運動過程中，當E、F之間的距離為2個單位時，請求出運動時間t的值．【思路點撥】本題主要考查了一元一次方程的應用，列代數(shù)式，（1）根據(jù)絕對值和平方式的非負性得出a和b的值即可；（2）根據(jù)點的運動得出代數(shù)式即可；（3）分四種不同情況進行分類討論，根據(jù)路程=速度×時間，列方程求解即可．解題的關鍵是要運用分類討論的思想．【解題過程】（1）解：∵|a?12|+b+20∴a?12=0，∴a=12，（2）解：由題意可知，E點對應的數(shù)為：12?6t，F(xiàn)對應的數(shù)為?20+2t=2t?20，故答案為：12?6t，2t?20；（3）解：在相遇前：t=20?(?12)?2設t′時E、F即12?6t解得t′①當E點在F點左側時，且F點沒動時，由題意可得，6(t?4)=2，解得：t=13②當E點在F點左側時，且F點已動時，6×(t?4)?2×5×(t?4?4)=2，解得：t=27③當點E在點F右側時，由題意2×5×(t?4?4)?6×(t?4)=2，解得：t=29綜上所述，符合條件的t的值為：1547．（2324七年級上·湖南長沙·階段練習）如圖，1個單位長度表示1cm，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動1cm到達A點，再向左移動5cm到達B點，然后向右移動10

（1）請你直接寫出A、B、C三點所表示的數(shù)，點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為，點C表示的數(shù)為；（2）若動點P、Q分別從B、C兩點同時向左移動，點P、Q的速度分別為每秒3cm和每秒6cm，設移動時間為t①當PQ=7時，求t的值；②運動過程中，點M到P、Q兩點的距離始終保持相等，試探究QC?43AM【思路點撥】（1）根據(jù)點在數(shù)軸上的位置寫出答案即可；（2）①由題可得點P表示的數(shù)為?6?3t，點Q表示的數(shù)為4?6t，得到PQ=3t?10，由PQ=7得到3t?10②由點M到P、Q兩點的距離始終保持相等得到點M表示的數(shù)是?1?92t，QC=6t，AM=?1?(?1?【解題過程】（1）解：由數(shù)軸可知，點A表示的數(shù)為?1，點B表示的數(shù)為?6，點C表示的數(shù)為4；故答案為：?1，?6，4（2）①由題可得點P表示的數(shù)為?6?3t，點Q表示的數(shù)為4?6t，

∴PQ=?6?3t?(4?6t)∵PQ=7，∴3t?10=7∴t=1或t=17②不會隨著t的變化而改變，理由如下：由題可得點P表示的數(shù)為?6?3t，點Q表示的數(shù)為4?6t，點C表示的數(shù)是4，點A表示的數(shù)是?1，∵點M到P、Q兩點的距離始終保持相等，∴點M表示的數(shù)是?6?3t+(4?6t)2=?1?∵QC=6t，AM=?1?(?1?∴QC?4即QC?48．（2223七年級上·湖南長沙·期中）已知：在一條東西向的雙軌鐵路上迎面駛來一快一慢兩列火車，快車長AB=2(單位長度)，慢車長CD=4(單位長度，設正在行駛途中的某一時刻，如圖，以兩車之間的某點0為原點，取向右方向為正方向畫數(shù)軸，此時快車頭A在數(shù)軸上表示的數(shù)是a，慢車頭C在數(shù)軸上表示的數(shù)是c.若快車AB以6個單位長度/秒的速度向右勻速繼續(xù)行駛，同時慢車CD以2個單位長度/秒的速度向左勻速繼續(xù)行駛，且a、c分別是多項式?8x

（1）求此時刻快車頭A與慢車頭C之間相距多少單位長度?（2）從此時刻開始算起，問再行駛多少秒鐘兩列火車的車頭AC相距8個單位長度?（3）此時在快車AB上有一位愛動腦筋的乘客——明德少年P，他發(fā)現(xiàn)行駛中有一段時間t秒鐘，他的位置P到兩列火車頭AC的距離和加上到兩列火車尾B,D的距離和是一個不變的值(即PA+PC+PB+PD為定值).你認為明德少年P發(fā)現(xiàn)的這一結論是否正確?若正確，求出這個時間及定值；若不正確，請說明理由.【思路點撥】（1）根據(jù)題意，得到a,b的值，再利用數(shù)軸上兩點之間的距離公式，即可解答；（2）分類討論，即相遇之前，相距8個單位；相遇之后，相距8個單位，分情況討論即可解答；（3）根據(jù)PA+PB=AB，P在CD之間時，PA+PB+PC+PD是一個定值，求出這個定值和此時的時間即可?！窘忸}過程】（1）解：由題可知：a=?8,所以此刻快車頭A與慢車頭C之間的相距|?8|+16=24（單位長度）答：快車頭A與慢車頭C之間的相距個單位長度（2）解：本題有兩種可能，第一種，相遇之前，相距8個單位則列出算式：(24?8)÷(6+2)=2s

第二種，相遇之后，相距8個單位則列出算式：(24+8)÷(6+2)=4s答：在行駛2秒或4秒兩列火車行駛到車頭相距8個單位（3）解：正確，理由如下：因為人坐在快車上，所以，PA+PB=AB=2單位長度當P在CD之間時，PC+PD=4（單位長度），此時t=4÷(6+2)=0.5s

此時，PA+PB+PC+PD=AB+CD=6單位長度答：正確，這個時間為0.5秒，定值為6個單位長度9．（2324七年級上·廣東廣州·期中）若點A在數(shù)軸上對應的數(shù)為a，點B在數(shù)軸上對應的數(shù)為b，我們把A、B兩點之間的距離表示為AB，記AB=a?b，且a，b滿足a?1（1）a=；b=；線段AB的長=；（2）點C在數(shù)軸上對應的數(shù)是c，且c與b互為相反數(shù)，在數(shù)軸上是否存在點P，使得PA+PB=PC?若存在，求出點P對應的數(shù)；若不存在，請說明理由；（3）在（1）、（2）的條件下，點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點B以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時點A和點C分別以每秒4個單位長度和9個單位長度的速度向右運動，t秒鐘后，若點A和點C之間的距離表示為AC，點A和點B之間的距離表示為AB，那么AB?AC的值是否隨著時間t的變化而變化?若變化，請說明理由；若不變，請求出AB?AC的值．【思路點撥】（1）根據(jù)絕對值及平方的非負性，求出a，b的值，從而求出線段AB的長；（2）設P對應的數(shù)為y，再由PA+PB=PC，可得出點P對應的數(shù)；（3）根據(jù)A，B，C的運動情況即可確定AB，AC的變化情況，即可確定AB?AC的值．【解題過程】（1）∵a?1+∴a?1=0，b+2=0，解得：a=1，b=?2，∴線段AB的長為：1??2故答案為：1，?2，3；（2）由（1）得：b=?2，∴c=2，設P對應的數(shù)為y，由圖知：①P在A右側時，不可能存在P點；②P在B左側時，1?y?2?y=2?y，解得:y=?3，③當P在A、B中間時，3=2?y，解得:y=?1，故點P對應的數(shù)是?3或?1；（3）AB?AC的值不隨著時間t的變化而變化，理由如下：t秒鐘后，A點位置為：1+4t，∴B點的位置為:?2?t，C點的位置為:2+9t，∴AB=1+4t??2?t=5t+3∴AB–AC=5t+3?5t+1∴AB?AC的值不隨著時間t的變化而變化，值為2．10．（2324七年級上·廣東廣州·期中）閱讀：如圖，已知數(shù)軸上有A、B、C三個點，它們表示的數(shù)分別是?18，?8，+8．A到C的距離可以用AC表示，計算方法：AC=+8?

（1）填空：AB=，BC=．（2）若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒4個單位長度和9個單位長度的速度向右運動，試探索：B到C的距離與A到B的距離的差（即BC?AB）的值是否隨著時間t的變化而改變？請說明理由．（3）現(xiàn)有動點P、Q都從A點出發(fā)，點P以每秒1個單位長度的速度向右移動，當點P移動6秒時，點Q才從A點出發(fā)，并以每秒2個單位長度的速度向右移動．設點P移動的時間為t秒（0≤t≤19），直接寫出P、Q兩點間的距離PQ（用含t的代數(shù)式表示）．【思路點撥】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離公式計算即可；（2）根據(jù)題意求出點A，B，C向右移動后表示的數(shù)，然后根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離公式出表示AB，BC的值，最后再進行計算即可；（3）分三種情況討論，點Q在點A處，點P在點Q的右邊，點Q在點P的右邊；本題考查了列代數(shù)式，數(shù)軸，熟練掌握用數(shù)軸上兩點間距離表示線段長是解題的關鍵，同時滲透了分類討論的數(shù)學思想．【解題過程】（1）AB=?18??8=10故答案為：10，16；（2）不變，理由：因為：經(jīng)過t秒后，A，B，C三點所對應的數(shù)分別是?18?t，?8+4t，8+9t，所以：BC=8+9t??8＋∵t≥0，∴16+5t>0，10+5t>0，∴16+5t=16+5t，10+5t所以：BC?AB=16+5t?10所以BC?AB的值不會隨著時間t的變化而改變；（3）經(jīng)過t秒后，P，Q兩點所對應的數(shù)分別是?18+t，?18+2t?6當點Q追上點P時，?18+t??18+2解得：t=12，①當0<t≤6時，點Q在還點A處，所以：PQ=t，②當6<t≤12時，點P在點Q的右邊，所以：PQ=?18+t??18+2③當12<t≤19時，點Q在點P的右邊，所以：PQ=?18+2t?6綜上所述，P、Q兩點間的距離為t或?t+12或t?12．11．（2324七年級上·河南平頂山·期末）綜合與探究數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結合．請借助數(shù)軸，結合具體情境解答下列問題：（1）平移運動一機器人從原點O開始，第1次向左跳1個單位，緊接著第2次向右跳2個單位，第3次向左跳3個單位，第4次向右跳4個單位，…，依此規(guī)律跳，當它跳完5次時，落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是；當它跳完2024次時，落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是．（2）翻折變換①若折疊數(shù)軸所在紙條，表示?1的點與表示3的點重合，則表示5的點與表示的點重合．②若數(shù)軸上D、E兩點經(jīng)折疊后重合，兩點之間的距離為2024（D在E的左側，且折痕與①折痕相同），則D點表示，E點表示．③一條數(shù)軸上有點M、N、P，其中點M、N表示的數(shù)分別是?17、8，現(xiàn)以點P為折點，將數(shù)軸向右對折，若點M對應的點M′落在點N的右邊，并且線段M′N的長度為3，請直接寫出點P【思路點撥】本題考查圖形變化的規(guī)律，熟知折疊后能重合的兩個點到折點的距離相等是解題的關鍵．（1）根據(jù)機器人的運動方式，依次求出每次跳完落在數(shù)軸上時所表示的數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．（2）根據(jù)折疊后重合的點到折點的距離相等即可解決問題．【解題過程】（1）解：根據(jù)機器人的運動方式可知，它跳完第1次時，落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是：?1；它跳完第2次時，落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是：1；它跳完第3次時，落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是：?2；它跳完第4次時，落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是：2；它跳完第5次時，落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是：?3；它跳完第6次時，落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是：3；…，由此可見，它跳完第2n次時，落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是n，它跳完第2n?1次時，落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是?n；當2n?1=5，即n=3時，?n=?3，所以它跳完第5次時，落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是?3；當2n=2024，即n=1012時，可得它跳完第2024次時，落在數(shù)軸上的點表示的數(shù)是1012；故答案為：?3，1012．（2）①由表示?1的點與表示3的點重合可知，?1+32則折點所表示的數(shù)為1．因為5?1=1??3所以表示5的點與表示?3的點重合．故答案為：?3．②因為折痕與①的折痕相同，所以這次折疊的折點所表示的數(shù)也為1．又因為2024÷2=1012，所以點D表示的數(shù)為?1011，點E表示的數(shù)為1013．故答案為：?1011，1013．③由折疊可知，MP=M因為點M、N表示的數(shù)分別是?17、8，所以MN=8??17又因為點M′落在點N的右邊，并且線段M所以MM因為28÷2=14，?17+14=?3，所以點P表示的數(shù)為?3．故答案為：?3．12．（2324七年級上·山西晉中·期中）綜合與探究：數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線，利用數(shù)軸可以解決很多問題，班里三個小組分別設計了三個問題，請你與他們共同解決：

（1）勤奮小組：在圖所示的數(shù)軸上，把數(shù)?2，13，4，?（2）勵志小組：折疊數(shù)軸，使表示1的點與表示3的點重合，在這個操作下回答下列問題：①表示?2的點與表示______的點重合；②若數(shù)軸上A，B兩點間的距離為7（A在B的左側），且折疊后A，B兩點重合，則點A表示的數(shù)為_____．（3）攀登小組：假如在原點處放立一擋板（厚度不計），有甲、乙兩個小球（忽略球的大小，可看成一點），小球甲從表示數(shù)?2的點處出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度沿數(shù)軸向右運動，同時小球乙從表示數(shù)4的點處出發(fā)，以2個單位長度/秒的速度沿數(shù)軸向左運動，兩個小球在碰到擋板后即刻按原來的速度向相反的方向運動，設運動的時間為t秒．①當t=3時，求甲、乙兩個小球之間的距離；②用含t的代數(shù)式表示甲、乙兩個小球之間的距離．【思路點撥】（1）根據(jù)數(shù)軸的點的表示解答即可；（2）①根據(jù)題意找出對稱軸即可；②根據(jù)題意列出方程即可；（3）①當t=3時，小球甲在的位置表示的數(shù)為?1，小球乙在的位置表示的數(shù)為2，據(jù)此回答即可；②設運動的時間為t，根據(jù)題意列出代數(shù)式即可．【解題過程】（1）如圖所示．

用“＜”將它們連接起來為?2<?1（2）由題意得：折疊點與數(shù)軸的交點表示的數(shù)為3+122+2?所以表示?2的點與表示6的點重合，故答案為：6，設點A表示的數(shù)為x，則點B表示的數(shù)為x+7，可得x+x+72解得x=?1.5：故答案為：?1.5；（3）①當t=3時，小球甲在的位置表示的數(shù)為?1，小球乙在的位置表示的數(shù)為2，所以甲、乙兩個小球之間的距離為2??1②運動前，甲、乙兩個小球之間的距離為4??2當0≤t≤2時，甲、乙兩個小球之間的距離為6?t?2t=6?3t；當t>2時，甲、乙兩個小球之間的距離為t+2t?6=3t?6．所以甲、乙兩個小球之間的距離為6?3t．13．（2324七年級上·廣西百色·期中）綜合與實踐，閱讀理解：【問題背景】數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學工具，使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起對應關系，這樣能夠用“數(shù)形結合”的方法解決一些實際問題．如圖，在紙面上有一數(shù)軸，按要求折疊紙面：

【問題解決】（1）若折疊后數(shù)1對應的點與數(shù)?1對應的點重合，則此時數(shù)?3對應的點與數(shù)________對應的點重合；【學以致用】（2）若折疊后數(shù)2對應的點與數(shù)?4對應的點重合，則此時數(shù)0對應的點與數(shù)________對應的點重合；【問題拓展】（3）若如（2）這樣折疊后，數(shù)軸上有A、B兩點也重合，且A、B兩點之間的距離為11（點B在A點的右側），則點A對應的數(shù)為________，點B對應的數(shù)為________；（4）在（3）的條件下，數(shù)軸上有一動點P，動點P從B點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度在數(shù)軸上勻速運動，設運動時間為t秒（t>0）．①動點P從B點向右出發(fā)，t為何值時，P、A兩點之間的距離為15個單位長度；②請直接寫出動點P從B點向左出發(fā)時，P、A兩點之間的距離為15個單位長度的t的值．【思路點撥】（1）根據(jù)對稱的知識，找出對稱中心，即可解答；（2）根據(jù)對稱的知識，找出對稱中心，即可解答；（3）根據(jù)對稱點連線被對稱中心平分，先找到對稱中心，列方程求解；（4）①根據(jù)題意，BP=2t,點P對應的數(shù)為4.5+2t，用代數(shù)式表示PA，列方程求解即可；②根據(jù)題意，點P在點A的左側，點P對應的數(shù)為4.5?2t，用代數(shù)式表示PA，列方程求解即可．本題考查了數(shù)軸上的動點問題以及數(shù)軸上兩點之間的距離，難度較大，屬于壓軸題，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間的距離的表示方法是解題的關鍵．【解題過程】解：（1）根據(jù)題意，得對稱中心是原點，則數(shù)?3對應的點與數(shù)3對應的點重合；故答案為：3（2）因為數(shù)2對應的點與數(shù)?4對應的點重合，所以，對稱中心是數(shù)?1對應的點，∴?1?0?(?1)此時數(shù)0對應的點與數(shù)?2對應的點重合；故答案為：0（3）由（2）可知，對稱中心是數(shù)?1對應的點，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為11（點B在A點的右側），設點A對應的數(shù)為x，點B對應的數(shù)為11+x，∴?1?x?(?1)解得：x=?6.5，則11+x=4.5，所以，點A對應的數(shù)為?6.5，點B對應的數(shù)為4.5，故答案為：?6.5，4.5；（4）①根據(jù)題意，BP=2t,點P對應的數(shù)為4.5+2t，PA=4.5+2t?(?6.5)=15，解得：t=2，答：t為2時，P、A兩點之間的距離為15個單位長度；②動點P從B點向左出發(fā)，P、A兩點之間的距離為15個單位長度時，此時，點P在點A的左側，點P對應的數(shù)為4.5?2t，PA=?6.5?(4.5?2t)=15，解得：t=13，答：t=13時，P、A兩點之間的距離為15個單位長度．14．（2324七年級上·福建福州·期中）定義：數(shù)軸上A、B兩點的距離為a個單位記作AB=a，根據(jù)定義完成下列各題．兩個長方形ABCD和EFGH的寬都是3個單位長度，長方形ABCD的長AD是6個單位長度，長方形EFGH的長EH是10個單位長度，其中點A、D、E、H在數(shù)軸上（如圖），點E在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，且E、D兩點之間的距離為14，原點記為0．（1）求數(shù)軸上點H、A所表示的數(shù)？（2）若長方形ABCD以4個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時長方形EFGH以3個單位長度/秒的速度向左勻速運動，數(shù)軸上有M、N兩點，其中點M在A、D兩點之間，且AM=12AD，其中點N在E、H兩點之間，且EN=①經(jīng)過x秒后，M點表示的數(shù)是，N點表示的數(shù)是（用含x的式子表示，結果需化簡）．②求MN（用含x的式子表示，結果需化簡）．（3）若長方形ABCD以2個單位長度/秒的速度向右勻速運動，長方形EFGH固定不動，設長方形ABCD運動的時間為tt>0秒，兩個長方形重疊部分的面積為S，當S=12時，求此時t【思路點撥】（1）根據(jù)ED=14，OE=5，EH=10，AD=6，推出OH=15，OD=9，得到OA=15，得到在數(shù)軸上點H表示的數(shù)是15，點A表示的數(shù)是?15；（2）①根據(jù)長方形ABCD以4個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時長方形EFGH以3個單位長度/秒的速度向左勻速運動，AM=12AD=3，EN=15EH=2，得到x秒后，M點表示的數(shù)：4x?12，N點表示的數(shù)：7?3x；②當M點在（3）根據(jù)兩個長方形的寬都是3個單位長度，重疊部分的面積為12，得到重疊部分的長為4個單位長度，當點D運動到E點右邊4個單位時，長方形ABCD運動的時間為9秒；當點A運動到H點左邊4個單位時，長方形ABCD運動的時間為13秒．【解題過程】（1）由題意得：ED=14，OE=5，EH=10，AD=6，∴OH=OE+EH=5+10=15，∴OD=ED?OE=14?5=9，∴OA=OD+AD=9+6=15，∴點H在數(shù)軸上表示的數(shù)是15，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是?15；（2）①∵AD=6，EH=10，∴AM=12AD∵OA=15，OE=5，∴OM=OA?AM=12，ON=OE+EN=7，∵長方形ABCD以4個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時長方形EFGH以3個單位長度/秒的速度向左勻速運動，∴M點表示的數(shù)為：4x?12，N點表示的數(shù)為：7?3x；故答案為：4x?12，7?3x；②當M點在N點的左側時，MN=7?3x當點M在N點的右側時，MN=4x?12（3）∵兩個長方形的寬都是3個單位長度，重疊部分的面積為12，∴重疊部分的長為4個單位長度，當點D運動到E點右邊4個單位時，t=14+4當點A運動到H點左邊4個單位時，t=6+14+6綜上，長方形ABCD運動的時間為9秒或13秒時，兩個長方形重疊部分的面積為12．15．（2324七年級上·河南鄭州·期中）閱讀下面的材料：如圖1，在數(shù)軸上A點所示的數(shù)為a，B點表示的數(shù)為b，則點A到點B的距離記為AB，線段AB的長可以用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)表示，即AB=b?a．請用上面的知識解答下面的問題：如圖2，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動2cm到達A點，再向左移動3cm到達B點，然后向右移動9cm到達C（1）請你在數(shù)軸上表示出A，B，C三點的位置：（2）點C到點A的距離CA=______cm；若數(shù)軸上有一點D，且AD=5，則點D表示的數(shù)為_________；（3）若將點A向右移動xcm（4）若點B以每秒2cm的速度向左移動，同時A．C點分別以每秒1cm、4cm的速度向右移動，設移動時間為t秒，試探索：AC?AB【思路點撥】本題考查了數(shù)軸，解一元一次方程以及整式的加減運算，掌握數(shù)軸上兩點之間的距離求解方法是解決問題的關鍵．（1）根據(jù)題意分別表示出距離求出坐標，畫出圖形；（2）根據(jù)距離公式得出AC的長度；設D表示的數(shù)為a，由絕對值的意義容易得出結果；（3）將點A向右移動xcm，則移動后的點表示的數(shù)為?2+x（4）表示出AC和AB，再相減即可得出結論．【解題過程】（1）A：0?2=?2，即a=?1，A表示?2，B：?2?3=?5，即b=?5，B表示?5，C：?5+9=4，即c=4，C表示4，A、B、C三點的位置如圖所示：（2）CA=4?(?2)=4+2=6（cm）；設D表示的數(shù)為a，∵AD=5，∴?2?a=5，解得：a=?7或a=3∴點D表示的數(shù)為?7或3；故答案為：6；?7或3；（3）將點A向右移動xcm，則移動后的點表示的數(shù)為?2+x故答案為：?2+x（4）AC?AB的值不會隨著t的變化而變化，理由如下：根據(jù)題意得：平移后，AC=(4+4t)?(?2+t)=(6+3t)cm，AB=(?2+t)?(?5?2t)=(3+3t)cm∴AC?AB=(6+3t)?(3+3t)=3cm∴AC?AB的值恒為3，不會隨著t的變化而變化．16．（2425七年級上·全國·假期作業(yè)）七年級數(shù)學興趣小組成員自主開展數(shù)學微項目研究，他們決定研究“折線數(shù)軸”．探索“折線數(shù)軸”：素材1如圖，將一條數(shù)軸在原點O，點B，點C處折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．圖中點A表示?9，點B表示12，點C表示24，點D表示36，我們稱點A與點D在數(shù)軸上的“友好距離”為45個單位長度，并表示為AD=45素材2動點P從點A出發(fā)，以2個單位長度/秒的初始速度沿著“折線數(shù)軸”向其正方向運動．當運動到點O與點B之間時速度變?yōu)槌跏妓俣鹊囊话耄斶\動到點B與點C之間時速度變?yōu)槌跏妓俣鹊膬杀叮?jīng)過點C后立刻恢復初始速度．問題解決：探索1：動點P從點A運動至點B需要多少時間？探索2：動點P從點A出發(fā)，運動t秒至點B和點C之間時，求點P表示的數(shù)（用含t的代數(shù)式表示）；探索3：動點P從點A出發(fā)，運動至點D的過程中某個時刻滿足PB+PC=16【思路點撥】本題考查數(shù)軸上動點計算問題及數(shù)軸上兩點間距離問題，解題的關鍵是理解題意并掌握相關的知識．探索1：根據(jù)時間=路程÷速度，即可求解；探索2：由探索1可得P在BC段運動時間為：(t?16.5)秒，進而得到BP=4t?66，結合點B表示12，即可求解；探索3：分兩種情況：①當P在BO上時，②當P在CD上時，根據(jù)線段的和差以及時間=路程÷速度，即可求解．【解題過程】解：探索1：∵點A表示?9，點B表示12，∴OA=9，OB=12，∵P在AO段初始速度為2個單位長度/秒，P在OB段速度為初始速度的一半，∴P在OB段速度為1個單位長度/秒，∴P從點A運動至點B的時間為：92探索2：∵P的初始速度為2個單位長度/秒，P在BC段速度為初始速度的兩倍，∴P在BC段速度為4個單位長度/秒，由探索1可得：P在BC段運動時間為：(t?16.5)秒，∴BP=4(t?16.5)=4t?66，∵點B表示12，∴P表示的數(shù)為：12+(4t?66)=4t?54；探索3：設t秒后PB+①當P在BO上時，∵PB+∴PB+(PB+BC)=16，∵BC=12，∴PB=2，∴PO=OB?BP=12?2=10，∵OA=9，∴t=9②當P在CD上時，∵PB+∴PC+(PC+BC)=16，∵BC=12，∴PC=2，∴t=9綜上：動點P運動的時間為14.5秒或20.5秒．17．（2324七年級上·山東青島·期末）如圖1，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)為a，點B表示的數(shù)為b,a,b滿足a?20+b+62（1）點A表示的數(shù)為______，點B表示