2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)歸納與方法總結(jié) 第08練 函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性（精練：基礎(chǔ)+重難點(diǎn)）（含解析）

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第08練函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性（精練）1.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇、偶函數(shù)的概念和幾何意義.2.了解函數(shù)周期性的概念和幾何意義.一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，則，即，解得.故選：D.2．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號(hào)排除選項(xiàng)，即得答案.【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其為偶函數(shù)，且，由且定義域?yàn)镽，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；當(dāng)時(shí)、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；故選：D3．（2023·全國(guó)·高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出值，再檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，，解得或，則其定義域?yàn)榛?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.，故此時(shí)為偶函數(shù).故選：B.4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)?，，，，，所以一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問(wèn)題具體化，簡(jiǎn)化推理過(guò)程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.5．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，代入得，即，所以?因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)椋?，又因?yàn)?，?lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以因?yàn)椋?所以.故選：D【點(diǎn)睛】含有對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心的問(wèn)題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.二、多選題6．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，則，故C正確；對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，，所以關(guān)于對(duì)稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽，所以，結(jié)合關(guān)于對(duì)稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對(duì)稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯(cuò)誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因?yàn)椋鶠榕己瘮?shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對(duì)稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．三、填空題7．（2023·全國(guó)·高考真題）若為偶函數(shù)，則．【答案】2【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗(yàn)即可得解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，即，則，故，此時(shí)，所以，又定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，所以.故答案為：2.8．（2022·全國(guó)·高考真題）若是奇函數(shù)，則，．【答案】；．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性若，則的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱若奇函數(shù)的有意義，則且且，函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，解得，由得，，，故答案為：；．[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參函數(shù)為奇函數(shù)[方法三]：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)?，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．故答案為：；．【A級(jí)

基礎(chǔ)鞏固練】一、單選題1．（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可求得的值，結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】由題意得，函數(shù)為奇函數(shù)，且定義域?yàn)?，由奇函?shù)的性質(zhì)得，，解得，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)符合題意，所以當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D.2．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則時(shí)，的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用時(shí)，和可求得的解析式.【詳解】設(shè)，則，所以，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，.即.故選：C3．（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A．0 B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)在上的奇函數(shù)，且，得到的周期為4求解.【詳解】解：因?yàn)樵谏系钠婧瘮?shù)，且，所以，即，所以，則的周期為，所以，故選：A4．（2024·安徽蕪湖·二模）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)分析函數(shù)的圖象特征．則函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用排除法，根據(jù)函數(shù)奇偶性和函數(shù)值的符號(hào)性分析判斷.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，可知為奇函數(shù)，排除AB，且，排除D.故選：C.5．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知是周期為的函數(shù)，且都有，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性與對(duì)稱性可得解.【詳解】由已知，即，令，可知，即，又函數(shù)的周期為，則，故選：C.6．（23-24高三上·遼寧朝陽(yáng)·階段練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)將不等式等價(jià)變形，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于x的不等式即可求解.【詳解】由為奇函數(shù)，得，所以不等式等價(jià)于.又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即.故選：A7．（2024·河北保定·二模）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，，即可求解.【詳解】設(shè)，則，即，即，所以.因?yàn)?，所以?故選：A8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)，滿足.若，則（

）A．2 B． C．0 D．【答案】B【分析】由，得到的周期為2求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以的周期?，，，則.又，所以.又函數(shù)的周期為2，所以.故選：B.9．（2024·山東日照·二模）已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，，，若是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．4 D．6【答案】D【分析】根據(jù)是偶函數(shù)，得到關(guān)于對(duì)稱，即，結(jié)合和為偶函數(shù)即可得到周期為4，故可求出，則即可.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即，即，所以.所以關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.又是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，所以，即，所以函數(shù)的周期為4.所以，所以.故選：D.10．（2024·山東·二模）已知為定義在上的奇函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若，則（

）A．1 B． C．2 D．2023【答案】C【分析】根據(jù)進(jìn)行奇偶性和周期性的推導(dǎo)，得到是周期為4的偶函數(shù)，從而算出的值.【詳解】因?yàn)椋詢蛇吳髮?dǎo)，得，即①因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，則，所以兩邊求導(dǎo)，得，所以是定義在上的偶函數(shù)，所以，結(jié)合①式可得，，所以，兩式相減得，，所以是周期為4的偶函數(shù)，所以.由①式，令，得，所以.故選：C.11．（2024·陜西榆林·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．1 B．2 C． D．-2【答案】B【分析】根據(jù)周期性即可代入求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以是?為周期的周期函數(shù)，所以.故選：B12．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知定義在上的函數(shù)，滿足，，若，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的對(duì)稱性可知函數(shù)的周期為4，且、，利用和計(jì)算求出即可.【詳解】由，知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由，知函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)的周期為.又，所以，，所以，又，所以，所以.故選：D二、多選題13．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由奇函數(shù)定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故A滿足題意；對(duì)于B，若，則，故B不滿足題意；對(duì)于C，的定義域?yàn)?，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故C滿足題意；對(duì)于D，的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故D滿足題意.故選：ACD.14．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，，那么（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，逐項(xiàng)判斷四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性即可.【詳解】因?yàn)?，所以為偶函?shù)，因?yàn)?，即，所以為奇函?shù)，所以為非奇非偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；，所以為奇函數(shù)，B正確；，所以是奇函數(shù)，C正確；令，，為偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：BC．15．（23-24高一上·浙江·階段練習(xí)）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，則下列命題成立的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．C．函數(shù)為偶函數(shù) D．函數(shù)為奇函數(shù)【答案】BD【分析】由及奇偶性可得函數(shù)的周期性與對(duì)稱性，進(jìn)而判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，且，又，所以，且，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且周期為，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確；由向右平移一個(gè)單位得到，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由向左平移一個(gè)單位得到，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，D選項(xiàng)正確；故選：BD.16．（23-24高三下·山東·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．關(guān)于對(duì)稱 C． D．為減函數(shù)【答案】ABC【分析】利用賦值法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義、對(duì)稱性的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由對(duì)于任意實(shí)數(shù)，令，則，即,故A正確；令，則，即，故B正確；令，，則，即，故C正確；對(duì)于任意，則設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則，即，所以單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤．故選：ABC17．（23-24高三上·山東·階段練習(xí)）已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意都滿足，且為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．為奇函數(shù)C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．【答案】ACD【分析】令，可判定A正確；令，得到，可判定C正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)題意，推得，得到的周期為，令，求得，結(jié)合函數(shù)的周期性，求得，可判定D正確．【詳解】由對(duì)于任意都滿足，令，則，所以A正確；令，可得，即，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以C正確，B錯(cuò)誤；又由為偶函數(shù)知關(guān)于直線對(duì)稱，即，可得，則，所以，所以函數(shù)的周期為，令，則，可得，，所以，所以D正確．故選：ACD．三、填空題18．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）若定義在上的奇函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，則.【答案】【分析】利用奇函數(shù)的定義直接求出函數(shù)值即可.【詳解】在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：19．（2024·四川雅安·三模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù).【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，即可列關(guān)系式求解.【詳解】定義域?yàn)椋?，所以，故，故答案為?0．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)是定義在上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則．【答案】【分析】由的周期為2得，代入解析式求值即可．【詳解】由的周期為2得，，故答案為：1．21．（2024·河南·二模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)任意，均有，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)有個(gè).【答案】4【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求解.【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，說(shuō)明函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，說(shuō)明的周期是2，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象與的圖象，如圖所示：如圖所示，共有4個(gè)不同的交點(diǎn)，即有4個(gè)零點(diǎn).故答案為：4.22．（2024·福建龍巖·一模）定義在上的函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性和單調(diào)性得到不等式，解出即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，則關(guān)于直線對(duì)稱，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，則由得，即，解得，則解集為，故答案為：.23．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)＝，則f()＋f()＋…＋f()＝．【答案】1012【詳解】∵f(x)＝，∴f(1－x)＝＝，∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝1.S＝f()＋f()＋…＋f()①，S＝f()＋f()＋…＋f()②，①＋②，得2S＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＝2024，∴S＝＝1012.四、解答題24．（23-24高三上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且時(shí)，．(1)求時(shí)，函數(shù)的解析式；(2)若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，求出時(shí)的解析式；（2）先得到函數(shù)在R上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，得到對(duì)任意恒成立，只需，求出，得到答案.【詳解】（1）設(shè)，則，時(shí)，．，是定義在R上的奇函數(shù)，，故，；（2）等價(jià)于，時(shí)，單調(diào)遞減，又為定義在R上的奇函數(shù)，故在R上為減函數(shù)，所以對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，只需，，，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．25．（23-24高三上·山東濰坊·期中）已知函數(shù).(1)判斷的奇偶性，并證明；(2)解不等式.【答案】(1)偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用奇偶性的定義判斷；（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)直接解不等式即可.【詳解】（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，所以有，即，所以的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)?，所以函?shù)在定義域上為偶函數(shù).（2），所以即因?yàn)樗怨手恍杓唇獾盟圆坏仁降慕饧癁?【B級(jí)

能力提升練】一、單選題1．（2024·天津·二模）函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)奇偶性判斷A；驗(yàn)證的值判斷B；根據(jù)奇偶性、單調(diào)性判斷C；根據(jù)單調(diào)性判斷D.【詳解】由圖象知，該函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，且，對(duì)于A，，為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤，故選：C.2．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】利用奇偶性和對(duì)稱性求得函數(shù)周期為4，然后由周期性和奇函數(shù)的性質(zhì)可得.【詳解】因?yàn)椋?，即，又，函?shù)的定義域?yàn)镽，所以，是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以，，所以，，故，所以是以4為周期的周期函數(shù)，所以.故選：A3．（2024·河北石家莊·二模）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A．-1 B．-2 C．2 D．1【答案】B【分析】由題意求出函數(shù)的周期，再利用奇偶性代入求值即可.【詳解】由題意知，則，即，所以，即，所以函數(shù)的周期為，所以，故選：B4．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B． C． D．0【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即函數(shù)的單調(diào)性解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，解得，又，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，因?yàn)椋?，?故選：B5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】D【分析】令，或，分類討論可求，判斷A；法一：令，可得，進(jìn)而可求，判斷B；法二：令，可求，判斷B；法一：由B可得，可判斷CD；法二

令，可得，判斷CD.【詳解】A：令，得，即，所以或．當(dāng)時(shí)，不恒成立，故，A錯(cuò)誤．B：解法一

令，得，又，所以，故，B錯(cuò)誤．解法二

令，得，又，所以，B錯(cuò)誤．C：解法一

由B選項(xiàng)的解法一可知，則，所以為奇函數(shù)，C錯(cuò)誤，D正確．解法二

令，得，又，所以，所以，結(jié)合選項(xiàng)得C錯(cuò)誤，D正確．綜上可知，選D．故選：D.6．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，可將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，即可得.【詳解】由題可得，所以，即有，即，故不等式等價(jià)于，又，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，，故，即恒成立，故在上單調(diào)遞增，故由可得，即.故選：A.7．（2024·江蘇南通·三模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)．若，則（

）A．23 B．24 C．25 D．26【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性推出函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則得到其周期，再計(jì)算其一個(gè)周期內(nèi)的和，最后代入計(jì)算即可.【詳解】為偶函數(shù)，則則關(guān)于對(duì)稱，為奇函數(shù)，則，即，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則由其關(guān)于對(duì)稱有，則，則，作差有，為周期函數(shù)，且周期為4，因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，，則，，則，，，故選：C.二、多選題8．（23-24高一下·廣東梅州·期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．C．當(dāng)時(shí)，的值域是D．當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【分析】根據(jù)原式得到其對(duì)稱性，結(jié)合偶函數(shù)則得到其周期性，再利用其偶函數(shù)性質(zhì)并結(jié)合其的解析式即可判斷CD.【詳解】因?yàn)?，則關(guān)于直線對(duì)稱，則，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，則，則，則B正確，則則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；對(duì)C，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，的值域與時(shí)值域相同，當(dāng)時(shí)，，顯然其為增函數(shù)，則的值域?yàn)?，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)的周期為4，則，故D正確；故選：ABD.9．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，，，且在上單調(diào)遞減，則（

）A． B．C．在上單調(diào)遞減 D．在上有50個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【分析】利用抽象函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性、周期性一一計(jì)算即可.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)可知：，令，得，故A正確；由上可知關(guān)于中心對(duì)稱，則，因?yàn)?，則關(guān)于軸對(duì)稱，且，所以的一個(gè)周期為4，即，故B正確；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，由周期性知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；易知，且，合計(jì)得在上有個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD10．（2024·全國(guó)·二模）已知是定義在上不恒為0的函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心也是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則（

）A．點(diǎn)是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心B．為周期函數(shù)，且4是的一個(gè)周期C．為偶函數(shù)D．【答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，借助平移變換分析函數(shù)的性質(zhì)，再逐項(xiàng)推理判斷得解.【詳解】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，即為偶函數(shù)，，顯然函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，則函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，即，對(duì)于A，，則是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，A正確；對(duì)于B，由，得，即，，是周期函數(shù)，8是該函數(shù)的一個(gè)周期，若4是的一個(gè)周期，則，而，從而與已知矛盾，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，因此為偶函數(shù)，C正確；對(duì)于D，由，得，則，D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題11．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，，，當(dāng)時(shí)，，則．【答案】【分析】根據(jù)已知關(guān)系式可推導(dǎo)求得，利用周期性和對(duì)稱性可得，結(jié)合已知函數(shù)解析式可求得結(jié)果.【詳解】由得：，又，，，，.故答案為：.12．（2024·山東棗莊·一模）已知為偶函數(shù)，且，則．【答案】【分析】由條件結(jié)合偶函數(shù)定義可得，由結(jié)合周期函數(shù)定義證明為周期函數(shù)，利用周期性及賦值法求結(jié)論.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)為周期函數(shù)，周期為，所以，由，可得，由，可得，所以，所以，故答案為：.13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為均不等于1且不相等的正實(shí)數(shù)．若函數(shù)是奇函數(shù)，則．【答案】【分析】借助奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得，即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，即，則．當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以；當(dāng)時(shí)，恒成立．故答案為：．14．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，推得函數(shù)是周期為12的周期函數(shù)，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】解法一因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，可得，所以，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，可得，即，所以，所以是周期為12的周期函數(shù)，則．解法二

因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以是周期為12的周期函數(shù)，所以，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，則．故答案為：.15．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）定義上單調(diào)遞減的奇函數(shù)滿足對(duì)任意，若恒成立，求的范圍.【答案】【分析】根據(jù)為R上的奇函數(shù)且為減函數(shù)，可得出對(duì)任意的恒成立，這樣求出的最小值，從而可得出的取值范圍.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，又因在R上單調(diào)遞減，所以對(duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立，所以，設(shè)，對(duì)稱軸，所以當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：.【C級(jí)

拓廣探索練】一、單選題1．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足，的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（

）A．3 B． C．1 D．【答案】A【分析】由得，對(duì)兩邊求導(dǎo)得，而，即有，由題意可得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，，從而的周期為，從而即可進(jìn)一步求解.【詳解】因?yàn)?，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且．由，，得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，．根據(jù)圖象變換的規(guī)律，由的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，，則的周期為，，故．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得出的周期為，由此即可順利得解.2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)對(duì)任意恒有，且當(dāng)時(shí)，．若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：令，求出，令，可證得函數(shù)是奇函數(shù)，再由單調(diào)性的定義可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可求出在區(qū)間上的最大值，則，解不等式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；法二：令可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出在區(qū)間上的最大值，則，解不等式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】法一：令，得，所以；令，則有，即，則，故是定義在上的奇函數(shù)．設(shè)，則，又當(dāng)時(shí)，，則有，即，則，故在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，．又因?yàn)榇嬖?，使得成立，所以，解得．故選D．法二：令，則．因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增．因?yàn)榇嬖?，使得成立，所以為在區(qū)間上的最大值．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，所以，所以．解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于由賦值法證得函數(shù)在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可求出在區(qū)間上的最大值，則，解不等式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（2023·新疆烏魯木齊·二模）已知，都是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意x，y滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C． D．若，則【答案】D【分析】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可判斷AC，取可判斷B，對(duì)于D，通過(guò)觀察選項(xiàng)可以推斷很可能是周期函數(shù)，結(jié)合的特殊性及一些已經(jīng)證明的結(jié)論，想到令和時(shí)可構(gòu)建出兩個(gè)式子，兩式相加即可得出，進(jìn)一步得出是周期函數(shù)，從而可求的值.【詳解】解：對(duì)于A，令，代入已知等式得，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，滿足及，因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，，代入已知等式得，可得，結(jié)合得，，再令，代入已知等式得，將，代入上式，得，所以函數(shù)為奇函數(shù).令，，代入已知等式，得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，分別令和，代入已知等式，得以下兩個(gè)等式：，，兩式相加易得，所以有，即：，有：，即：，所以為周期函數(shù)，且周期為3，因?yàn)?，所以，所以，，所以，所以，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于含有的抽象函數(shù)的一般解題思路是：觀察函數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可利用的點(diǎn)，以及利用證明了的條件或者選項(xiàng)；抽象函數(shù)一般通過(guò)賦值法來(lái)確定、判斷某些關(guān)系，特別是有雙變量，需要雙賦值，可以得到一個(gè)或多個(gè)關(guān)系式，進(jìn)而得到所需的關(guān)系，此過(guò)程中的難點(diǎn)是賦予哪些合適的值，這就需要觀察題設(shè)條件以及選項(xiàng)來(lái)決定.二、多選題4．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．設(shè)數(shù)列滿足，則的前2024項(xiàng)和為0D．可以是【答案】ACD【分析】對(duì)于A：令，解得，再令結(jié)合偶函數(shù)定義分析判斷；對(duì)于B：分析可知是以4為周期的周期函數(shù)，關(guān)于直線對(duì)稱，進(jìn)而可得結(jié)果；對(duì)于C：結(jié)合周期性分析運(yùn)算；對(duì)于D：舉例說(shuō)明即可.【詳解】因?yàn)椋业亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于選項(xiàng)A：令，則，解得或，若，令時(shí)，，這與矛盾，故，令，則，即，可知是偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，即，則，所以，故是以4為周期的周期函數(shù)，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，可得，可知關(guān)于直線對(duì)稱，則，若關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，這與矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則是周期為4的周期數(shù)列，又因?yàn)椋?，所以的?024項(xiàng)和為0，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：令，