高二年級下學(xué)期數(shù)學(xué) 變化率問題 教學(xué)課件

5.1.1變化率問題年級：高二（下）學(xué)科：數(shù)學(xué)（人教版）

為了描述現(xiàn)實(shí)世界中的運(yùn)動(dòng)、變化現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)，在對函數(shù)的深入研究中，數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了微積分，這是具有劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造，被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上的里程碑。引言SimpleWorkSummaryReportingCommonTemplate微積分主要與四類問題的處理相關(guān)

已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù)，求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度；1求曲線的切線;2

求已知函數(shù)的最大值與最小值;3

求長度、面積、體積和重心等.4

萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年－1716年），德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家.

牛頓（IsaacNewton，1643年－1727年），英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家.

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，蘊(yùn)含著微積分的基本思想，導(dǎo)數(shù)定量地刻畫了函數(shù)的局部變化，是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（小）值等性質(zhì)的基本方法。因而也是解決諸如增長率、膨脹率、效率、密度、速度、加速度等實(shí)際問題的基本工具。

在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11．

如何描述運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水過程中運(yùn)動(dòng)的快慢程度呢？問題1高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度

直覺告訴我們，運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過程中，在上升階段運(yùn)動(dòng)的越來越慢，在下降階段運(yùn)動(dòng)的越來越快.

探究：這段視頻中運(yùn)動(dòng)員跳水運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何？怎么描述它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？問題1：如何求運(yùn)動(dòng)員從起跳到0.5秒，起跳后1秒到2秒這兩段時(shí)間的平均速度？例如,在0≤t≤0.5這段時(shí)間里，

在1≤t≤2這段時(shí)間里，

探究新知

問題(2)：如何求運(yùn)動(dòng)員起跳后t1秒到t2秒這段時(shí)間的平均速度？

注：

運(yùn)動(dòng)員的平均速度，只關(guān)注了從初始到終止這個(gè)時(shí)間段的情況，忽略了中間運(yùn)動(dòng)過程，因此不能準(zhǔn)確刻畫運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

瞬時(shí)速度

探究新知

縮短時(shí)間段長度

瞬時(shí)速度v(t0)

分析：

為了求運(yùn)動(dòng)員在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度,我們在t=1之后或之前,任意取一個(gè)時(shí)刻1+△t,△t是時(shí)間改變量,可以是正值,也可以是負(fù)值,但不為0.當(dāng)△t>0時(shí),1+△t在1之后;當(dāng)Δt<0時(shí),1+△t在1之前.

無論Δt的正負(fù)，只要無限趨近于0，也就是時(shí)間間隔不斷變小，平均速度都無限趨近于－5.

問題(5):你認(rèn)為上述通過列表計(jì)算瞬時(shí)速度的過程可靠嗎？

因?yàn)閔(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，所以運(yùn)動(dòng)員在時(shí)間段[1，1＋Δt]的平均速度為

分析：計(jì)算是有限的，不能斷定平均速度是否永遠(yuǎn)具有這種特征，需要從更加理性的角度加以說明.

問題(6):你能計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度嗎？解：因?yàn)閔(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，所以運(yùn)動(dòng)員在時(shí)間段[2，2＋Δt]（或[2＋Δt

，2]）的平均速度為所以問題(7):如何求從起跳到入水過程中在某一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度？

解：因?yàn)閔(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，所以運(yùn)動(dòng)員在時(shí)間段[t0，t0＋Δt]（或[t0＋Δt

，t0]）的平均速度為所以

通過不斷縮小時(shí)間間隔，用平均速度逼近得到了瞬時(shí)速度。