第二章　第一節(jié)　等式與不等式的性質(zhì)

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第一節(jié)等式與不等式的性質(zhì)【課標解讀】【課程標準】梳理等式的性質(zhì),理解不等式的概念,掌握不等式的性質(zhì).【核心素養(yǎng)】數(shù)學運算、邏輯推理.【命題說明】考向考法不等式的性質(zhì)是高考的重點,常以選擇題的形式出現(xiàn).預測2025年備考特別要重視性質(zhì)的運用,明確其成立的前提,靈活運用估值法,適當關注與實際問題的結合.【必備知識·逐點夯實】知識梳理·歸納1.兩個實數(shù)比較大小的方法作差法a-b>0?a>2.等式的性質(zhì)性質(zhì)1對稱性:如果a=b,那么b=a;

性質(zhì)2傳遞性:如果a=b,b=c,那么a=c;

性質(zhì)3可加(減)性:如果a=b,那么a±c=b±c;性質(zhì)4可乘性:如果a=b,那么ac=bc;性質(zhì)5可除性:如果a=b,c≠0,那么ac=b3.不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性a>b?b<a;a<b?b>a

傳遞性a>b,b>c?a>c;

a<b,b<c?a<c

可加性a>b?a+c>b+c

移項法則a+b>c?a>c-b可乘性a>b,c>0?ac>bc;

a>b,c<0?ac<bc

同向可加性a>b,c>d?a+c>b+d

同向同正可乘性a>b>0,c>d>0?ac>bd

同正可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2)

微點撥(1)注意不等式成立的條件.(2)注意不等式性質(zhì)的單向與雙向性,即是否具有可逆性.常用結論1.證明不等式的常用方法有:作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.2.有關分式的性質(zhì)(1)若a>b>0,m>0,則ba<b+ma+m,ba>(2)若ab>0,則a>b?1a<1基礎診斷·自測類型辨析改編易錯高考題號13421.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)a>b?ac2>bc2.(×)提示:(1)由不等式的性質(zhì),ac2>bc2?a>b;反之,c≠0時,a>b?ac2>bc2,故(1)錯.(2)a=b?ac=bc.(×)提示:(2)由等式的性質(zhì),a=b?ac=bc;反之,c≠0時,ac=bc?a=b,故(2)錯.(3)若ab>1,則a>b.(×提示:(3)a=-3,b=-1,則ab>1,但a<b,故(3)錯(4)0<a<x<b或a<x<b<0?1b<1x<1a.(2.(2022·上海高考)若a>b>c>d,則下列不等式恒成立的是()A.a+d>b+c B.a+c>b+dC.ac>bd D.ad>bc【解析】選B.對于A,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,滿足a>b>c>d,但a+d=b+c,故A錯誤,對于B,因為a>b>c>d,即a>b,c>d,所以由不等式的可加性可得,a+c>b+d,故B正確,對于C,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,滿足a>b>c>d,但ac=bd,故C錯誤,對于D,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,滿足a>b>c>d,但ad<bc,故D錯誤.3.(必修第一冊P43習題2.1T3(2)改形式)已知M=(x-3)2,N=(x-2)(x-4),則()A.M<N B.M>N C.M≤N D.M≥N【解析】選B.因為M-N=(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0,所以M>N.4.(錯用不等式的性質(zhì)致誤)已知1≤a≤4,-1≤b≤2,則3a-b的取值范圍是()A.[-13,1] B.[-1,8] C.[-1,13] D.1【解析】選D.因為1≤a≤4,-1≤b≤2,所以-2≤-b≤1,3≤3a≤12,所以1≤3a-b≤13.【核心考點·分類突破】考點一不等式的基本性質(zhì)1.(多選題)(2023·張家口模擬)若a>b,則下列不等式中正確的有()A.a-b>0 B.2a>2b C.ac>bc D.a2>b2【解析】選AB.對于A,因為a>b,所以a-b>0,故A正確;對于B,因為a>b,且指數(shù)函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增,所以2a>2b,故B正確;對于C,若c<0,則ac<bc,故C錯誤;對于D,當a=1,b=-2時,a2<b2,故D錯誤.2.(多選題)已知x>y>z,x+y+z=0,則下列不等式不成立的是()A.xy>yz B.xy>xz C.xz>yz D.x|y|>|y|z【解析】選ACD.因為x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,z<0,y的符號無法確定.對于A,由題意得x>z,若y<0,則xy<0<yz,故A不成立;對于B,因為y>z,x>0,所以xy>xz,故B成立;對于C,因為x>y,z<0,所以xz<yz,故C不成立;對于D,當|y|=0時,x|y|=|y|z,故D不成立.3.已知實數(shù)a>b>c,abc≠0,則下列結論一定正確的是()A.ab>ac B.ab>bc C.1a<1c D.ab+bc>【解析】選D.由題可知,a≠0,b≠0,c≠0.對于A,若a>b>c>0,則ab<ac,故A錯誤;對于B,若a>0>b>c,則ab<bc,故B錯誤;對于C,若a>0>b>c,則1a>1c,故C錯誤;對于D,ab+bc>ac+b2?ab-ac>b2-bc?a(b-c)>b(b-c),因為a>b,b-c>0,所以a(b-c)>b(b-c),故ab+bc>ac+4.(多選題)已知a,b,c滿足c<a<b,且ac<0,那么下列各式中一定成立的是()A.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0C.cb2<ab2 D.ab>ac【解析】選BCD.因為c<a<b,且ac<0,所以c<0,a>0,b>0,a-c>0,b-a>0,所以ac(a-c)<0,c(b-a)<0,cb2<ab2,ab>ac.解題技法解決此類題目常用的三種方法(1)直接利用不等式的性質(zhì)逐個驗證,要特別注意前提條件;(2)利用特殊值排除法;(3)利用函數(shù)的單調(diào)性,當直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時,可以利用指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進行判斷.考點二兩個數(shù)(式)的比較大小[例1](1)若a<0,b<0,則p=b2a+a2b與q=a+A.p<q B.p≤q C.p>q D.p≥q【解析】選B.p-q=b2a+a2b-a-b=b2-a2a+a2-=(=(b因為a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.若a=b,則p-q=0,故p=q;若a≠b,則p-q<0,故p<q.綜上,p≤q.(2)已知c>1,且x=c+1-c,y=c-c-1,則x,yA.x>y B.x=y C.x<y D.x,y的關系隨c而定【解析】選C.易知x>0,y>0,又xy=c+1-cc-c-(3)若a=ln33,b=ln22,則a與b的大小關系是【解析】因為a=ln33>0,b=ln2所以ab=ln33·2ln2=2ln33ln2=所以a>b.答案:a>b解題技法1.作差法比較大小的一般步驟:(1)作差;(2)變形;(3)定號;(4)結論.其中關鍵是變形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當兩個式子都為正數(shù)時,有時也可以先平方再作差.2.作商法比較大小的一般步驟:(1)作商;(2)變形;(3)判斷商與1的大小;(4)結論.注意作商前要先判斷正負,一般要比較的兩數(shù)(式)均為正數(shù),可考慮使用作商法.對點訓練1.若a,b∈[0,+∞),A=a+b,B=a+b,則A,B的大小關系是(A.A≤B B.A≥B C.A<B D.A>B【解析】選B.由題意,得B2-A2=-2ab≤0,所以B2≤A2.又A≥0,B≥0,所以A≥B.2.eπ·πe與ee·ππ的大小關系為.

【解析】eπ·πeee·又0<eπ所以(eπ)π-e<1,即e即eπ·πe<ee·ππ.答案:eπ·πe<ee·ππ考點三不等式性質(zhì)的應用考向求代數(shù)式的取值范圍[例2](1)(2023·杭州模擬)若實數(shù)x,y滿足x+y≥1,5x+2A.[1,+∞) B.[3,+∞) C.[4,+∞) D.[9,+∞)【解析】選A.設2x+y=m(x+y)+n(5x+2y),則m+5n=2,m+2n=1,解得m=n=13,故2x+y=13(x+y)+13(5x+2y),由x+y≥1,5x+2y≥2,(2)已知a>b>c,2a+b+c=0,則ca的取值范圍是【解析】因為a>b>c,2a+b+c=0,所以a>0,c<0,b=-2a-c.因為a>b>c,所以-2a-c<a,即3a>-c,解得ca將b=-2a-c代入b>c中,得-2a-c>c,即c<-a,得ca<-1,所以-3<ca答案:(-3,-1)解題技法根據(jù)不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略(1)嚴格運用不等式的性質(zhì),注意其成立的條件.(2)建立待求范圍式子的整體與已知范圍式子的整體的關系,最后一次性運用不等式的性質(zhì)求得取值范圍.提醒:同向不等式的兩邊可以相加,如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化,就會擴大其取值范圍.對點訓練1.已知a∈(-3,-2),b∈(2,4),則ba的取值范圍是【解析】因為a∈(-3,-2),所以1a∈(-12,-13),故13<-又因為2<b<4,所以23<-b則-2<ba<-2答案:(-