第五章　第二節(jié)　三角函數(shù)的同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第二節(jié)三角函數(shù)的同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α+cos2α=1,sinαcosα2.掌握誘導(dǎo)公式,并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.【命題說(shuō)明】考向考法高考命題常以角為載體,考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系,誘導(dǎo)公式;三角函數(shù)求值是高考熱點(diǎn),常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).預(yù)測(cè)預(yù)計(jì)2025年高考可能單獨(dú)考查,也可能與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、向量等知識(shí)綜合考查,應(yīng)增強(qiáng)轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用意識(shí),選擇題、填空題、解答題均有可能出現(xiàn).【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】知識(shí)梳理·歸納1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1.

(2)商數(shù)關(guān)系:sinαcosα=tanα(α≠π2+kπ,k2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(k∈Z)公式角正弦余弦正切一2kπ+αsinαcosαtanα二π+α-sinα-cosαtanα三-α-sinαcosα-tanα四π-αsinα-cosα-tanα五π2-cosαsinα六π2+cosα-sinα微點(diǎn)撥誘導(dǎo)公式的記憶口訣:“奇變偶不變,符號(hào)看象限.”其中的奇、偶是指π2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍,變與不變是指函數(shù)名稱(chēng)的變化常用結(jié)論1.平方關(guān)系的常用變形:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sinα=±1-cos2α2.商數(shù)關(guān)系的常用變形:cosαtanα=sinα,cosα=sinα3.和積互化變形:(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα,(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα.4.弦切互化變形:sin2α=sin2αcos2α=cos2αsinαcosα=sinαcosα基礎(chǔ)診斷·自測(cè)類(lèi)型辨析改編易錯(cuò)題號(hào)12,341.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)使sin(π+α)=-sinα成立的條件是α為銳角.()(2)若α∈R,則sin(π2-α)=sinα.((3)若α∈R,則sin2α+cos2α=1.()(4)若α∈R,則tanα=sinαcosα恒成立.提示:因?yàn)棣痢蔙,sin(π+α)=-sinα成立,所以(1)錯(cuò)誤;因?yàn)棣痢蔙,sin(π2-α)=cosα,所以(2)錯(cuò)誤;由同角三角函數(shù)間的關(guān)系可知,(3)正確;因?yàn)閠anα=sinαcosα在α≠π2+kπ(答案:(1)×(2)×(3)√(4)×2.(必修第一冊(cè)P183例6變題型)已知α是第四象限角,且sinα=-12,則cosα=【解析】已知α是第四象限角,且sinα=-12所以cosα=1-sin答案:33.(必修第一冊(cè)P186T15變結(jié)論)已知tanα=-2,則2sinα+cosαA.-4 B.-1C.-1 D.-1【解析】選C.2sinα+cosαcosα-4.(記錯(cuò)公式)下列等式恒成立的是()A.cos(-α)=-cosαB.sin(360°-α)=sinαC.tan(2π-α)=tan(π+α)D.cos(π+α)=cos(π-α)【解析】選D.因?yàn)閏os(-α)=cosα;sin(360°-α)=-sinα;tan(2π-α)=-tanα,tan(π+α)=tanα;cos(π+α)=-cosα,cos(π-α)=-cosα.【核心考點(diǎn)·分類(lèi)突破】考點(diǎn)一同角三角函數(shù)間的關(guān)系考情提示同角三角函數(shù)的基本關(guān)系常與三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)融合在一起進(jìn)行命題,以公式變形為主解決相關(guān)運(yùn)算問(wèn)題,題型多為選擇題、填空題.角度1公式的直接應(yīng)用[例1](1)(2023·惠州模擬)已知tanα=2,π<α<3π2,則cosα-sinα=(A.55 B.-55 C.355 【解析】選A.因?yàn)閠anα=sinαcosα=2,且sin2α+cos2α=1,π<α<3π2,所以sinα=-255,cosα=-55,所以cosα-sinα=-55(2)已知cosα=-513,則13sinα+5tanα=【解析】因?yàn)閏osα=-513<0且cosα所以α是第二或第三象限角.①若α是第二象限角,則sinα=1-cos2α所以tanα=sinαcosα=12此時(shí)13sinα+5tanα=13×1213+5×(-125)②若α是第三象限角,則sinα=-1-co=-1213所以tanα=sinαcosα=-此時(shí),13sinα+5tanα=13×(-1213)+5×125綜上,13sinα+5tanα=0.答案:0解題技法利用sin2α+cos2α=1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化,利用sinαcosα=tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化角度2“弦切互化”問(wèn)題[例2](1)已知sinα+3cosα3cosα-sinα=5,則cos2A.35 B.-35 C.-3 D【解析】選A.因?yàn)閟inα+3cosα3cosα-sinα=5,所以tanα+33-tanα=5,解得tanα(2)(2023·黃岡模擬)已知α∈R,sin2α+4sinαcosα+4cos2α=52,則tanα=【解析】因?yàn)閟in2α+4sinαcosα+4cos2α=sin2α+4sinα所以3tan2α-8tanα-3=0,解得tanα=3或-13答案:3或-1解題技法利用“弦切互化”求齊次式值的方法(1)若齊次式為分式,可將分子與分母同除以cosα的n次冪,將分式的分子與分母化為關(guān)于tanα的式子,代入tanα的值即可求解.(2)若齊次式為二次整式,可將其視為分母為1的分式,然后將分母1用sin2α+cos2α替換,再將分子與分母同除以cos2α,化為只含有tanα的式子,代入tanα的值即可求解.角度3sinα±cosα,sinαcosα之間關(guān)系的應(yīng)用[例3](1)已知sinα+cosα=-713,α∈(π2,π),則sinα-cosα=(A.1213 B.-1213 C.1713 D【解析】選C.因?yàn)閟inα+cosα=-713所以(sinα+cosα)2=(-713)2,即sin2α+cos2α+2sinαcosα=(-713)2,2sinαcosα=-所以sin2α+cos2α-2sinαcosα=289169即(sinα-cosα)2=289169因?yàn)棣痢?π2,π)所以sinα-cosα>0,sinα-cosα=1713(2)已知tanθ+1tanθ=4,則sin4θ+cos4θ=(A.38 B.12 C.34 【解析】選D.由題意得tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin故sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×116=7解題技法“sinα±cosα,sinαcosα”關(guān)系的應(yīng)用sinα±cosα與sinαcosα通過(guò)平方關(guān)系聯(lián)系到一起,即(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,sinαcosα=(sinα+cosα)2-12對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2023·安康模擬)已知tanθ=12,則sin3A.12 B.2 C.16 D【解析】選A.因?yàn)閠anθ=12,所以=sin3θ+sinθ(sin2θ+co2.(2023·梅州模擬)已知cosα=13,且α為第四象限角,則tanα=【解析】因?yàn)棣翞榈谒南笙藿?所以sinα<0,所以sinα=-1-cos所以tanα=sinαcosα答案:-223.(2023·聊城模擬)已知α∈(-π2,π2),且sinα+cosα=55,則tanα【解析】因?yàn)閟inα+cosα=55,所以sin2α+cos2α+2sinαcosα=15,所以sinαcosα=-25,所以sin2α+cos2α-2sinαcosα=95=(sinα-cosα)2.又sinαcosα<0,α∈(-π2,π2),所以α∈(-π2,0),所以sinα<0,cosα>0,所以cosα-sinα=355,所以sinα=-5答案:-1【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)sin23°=m,則tan67°=()A.-m1-m2C.1m2-m【解析】選D.因?yàn)閟in23°=m,所以cos67°=m,所以sin67°=1-所以tan67°=1-因?yàn)閟in23°=m>0,所以tan67°=1-m2考點(diǎn)二誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用[例4](1)(2023·黑龍江模擬)sin495°=()A.1 B.-12 C.32 D【解析】選D.sin495°=sin(360°+135°)=sin135°=sin(180°-45°)=sin45°=22(2)已知x∈R,則下列等式恒成立的是()A.sin(3π-x)=-sinxB.sinπ-xC.cos(5π2+3x)=sin3xD.cos(3π2-2x)=-sin2【解析】選D.sin(3π-x)=sin(π-x)=sinx,sinπ-x2=sin(π2-xcos(5π2+3x)=cos(π2+3x)=-sin3cos(3π2-2x)=-sin2(3)已知sin(α+π12)=13,則cos(α+712π)的值為;sin(1112π-α【解析】cos(α+7π12)=cos(π2+α+π12)=-sin(α+π12sin(1112π-α)=sin[π-(α+π12)]=sin(α+π12)答案:-13解題技法1.誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用(1)求值:負(fù)化正,大化小,化到銳角為終了;(2)化簡(jiǎn):統(tǒng)一角,統(tǒng)一名,同角名少為終了.2.常見(jiàn)的互余和互補(bǔ)的角(1)常見(jiàn)的互余的角:π3-α與π6+α;π3+α與π6-α;π4+α(2)常見(jiàn)的互補(bǔ)的角:π3+θ與2π3-θ;π4+θ與提醒:計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式時(shí),可直接將2π的整數(shù)倍去掉,然后再進(jìn)行運(yùn)算.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.tan(π-A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】選B.原式=-tanα·cosα·(-cosα2.(2023·茂名模擬)已知sin(θ-π6)=12,則cos(θ+π3)A.-32 B.-12 C.12 【解析】選B.cos(θ+π3)=cos(θ-π6+π2)=-sin(θ-π6【加練備選】1.(2023·福建三明模擬)已知cos(α+π3)=-513,則sin(7π6-α)-2cos(2π3-αA.-513 B.513 C.-1513 【解析】選A.因?yàn)閟in(7π6-α)=sin[π+(π6-α)]=-sin(π6-α)=-cos(π3+αcos(2π3-α)=-cos[π-(2π3-α)]=-cos(π3+α)=513,所以sin(7π6-α)-2cos(2π3-α)=2.已知f(α)=sin(則f(-31π3)=【解析】因?yàn)閒(α)=sin=-sinαcos所以f(-31π3)=cos(-31π3)=cosπ3答案:1考點(diǎn)三誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系的綜合應(yīng)用[例5](1)已知sin(π-α)+sin(α-π2)=12,則cos(3A.-34 B.34 C.-316 【解析】選A.由已知得sinα-cosα=12,兩邊平方得1-2sinαcosα=14,解得sinαcosα=38,則原式=sinα1-tan(2)(2023·陽(yáng)泉模擬)已知sin(α+π6)=33,且α∈(-π4,π4),則sin(π3-【解析】因?yàn)棣痢?-π4,π4),所以α+π6∈(-π12,5π12),故cos(所以cos(α+π6)=1-(sin(π3-α)=sin[π2-(α+π6)]=cos(α+π6答案:6解題技法同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式應(yīng)用的技巧(1)求值或化簡(jiǎn)時(shí),關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系,靈活使用公式進(jìn)行變形.(2)注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.若α∈(0,π),sin(π-α)+cosα=23,則sinα-cosα的值為(A.23 B.-23 C.43 D【解析】選C.由誘導(dǎo)公式得,sin(π-α)+cosα=sinα+cosα=23所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=29則2sinαcosα=-79因?yàn)棣痢?0,π),所以sinα>0,所以cosα<0,所以sinα-cosα>0,因?yàn)?sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=169所以sinα-cosα=432.(2023·成都