第五章　第三節(jié)　第1課時(shí)　兩角和與差的三角函數(shù)

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第三節(jié)三角恒等變換第1課時(shí)兩角和與差的三角函數(shù)【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過程,知道兩角差余弦公式的意義.2.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.【命題說明】考向考法高考命題常以角為載體,考查兩角和與差的三角函數(shù);三角函數(shù)化簡求值是高考熱點(diǎn),常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).預(yù)測高考可能會與三角恒等變換結(jié)合考查.【必備知識·逐點(diǎn)夯實(shí)】知識梳理·歸納1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;

(2)公式C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

(3)公式S(α-β):sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;

(4)公式S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;

(5)公式T(α-β):tan(α-β)=tanα(6)公式T(α+β):tan(α+β)=tanα2.輔助角公式asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ),其中sinφ=ba常用結(jié)論兩角和與差的公式的常用變形:(1)sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ.(2)cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ.(3)tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ).tanαtanβ=1-tanα+tanβtan基礎(chǔ)診斷·自測類型辨析改編易錯(cuò)高考題號12431.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)存在α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ.()(2)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意角.()(3)兩角和與差的正切公式中的角α,β是任意角.()(4)公式asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)中φ的取值與a,b的值無關(guān)提示:當(dāng)α=β=0時(shí),sin(α+β)=sinα+sinβ,所以(1)正確;由兩角和與差的正弦、余弦、正切公式成立的條件可知,(2)正確,(3)錯(cuò)誤;由輔助角公式可知,asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)中φ的取值與a答案:(1)√(2)√(3)×(4)×2.(必修第一冊P219例4改條件)sin20°cos10°-cos160°sin10°等于()A.-32 B.32 C.-12 【解析】選D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=123.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=22cos(α+π4)sinβ,則(A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1【解析】選C.方法一:因?yàn)閟in(α+β)+cos(α+β)=22cos(α+π4)sinβ所以2sin(α+β+π4)=22cos(α+π4)sin即sin(α+β+π4)=2cos(α+π4)sin所以sin(α+π4)cosβ+sinβcos(α+π4)=2cos(α+π4)所以sin(α+π4)cosβ-sinβcos(α+π4所以sin(α+π4-β)=0,所以α+π4-β=kπ,k∈所以α-β=kπ-π4所以tan(α-β)=-1.方法二:由題意可得,sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2(cosα-sinα)sinβ,即sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0,所以sin(α-β)+cos(α-β)=0,故tan(α-β)=-1.4.(記錯(cuò)公式形式導(dǎo)致錯(cuò)誤)若將sinx-3cosx寫成2sin(x-φ)的形式,其中0≤φ<π,則φ=.

【解析】因?yàn)閟inx-3cosx=2(12sinx-32cosx所以cosφ=12,sinφ=3因?yàn)?≤φ<π,所以φ=π3答案:π【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一兩角和與差的三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用[例1](1)若cosα=-45,α是第三象限角,則sin(α+π4)=(A.7210 B.-7210 C.-2【解析】選B.因?yàn)棣潦堑谌笙藿?所以sinα<0,且sinα=-1-cos2α因此,sin(α+π4)=sinαcosπ4+cosαsin(-35)×22+(-45)×2(2)(2024·湛江模擬)已知cosα+cos(α-π3)=1,則cos(α-π6)等于(A.13 B.12 C.22 【解析】選D.因?yàn)閏osα+cos(α-π3)所以cosα+12cosα+32sinα=32cosα+=3(32cosα+12sin=3cos(α-π6)所以cos(α-π6)=3(3)已知sinα=35,α∈(π2,π),tan(π-β)=則tan(α-β)的值為()A.-211 B.211 C.112 D【解析】選A.因?yàn)棣痢?π2,π),所以cosα=-4tanα=-34,又tan(π-β)=12,所以tanβ=-所以tan(α-β)=tan=-34+解題技法(1)兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣,可用α,β的三角函數(shù)表示α±β的三角函數(shù).(2)在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí),特別要注意角與角之間的關(guān)系,完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的.對點(diǎn)訓(xùn)練1.已知sinα=sin(α+π3)+13,則cos(α+π6)A.13 B.-13 C.233 【解析】選B.由sinα=sin(α+π3)+13,得sinα=sinαcosπ3+cosαsinπ3+13=12sinα+32cosα+13,則32cosα-12sin-132.已知cos(α+π6)=3cosα,tanβ=33,則tan(α+β)=【解析】因?yàn)閏os(α+π6)=32cosα-12=3cosα,所以-sinα=3cosα,故tanα=-3,所以tan(α+β)=tanα+tan=-233答案:-3【加練備選】(2020·全國Ⅲ卷)已知sinθ+sin(θ+π3)=1,則sin(θ+π6)等于(A.12 B.33 C.23 【解析】選B.因?yàn)閟inθ+sin(θ+π3=sin(θ+π6-π6)+sin(θ+π6=sin(θ+π6)cosπ6-cos(θ+π6)sinπ6+sin(θ+π6)cosπ6+cos(=2sin(θ+π6)cosπ6=3sin(θ+π所以sin(θ+π6)=3考點(diǎn)二兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與變形角度1公式的逆用[例2](1)(2024·武漢模擬)sin109°cos296°+cos71°sin64°=()A.12 B.22 C.32 【解析】選B.sin109°cos296°+cos71°sin64°=sin(180°-71°)cos(360°-64°)+cos71°sin64°=sin71°cos64°+cos71°sin64°=sin(71°+64°)=sin135°=22(2)(2024·梧州模擬)1+tan7π12A.-33 B.33 C.-3 D【解析】選A.1+tan7π12tan(π4+7π12)=tan5π6=tan(π-π6)=-tan解題技法逆用公式化簡計(jì)算的技巧(1)熟記和差倍角公式的結(jié)構(gòu)特征及符號規(guī)律,分析所求值式子與公式的異同,必要時(shí)對其進(jìn)行轉(zhuǎn)化、變形、常數(shù)替換等,創(chuàng)造條件逆用公式.(2)注意誘導(dǎo)公式在調(diào)整角的大小與函數(shù)名稱中的合理應(yīng)用.角度2公式的靈活應(yīng)用[例3](1)在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=233,則tanAtanB的值為(A.14 B.13 C.12 【解析】選B.因?yàn)镃=120°,所以tanC=-3.因?yàn)锳+B=π-C,所以tan(A+B)=-tanC,所以tan(A+B)=3,tanA+tanB=3(1-tanAtanB),又因?yàn)閠anA+tanB=23所以tanAtanB=13(2)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,則sin(α+β)=.

【解析】因?yàn)閟inα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,所以sin2α+cos2β+2sinαcosβ=1,①cos2α+sin2β+2cosαsinβ=0,②①②兩式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,所以sin(α+β)=-12答案:-1(3)若α+β=-3π4,則(1+tanα)(1+tanβ)=【解析】tan(-3π4)=tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtan所以1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2,即(1+tanα)(1+tanβ)=2.答案:2[變式]若將本例(1)的條件改為tanAtanB=tanA+tanB+1,則C等于.

【解析】在△ABC中,因?yàn)閠anAtanB=tanA+tanB+1,所以tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtan答案:45°解題技法公式變形應(yīng)用的技巧兩角和與差的正切公式及其變形將tan(α±β),tanα±tanβ,tanαtanβ三者聯(lián)系在一起,已知其中的兩個(gè)或兩個(gè)之間的關(guān)系,即可求出另外一個(gè)的值.角度3輔助角公式的運(yùn)用[例4]化簡:(1)3cosx+3sinx;【解析】(1)原式=32(12cosx+12sin=32cos(x-π4)(2)sinπ12-3cosπ【解析】(2)方法一:原式=2(12sinπ12-32=2(sinπ6sinπ12-cosπ6=-2cos(π6+π12)=-2cosπ4=-方法二:原式=2(12sinπ12-32=2(cosπ3sinπ12-sinπ3=-2sin(π3-π12=-2sinπ4=-2(3)315sinx+35cosx.【解析】(3)315sinx+35cosx=65(32sinx+12cos=65(sinxcosπ6+cosxsinπ=65sin(x+π6)解題技法輔助角公式及其應(yīng)用1.輔助角公式:asinx+bcosx可化成a2+b2sin(x+φ),這里輔助角φ所在的象限由a,b的符號確定,角φ由tanasinx+bcosx=a2+b2(aa2+b令cosφ=aa2+b2則原式=a2+b2(sinxcosφ+cosxsinφ)=a2+b2.公式應(yīng)用技巧:在輔助角公式asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)中,當(dāng)|a|=|b|時(shí),一般可引入輔助角φ=π4;當(dāng)|ab|=3或|ab|=3對點(diǎn)訓(xùn)練1.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)的值為()A.-12 B.12 C.-32 【解析】選B.由兩角差的余弦公式,得cos(α-35°)·cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=122.若α+β=2π3,則3tanαtanβ-tanα-tanβ的值為【解析】因?yàn)棣?β=2π3,所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=tan(π-π3)=-3,所以tanα+tanβ=-3(1-tanαtanβ),所以3tanαtanβ-tanα-tanβ3tanαtanβ+3-3tanαtanβ=3.答案:33.(2022·北京高考)若函數(shù)f(x)=Asinx-3cosx的一個(gè)零點(diǎn)為π3,則A=;f(π12)=【解析】依題意得f(π3=A×32-3×12=0,解得A=1,所以f(x)=sinx-3cosx=2sin(x-π3),所以f(π12)=2sin(π12答案:1-2考點(diǎn)三角的變換問題[例5](1)(2024·株洲模擬)已知θ∈(0,π2),sin(θ-π4)=55,則tanθA.2 B.12 C.3 D.【解析】選C.因?yàn)棣取?0,π2),所以-π4<θ-π4<π4,故cos(θ-π4)=1-sin2(θ-π4)=255,所以sinθ=sin[(θ-π4)+π4]=22[sin(θ因此tanθ=sinθcos(2)已知α,β∈(π3,5π6),若sin(α+π6)=45,cos(β-5π6)=513,