拓展拔高2　指數(shù)、對數(shù)、冪值的比較大小

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。拓展拔高2指數(shù)、對數(shù)、冪值的比較大小【高考考情】指數(shù)與對數(shù)是高中一個重要的知識點,也是高考必考考點,其中指數(shù)、對數(shù)及冪的大小比較是近幾年的高考熱點和難點,主要考查指數(shù)、對數(shù)的互化、運算性質(zhì),以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì),一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在壓軸題的位置.視角一臨界值法比較大小[例1](1)(2023·上饒模擬)已知a=log53,b=212,c=7-0.5,則a,b,c的大小關(guān)系為(A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.c>b>a【解析】選C.因為1=log55>log53>log55=log5512=12,即12<a<1,b=c=7-0.5=(17)

12<(14)即0<c<12,所以b>a>(2)已知a=log52,b=1log0.10.7,c=0.70.3,則A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【解析】選A.因為log51<log52<log55,所以0<a<12因為b=1log0.10.7=log0.70所以b>1,因為0.71<0.70.3<0.70,所以0.7<c<1,所以a<c<b.思維升華臨界值法比較大小的關(guān)鍵是尋找合適的中間值,如?？紤]a,b,c與特殊數(shù)字“0”“1”“12”的大小關(guān)系遷移應(yīng)用(2023·南開模擬)已知a=20.2,b=1-2lg2,c=2-log310,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.b>c>a B.a>b>cC.a>c>b D.b>a>c【解析】選B.由題意可得:a=20.2>20=1,b=1-2lg2=1-lg4,且0<lg4<1,則0<b<1,因為log310>log39=2,則c=2-log310<0,所以a>b>c.視角二含變量問題的比較大小[例2](1)(一題多法)x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則()A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z【解析】選D.解法一(特值法):取z=1,則由2x=3y=5得x=log25,y=log35,所以2x=log225<log232=5z,3y=log3125<log3243=5z,所以5z最大.取y=1,則由2x=3得x=log23,所以2x=log29>3y.綜上可得,3y<2x<5z.解法二(作差法):令2x=3y=5z=k,由x,y,z為正數(shù),知k>1,則x=lgklg2,y=lgklg3,因為k>1,所以lgk>0,所以2x-3y=2lgklg2-lgk·(2lg3-3lg2)lg2·lg3=lgk·lg98lg2·lg3>0,故2x所以3y<2x<5z.解法三(作商法):令2x=3y=5z=k,由x,y,z為正數(shù),知k>1.則x=lgklg2,y=lgklg3,所以2x3y=23·lg3lg2=lg95z2x=52·lg2lg5=所以5z>2x>3y.解法四(函數(shù)法):令2x=3y=5z=k,由x,y,z為正數(shù),知k>1,則x=lnkln2,y=lnkln3,設(shè)函數(shù)f(t)=tlnklnt(則f(2)=2lnkln2=2x,f(3)=3lnkln3=3y,ff'(t)=lnk·ln易得當(dāng)t∈(e,+∞)時,f'(t)>0,函數(shù)f(t)單調(diào)遞增.因為e<3<4<5,所以f(3)<f(4)<f(5).又f(2)=2lnkln2=2×2lnk2ln2=所以f(3)<f(2)<f(5),即3y<2x<5z.(2)已知實數(shù)x,y,z∈R,且滿足lnxex=yey=-zez,y>1,則xA.y>x>z B.x>z>yC.y>z>x D.x>y>z【解析】選A.因為lnxex=yey則lnx>0,-z>0,即x>1,z<0,令f(x)=x-lnx,x>1,則f'(x)=1-1x>0,函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,有f(x)>f即lnx<x,從而當(dāng)x>1,y>1時,yey=lnx令g(t)=tet,t>1,g'(t)=1-te則由x>1,y>1,yey<xex得y>x>1,所以y思維升華(1)若題設(shè)涉及三個指數(shù)式連等或三個對數(shù)式連等,則可利用特例法求解,也可在設(shè)元變形的基礎(chǔ)上,通過作差、作商或運用函數(shù)的性質(zhì)求解.(2)涉及不同變量但結(jié)構(gòu)相似的式子相等時,細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系,構(gòu)造函數(shù),分析并運用函數(shù)的單調(diào)性求解作答.遷移應(yīng)用(2023·大理模擬)已知實數(shù)a,b,c滿足lnaea=lnbb=-lncc<0,則aA.b<a<c B.c<b<aC.a<b<c D.c<a<b【解析】選C.由題意知a>0,b>0,c>0,由lnaea=lnbb=-lncc設(shè)f(x)=lnxx(則f'(x)=1-當(dāng)0<x<e時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,因為ex≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號,故ea>a(0<a<1),又lna<0,所以lnaea>lnaa所以f(b)>f(a),則b>a,即有0<a<b<1<c,故a<b<c.視角三構(gòu)造函數(shù)比較大小[例3](1)(2020·全國Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b,則()A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b2【解析】選B.令f(x)=2x+log2x,因為y=2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,y=log2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)=2x+log2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b<22b+log22b,所以f(a)<f(2b),所以a<2b.(2)已知a=2(2-ln2)e2,b=ln22,c=1eA.a<b<c B.b<a<cC.a<c<b D.b<c<a【解析】選B.a=2-ln2e22=lne令f(x)=lnxx,所以a=f(e22),b=f(2),f'(x)=1-所以當(dāng)x∈(0,e)時,f'(x)>0,當(dāng)x∈(e,+∞)時,f'(x)<0,所以f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(e)=lnee=c,所以a<c,b又b=ln22=2ln24=ln44=f所以f(4)<f(e22),所以b<a,所以b<a思維升華某些數(shù)或式子的大小關(guān)系問題,看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān),細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系,抓住其本質(zhì),將各個值中的共同的量用變量替換,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性,進而比較大小.遷移應(yīng)用(2023·濰坊模擬)已知a=20222024,b=20232023,c=20242022,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.b>c>a B.b>a>cC.a>c>b D.a>b>c【解析】選D.因為lnalnb=2構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnxx+1(x≥e2),f'(x令g(x)=(x+1)-xlnx,則g'(x)=-lnx<0,所以g(x)在[e2,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(x)≤g(e2)=1-e2<0,故f'(x)<0,所以f(x)在[e2,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(2022)>f(2023)>0?lnalnb=ln20222023ln20232因為lnblnc=2構(gòu)造函數(shù)h(x)=lnxx-1(x≥e2),h'