人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三專題11.7與三角形的角有關(guān)的五大類型解答題專項(xiàng)訓(xùn)練(40題)(學(xué)生版+解析)

專題11.7與三角形的角有關(guān)的五大類型解答題專項(xiàng)訓(xùn)練（40題）【人教版】【題型1與三角形的角有關(guān)的挖空題】1．（23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，∠ADC=110°，∠BAC=80°，∠B=∠BAD．求：（1）∠B的度數(shù)；（2）∠C的度數(shù)．對(duì)于上述問(wèn)題，在以下解答過(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）．解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），∴+＝∠ADC=110°（）．又∵∠B=∠BAD（已知），∴∠B=（等量代換）．（2）∵∠B+∠BAC+=180°（），∴∠C=180°?∠BAC?∠B（等式的性質(zhì)），=180°?80°?∠B，＝．2．（23-24八年級(jí)·河南南陽(yáng)·期末）如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)P為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度數(shù)；解：（在以下解答過(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式））∵∠B=35°，∠ACB=85°（已知）∠BAC+∠B+∠ACB=（）∴∠BAC=180°?∠B?∠ACB（等式的性質(zhì)）=180°?35°?85°（等量代換）=60°∵AD平分∠BAC（）∴∠BAD=∠=12∠BAC=12=∴∠ADC=∠B+=35°+=（）∵PE⊥AD（已知）∴∠DPE=90°（）在直角三角形DPE中，∵∠PDE+∠E=90°（）∴∠E=90°?∠PDE（等式的性質(zhì)）=90°?（等量代換）=．（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)∠B=α，∠ACB=ββ>α，求∠E的大?。ㄓ煤?，β3．（23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在直角三角形ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠BCD=35°，求：（1）∠EBC的度數(shù)；（2）∠A的度數(shù)．

對(duì)于上述問(wèn)題，在以下解答過(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）．解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDB=______，∵∠EBC=∠CDB+∠BCD（_______），∴∠EBC=_____+35°=______（等量代換），（2）∵∠EBC=∠A+∠ACB（_______），∴∠A=∠EBC?∠ACB（等式的性質(zhì)），∵∠ACB=90°（已知），∴∠A=_____?90°=______（等量代換）．你還能用其他方法解決這一問(wèn)題嗎？4．（23-24八年級(jí)·重慶沙坪壩·期末）如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，DE∥AC交BC于點(diǎn)E，∠CDE=35°，求∠ADC及對(duì)于上述問(wèn)題，在以下解答過(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）．解：∵DE∥∴①（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵∠CDE=35°（已知），∴∠ACD=35°（等量代換），∵CD平分∠ACB（已知），∴②（角平分線的定義）．∴∠BCD=35°（等量代換）．∵∠ADC是△BDC的外角（已知），∴∠ADC=③（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）．又∵∠B=40°（已知），∴∠ADC=40°+35°=75°．∴∠A+∠ADC+∠ACD=180°（④），∴∠A=⑤（等式的性質(zhì)）=180°?75°?35°=70°．

5．（23-24八年級(jí)·重慶沙坪壩·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°．D、E分別是AC、BC邊上一點(diǎn)，連接AE、BD，AE與BD相交于點(diǎn)F．若∠CBD=∠CAE，∠BAE=45°，請(qǐng)說(shuō)明解：∵∠EFD是△BEF的外角（已知），∴∠EFD=______（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）．同理可得：∠EFD=______+∠DAF．又∵∠CBD=∠CAE（已知），∴∠ADF=______（等式性質(zhì)）．∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=______（三角形內(nèi)角和等于180°），∠ABC=45°，∴∠AEB=180°?∠BAE?∠ABE（等式的性質(zhì)），=180°?45°?45°=90°，∴∠ADF=______°（等量代換）．6．（23-24八年級(jí)·福建泉州·期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，連接AD，DE，已知∠B=60°，∠C=40°，∠1=50°，且∠3=對(duì)于上述問(wèn)題，在以下解答過(guò)程中的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）．

解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°（__________），∠B=60°，∴∠BAC=180°?∠B+∠C=180°?60°+40°=___∵∠1=50°（已知），∴∠DAC=∠BAC?∠1=80°?50°=30°（等量代換），在△ADE中，∠DAE+∠3+∠4=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），又∵∠3=∠4（______∴∠4=180°?∠DAE∵∠4=∠C+∠2（__________），∴∠2=∠4?∠C=75°?40°=35°（等量代換）7．（23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期末）【問(wèn)題】如圖①，在△ABC中，∠A=80°，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．求∠D的度數(shù)，對(duì)于上述問(wèn)題，在以下解答過(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）．解：∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°（_______________），∴∠ABC+∠ACB=_____________（等式性質(zhì)）．∵∠A=80°（已知），∴∠ABC+∠ACB=_____________（等量代換）．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠DBC=1同理，∠DCB=__________．∴∠DBC+∠DCB=1∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠D=180°?∠DBC+∠DCB【拓展】如圖②，在△ABC中，∠A=α，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．則∠D=（__________）．【應(yīng)用】如圖③，在△ABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB．若∠E=145°，則∠A=（__________）．8．（23-24八年級(jí)·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）互動(dòng)學(xué)習(xí)課堂上，某小組同學(xué)對(duì)一個(gè)課題展開(kāi)了探究．(1)已知：如圖，在△ABC中，∠B和∠C的平分線相交于點(diǎn)P，試探究∠BPC和∠A的關(guān)系．請(qǐng)?jiān)谝韵陆獯疬^(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由成數(shù)學(xué)式）．解：延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)D．∵∠BPC=∠2+∠3，∠3=∠1+∠A（__________），∴∠BPC=∠2+∠1+∠A．∵∠B和∠C的平分線相交于點(diǎn)P，∴∠1=12∠ABC∴∠BPC=1∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°（__________），∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A（等式的性質(zhì)），∴∠BPC=1(2)如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線和外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P，試探究∠P和∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖，△ABC的外角∠CBD的平分線和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)P，若∠A=50°，則∠P的度數(shù)為_(kāi)_________．【題型2與三角形的角有關(guān)的計(jì)算】9．（23-24八年級(jí)·河南洛陽(yáng)·期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)．(1)若AE平分∠BAC，∠DAE=15°，∠B=60°，求(2)在（1）條件下，直接寫(xiě)出∠AEC=______．10．（23-24八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，已知∠BCD=120°，EF∥DC，∠BAC=80°，∠EFA=25°，求11．（23-24八年級(jí)·河南鶴壁·期末）如圖所示，AD為△ABC的高，AE，BF為△ABC的角平分線，若∠CBF=30°，∠AFB=70°．(1)求∠DAE的度數(shù)；(2)若點(diǎn)M為線段BC上任意一點(diǎn)，當(dāng)△MFC為直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出∠BFM的度數(shù)．12．（23-24八年級(jí)·河北石家莊·期末）如圖①，∠MON=80°，點(diǎn)A,B在∠MON的兩條邊上運(yùn)動(dòng)，∠OAB和(1)點(diǎn)A,B在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，則(2)如圖②，AD是∠MAB的平分線，AD的反向延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)A,B在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠E的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求出(3)若∠MON=n，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ACB=?_______；13．（23-24八年級(jí)·山東聊城·期末）如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，點(diǎn)F是從點(diǎn)A沿AE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FD⊥BC于點(diǎn)D．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，求∠DFE的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F位于點(diǎn)A，E之間時(shí)，求∠DFE的度數(shù)．14．（23-24八年級(jí)·福建泉州·期末）如圖，已知∠AOB=72°，點(diǎn)C、N分別在∠AOB的兩邊OA，OB上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)C、N與點(diǎn)O不重合），CE平分(1)若∠ACN=125°，試求出∠ONC的度數(shù)；(2)已知FN平分∠ONC交CE的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．在點(diǎn)C、N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠F的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，試求出∠F的度數(shù)；若發(fā)生改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．（23-24八年級(jí)·河南洛陽(yáng)·期末）已知直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，點(diǎn)A在射線OQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A，B均不與點(diǎn)O重合．(1)如圖1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，AI交BI于I，則∠AIB=______°．(2)如圖2，AI平分∠BAO交OB于點(diǎn)I，BC平分∠ABM，BC的反向延長(zhǎng)線交AI的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．①直接寫(xiě)出，則∠ADB=______°．②在點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠ADB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，求出∠ADB的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．（23-24八年級(jí)·河北張家口·期末）在我們?nèi)A師版義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)七下第82頁(yè)，曾經(jīng)研究過(guò)三角形角平分線的夾角問(wèn)題．明明在研究完上面的問(wèn)題后，對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究，他的研究過(guò)程如下：【問(wèn)題改編】（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A=50°．則∠P=______；【問(wèn)題推廣】（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC的角平分線與△ABC的外角∠CBM的角平分線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AP于點(diǎn)H，若∠ACB=80°，求∠PBH的度數(shù)；（3）如圖3，在△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長(zhǎng)線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ．若∠F=n°，則∠A的度數(shù)為_(kāi)_____．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）【題型3探究與三角形有關(guān)的角之間的關(guān)系】17．（23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期中）將三角形紙片ABC沿直線DE折疊，使點(diǎn)A落在A'處．【感知】如果點(diǎn)A'落在邊AB上，這時(shí)圖①中的∠1變?yōu)?°，那么∠A'與∠2【探究】如果點(diǎn)A'落在四邊形BCDE的內(nèi)部(如圖①)，那么∠A'與∠1【拓展】如果點(diǎn)A'落在四邊形BCDE的外部(如圖②)，那么請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A'與∠1、∠2之間存在數(shù)量關(guān)系

18．（23-24八年級(jí)·江蘇鹽城·期中）如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接PA，PB，構(gòu)成∠PAC，∠APB，∠PBD三個(gè)角．（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是0°角）(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；不成立直接寫(xiě)出結(jié)論．(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③部分時(shí)，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系，并寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論．選擇其中一種結(jié)論加以證明．19．（23-24八年級(jí)·山東濱州·期末）如圖所示的圖形，像我們常見(jiàn)的符號(hào)??箭號(hào)．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．(1)探究：觀察“箭頭四角形”，試探究圖1中∠BDC與∠A，∠B，∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)應(yīng)用：請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY，XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，若∠A=60°，則∠ABX+∠ACX=___________°；②如圖3，∠ABE，∠ACE的二等分線（即角平分線）BF，CF相交于點(diǎn)F，若∠BAC=60°，∠BEC=130°，求∠BFC的度數(shù)．20．（23-24八年級(jí)·山東聊城·期末）如圖，在△ABC中，∠A=80°，點(diǎn)D、E是△ABC邊AC、AB上的點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．(1)若點(diǎn)P在線段BC上，如圖1所示，∠α=50°，求∠1+∠2的值；(2)若點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系________；(3)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊CB的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由；(4)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC外，如圖4所示，則請(qǐng)表示∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．21．（23-24八年級(jí)·湖南株洲·期末）AB∥CD，直線EF交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，點(diǎn)G在CD上，點(diǎn)P在直線EF右側(cè)、且在直線AB和CD之間，連接PE、PG．

(1)寫(xiě)出∠EPG，∠BEP，∠PGD之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)如圖1，連接EG，若EG平分∠PEF，∠BEP+∠PGE=110°，∠PGD=12∠EFD，∠PGD=30°(3)如圖2，若EF平分∠PEA，∠PGD的平分線GN所在的直線與EF相交于點(diǎn)H，則∠EPG與∠EHG之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．22．（23-24八年級(jí)·廣東清遠(yuǎn)·期末）（1）如圖①，在四邊形ABOC中，∠BOC=130°，∠B=29°，∠C=28°．直接寫(xiě)出∠BOC與∠B，∠C，∠A之間的關(guān)系．（2）根據(jù)圖②中的條件，利用（1）中你得出的結(jié)論計(jì)算∠A+∠ABC+∠D+∠DEF的度數(shù)．（3）如圖③，在△ABC中，設(shè)∠A=β，∠ABC和∠ACB的平分線BD，CE交于點(diǎn)O，過(guò)B作EC的平行線BG交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，試用含β的代數(shù)式表示∠OBG的度數(shù)．

23．（23-24八年級(jí)·山東青島·期末）△ABC中，∠C=70°，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊AC,BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2,∠DPE=∠α．初探：(1)如圖1，若點(diǎn)P在線段AB上，且∠α=60°，則∠1+∠2=________°；(2)如圖2，若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則∠1,∠2,∠α之間的關(guān)系為_(kāi)_________；(3)如圖3，若點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，則∠1,∠2,∠α之間的關(guān)系為_(kāi)_________．再探：(4)如圖4，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC的內(nèi)部，寫(xiě)出此時(shí)∠1,∠2,∠α之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．(5)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC的外部，請(qǐng)?jiān)趫D5中畫(huà)出一種情形，寫(xiě)出此時(shí)∠1,∠2,∠α之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．24．（23-24八年級(jí)·四川內(nèi)江·期末）△ABC中，∠C=70°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)Р是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，記∠PDA=∠1，∠PEB=∠2,∠DPE=∠α．初探:（1）如圖1，若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，①當(dāng)∠α=60°時(shí)，則∠1+∠2=________°；②∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為:___________________________.再探:（2）若點(diǎn)Р運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖2，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系?并說(shuō)明理拓展:（3）如圖3，寫(xiě)出此時(shí)∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【題型4探究與三角形有關(guān)的線段之間的關(guān)系】25．（23-24八年級(jí)·江蘇淮安·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接DF(1)若∠A=40°，∠F=25°，求證：DF∥(2)若DF∥BE，探究∠F=30°，則26．（23-24八年級(jí)·河南周口·期末）如圖，MN∥PQ，將兩塊三角尺（一塊含30°角，一塊含45°角）按如下方式放置，使∠MAE=∠CBQ，∠AED=∠ABC=90°．試判斷AB與27．（23-24八年級(jí)·江蘇宿遷·期末）已知：如圖，在△ABC中，AD是角平分線，E為邊AB上一點(diǎn)，連接DE,∠EAD=∠EDA，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F．(1)說(shuō)明：DE∥(2)若∠DEF=40°,∠B=36°，求∠BAC的度數(shù)．28．（23-24八年級(jí)·重慶黔江·期末）如圖1，將三角板ABC與三角板ADE擺放在一起；如圖2，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°．固定三角板ABC，將三角板ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角∠CAE=α0°<α<180°(1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)α為多少度時(shí)DE⊥BC；(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，試探究∠CAD與∠BAE之間的關(guān)系；29．（23-24八年級(jí)·山東濟(jì)寧·期末）如圖1，直線MN與直線AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，∠1與(1)試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P，EP與CD交于點(diǎn)G，點(diǎn)H是MN上一點(diǎn)，且GH⊥EG，求證：(3)如圖3，在（2）的條件下，連接PH，K是GH上一點(diǎn)使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，問(wèn)30．（23-24八年級(jí)·河南洛陽(yáng)·期末）【學(xué)科融合】同學(xué)們應(yīng)該都見(jiàn)過(guò)光線照射在平面鏡上出現(xiàn)反射光線的現(xiàn)象．如圖1，物理學(xué)中把經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)O并垂直于反射面的直線ON叫做法線，入射光線與法線的夾角叫做入射角，反射光線與法線的夾角叫做反射角．由此可以歸納出如下的規(guī)律：在反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一平面內(nèi)；反射光線、入射光線分別位于法線兩側(cè)；反射角等于入射角，即∠1=∠2．這就是光的反射定律．【初步應(yīng)用】（1）如圖1，若∠1=42°，則∠BOD=______°；若∠AOC=50°，則∠BOD=______°；【猜想驗(yàn)證】（2）如圖2，兩平面鏡OP，OQ相交于點(diǎn)O，一束光線從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)平面鏡兩次反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，兩條光線AM，NB相交于點(diǎn)E．①若AM⊥NB，則∠POQ=______°②請(qǐng)?zhí)骄俊螾OQ與∠MEN之間滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展探究】（3）如圖3，有三塊平面鏡AB、BC、CD，入射光線EF與鏡面AB的夾角∠1=α°，鏡面AB、BC的夾角∠B=100°，已知入射光線先從鏡面AB開(kāi)始反射，然后再經(jīng)過(guò)不同鏡面的一次或兩次反射，反射后反射光線與入射光線EF垂直，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BCD的度數(shù)．（可用含有α的代數(shù)式表示）31．（23-24八年級(jí)·江蘇徐州·期末）如圖，把一副三角板如圖1擺放，∠B=60°,∠D=45°，點(diǎn)C在邊OA上，將圖中的△AOB繞點(diǎn)O按每秒3°的速度沿順時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．(1)如圖2，求當(dāng)t為多少秒時(shí)，AB∥(2)如圖3，當(dāng)t=___________秒時(shí)，AB∥32．（23-24八年級(jí)·四川宜賓·期末）如圖，點(diǎn)D是△ABC外角∠CBF的平分線與∠CAB的平分線的交點(diǎn)．(1)如圖①，若∠C=88°，則∠D=________度．(2)如圖②，∠CBA的平分線與AD相交于點(diǎn)E，若∠BED=∠D，求∠C的度數(shù)(3)如圖③，在（2）的條件下，過(guò)E作AB的垂線分別交BC、AB于點(diǎn)M、N，MH平分∠CMN，交AC于點(diǎn)H．請(qǐng)判斷MH與AD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【題型5與三角形的角有關(guān)的證明】33．（23-24八年級(jí)·河南鄭州·期末）長(zhǎng)方形ABCD中，F(xiàn)是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E是BF上一點(diǎn)，并且∠DBE=∠DEB，∠F=∠EDF，請(qǐng)證明：∠ABD=3∠ABF．

34．（23-24八年級(jí)·甘肅酒泉·期末）已知，如圖，直線PQ∥MN，△ABC的頂點(diǎn)A與B分別在直線MN與PQ上，點(diǎn)C在直線AB的右側(cè)，且∠C=35°，設(shè)∠CBQ=∠α，∠CAN=∠β．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在PQ的上方時(shí)，AC與PQ相交于點(diǎn)D，求證：∠β=∠α+35°.請(qǐng)將下列推理過(guò)程補(bǔ)充完整：證明：∵∠CDQ是△CBD的一個(gè)外角（三角形外角的定義），∴∠CDQ=∠α+∠C（

）∵PQ∥MN（

），∴∠CDQ=∠β（

）∴∠β=________（等量代換）∵∠C=35°（已知），∴∠β=∠α+35°（等量代換）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在直線MN的下方時(shí)，BC與MN交于點(diǎn)F，請(qǐng)判斷∠α與∠β的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．35．（23-24八年級(jí)·江蘇南京·期末）如圖，AE，BE分別是∠DAC，∠CBD的角平分線，它們相交于點(diǎn)E，AE與BD相交于點(diǎn)F，BE與AC相交于點(diǎn)G．寫(xiě)出∠C，∠D與∠E的等量關(guān)系，并證明．（要寫(xiě)出每一步的依據(jù)）

36．（23-24八年級(jí)·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖，AD∥CB，F(xiàn)是DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，G是CF上一點(diǎn)，并且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F．請(qǐng)判斷∠ECB與∠ACB的數(shù)量關(guān)系并證明．37．（23-24八年級(jí)·山東濟(jì)南·期末）如圖，四邊形ABCD，已知AD∥BC，點(diǎn)F是線段DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CF，交線段AB于點(diǎn)E，若能在線段CF上取一點(diǎn)G，使得∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠GFA，則請(qǐng)你證明：38．（23-24八年級(jí)·重慶南岸·期末）如圖，在△ABC中，∠1=∠2=∠3

(1)證明：∠BAC=∠DEF；(2)∠BAC=70°，∠DFE=50°，求∠ABC的度數(shù)．39．（23-24八年級(jí)·湖南衡陽(yáng)·期末）如圖1，直線AB與直線l1、l2分別交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l2上，射線DE平分∠ADM交直線l1于點(diǎn)(1)證明：l1(2)如圖2，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，射線QP交直線l2于點(diǎn)F，∠ACQ=70°①若∠QFD=20°，則直接寫(xiě)出∠FQD的度數(shù)是______．②點(diǎn)N在射線DE上，滿足∠QCN=∠QFD，連接CN，如圖3所示情況，探究∠CND與∠FQD滿足的等量關(guān)系，并加以證明．40．（23-24八年級(jí)·江蘇常州·期末）（1）如圖1，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD平分∠ACB，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且∠ACE=∠AEC，則∠DCE=____________°；（2）如圖2，若△ABC為一般三角形（AB＞AC），∠ABC=α，CD平分∠ACB，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且∠ACE=∠AEC，求（3）如圖3，若△ABC為鈍角三角形（∠ABC為鈍角，AB＜AC），∠ABC=α，CD平分∠ACB，點(diǎn)E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

專題11.7與三角形的角有關(guān)的五大類型解答題專項(xiàng)訓(xùn)練（40題）【人教版】【題型1與三角形的角有關(guān)的挖空題】1．（23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，∠ADC=110°，∠BAC=80°，∠B=∠BAD．求：（1）∠B的度數(shù)；（2）∠C的度數(shù)．對(duì)于上述問(wèn)題，在以下解答過(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）．解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），∴+＝∠ADC=110°（）．又∵∠B=∠BAD（已知），∴∠B=（等量代換）．（2）∵∠B+∠BAC+=180°（），∴∠C=180°?∠BAC?∠B（等式的性質(zhì)），=180°?80°?∠B，＝．【答案】（1）∠B；∠BAD；三角形外角性質(zhì)；55°；（2）∠C；三角形內(nèi)角和定理，45°．【分析】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠B+∠BAD=∠ADC，再根據(jù)∠B=∠BAD，得2∠B=110°，據(jù)此可得∠B的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠B+∠BAC+∠C=180°，再根據(jù)∠BAC=80°，∠B=55°可得出∠C的度數(shù)．【詳解】解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），∴∠B+∠BAD=∠ADC=110°（三角形外角性質(zhì)）．又∵∠B=∠BAD（已知），∴∠B=55°（等量代換）．故答案為：∠B；∠BAD；三角形外角性質(zhì)；55°．（2）∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠C=180°?∠BAC?∠B（等式的性質(zhì)），=180°?80°?∠B，=45°．故答案為：∠C；三角形內(nèi)角和定理，45°．2．（23-24八年級(jí)·河南南陽(yáng)·期末）如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)P為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度數(shù)；解：（在以下解答過(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式））∵∠B=35°，∠ACB=85°（已知）∠BAC+∠B+∠ACB=（）∴∠BAC=180°?∠B?∠ACB（等式的性質(zhì)）=180°?35°?85°（等量代換）=60°∵AD平分∠BAC（）∴∠BAD=∠=12∠BAC=12=∴∠ADC=∠B+=35°+=（）∵PE⊥AD（已知）∴∠DPE=90°（）在直角三角形DPE中，∵∠PDE+∠E=90°（）∴∠E=90°?∠PDE（等式的性質(zhì)）=90°?（等量代換）=．（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)∠B=α，∠ACB=ββ>α，求∠E的大?。ㄓ煤粒隆敬鸢浮浚?）180°，三角形的內(nèi)角和等于180°，CAD，60°，30°，30°，65°，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，垂直的定義，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，65°，25°；（2）1【分析】（1）根據(jù)題中所給推理過(guò)程可直接進(jìn)行求解；（2）由題意易得∠BAC=180°?α?β，∠DPE=90°，則有∠BAD=90°?12α?【詳解】解：（在以下解答過(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式））∵∠B=35°，∠ACB=85°（已知）∠BAC+∠B+∠ACB=180°（三角形的內(nèi)角和等于180°）∴∠BAC=180°?∠B?∠ACB（等式的性質(zhì)）=180°?35°?85°（等量代換）=60°∵AD平分∠BAC（已知）∴∠BAD=∠CAD=1∴∠ADC=∠B+∠BAD=35°+30°=65°（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）∵PE⊥AD（已知）∴∠DPE=90°（垂直的定義）在直角三角形DPE中，∵∠PDE+∠E=90°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）∴∠E=90°?∠PDE（等式的性質(zhì)）=90°?65°（等量代換）=25°．故答案為180°，三角形的內(nèi)角和等于180°，CAD，60°，30°，30°，65°，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，垂直的定義，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，65°，25°；（2）解：∵∠B=α，∠ACB=β∠BAC+∠B+∠ACB=180°∴∠BAC=180°?α?β∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∴∠ADC=∠B+∠BAD=α+90°?∵PE⊥AD∴∠DPE=90°在直角三角形DPE中，∵∠PDE+∠E=90°∴∠E=90°?∠PDE=90°?=?1【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和、三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義及直角三角形的兩個(gè)銳角互余，熟練掌握三角形內(nèi)角和、三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義及直角三角形的兩個(gè)銳角互余是解題的關(guān)鍵．3．（23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在直角三角形ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠BCD=35°，求：（1）∠EBC的度數(shù)；（2）∠A的度數(shù)．

對(duì)于上述問(wèn)題，在以下解答過(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）．解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDB=______，∵∠EBC=∠CDB+∠BCD（_______），∴∠EBC=_____+35°=______（等量代換），（2）∵∠EBC=∠A+∠ACB（_______），∴∠A=∠EBC?∠ACB（等式的性質(zhì)），∵∠ACB=90°（已知），∴∠A=_____?90°=______（等量代換）．你還能用其他方法解決這一問(wèn)題嗎？【答案】（1）90°；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；90°；125°；（2）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；∠EBC；35°．【分析】（1）由CD⊥AB可得∠CDB=90°，由三角形的外角性質(zhì)可得∠EBC=∠CDB+∠BCD，代入已知計(jì)算即可求解；（2）由三角形的外角性質(zhì)可得∠A=∠EBC?∠ACB，代入已知計(jì)算即可求解；本題考查了三角形的外角性質(zhì)，垂直的定義，掌握三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDB=90°，∵∠EBC=∠CDB+∠BCD（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∴∠EBC=90°+35°=125°（等量代換），故答案為：90°；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；90°；125°；（2）∵∠EBC=∠A+∠ACB（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∴∠A=∠EBC?∠ACB（等式的性質(zhì)），∵∠ACB=90°（已知），∴∠A=∠EBC?90°=35°（等量代換），故答案為：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；∠EBC；35°．4．（23-24八年級(jí)·重慶沙坪壩·期末）如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，DE∥AC交BC于點(diǎn)E，∠CDE=35°，求∠ADC及對(duì)于上述問(wèn)題，在以下解答過(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）．解：∵DE∥∴①（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵∠CDE=35°（已知），∴∠ACD=35°（等量代換），∵CD平分∠ACB（已知），∴②（角平分線的定義）．∴∠BCD=35°（等量代換）．∵∠ADC是△BDC的外角（已知），∴∠ADC=③（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）．又∵∠B=40°（已知），∴∠ADC=40°+35°=75°．∴∠A+∠ADC+∠ACD=180°（④），∴∠A=⑤（等式的性質(zhì)）=180°?75°?35°=70°．

【答案】①∠ACD=∠CDE；②∠ACD=∠BCD；③∠BCD+∠B；④三角形內(nèi)角和定理；⑤180°?∠ADC?∠ACD【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ACD=∠CDE，根據(jù)角平分線的定義得出∠ACD=∠BCD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠ADC=∠BCD+∠B，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠ADC+∠ACD=180°，求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵DE∥∴①∠ACD=∠CDE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵∠CDE=35°（已知），∴∠ACD=35°（等量代換），∵CD平分∠ACB（已知），∴②∠ACD=∠BCD（角平分線的定義）．∴∠BCD=35°（等量代換）．∵∠ADC是△BDC的外角（已知），∴∠ADC=∠BCD+∠B③（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）．又∵∠B=40°（已知），∴∠ADC=40°+35°=75°．∴∠A+∠ADC+∠ACD=180°（④三角形內(nèi)角和定理），∴∠A=180°?∠ADC?∠ACD⑤（等式的性質(zhì)）=180°?75°?35°=70°．故答案為：①∠ACD=∠CDE；②∠ACD=∠BCD；③∠BCD+∠B；④三角形內(nèi)角和定理；⑤180°?∠ADC?∠ACD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．5．（23-24八年級(jí)·重慶沙坪壩·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°．D、E分別是AC、BC邊上一點(diǎn)，連接AE、BD，AE與BD相交于點(diǎn)F．若∠CBD=∠CAE，∠BAE=45°，請(qǐng)說(shuō)明解：∵∠EFD是△BEF的外角（已知），∴∠EFD=______（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）．同理可得：∠EFD=______+∠DAF．又∵∠CBD=∠CAE（已知），∴∠ADF=______（等式性質(zhì)）．∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=______（三角形內(nèi)角和等于180°），∠ABC=45°，∴∠AEB=180°?∠BAE?∠ABE（等式的性質(zhì)），=180°?45°?45°=90°，∴∠ADF=______°（等量代換）．【答案】∠EBF+∠BEF；∠ADF；∠BEF；180°；90【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和、三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵∠EFD是△BEF的外角（已知），∴∠EFD=∠EBF+∠BEF（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）．同理可得：∠EFD=∠ADF+∠DAF．又∵∠CBD=∠CAE（已知），∴∠ADF=∠BEF（等式性質(zhì)）．∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），∠ABC=45°，∴∠AEB=180°?∠BAE?∠ABE（等式的性質(zhì)），=180°?45°?45°=90°，∴∠ADF=90°（等量代換）．故答案為：∠EBF+∠BEF；∠ADF；∠BEF；180°；90．6．（23-24八年級(jí)·福建泉州·期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，連接AD，DE，已知∠B=60°，∠C=40°，∠1=50°，且∠3=對(duì)于上述問(wèn)題，在以下解答過(guò)程中的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）．

解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°（__________），∠B=60°，∴∠BAC=180°?∠B+∠C=180°?60°+40°=___∵∠1=50°（已知），∴∠DAC=∠BAC?∠1=80°?50°=30°（等量代換），在△ADE中，∠DAE+∠3+∠4=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），又∵∠3=∠4（______∴∠4=180°?∠DAE∵∠4=∠C+∠2（__________），∴∠2=∠4?∠C=75°?40°=35°（等量代換）【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，以及三角形的外角的性質(zhì)，進(jìn)行作答即可．【詳解】在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），∠B=60°，∴∠BAC=180°?∠B+∠C∵∠1=50°（已知），∴∠DAC=∠BAC?∠1=80°?50°=30°（等量代換），在△ADE中，∠DAE+∠3+∠4=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），又∵∠3=∴∠4=180°?∠DAE∵∠4=∠C+∠2（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和），∴∠2=∠4?∠C=75°?40°=35°（等量代換）

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，以及三角形的外角．熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180°，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，是解題的關(guān)鍵．7．（23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期末）【問(wèn)題】如圖①，在△ABC中，∠A=80°，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．求∠D的度數(shù)，對(duì)于上述問(wèn)題，在以下解答過(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）．解：∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°（_______________），∴∠ABC+∠ACB=_____________（等式性質(zhì)）．∵∠A=80°（已知），∴∠ABC+∠ACB=_____________（等量代換）．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠DBC=1同理，∠DCB=__________．∴∠DBC+∠DCB=1∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠D=180°?∠DBC+∠DCB【拓展】如圖②，在△ABC中，∠A=α，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．則∠D=（__________）．【應(yīng)用】如圖③，在△ABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB．若∠E=145°，則∠A=（__________）．【答案】[問(wèn)題]三角形內(nèi)角和定理；180°?∠A；100°；12∠ACB；50°；130°；[拓展]90°＋α【分析】[問(wèn)題]由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，從而求得∠ABC＋∠ACB＝100°，由角平分線的定義可得∠DBC＝12∠ABC，∠DCB＝12∠ACB，再次利用三角形內(nèi)角和定理可求∠[拓展]由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，從而求得∠ABC＋∠ACB＝180°?α，由角平分線的定義可得∠DBC＝12∠ABC，∠DCB＝12∠ACB，再次利用三角形內(nèi)角和定理可求∠[應(yīng)用]利用[拓展]中的結(jié)論先求出∠D的度數(shù)，再次利用[拓展]中的結(jié)論求出∠A即可．【詳解】解：[問(wèn)題]∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠ABC＋∠ACB＝180°?∠A（等式性質(zhì)），∵∠A＝80°（已知），∴∠ABC＋∠ACB＝100°（等量代換），∵DB平分∠ABC（已知），∴∠DBC＝12∠ABC同理，∠DCB＝12∠ACB∴∠DBC＋∠DCB＝12(∠ABC＋∠ACB∵∠DBC＋∠DCB＋∠D＝180°，∴∠D＝180°?（∠DBC＋∠DCB）＝130°（等式性質(zhì)）．故答案為：三角形內(nèi)角和定理；180°?∠A；100°；12∠ACB[拓展]∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠ABC＋∠ACB＝180°?∠A（等式性質(zhì)），∵∠A＝α（已知），∴∠ABC＋∠ACB＝180°?α（等量代換），∵DB平分∠ABC（已知），∴∠DBC＝12∠ABC同理，∠DCB＝12∠ACB∴∠DBC＋∠DCB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝90°?α∵∠DBC＋∠DCB＋∠D＝180°，∴∠D＝180°?（∠DBC＋∠DCB）＝90°＋α2故答案為：90°＋α2[應(yīng)用]由[拓展]可知：∠E＝90°＋12∵∠E=145°，∴145°=90°+1∴∠D=110°，又由[拓展]可得：∠D=90°+1∴110°=90°+1∴∠A=40°，故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．8．（23-24八年級(jí)·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）互動(dòng)學(xué)習(xí)課堂上，某小組同學(xué)對(duì)一個(gè)課題展開(kāi)了探究．(1)已知：如圖，在△ABC中，∠B和∠C的平分線相交于點(diǎn)P，試探究∠BPC和∠A的關(guān)系．請(qǐng)?jiān)谝韵陆獯疬^(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由成數(shù)學(xué)式）．解：延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)D．∵∠BPC=∠2+∠3，∠3=∠1+∠A（__________），∴∠BPC=∠2+∠1+∠A．∵∠B和∠C的平分線相交于點(diǎn)P，∴∠1=12∠ABC∴∠BPC=1∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°（__________），∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A（等式的性質(zhì)），∴∠BPC=1(2)如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線和外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P，試探究∠P和∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖，△ABC的外角∠CBD的平分線和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)P，若∠A=50°，則∠P的度數(shù)為_(kāi)_________．【答案】(1)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的內(nèi)角和是180°；90°+(2)2∠P=∠A，理由見(jiàn)解析(3)65°【分析】本題考查了是角平分線的定義，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理；（1）根據(jù)提供的信息，∠BPC=∠2+∠3，∠3=∠1+∠A，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在同一個(gè)三角形內(nèi)，屬于三角形內(nèi)角和定理，然后根據(jù)等式的性質(zhì)整理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得∠1=∠P+∠2，∠ACD=∠A+∠ABC，再利用角平分線得定義得∠ACD=2∠1，∠ABC=2∠2，，然后整理即可得到∠P和∠A的關(guān)系的關(guān)系；（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠PBC，∠PCB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．【詳解】（1）解：延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)D．∵∠BPC=∠2+∠3，∠3=∠1+∠A（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∴∠BPC=∠2+∠1+∠A．∵∠B和∠C的平分線相交于點(diǎn)P，∴∠1=12∠ABC∴∠BPC=1∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形的內(nèi)角和是180°），∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A（等式的性質(zhì)），∴∠BPC=1故答案為：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的內(nèi)角和是180°；90°+1（2）解：∵∠1=∠P+∠2，∠ACD=∠A+∠ABC，△ABC的外角∠CBD的平分線和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)P，∴∠ACD=2∠1，∠ABC=2∠2，∴2∠P+∠22∠P+2∠2=∠A+∠ABC，∴2∠P=∠A（3）∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°?50°=130°，∵ABC+∠CBD=180°，∠ACB+∠BCE=180°，∴∠CBD+∠BCE=230°∵△ABC的外角∠CBD的平分線和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)P，∴∠PBC=12∠CBD∴∠PBC+∠PCB=∴∠P=180°?∠PBC+∠PCB=180°?115°=65°．故答案為：65°【題型2與三角形的角有關(guān)的計(jì)算】9．（23-24八年級(jí)·河南洛陽(yáng)·期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)．(1)若AE平分∠BAC，∠DAE=15°，∠B=60°，求(2)在（1）條件下，直接寫(xiě)出∠AEC=______．【答案】(1)30°(2)105°【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．（1）先求出∠BAD的度數(shù)，即可求出∠BAE的度數(shù)，于是得出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠C的度數(shù)；（2）在△ACE中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠AEC的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵AD⊥BC,∠B=60°，∴在△ABD中，∠BAD=90°?60°=30°，又∵∠DAE=15°，∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=30°+15°=45°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAE=90°，∴在△ABC中，∠C=180°?∠BAC?∠B=180°?90°?60°=30°，（2）解：由（1）知∠BAE=∠CAE=45°,∠C=30°，∴∠AEC=180°?∠CAE?∠C=180°?45°?30°=105°，故答案為：105°．10．（23-24八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，已知∠BCD=120°，EF∥DC，∠BAC=80°，∠EFA=25°，求【答案】35°【分析】本題考查三角形外角性質(zhì)，平行線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，利用三角形外角性質(zhì)得到∠E=55°，利用平行線性質(zhì)得到∠ACD=∠E=55°，進(jìn)而得到∠BCA=65°，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠B的度數(shù)．【詳解】解：∵∠BAC=80°，∠EFA=25°，∴∠E=55°，∵EF∥∴∠ACD=∠E=55°，∵∠BCD=120°，∴∠BCA=∠BCD?∠ACD=120°?55°=65°，∵∠B+∠BAC+∠ACD=180°，∴∠B=180°?65°?80°=35°．11．（23-24八年級(jí)·河南鶴壁·期末）如圖所示，AD為△ABC的高，AE，BF為△ABC的角平分線，若∠CBF=30°，∠AFB=70°．(1)求∠DAE的度數(shù)；(2)若點(diǎn)M為線段BC上任意一點(diǎn)，當(dāng)△MFC為直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出∠BFM的度數(shù)．【答案】(1)∠DAE=10°(2)20°或60°【分析】本題主要考查了角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握三角形內(nèi)角和等于180°以及分類討論思想成為解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可；（2）分∠CFM=90°和∠CMF=90°兩種情況解答即可．【詳解】（1）解：∵BF為△ABC的角平分線．∠CBF=30°∴∠ABF=∠CBF=30°，∠ABC=2∠CBF=60°，∵AD為△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=30°，在△ABF中∠AFB=70°，∴∠BAF=80°，∵AE為△ABC的角平分線，∴∠BAE=40°∴∠DAE=∠BAE?∠BAD=10°；（2）解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，∴∠C=180°?∠ABC?∠BAC=40°，①當(dāng)∠CFM=90°時(shí)，∵∠AFB=70°，∴∠BFC=180°?∠AFB=110°，∵∠CFM=90°∴∠BFM=∠BFC?∠CFM=20°；②當(dāng)∠CMF=90°時(shí)，∵∠CBF=30°，∴∠BFM=∠CMF?∠CBF=60°，綜上，∠BFM的度數(shù)為20°或60°．12．（23-24八年級(jí)·河北石家莊·期末）如圖①，∠MON=80°，點(diǎn)A,B在∠MON的兩條邊上運(yùn)動(dòng)，∠OAB和(1)點(diǎn)A,B在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，則(2)如圖②，AD是∠MAB的平分線，AD的反向延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)A,B在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠E的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求出(3)若∠MON=n，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ACB=?_______；【答案】(1)130(2)∠E的大小不變，理由見(jiàn)解析(3)90°+1【分析】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)的運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是熟知以下知識(shí)：①三角形的外角等于與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；②三角形的內(nèi)角和是180°1先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)求出∠CAB+∠CBA的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°2根據(jù)AD是∠MAB的平分線，AC平分∠OAB可知∠CAD=90°，∠CAE=903仿照12中的計(jì)算方法即可得到∠ACB=90°【詳解】（1）解：在△AOB中，由∠AOB=80°，得∵AC、BC分別平分∠OAB和∠OBA，∴∠CAB=12∠OAB∴∠CAB+∠CBA=1∴∠ACB=180故答案為：130°（2）∠E的大小不變．證明：∵AC、AD分別平分∠OAB和∠BAM，∴∠CAB=12∠OAB∴∠CAB+∠DAB=1即∠CAD=90∴∠CAE=90又由1可知∠ACB=130∴∠ACE=50在△AEC中，由∠CAE=90°，∠E=180（3）3∠ACB=90°理由：∵AC、BC分別平分∠OAB和∠OBA，∴∠CAB=12∠OAB∴∠CAB+∠CBA=1∴∠ACB=180∵BC、AD分別平分∠OBA和∠BAM，∴∠ABE=12∠OBA∵∠BAM是△ABO的外角，∴∠O=∠BAM?∠ABO，∵∠DAB是△ABE的外角，∴∠E=∠DAB?∠ABE=故答案為：90°+113．（23-24八年級(jí)·山東聊城·期末）如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，點(diǎn)F是從點(diǎn)A沿AE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FD⊥BC于點(diǎn)D．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，求∠DFE的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F位于點(diǎn)A，E之間時(shí)，求∠DFE的度數(shù)．【答案】(1)15°(2)15°【分析】本題主要考查角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意求出∠BAC=60°，再由角平分線的定義求出∠EAC=1（2）由三角形的外角性質(zhì)得，∠AEC=∠B+∠BAE=45°+30°=75°，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵∠C=75°，∠B=45°∴∠BAC=180°?∠C?∠B=180°?75°?45°=60°.∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=1∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°.∵∠C=75°，∴∠DAC=15°，∴∠DFE=∠EAC?∠DAC=15°；（2）解：由（1）知∠BAC=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=1由三角形的外角性質(zhì)得，∠AEC=∠B+∠BAE=45°+30°=75°，∴∠DFE=90°?75°=15°．14．（23-24八年級(jí)·福建泉州·期末）如圖，已知∠AOB=72°，點(diǎn)C、N分別在∠AOB的兩邊OA，OB上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)C、N與點(diǎn)O不重合），CE平分(1)若∠ACN=125°，試求出∠ONC的度數(shù)；(2)已知FN平分∠ONC交CE的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．在點(diǎn)C、N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠F的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，試求出∠F的度數(shù)；若發(fā)生改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)53°(2)不變，∠F=36°【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角求出∠OCN=180°?∠ACN=55°，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠ONC的度數(shù)；（2）由角平分線得到∠ECN=12∠ACN，∠CNF=12∠CNO，由三角形外角的性質(zhì)得到∠ACN=∠AOB+∠ONC，則∠ECN=1【詳解】（1）解：∵∠ACN=125°，∠OCN＋∴∠OCN=180°?∠ACN=55°，∵∠AOB=72°，∠AOB+∠OCN+∠ONC=180°，∴∠ONC=180°?∠AOB?∠OCN=180°?72°?55°=53°；（2）∠F的度數(shù)不變，理由如下：如圖所示，∵CE平分∠ACN，F(xiàn)N平分∠ONC，∴∠ECN=12∠ACN∵∠ACN=∠AOB+∠ONC

，∴∠ECN=1∵∠AOB=72°

，∴∠ECN=1∵∠ECN=∠F+∠CNF

，∴∠F=∠ECN?∠CNF=36°．15．（23-24八年級(jí)·河南洛陽(yáng)·期末）已知直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，點(diǎn)A在射線OQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A，B均不與點(diǎn)O重合．(1)如圖1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，AI交BI于I，則∠AIB=______°．(2)如圖2，AI平分∠BAO交OB于點(diǎn)I，BC平分∠ABM，BC的反向延長(zhǎng)線交AI的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．①直接寫(xiě)出，則∠ADB=______°．②在點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠ADB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，求出∠ADB的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)135(2)①45；②不會(huì)發(fā)生變化，∠ADB=45°．【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)的運(yùn)用，要求掌握角平分線的性質(zhì)，滲透由特殊到一般的思想和用字母表示數(shù)的意義及分類討論思想，屬八年級(jí)壓軸題．（1）由角平分線性和三角形內(nèi)角和定理，建立∠BIA=180°?12(∠BAO+∠OBA)（2）①根據(jù)（1）中思路，然后根據(jù)三角形外角定理進(jìn)行具體計(jì)算即可得到；②由①的思路，設(shè)∠BAO=α，用含α的代數(shù)式表示∠CBA和∠BAD，然后代入計(jì)算即可證明不變．【詳解】（1）解：∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，∴∠OBI=∠ABI=∴∠BIA=180°?∠IBA?∠IAB=180°?=180°?=180°?=180°?90°+=90°+1∵直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，∴∠BOA=90°，∴∠AIB=90°+1故答案為：135．（2）解：①∵直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，∴∠BOA=90°，∴∠ABM=∠BAO+∠AOB=∠BAO+90°，∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，∴∠CBA=1∴∠ADB=∠CBA?∠BAD=1故答案為：45．②不變，∠ADB=45°．設(shè)∠BAO=α，∵AI平分∠BAO交OB于點(diǎn)I,BC平分∠ABM，∴∠BAI=1∴∠ADB=∠CBA?∠BAD=45°+1∴∠ADB=45°不變．16．（23-24八年級(jí)·河北張家口·期末）在我們?nèi)A師版義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)七下第82頁(yè)，曾經(jīng)研究過(guò)三角形角平分線的夾角問(wèn)題．明明在研究完上面的問(wèn)題后，對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究，他的研究過(guò)程如下：【問(wèn)題改編】（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A=50°．則∠P=______；【問(wèn)題推廣】（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC的角平分線與△ABC的外角∠CBM的角平分線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AP于點(diǎn)H，若∠ACB=80°，求∠PBH的度數(shù)；（3）如圖3，在△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長(zhǎng)線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ．若∠F=n°，則∠A的度數(shù)為_(kāi)_____．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）【答案】（1）115°；（2）∠PBH=50°；（3）180°?8n°【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，垂線的定義：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求解即可；（2）先由角平分線的定義得到∠BAC=2∠BAP，∠CBM=2∠CBP，再由三角形外角的性質(zhì)得到∠CBP=∠BAP+40°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出∠P=180°?∠BAP?∠ABP=40°，再由垂線的定義得到∠BHP=90°，則∠PBH=180°?∠P?∠BHP=50°．（3）先由角平分線的定義得到∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠DCB，∠MBC=2∠EBC，∠BCN=2∠ECB，∠EBC=2∠FBE=2∠FBC，∠ECQ=2∠ECF=2∠QCF，再由三角形內(nèi)角和∠A=180°?∠ABC?∠ACB=180°?2∠DBC?2∠DCB=4(∠EBC+∠ECB)?540°，根據(jù)∠F+∠FBC+∠FCB=∠F+∠EBC?∠FBE+∠ECB+∠ECF=180°，得到∠EBC+∠ECB=180°?2∠F，由此得解．【詳解】解：（1）∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=130°，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，∴2∠PBC+2∠PCB=130°，即∠PBC+∠PCB=65°∴∠P=180°?∠PBC?∠PCB=115°；（2）∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM，∴∠BAC=2∠BAP，∠CBM=2∠CBP，∵∠CBM=∠BAC+∠ACB，∠ACB=80°，∴2∠CBP=2∠BAP+∠ACB，∴∠CBP=∠BAP+40°，∵∠ABC=180°?∠ACB?∠BAC，∴∠ABC=100°?2∠BAP∴∠ABP=∠ABC+∠CBP=140°?∠BAP，∴∠ABP+∠BAP=140°，∴∠P=180°?∠BAP?∠ABP=40°，∵BH⊥AP，即∠BHP=90°，∴∠PBH=180°?∠P?∠BHP=50°；（3）∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠DCB，∵BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，∴∠MBC=2∠EBC，∠BCN=2∠ECB，∵BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，∴∠EBC=2∠FBE=2∠FBC，∠ECQ=2∠ECF=2∠QCF，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠DBC=180°?∠MBC，∠DCB=180°?∠BCN，∴∠A=180°?∠ABC?∠ACB=180°?2∠DBC?2∠DCB=180°?2=2∠MBC+∠BCN=2=4∠EBC+∠ECB又∵∠F+∠FBC+∠FCB=180°，∠FBC=∠EBC?∠FBE，∠FCB=∠ECB+∠ECF，即∠F+∠FBC+∠FCB=∠F+∠EBC?∠FBE+∠ECB+∠ECF=180°，∴∠EBC+∠ECB=180°?∠F?∠ECF?∠FBE又∵∠ECF=∠QCF，∠FBE=∠FBC，∴∠ECF?∠FBE=∠QCF?∠FBC=∠F，∴∠EBC+∠ECB=180°?∠F?∠ECF?∠FBE∴∠A=4∠EBC+∠ECB【題型3探究與三角形有關(guān)的角之間的關(guān)系】17．（23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期中）將三角形紙片ABC沿直線DE折疊，使點(diǎn)A落在A'【感知】如果點(diǎn)A'落在邊AB上，這時(shí)圖①中的∠1變?yōu)?°，那么∠A'與∠2【探究】如果點(diǎn)A'落在四邊形BCDE的內(nèi)部(如圖①)，那么∠A'與∠1【拓展】如果點(diǎn)A'落在四邊形BCDE的外部(如圖②)，那么請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A'與∠1、∠2之間存在數(shù)量關(guān)系

【答案】感知：∠2=2∠A'探究：2∠【分析】[感知]根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠1=∠A+∠EA'D[探究]根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AED+∠ADE=180°?∠A，∠A'ED+∠A'DE=180°?∠A'，兩式相加可得∠A'DA+∠[拓展]根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠DME=∠A'+∠1，∠2=∠A+∠DME【詳解】解：[感知]：∠2=2∠A．理由如下：當(dāng)點(diǎn)A'落在邊AB上時(shí)，由折疊可得：∠E∵∠2=∠A+∠EA∴∠2=2∠A，故答案為：∠2=2∠A；[探究]：2∠A=∠1+∠2．理由如下：∵∠AED+∠ADE=180°?∠A，∠A∴∠A∴∠A+∠A∵∠1+∠A∴∠A由折疊可得：∠A=∠A'，∴2∠A故答案為：2∠A[拓展]：如圖②，

∵∠DME=∠A'+∠1，由折疊可得：∠A=∠A∴∠2=∠A+∠A∴2∠A=∠2?∠1，2∠故答案為：2∠A【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，本題主要考查運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形運(yùn)用外角的性質(zhì)列等式求解．18．（23-24八年級(jí)·江蘇鹽城·期中）如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接PA，PB，構(gòu)成∠PAC，∠APB，∠PBD三個(gè)角．（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是0°角）(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；不成立直接寫(xiě)出結(jié)論．(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③部分時(shí)，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系，并寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論．選擇其中一種結(jié)論加以證明．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)不成立．正確結(jié)論是∠APB+∠PAC+∠PBD=360°(3)（a）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的右側(cè)時(shí)，結(jié)論是∠PBD=∠PAC+∠APB；（b）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA上，結(jié)論是：∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任寫(xiě)一個(gè)即可）；（c）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)時(shí)，結(jié)論是∠PAC=∠APB+∠PBD；選擇其中一種情況證明見(jiàn)解析【分析】（1）如圖，延長(zhǎng)BP交直線AC于點(diǎn)E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）過(guò)點(diǎn)P作AC的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可得到答案；（3）根據(jù)P的不同位置，分三種情況討論，得到結(jié)論，并選擇其中一種證明即可．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)BP交直線AC于點(diǎn)E，如圖所示：∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD，∵∠APB=∠PAE+∠PEA，∴∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）解：不成立，正確結(jié)論是∠APB+∠PAC+∠PBD=360°，理由如下：過(guò)P作PE∥AC，如圖所示：∵AC∥BD，∴AC∥PE∥BD，∴∠PAC+∠APE=180°，∠PBD+∠BPE=180°，∵∠APB=∠APE+∠BPE，∴∠APB+∠PAC+∠PBD=360°；（3）解：（a）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的右側(cè)時(shí)，結(jié)論是∠PBD=∠PAC+∠APB；證明：連接PA，連接PB交AC于M，如圖所示：∵AC∥BD，∴∠PMC=∠PBD．又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∴∠PBD=∠PAC+∠APB；（b）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA上，結(jié)論是∠PBD=∠PAC+∠APB；或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任寫(xiě)一個(gè)即可）；證明：如圖所示：∵點(diǎn)P在射線BA上，∴∠APB=0°，∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC，∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD；（c）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)時(shí)，結(jié)論是∠PAC=∠APB+∠PBD；證明：連接PA，連接PB交AC于F，如圖所示：∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD，∵∠PAC=∠APF+∠PFA，∴∠PAC=∠APB+∠PBD．【點(diǎn)睛】本題是一道探索性問(wèn)題，考查了平行線的性質(zhì)、外角性質(zhì)，讀懂材料，運(yùn)用分析研究能力，熟記平行線性質(zhì)與外角性質(zhì)求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．19．（23-24八年級(jí)·山東濱州·期末）如圖所示的圖形，像我們常見(jiàn)的符號(hào)??箭號(hào)．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．(1)探究：觀察“箭頭四角形”，試探究圖1中∠BDC與∠A，∠B，∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)應(yīng)用：請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY，XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，若∠A=60°，則∠ABX+∠ACX=___________°；②如圖3，∠ABE，∠ACE的二等分線（即角平分線）BF，CF相交于點(diǎn)F，若∠BAC=60°，∠BEC=130°，求∠BFC的度數(shù)．【答案】(1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C(2)①30

②95°【分析】本題主要考查幾何變換的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握“箭頭四角形”的性質(zhì)∠BOC=∠A+∠B+∠C及其運(yùn)用，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題．（1）如圖1中，連接AD并延長(zhǎng)到M，利用三角形的外角的性質(zhì)證明即可；（2）①利用（1）中結(jié)論計(jì)算即可；②如圖3中,設(shè)∠ABF=∠EBF=x,∠ACF=∠ECF=y.利用（1）中結(jié)論,求出x+y即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）結(jié)論:∠BDC=∠A+∠B+∠C.理由：如圖1中，連接AD并延長(zhǎng)到M，因?yàn)椤螧DM=∠BAD+∠B,∠CDM=∠CAD+∠C所以∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；（2）①如圖2中,由（1）知:∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，由于∠BXC=90°,∠A=60°所以∠ABX+∠ACX=∠BXC?∠A=90°?60°=30°，故答案為30；②如圖3中,設(shè)∠ABF=∠EBF=x,∠ACF=∠ECF=y，由（1）可知:∠BEC=2x+2y+60°=130°，∴x+y=35°，∴∠BFC=x+y+60°，∴∠BFC=95°．20．（23-24八年級(jí)·山東聊城·期末）如圖，在△ABC中，∠A=80°，點(diǎn)D、E是△ABC邊AC、AB上的點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．(1)若點(diǎn)P在線段BC上，如圖1所示，∠α=50°，求∠1+∠2的值；(2)若點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系________；(3)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊CB的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由；(4)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC外，如圖4所示，則請(qǐng)表示∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)∠1+∠2=130°(2)∠1+∠2=∠α+80°(3)猜想∠1=80°+∠2+∠α，理由見(jiàn)解析(4)∠1=80°+∠2?∠α，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)：（1）根據(jù)∠A+∠DPE+∠ADP+∠AEP=360°，可得∠ADP+∠AEP=230°，再根據(jù)平角的定義可得180°?∠1+180°?∠2=230°，則∠1+∠2=130°；（2）同（1）求解即可；（3）由三角形的外角的性質(zhì)知：∠DMA=∠2+∠α，∠1=∠A+∠DMA，據(jù)此可得結(jié)論；（4）由三角形的外角的性質(zhì)知：∠2=∠PME+∠P，∠1=∠A+∠AMD，再由∠AMD=∠PME，則∠1=∠A+∠