常微分方程的應(yīng)用

17《常微分方程應(yīng)用》結(jié)課作業(yè)學(xué)院：輕工與紡織學(xué)院班級(jí)：服裝設(shè)計(jì)與工程13-1班學(xué)號(hào)：201321805024姓名：周志彬常微分方程經(jīng)濟(jì)應(yīng)用微分方程在不僅在物理學(xué)、力學(xué)上有廣泛的應(yīng)用，在經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理科學(xué)等實(shí)際問題中也比比皆是，本次我們將集中討論微分方程的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用。讀者可從中感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的理論和方法解決經(jīng)濟(jì)管理實(shí)際問題的魅力.隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展,數(shù)學(xué)在我們的生活中可以說無處不在,尤其是在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用越來越廣泛.經(jīng)濟(jì)學(xué)必須進(jìn)行定量研究.而常微分方程是對(duì)經(jīng)濟(jì)管理問題進(jìn)行定量研究的最重要、最基本的數(shù)學(xué)工具之一，為了研究經(jīng)濟(jì)變量之間的聯(lián)系及其內(nèi)在規(guī)律,常常需要建立某一經(jīng)濟(jì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)所滿足的關(guān)系式,并由此確定所研究函數(shù)的形式,從而根據(jù)一些已知條件來確定該函數(shù)的表達(dá)式.從數(shù)學(xué)上講,就是建立微分方程并求解微分方程.用微分方程解決問題，下面就是幾個(gè)例子：一、公司資產(chǎn)函數(shù)例。某公司t年凈資產(chǎn)有(百萬元),并且資產(chǎn)本身以每年5%的速度連續(xù)增長,同時(shí)該公司每年要以300百萬元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資.給出描述凈資產(chǎn)的微分方程;(2)求解方程,這時(shí)假設(shè)初始凈資產(chǎn)為(3)討論在三種情況下,變化特點(diǎn).解(1)利用平衡法，即由凈資產(chǎn)增長速度＝資產(chǎn)本身增長速度－職工工資支付速度得到所求微分方程(2)分離變量，得兩邊積分，得為正常數(shù)），于是或?qū)⒋?，得方程通解：上式推?dǎo)過程中當(dāng)時(shí)，知通常稱為平衡解，仍包含在通解表達(dá)式中.(3)由通解表達(dá)式可知，當(dāng)百萬元時(shí)，凈資產(chǎn)額單調(diào)遞減，公司將在第36年破產(chǎn)；次貨。每張毛巾的存貯費(fèi)用一年為0·126元。這個(gè)商店的經(jīng)理感覺到每年訂貨兩次看來并非是一個(gè)好的訂貨方法，他希望能找到一種方法能幫助他確定每年應(yīng)該訂貨幾次。每次的數(shù)量應(yīng)該為多少，將可能為他節(jié)約一筆總的庫存費(fèi)用。解析：現(xiàn)在“百花”商店是每年進(jìn)貨兩次，每年毛巾的需求量是H=（400*360)144000張，則每次訂貨數(shù)量為144000/2=72000張。這個(gè)庫存問題是等量需求及時(shí)補(bǔ)充的，因此不會(huì)產(chǎn)生脫銷費(fèi)用。這時(shí)的年度總庫存費(fèi)用=年訂貨費(fèi)用+年存貯費(fèi)用，用公式表示為∶A=B+C其中∶A為年總庫存費(fèi)用；B為年訂貨費(fèi)用，B=HS/Q，式中H為年需求量，本例H=144000張。S為每次訂貨費(fèi)用，S=112元。Q為每次訂貨量，本例Q=72000張。則B=HS/Q=144000×112/72000=224元。每年訂貨次數(shù)（N=H/Q)，則B=NS=2×112=224元。C為年存貯費(fèi)用，C=Q/2×K，K為單位商品的存貯費(fèi)用，Q/2為平均庫存量。本例K=0.126元，則C=72000/2×0.126=4536元。因此“百花”商店每年訂貨兩次，每次訂貨量為72000張時(shí)的總庫存費(fèi)用為A=B十C=224＋4536=4760元。3.國民收入的穩(wěn)定分析模型本模型主要討論國民收入與消費(fèi)和積累之間的關(guān)系問題.設(shè)第t期內(nèi)的國民收入主要用于該期內(nèi)的消費(fèi),再生產(chǎn)投資和政府用于公共設(shè)施的開支G(定為常數(shù)),即有(9.17)又設(shè)第t期的消費(fèi)水平與前一期的國民收入水平有關(guān),即(9.18)第t期的生產(chǎn)投資應(yīng)取決于消費(fèi)水平的變化,即有(9.19)由方程(9.17),(9.18),(9.19)合并整理得(9.20)于是,對(duì)應(yīng)A,B,G以及可求解方程,并討論國民收入的變化趨勢(shì)和穩(wěn)定性.例：社會(huì)原收入水平1000億元，消費(fèi)為800億元。當(dāng)收入增加至1200億元時(shí)，消費(fèi)增加至900億元。解：平均消費(fèi)傾向：APC=C/Y=900/1200=0.75平均儲(chǔ)蓄傾向：APS=1-APC=1-0.75=0.25邊際消費(fèi)傾向：MPC=△C/△Y=(900-800)/(1200-1000)=0.5儲(chǔ)蓄傾向：MPS=1-MPC=1-0.5=0.5自發(fā)總支出增加50億元，GDP會(huì)增加多少。Y=1/(1-c)×AE△Y=1/(1-c)×△AE=1/(1-0.5)×50=100億元自發(fā)總支出減少40億元，GDP會(huì)減少多少?！鱕=1/(1-c)×△AE=1/(1-0.5)×40=80億元五、總結(jié)與體會(huì)常微分方程在經(jīng)濟(jì)管理中有著重要的應(yīng)用,通過建立數(shù)學(xué)模型能夠解決