常數(shù)變易法的實(shí)質(zhì)以及為什么可以用常數(shù)變易法解微分方程

欲得到非齊次線性微分方程的通解，我們首先求出對應(yīng)的齊次方程的通解，然后用待定系數(shù)法或常數(shù)變易法求出非齊次方程本身的一個特解，把它們相加，就是非齊次方程的通解。同濟(jì)版的實(shí)質(zhì)就是變量代換u，然后變成可分離變量。求出u，然后回代。解出方程。解微分方程的實(shí)質(zhì)就是變量替換，然后化解為可分離變量。然后回代。待定系數(shù)法考慮以下的微分方程：對應(yīng)的齊次方程是：它的通解是：由于非齊次的部分是()，我們猜測特解的形式是：把這個函數(shù)以及它的導(dǎo)數(shù)代入微分方程中，我們可以解出A：因此，原微分方程的解是：()常數(shù)變易法假設(shè)有以下的微分方程：我們首先求出對應(yīng)的齊次方程的通解，其中C1、C2是常數(shù)，y1、y2是x的函數(shù)。然后我們用常數(shù)變易法求出非齊次方程的一個特解，方法是把齊次方程的通解中的常數(shù)C1、C2換成x的未知函數(shù)u1、u2，也就是：y=u1y1+u2y2。(1)兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得：y'=u1'y1+u2'y2+u1y1'+u2y2'。我們把函數(shù)u1、u2加上一條限制：u1'y1+u2'y2=0。(4)于是：y'=u1y1'+u2y2'。(2)兩邊再求導(dǎo)數(shù)，可得：y"=u1'y1'+u2'y2'+u1y1"+u2y2"。(3)把(1)、(2)、(3)代入原微分方程中，可得：u1'y1'+u2'y2'+u1y1"+u2y2"+pu1y1'+pu2y2'+qu1y1+qu2y2=f(x)。整理，得：u1'y1'+u2'y2'+(u1y1"+pu1y1'+qu1y1)+(u2y2"+pu2y2'+qu2y2)=f(x)。由于y1和y2都是齊次方程的通解，因此(u1y1"+pu1y1'+qu1y1)和(u2y2"+pu2y2'+qu2y2)都變?yōu)榱?，故方程化為：u1'y1'+u2'y2'=f(x)。(5)(4)和(5)聯(lián)立起來，便得到了一個u1'和u2'的方程組。解這個方程組，便可得到u1'和u2'的表達(dá)式；再積分，便可得到u1和u2的表達(dá)式。這個方法也可以用來解高于二階的非齊次線性微分方程。一般地，有：現(xiàn)在和都已求出，那么也迎刃而解：== ………(7)(這里)這個方法看上去增加了復(fù)雜度，實(shí)際上卻把一個不能直接分離變量的微分方程化成了兩個可以直接分離變量的微分方程。這個方法不是沒有名字的，它叫“變量代換法”（挺大眾的一名字），即用代換了。這時在你腦中不得不油然生出這么一種感覺：想了十一年想出來的法子，還真不是蓋的。2常數(shù)變易法換個思路，求的微分方程（即）其實(shí)就是求當(dāng)時的齊次方程。所以，我們可以直接先把非齊次方程當(dāng)作齊次方程來解。即解出的解來。得： ………(8)注意這里的并非最終答案，從上一環(huán)節(jié)我們知道這其實(shí)是而已。而最終答案是，僅是其中一部分。因此這里的并不是我們要的y，因此還要繼續(xù)。把（8）式和上面提到的（7）式比較一下：………(7)………(8)結(jié)論、（7）式是最終的結(jié)論，（8）式是目前我們可以到達(dá)的地方。那我們偷下懶好了：把（8）式的那個換成，再把這個解出來，不就ok了么。所謂的“常數(shù)變易法”就是這么來的，即把常數(shù)硬生生地變成了。接下來的事情就簡單多了，和前面