江蘇省無錫市錫山高級中學2024-2025學年新高三開學摸底考（全國I卷）數(shù)學試題含解析

江蘇省無錫市錫山高級中學2024-2025學年新高三開學摸底考（全國I卷）數(shù)學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后，得到的圖像關于坐標原點對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個單位長度后關于軸對稱，則的單調遞增區(qū)間為()A． B．C． D．3．已知為定義在上的奇函數(shù)，若當時，（為實數(shù)），則關于的不等式的解集是（）A． B． C． D．4．等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A．-2 B．2 C．4 D．75．已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足（且），若，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．6．某幾何體的三視圖如圖所示，若圖中小正方形的邊長均為1，則該幾何體的體積是A． B． C． D．7．已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)，，則A． B．C． D．8．定義在R上的函數(shù)，，若在區(qū)間上為增函數(shù)，且存在，使得.則下列不等式不一定成立的是（）A． B．C． D．9．已知拋物線上一點的縱坐標為4，則點到拋物線焦點的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．510．設，則A． B． C． D．11．如圖，長方體中，，，點T在棱上，若平面.則（）A．1 B． C．2 D．12．已知集合，將集合的所有元素從小到大一次排列構成一個新數(shù)列，則（）A．1194 B．1695 C．311 D．1095二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式中的系數(shù)為_______________．14．在區(qū)間內任意取一個數(shù)，則恰好為非負數(shù)的概率是________.15．已知集合，，則__________．16．已知實數(shù)滿足，則的最小值是______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為增強學生的法治觀念，營造“學憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍，某學校開展了“憲法小衛(wèi)士”活動，并組織全校學生進行法律知識競賽．現(xiàn)從全校學生中隨機抽取50名學生，統(tǒng)計他們的競賽成績，已知這50名學生的競賽成績均在[50，100]內，并得到如下的頻數(shù)分布表：分數(shù)段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人數(shù)51515123（1）將競賽成績在內定義為“合格”，競賽成績在內定義為“不合格”．請將下面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關？合格不合格合計高一新生12非高一新生6合計（2）在（1）的前提下，按“競賽成績合格與否”進行分層抽樣，從這50名學生中抽取5名學生，再從這5名學生中隨機抽取2名學生，求這2名學生競賽成績都合格的概率．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．18．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）設的最小值為，正數(shù)，滿足，證明：.19．（12分）已知集合，，，將的所有子集任意排列，得到一個有序集合組，其中.記集合中元素的個數(shù)為，，，規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當時，求的值；利用數(shù)學歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，，都有.20．（12分）已知函數(shù)，．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的極小值；（3）求函數(shù)的零點個數(shù)．21．（12分）如圖，在四棱錐中，側面為等邊三角形，且垂直于底面，，分別是的中點.（1）證明：平面平面；（2）已知點在棱上且，求直線與平面所成角的余弦值.22．（10分）等差數(shù)列中，．（1）求的通項公式；（2）設，記為數(shù)列前項的和，若，求．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

由余弦的二倍角公式化簡函數(shù)為，要想在括號內構造變?yōu)檎液瘮?shù)，至少需要向左平移個單位長度，即為答案.【詳解】由題可知，對其向左平移個單位長度后，，其圖像關于坐標原點對稱故的最小值為故選：B本題考查三角函數(shù)圖象性質與平移變換，還考查了余弦的二倍角公式逆運用，屬于簡單題.2．D【解析】

先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質得出函數(shù)的解析式，從而得出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調遞增區(qū)間，可得選項.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是，所以，即，所以，的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)解析式為，由于其圖象關于軸對稱，所以，又，所以，所以，所以，因為的遞增區(qū)間是：，，由，，得：，，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（）.故選：D.本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性，對稱性，單調性，圖象的平移，在進行圖象的平移時，注意自變量的系數(shù)，屬于中檔題.3．A【解析】

先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值，然后結合單調性求解不等式.【詳解】據(jù)題意，得，得，所以當時，.分析知，函數(shù)在上為增函數(shù).又，所以.又，所以，所以，故選A.本題主要考查函數(shù)的性質應用，側重考查數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).4．B【解析】

在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標和的性質求得，再由等差數(shù)列通項公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項和為，則則故選：B本題考查等差數(shù)列中求由已知關系求公差，屬于基礎題.5．D【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式，進而求出，再根據(jù)復合函數(shù)的單調性，即可求出結論.【詳解】依題意有，①，②①②得，又因為，所以，在上單調遞增，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.故選:D.本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質，要熟記復合函數(shù)單調性判斷方法，屬于中檔題.6．B【解析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體，其中三棱柱的高為2，底面是高和底邊均為4的等腰三角形，圓錐的高為4，底面半徑為2，則其體積為，.故選B點睛：由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調整.7．B【解析】

由可得，所以，故選B．8．D【解析】

根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調性，從而根據(jù)單調性對選項逐個判斷即可．【詳解】由條件可得函數(shù)關于直線對稱；在，上單調遞增，且在時使得；又，，所以選項成立；，比離對稱軸遠，可得，選項成立；，，可知比離對稱軸遠，選項成立；，符號不定，，無法比較大小，不一定成立．故選：．本題考查了函數(shù)的基本性質及其應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.9．D【解析】試題分析：拋物線焦點在軸上，開口向上，所以焦點坐標為，準線方程為，因為點A的縱坐標為4，所以點A到拋物線準線的距離為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點：本小題主要考查應用拋物線定義和拋物線上點的性質拋物線上的點到焦點的距離，考查學生的運算求解能力.點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，這條性質在解題時經常用到，可以簡化運算.10．C【解析】分析：利用復數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)，化簡復數(shù)，然后求解復數(shù)的模.詳解：，則，故選c.點睛：復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.11．D【解析】

根據(jù)線面垂直的性質，可知；結合即可證明，進而求得.由線段關系及平面向量數(shù)量積定義即可求得.【詳解】長方體中，，點T在棱上，若平面.則，則，所以，則，所以，故選：D.本題考查了直線與平面垂直的性質應用，平面向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題.12．D【解析】

確定中前35項里兩個數(shù)列中的項數(shù)，數(shù)列中第35項為70，這時可通過比較確定中有多少項可以插入這35項里面即可得，然后可求和．【詳解】時，，所以數(shù)列的前35項和中，有三項3，9，27，有32項，所以．故選：D．本題考查數(shù)列分組求和，掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前項和公式是解題基礎．解題關鍵是確定數(shù)列的前35項中有多少項是中的，又有多少項是中的．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

把按照二項式定理展開，可得的展開式中的系數(shù)．【詳解】解：，故它的展開式中的系數(shù)為，故答案為：．本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質，屬于基礎題．14．【解析】

先分析非負數(shù)對應的區(qū)間長度，然后根據(jù)幾何概型中的長度模型，即可求解出“恰好為非負數(shù)”的概率.【詳解】當是非負數(shù)時，，區(qū)間長度是，又因為對應的區(qū)間長度是，所以“恰好為非負數(shù)”的概率是.故答案為：.本題考查幾何概型中的長度模型，難度較易.解答問題的關鍵是能判斷出目標事件對應的區(qū)間長度.15．【解析】

解一元二次不等式化簡集合，再進行集合的交運算，即可得到答案.【詳解】，，.故答案為：.本題考查一元二次不等式的求解、集合的交運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.16．【解析】

先畫出不等式組對應的可行域，再利用數(shù)形結合分析解答得解.【詳解】畫出不等式組表示的可行域如圖陰影區(qū)域所示.由題得y=-3x+z,它表示斜率為-3,縱截距為z的直線系，平移直線，易知當直線經過點時，直線的縱截距最小，目標函數(shù)取得最小值，且.故答案為：-8本題主要考查線性規(guī)劃問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和數(shù)形結合分析能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）【解析】

（1）補充完整的列聯(lián)表如下：合格不合格合計高一新生121426非高一新生18624合計302050則的觀測值，所以有的把握認為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關．（2）抽取的5名學生中競賽成績合格的有名學生，記為，競賽成績不合格的有名學生，記為，從這5名學生中隨機抽取2名學生的基本事件有：，共10種，這2名學生競賽成績都合格的基本事件有：，共3種，所以這2名學生競賽成績都合格的概率為．18．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得不等式的解集.（2）利用絕對值三角不等式求得的最小值，利用分析法，結合基本不等式，證得不等式成立.【詳解】（1），不等式，即或或，即有或或，所以所求不等式的解集為.（2），，因為，，所以要證，只需證，即證，因為，所以只要證，即證，即證，因為，所以只需證，因為，所以成立，所以.本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查分析法證明不等式，考查基本不等式的運用，屬于中檔題.19．；證明見解析.【解析】

當時，集合共有個子集，即可求出結果；分類討論，利用數(shù)學歸納法證明.【詳解】當時，集合共有個子集，所以；①當時，，由可知，，此時令，，，，滿足對任意，都有，且；②假設當時，存在有序集合組滿足題意，且，則當時，集合的子集個數(shù)為個，因為是4的整數(shù)倍，所以令，，，，且恒成立，即滿足對任意，都有，且，綜上，原命題得證.本題考查集合的自己個數(shù)的研究，結合數(shù)學歸納法的應用，屬于難題.20．（1）；（2）極小值；（3）函數(shù)的零點個數(shù)為．【解析】

（1）求出和的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，進而可得出該函數(shù)的極小值；（3）由當時，以及，結合函數(shù)在區(qū)間上的單調性可得出函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】（1）因為，所以．所以，．所以曲線在點處的切線為；（2）因為，令，得或．列表如下：0極大值極小值所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為，所以，當時，函數(shù)有極小值；（3）當時，，且．由（2）可知，函數(shù)在上單調遞增，所以函數(shù)的零點個數(shù)為．本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的切線方程、極值以及利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.21．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由平面幾何知識可得出四邊形是平行四邊形，可得面，再由面面平行的判定可證得面面平行；（2）由（1）可知，兩兩垂直，故建立空間直角坐標系，可求得面PAB的法向量，再運用線面角的向量求法，可求得直線與平面所成角的余弦值.【詳解】（1），,又，，,而、分別是、的中點，，故面,又且，故四邊形是平行四邊形,面,又，是面內的