2024屆浙江省嘉興市高三二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3浙江省嘉興市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，所以，故選：D.2.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值可以是（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由為奇函數(shù)，可得，，當(dāng)時(shí)，.故選：C3.設(shè)，則是為純虛數(shù)的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件〖答案〗B〖解析〗對(duì)于復(fù)數(shù)，若，則不一定為純虛數(shù)，可以為；反之，若為純虛數(shù)，則，所以是為純虛數(shù)的必要非充分條件.故選：B.4.若正數(shù)滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗由可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)符合題意.所以的最小值為.故選：A.5.如圖，這是一個(gè)水上漂浮式警示浮標(biāo)，它的主體由上面一個(gè)圓錐和下面一個(gè)半球體組成.已知該浮標(biāo)上面圓錐的側(cè)面積是下面半球面面積的2倍，則圓錐的體積與半球體的體積的比值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)半球半徑為，圓錐高為，由題意，解得.故圓錐的體積與半球體的體積的比值為.故選：D.6.已知圓，若圓上存在點(diǎn)使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，由可知點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，設(shè)為圓，因，故圓.依題意知圓與圓必至少有一個(gè)公共點(diǎn).因，則，由，解得：.故選：B.7.6位學(xué)生在游樂(lè)場(chǎng)游玩三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)人都只游玩一個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目都有人游玩，若項(xiàng)目必須有偶數(shù)人游玩，則不同的游玩方式有（）A.180種 B.210種 C.240種 D.360種〖答案〗C〖解析〗若A有2人游玩，則有種；若A有4人游玩，則有種；所以共有240種，故選：C.8.已知定義在上且無(wú)零點(diǎn)的函數(shù)滿足，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由變形得，從而有，，所以，因?yàn)?，所以，則，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，，又，而，所以，綜上，.故選：D.二?多選題9.已知一組數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為，平均數(shù)為，極差為，方差為.現(xiàn)從中刪去某一個(gè)數(shù)，得到一組新數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為，平均數(shù)為，極差為，方差為，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.若刪去3，則B.若刪去9，則C.無(wú)論刪去哪個(gè)數(shù)，均有D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)，若去掉3，根據(jù)中位數(shù)的定義，，滿足，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，若刪去9，根據(jù)平均數(shù)的定義，，，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)極差的定義，若去掉的數(shù)是中的一個(gè)，顯然去掉前后極差都是，滿足，若去掉，，若去掉，，綜上，，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，原數(shù)據(jù)平均數(shù)，去掉一個(gè)數(shù)后平均數(shù)保持不變，即，則剩下的四個(gè)數(shù)之和為，顯然去掉的數(shù)只能是，由方差的定義，，，滿足，D選項(xiàng)正確.故選：ACD10.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，它的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，定義：.對(duì)于函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象D.方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解〖答案〗AB〖解析〗根據(jù)題意，，，對(duì)于A，由正切函數(shù)的性質(zhì)得，，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，，故A正確；對(duì)于B，，，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，將的圖象向左平移個(gè)單位可得，為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，令，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，且，在上單調(diào)遞增，且，所以方程在區(qū)間上只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).如圖，已知拋物線的準(zhǔn)線為為坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸上方有兩束平行于軸的入射光線和，分別經(jīng)上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后，再經(jīng)上相應(yīng)的點(diǎn)和點(diǎn)反射，最后沿直線和射出，且與之間的距離等于與之間的距離.則下列說(shuō)法中正確的是（）A.若直線與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則三點(diǎn)共線B.若直線與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則平分C.D.若直線的方程為，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，設(shè)，，直線，與拋物線聯(lián)立得，，由題意得，，所以，即三點(diǎn)共線，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，假設(shè)，又，所以，所以，這與和相交于A點(diǎn)矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，與距離等于與距離，又結(jié)合A選項(xiàng)，則，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由題意可得，，，，，故D正確.故選：ACD.三?填空題12.已知平面向量是非零向量，且與的夾角相等，則的坐標(biāo)可以為_(kāi)_________.（只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的〖答案〗）〖答案〗均可〖解析〗設(shè)，，由題意可得，，，即，，解得.，.故〖答案〗為：，均可.13.設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，則，解得，又，所以，，代入，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，滿足上式，所以，.故〖答案〗為：.14.在四面體中，，且與所成的角為.若四面體的體積為，則它的外接球半徑的最小值為_(kāi)_________.〖答案〗3〖解析〗依題意，可將四面體補(bǔ)形為如圖所示的直三棱柱，因?yàn)榕c所成的角為，所以或，設(shè)，外接球半徑記為，外接球的球心如圖點(diǎn).易知平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，，得，在中，，在中，由余弦定理得，所以當(dāng)時(shí)，外接球的半徑會(huì)更小.所以，所以，所以.故〖答案〗為：3.四?解答題15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知.（1）求的值；（2）若為銳角三角形，，求的值.解：（1）由題可得，即，解得或.（2）解法一：因?yàn)?，由正弦定理得，即，即，因，所以；所以，又，且為銳角三角形，解得.解法二：由余弦定理得，因?yàn)椋?，即，所以，所以，又，所以，所?16.在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，平面，.（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：解法一：，在中，，即，，，，又，底面，底面，，平面且相交于，平面，又平面，平面平面.解法二：.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，則，，設(shè)是平面的法向量，則，可取，設(shè)是平面的法向量，則，可取，所以，所以平面平面.（2）解：解法一：在直角梯形中，因?yàn)?，解得，過(guò)作分別平行于，連結(jié)，作交于點(diǎn)，連結(jié)，，且都在面內(nèi)，平面，平面，又平面，，又，平面且交于，平面，又平面，，為平面與平面的夾角或其補(bǔ)角，在中，，,，由等面積法解得，又，.所以平面與平面夾角的余弦值為.（2）解法二：在直角梯形中，解得，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，平面的法向量為，又，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，解得，，設(shè)平面與平面夾角為，所以，即平面與平面夾角的余弦值為.17.春季流感對(duì)廣大民眾的健康生活帶來(lái)一定的影響，為了有效預(yù)防流感，很多民眾注射了流感疫苗.某市防疫部門(mén)從轄區(qū)居民中隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外沒(méi)注射疫苗的200人中有80人感染流感.醫(yī)學(xué)研究表明，流感的檢測(cè)結(jié)果是有錯(cuò)檢的可能，已知患有流感的人其檢測(cè)結(jié)果有呈陽(yáng)性（感染），而沒(méi)有患流感的人其檢測(cè)結(jié)果有呈陰性（未感染）.（1）估計(jì)該市流感感染率是多少？（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為注射流感疫苗與預(yù)防流感有關(guān)；（3）已知某人的流感檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性，求此人真的患有流感的概率.（精確到0.001）附：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）估計(jì)流感的感染率.（2）列聯(lián)表：疫苗情況流感情況合計(jì)患有流感不患有流感打疫苗220580800不打疫苗80120200合計(jì)3007001000根據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算.因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為注射流感疫苗與流感發(fā)病人數(shù)有關(guān).（3）設(shè)事件為“一次檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性”，事件為“被檢測(cè)者確實(shí)患有流感”，由題意得，，由全概率公式得，，所以此人真的患有流感的概率是.18.已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，漸近線方程為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求四邊形面積的最小值.解：（1）由題意可知，又浙近線方程為，所以，易知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立方程得，且，由三點(diǎn)共線得①，由得，即②，由①②解得由可知，四邊形是平行四邊形，所以，，，所以，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).19.已知集合，定義：當(dāng)時(shí)，把集合中所有的數(shù)從小到大排列成數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為.例如：時(shí)，，.（1）寫(xiě)出，并求；（2）判斷88是否為數(shù)列中的項(xiàng).若是，求出是第幾項(xiàng)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若2024是數(shù)列中的某一項(xiàng)，求及的值.解：（1）因?yàn)椋藭r(shí)，，.（2）當(dāng)時(shí)，，是數(shù)列中的項(xiàng)，比它小的項(xiàng)分別有個(gè)，有個(gè)，有個(gè)，所以比88小的項(xiàng)共有個(gè)，故88是數(shù)列的第30項(xiàng).（3）是數(shù)列中的項(xiàng)，故，則當(dāng)時(shí)，，方法一：比它小的項(xiàng)分別有以下7種情況：①個(gè)數(shù)字任取7個(gè)得個(gè)，②，得個(gè)，③，得個(gè)，④，得個(gè)，⑤，得個(gè)，⑥，得個(gè)，⑦，得個(gè)，所以比2024小的項(xiàng)共有個(gè)，其中故2024是數(shù)列的第329項(xiàng)，即.方法二：共有元素個(gè)，最大的是，其次為，所以2024是數(shù)列的第項(xiàng)，即.在總共項(xiàng)中，含有的項(xiàng)共有個(gè)，同理都各有個(gè)，所以，則.浙江省嘉興市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，所以，故選：D.2.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值可以是（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由為奇函數(shù)，可得，，當(dāng)時(shí)，.故選：C3.設(shè)，則是為純虛數(shù)的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件〖答案〗B〖解析〗對(duì)于復(fù)數(shù)，若，則不一定為純虛數(shù)，可以為；反之，若為純虛數(shù)，則，所以是為純虛數(shù)的必要非充分條件.故選：B.4.若正數(shù)滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗由可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)符合題意.所以的最小值為.故選：A.5.如圖，這是一個(gè)水上漂浮式警示浮標(biāo)，它的主體由上面一個(gè)圓錐和下面一個(gè)半球體組成.已知該浮標(biāo)上面圓錐的側(cè)面積是下面半球面面積的2倍，則圓錐的體積與半球體的體積的比值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)半球半徑為，圓錐高為，由題意，解得.故圓錐的體積與半球體的體積的比值為.故選：D.6.已知圓，若圓上存在點(diǎn)使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，由可知點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，設(shè)為圓，因，故圓.依題意知圓與圓必至少有一個(gè)公共點(diǎn).因，則，由，解得：.故選：B.7.6位學(xué)生在游樂(lè)場(chǎng)游玩三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)人都只游玩一個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目都有人游玩，若項(xiàng)目必須有偶數(shù)人游玩，則不同的游玩方式有（）A.180種 B.210種 C.240種 D.360種〖答案〗C〖解析〗若A有2人游玩，則有種；若A有4人游玩，則有種；所以共有240種，故選：C.8.已知定義在上且無(wú)零點(diǎn)的函數(shù)滿足，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由變形得，從而有，，所以，因?yàn)椋?，則，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，，又，而，所以，綜上，.故選：D.二?多選題9.已知一組數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為，平均數(shù)為，極差為，方差為.現(xiàn)從中刪去某一個(gè)數(shù)，得到一組新數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為，平均數(shù)為，極差為，方差為，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.若刪去3，則B.若刪去9，則C.無(wú)論刪去哪個(gè)數(shù)，均有D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)，若去掉3，根據(jù)中位數(shù)的定義，，滿足，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，若刪去9，根據(jù)平均數(shù)的定義，，，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)極差的定義，若去掉的數(shù)是中的一個(gè)，顯然去掉前后極差都是，滿足，若去掉，，若去掉，，綜上，，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，原數(shù)據(jù)平均數(shù)，去掉一個(gè)數(shù)后平均數(shù)保持不變，即，則剩下的四個(gè)數(shù)之和為，顯然去掉的數(shù)只能是，由方差的定義，，，滿足，D選項(xiàng)正確.故選：ACD10.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，它的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，定義：.對(duì)于函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象D.方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解〖答案〗AB〖解析〗根據(jù)題意，，，對(duì)于A，由正切函數(shù)的性質(zhì)得，，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，，故A正確；對(duì)于B，，，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，將的圖象向左平移個(gè)單位可得，為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，令，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，且，在上單調(diào)遞增，且，所以方程在區(qū)間上只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).如圖，已知拋物線的準(zhǔn)線為為坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸上方有兩束平行于軸的入射光線和，分別經(jīng)上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后，再經(jīng)上相應(yīng)的點(diǎn)和點(diǎn)反射，最后沿直線和射出，且與之間的距離等于與之間的距離.則下列說(shuō)法中正確的是（）A.若直線與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則三點(diǎn)共線B.若直線與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則平分C.D.若直線的方程為，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，設(shè)，，直線，與拋物線聯(lián)立得，，由題意得，，所以，即三點(diǎn)共線，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，假設(shè)，又，所以，所以，這與和相交于A點(diǎn)矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，與距離等于與距離，又結(jié)合A選項(xiàng)，則，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由題意可得，，，，，故D正確.故選：ACD.三?填空題12.已知平面向量是非零向量，且與的夾角相等，則的坐標(biāo)可以為_(kāi)_________.（只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的〖答案〗）〖答案〗均可〖解析〗設(shè)，，由題意可得，，，即，，解得.，.故〖答案〗為：，均可.13.設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，則，解得，又，所以，，代入，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，滿足上式，所以，.故〖答案〗為：.14.在四面體中，，且與所成的角為.若四面體的體積為，則它的外接球半徑的最小值為_(kāi)_________.〖答案〗3〖解析〗依題意，可將四面體補(bǔ)形為如圖所示的直三棱柱，因?yàn)榕c所成的角為，所以或，設(shè)，外接球半徑記為，外接球的球心如圖點(diǎn).易知平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，，得，在中，，在中，由余弦定理得，所以當(dāng)時(shí)，外接球的半徑會(huì)更小.所以，所以，所以.故〖答案〗為：3.四?解答題15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知.（1）求的值；（2）若為銳角三角形，，求的值.解：（1）由題可得，即，解得或.（2）解法一：因?yàn)?，由正弦定理得，即，即，因，所以；所以，又，且為銳角三角形，解得.解法二：由余弦定理得，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，又，所以，所?16.在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，平面，.（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：解法一：，在中，，即，，，，又，底面，底面，，平面且相交于，平面，又平面，平面平面.解法二：.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，則，，設(shè)是平面的法向量，則，可取，設(shè)是平面的法向量，則，可取，所以，所以平面平面.（2）解：解法一：在直角梯形中，因?yàn)?，解得，過(guò)作分別平行于，連結(jié)，作交于點(diǎn)，連結(jié)，，且都在面內(nèi)，平面，平面，又平面，，又，平面且交于，平面，又平面，，為平面與平面的夾角或其補(bǔ)角，在中，，,，由等面積法解得，又，.所以平面與平面夾角的余弦值為.（2）解法二：在直角梯形中，解得，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，平面的法向量為，又，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，解得，，設(shè)平面與平面夾角為，所以，即平面與平面夾角的余弦值為.17.春季流感對(duì)廣大民眾的健康生活帶來(lái)一定的影響，為了有效預(yù)防流感，很多民眾注射了流感疫苗.某市防疫部門(mén)從轄區(qū)居民中隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外沒(méi)注射疫苗的200人中有80人感染流感.醫(yī)學(xué)研究表明，流感的檢測(cè)結(jié)果是有錯(cuò)檢的可能，已知患有流感的人其檢測(cè)結(jié)果有呈陽(yáng)性（感染），而沒(méi)有患流感的人其檢測(cè)結(jié)果有呈陰性（未感染）.（1）估計(jì)該市流感感染率是多少？（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為注射流感疫苗與預(yù)防流感有關(guān)；（3）已知某人的流感檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性，求此人真的患有流感的概率.（精確到0.001）附：，0.10.050.010.0050.0012