2024屆上海市高考模擬測數(shù)學(xué)試卷05（臨考押題卷02）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2上海市2024屆高考數(shù)學(xué)模擬測試卷05（臨考押題卷02）一、填空題1．已知集合，全集，則．〖答案〗〖解析〗集合，全集，所以，故〖答案〗為：2．復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則.〖答案〗〖解析〗由題意可得，所以.故〖答案〗為：.3．函數(shù)的遞增區(qū)間是〖答案〗〖解析〗由題意得，，即，又因的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得，函數(shù)的遞增區(qū)間為.故〖答案〗為：.4．已知直線的傾斜角比直線的傾斜角小，則的斜率為．〖答案〗〖解析〗由直線方程：得的傾斜角為，所以的傾斜角為，即的斜率為.故〖答案〗為：.5．已知，則的最小值為〖答案〗〖解析〗依題意，，所以且，所以，當(dāng)時等號成立.故〖答案〗為：6．的二項展開式中的常數(shù)項為．（結(jié)果用數(shù)字表示）〖答案〗〖解析〗，由得，所以常數(shù)項為.故〖答案〗為：7．小張、小王兩家計劃假期來嘉定游玩，他們分別從“古猗園，秋霞圃，州橋老街”這三個景點中隨機選擇一個游玩，記事件表示“兩家至少有一家選擇古猗園”，事件表示“兩家選擇景點不同”，則概率．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，“兩家分別從“古猗園，秋霞圃，州橋老街”這三個景點中隨機選擇一個游玩”，有種情況，事件A：兩家至少有一家選擇古猗園，有種情況，故，若兩家選擇景點不同且至少有一家選擇古猗園，有種情況，即.所以.故〖答案〗為：8．已知，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為.〖答案〗〖解析〗因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，解得，，又，所以.故〖答案〗為：.9．若數(shù)列滿足，（，），則的最小值是.〖答案〗6〖解析〗由已知，，…，，，所以，，又也滿足上式，所以，設(shè)，由對勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，在遞增，因此在時遞減，在時遞增，又，，所以的最小值是6，故〖答案〗為：6.10．如圖，底面是邊長為2的正方形，半圓面底面，點為圓弧上的動點．當(dāng)三棱錐的體積最大時，與半圓面所成角的余弦值為．〖答案〗〖解析〗過點作于點，因為面底面，面底面，面，所以平面，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即點位于圓弧的中點時，最大，此時為的中點，因為面底面，面底面面，所以面，又面，所以，所以即為與半圓面所成角的平面角，在中，，所以，故〖答案〗為：．11．已知平面向量、、滿足，且，則的取值范圍是．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意不妨設(shè)，為坐標(biāo)原點，則，即點到的距離比到點的距離大2，根據(jù)雙曲線的定義可知的軌跡為雙曲線的一支，以2為長軸，4為焦距，則，又，易知C點軌跡為，顯然C點軌跡為點軌跡雙曲線的漸近線，如上圖所示，由圖形的對稱性不妨設(shè)，則，由題意，當(dāng)時，此時點橫坐標(biāo)最小，由點到直線的距離公式可知，而雙曲線在漸近線下方，則，與雙曲線方程聯(lián)立，即，則，聯(lián)立，即，由雙曲線的性質(zhì)可知滿足的點橫坐標(biāo)無上限，故的取值范圍是.故〖答案〗為：12．已知實數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則的最大值為．〖答案〗〖解析〗當(dāng)對對任意，不等式恒成立時，又，，而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故所以，即，要取最大值，則必有，兩邊平方整理得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以，當(dāng)時，，所以，所以，當(dāng)時，，所以，所以，當(dāng)時，，所以，所以，綜上所述：的最大值為.故〖答案〗為：.二、選擇題13．已知，若，則是的（

）條件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分也非必要〖答案〗A〖祥解〗由充分條件和必要條件的定義判斷.〖解析〗時，有，滿足，則是的充分條件；時，有或，不能得到，則不是的必要條件.所以是的充分非必要條件.故選：A14．為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)（見下表）：x12345y0.50.911.11.5若已求得一元線性回歸方程為，則下列選項中正確的是（

）A．B．當(dāng)時，y的預(yù)測值為2.2C．樣本數(shù)據(jù)y的第40百分位數(shù)為1D．去掉樣本點后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不會改變〖答案〗D〖解析〗，所以樣本點的中心坐標(biāo)為，將它代入得，，解得，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，y的預(yù)測值為，故B錯誤；對于C，樣本數(shù)據(jù)y的第40百分位數(shù)為，故C錯誤；對于D，由相關(guān)系數(shù)公式可知，去掉樣本點后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不會改變，故D正確.故選：D.15．已知函數(shù)，則以下正確的個數(shù)有（

）(1)有兩個極值點；(2)的駐點為和；(3)有3個零點；（4）直線是曲線的切線.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個〖答案〗C〖解析〗對于(1)，因為，令，得，當(dāng)，或，當(dāng)時，，則的增區(qū)間為，，的減區(qū)間為，所以有兩個極值點為與，故(1)正確；對于(2)，因為，，所以的駐點為和，故(2)正確；對于(3)，因為的增區(qū)間，，減區(qū)間為，又因為，，，所以有個零點，故(3)錯誤；對于（4），，得，又，則曲線的切線在點和的切線方程為和，則直線不是曲線的切線，故（4）錯誤；所以正確的個數(shù)是個.故選：C.16．對于平面上點和曲線，任取上一點，若線段的長度存在最小值，則稱該值為點到曲線的距離，記作．下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（）①若曲線是一個點，則點集所表示的圖形的面積為；②若曲線是一個半徑為的圓，則點集所表示的圖形的面積為；③若曲線是一個長度為的線段，則點集所表示的圖形的面積為；④若曲線是邊長為的等邊三角形，則點集所表示的圖形的面積為．A．1 B．2 C．3 D．4〖答案〗C〖解析〗設(shè)點，對于①，若曲線表示點，則，化簡可得，所以，點集所表示的圖形是以點為圓心，半徑為2的圓及其內(nèi)部，所以，點集所表示的圖形的面積為，①對；對于②，若曲線表示以點為圓心，半徑為2的圓，設(shè)為曲線上一點，當(dāng)點在曲線內(nèi)時，，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，所以，可得，此時；當(dāng)點在曲線外時，，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，所以，，可得，此時，當(dāng)點在曲線上時，線段的長不存在最小值，綜上所述，或，即或，所以，點集所表示的圖形是夾在圓和圓的區(qū)域（但不包括圓的圓周），此時，點集所表示的圖形的面積為，②錯；對于③，不妨設(shè)點曲線為線段，且，當(dāng)點與點重合時，由①可知，則點集表示的是以點為圓心，半徑為1的圓，當(dāng)點與點重合時，則點集表示的是以點為圓心，半徑為1的圓，故當(dāng)點在線段上滑動時，點集表示的區(qū)域是一個邊長為2的正方形和兩個半徑為1的半圓所圍成的區(qū)域，此時，點集的面積為，③對；對于④，若曲線是邊長為9的等邊三角形，設(shè)等邊三角形為，因為，，則，由③可知，點集構(gòu)成的區(qū)域由矩形、、，以及分別由點為圓心，半徑為1，圓心角為的三段圓弧，和夾在等邊三角形和等邊三角形中間的部分（包括邊界），因此，，則，所以，點集所表示的圖形的面積為，④對.綜上所述：正確的序號為①③④，共3個.故選：C.三、解答題17．如圖，正直三棱柱中，，，是的中點，是的中點.(1)判斷直線與直線的位置關(guān)系并證明；(2)求直線與平面所成的角的大小.解：(1)直線與直線的異面且相互垂直，證明如下：由面，，面，面，即直線與直線的異面；正直三棱柱中，，則面，且，可構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，令，則，即，所以，即直線與直線相互垂直.綜上，直線與直線異面且相互垂直(2)由(1)知：面的一個法向量，，所以，則，故直線與平面所成角余弦值為，又線面角的范圍為，所以直線與平面所成角大小為.18．已知銳角的內(nèi)角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，求的周長的取值范圍.解：(1)由已知得，，則根據(jù)正弦定理得，，為銳角三角形，．(2)由正弦定理得，即，則，，因為，解得，得，所以，得．19．21世紀(jì)汽車博覽會在上海2023年6月7日在上海舉行，下表為某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍(lán)色外觀米色內(nèi)飾812棕色內(nèi)飾23(1)若小明從這些模型中隨機拿一個模型，記事件A為小明取到的模型為紅色外觀，事件B取到模型有棕色內(nèi)飾，求，并據(jù)此判斷事件A和事件B是否獨立；(2)為回饋客戶，該公司舉行了一個抽獎活動，并規(guī)定，在一次抽獎中，每人可以一次性抽取兩個汽車模型.為了得到獎品類型，現(xiàn)作出如下假設(shè)：假設(shè)1：每人抽取的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果：①兩個模型的外觀和內(nèi)飾均為同色；②兩個模型的外觀和內(nèi)飾均為不同色；③兩個模型的外觀同色但內(nèi)飾不同色，或內(nèi)飾同色但外觀不同色.假設(shè)2：該抽獎設(shè)置三類獎，獎金金額分別為：一等獎600元，二等獎300元，三等獎150元.假設(shè)3：每種抽取的結(jié)果都對應(yīng)一類獎.出現(xiàn)某種結(jié)果的概率越小，獎金金額越高.請判斷以上三種結(jié)果分別對應(yīng)幾等獎.設(shè)中獎的獎金數(shù)是，寫出的分布，并求的數(shù)學(xué)期望.解：(1)由給定的數(shù)表知，，，，而，因此事件相互獨立，所以，事件相互獨立.(2)設(shè)事件：外觀和內(nèi)飾均為同色，事件：外觀內(nèi)飾都異色，事件：僅外觀或僅內(nèi)飾同色，依題意，；；，則，因此抽取的兩個模型的外觀和內(nèi)飾均為不同色是一等獎；外觀和內(nèi)飾均為同色是二等獎；外觀同色但內(nèi)飾不同色，或內(nèi)飾同色但外觀不同色是三等獎，獎金額的可能值為：，獎金額的分布列：600300150獎金額的期望（元）.20．設(shè)拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點．(1)若，求線段中點的軌跡方程；(2)若直線的方向向量，當(dāng)焦點為時，求的面積；(3)若是拋物線準(zhǔn)線上的點，直線，，的斜率分別為，，，求證：為的等差中項．(1)解：設(shè)，焦點，則由題意，即，故，將其代入拋物線中得：，即，所求的軌跡方程，(2)解：設(shè)，，由于直線的方向向量，所以直線的斜率為2，故直線，即，由得，，，到直線的距離為，(3)證明：點的坐標(biāo)為、設(shè)直線，代入拋物線得，所以，因而，，因而，而，故，當(dāng)直線軸時，，，，故綜上可知：命題得證．

21．已知與都是定義在上的函數(shù)，若對任意，，當(dāng)時，都有，則稱是的一個“控制函數(shù)”．(1)判斷是否為函數(shù)的一個控制函數(shù)，并說明理由；(2)設(shè)的導(dǎo)數(shù)為，，求證：關(guān)于的方程在區(qū)間上有實數(shù)解；(3)設(shè)，函數(shù)是否存在控制函數(shù)？若存在，請求出的所有控制函數(shù)；若不存在，請說明理由．解：(1)對任意，則，且，故是函數(shù)的一個控制函數(shù)；(2)因為，則，則，，，設(shè)，在上，在上，則在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最大值，，，，，，，，則，，即，同理，，，即綜上：，，在區(qū)間上的值域為，則在區(qū)間上有實數(shù)解.(3)①先證引理:對任意，關(guān)于的方程在區(qū)間上恒有實數(shù)解.這等價于，由(2)知結(jié)論成立.②(證控制函數(shù)的唯一性)假設(shè)存在“控制函數(shù)”，由上述引理知，對任意，當(dāng)時，都存在使得.(*)下證：.若存在使得，考慮到是值域為的嚴(yán)格增函數(shù)，故存在使得.由(*)知存在使得，于是有，由的單調(diào)性知，矛盾.故對任意都有同理可證，對任意都有，從而.③(證控制函數(shù)的存在性)最后驗證，是的一個“控制函數(shù)”.對任意，當(dāng)時，都存在使得，而由的單調(diào)性知，即.綜上，函數(shù)存在唯一的控制函數(shù).上海市2024屆高考數(shù)學(xué)模擬測試卷05（臨考押題卷02）一、填空題1．已知集合，全集，則．〖答案〗〖解析〗集合，全集，所以，故〖答案〗為：2．復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則.〖答案〗〖解析〗由題意可得，所以.故〖答案〗為：.3．函數(shù)的遞增區(qū)間是〖答案〗〖解析〗由題意得，，即，又因的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得，函數(shù)的遞增區(qū)間為.故〖答案〗為：.4．已知直線的傾斜角比直線的傾斜角小，則的斜率為．〖答案〗〖解析〗由直線方程：得的傾斜角為，所以的傾斜角為，即的斜率為.故〖答案〗為：.5．已知，則的最小值為〖答案〗〖解析〗依題意，，所以且，所以，當(dāng)時等號成立.故〖答案〗為：6．的二項展開式中的常數(shù)項為．（結(jié)果用數(shù)字表示）〖答案〗〖解析〗，由得，所以常數(shù)項為.故〖答案〗為：7．小張、小王兩家計劃假期來嘉定游玩，他們分別從“古猗園，秋霞圃，州橋老街”這三個景點中隨機選擇一個游玩，記事件表示“兩家至少有一家選擇古猗園”，事件表示“兩家選擇景點不同”，則概率．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，“兩家分別從“古猗園，秋霞圃，州橋老街”這三個景點中隨機選擇一個游玩”，有種情況，事件A：兩家至少有一家選擇古猗園，有種情況，故，若兩家選擇景點不同且至少有一家選擇古猗園，有種情況，即.所以.故〖答案〗為：8．已知，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為.〖答案〗〖解析〗因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，解得，，又，所以.故〖答案〗為：.9．若數(shù)列滿足，（，），則的最小值是.〖答案〗6〖解析〗由已知，，…，，，所以，，又也滿足上式，所以，設(shè)，由對勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，在遞增，因此在時遞減，在時遞增，又，，所以的最小值是6，故〖答案〗為：6.10．如圖，底面是邊長為2的正方形，半圓面底面，點為圓弧上的動點．當(dāng)三棱錐的體積最大時，與半圓面所成角的余弦值為．〖答案〗〖解析〗過點作于點，因為面底面，面底面，面，所以平面，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即點位于圓弧的中點時，最大，此時為的中點，因為面底面，面底面面，所以面，又面，所以，所以即為與半圓面所成角的平面角，在中，，所以，故〖答案〗為：．11．已知平面向量、、滿足，且，則的取值范圍是．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意不妨設(shè)，為坐標(biāo)原點，則，即點到的距離比到點的距離大2，根據(jù)雙曲線的定義可知的軌跡為雙曲線的一支，以2為長軸，4為焦距，則，又，易知C點軌跡為，顯然C點軌跡為點軌跡雙曲線的漸近線，如上圖所示，由圖形的對稱性不妨設(shè)，則，由題意，當(dāng)時，此時點橫坐標(biāo)最小，由點到直線的距離公式可知，而雙曲線在漸近線下方，則，與雙曲線方程聯(lián)立，即，則，聯(lián)立，即，由雙曲線的性質(zhì)可知滿足的點橫坐標(biāo)無上限，故的取值范圍是.故〖答案〗為：12．已知實數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則的最大值為．〖答案〗〖解析〗當(dāng)對對任意，不等式恒成立時，又，，而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故所以，即，要取最大值，則必有，兩邊平方整理得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以，當(dāng)時，，所以，所以，當(dāng)時，，所以，所以，當(dāng)時，，所以，所以，綜上所述：的最大值為.故〖答案〗為：.二、選擇題13．已知，若，則是的（

）條件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分也非必要〖答案〗A〖祥解〗由充分條件和必要條件的定義判斷.〖解析〗時，有，滿足，則是的充分條件；時，有或，不能得到，則不是的必要條件.所以是的充分非必要條件.故選：A14．為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)（見下表）：x12345y0.50.911.11.5若已求得一元線性回歸方程為，則下列選項中正確的是（

）A．B．當(dāng)時，y的預(yù)測值為2.2C．樣本數(shù)據(jù)y的第40百分位數(shù)為1D．去掉樣本點后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不會改變〖答案〗D〖解析〗，所以樣本點的中心坐標(biāo)為，將它代入得，，解得，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，y的預(yù)測值為，故B錯誤；對于C，樣本數(shù)據(jù)y的第40百分位數(shù)為，故C錯誤；對于D，由相關(guān)系數(shù)公式可知，去掉樣本點后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不會改變，故D正確.故選：D.15．已知函數(shù)，則以下正確的個數(shù)有（

）(1)有兩個極值點；(2)的駐點為和；(3)有3個零點；（4）直線是曲線的切線.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個〖答案〗C〖解析〗對于(1)，因為，令，得，當(dāng)，或，當(dāng)時，，則的增區(qū)間為，，的減區(qū)間為，所以有兩個極值點為與，故(1)正確；對于(2)，因為，，所以的駐點為和，故(2)正確；對于(3)，因為的增區(qū)間，，減區(qū)間為，又因為，，，所以有個零點，故(3)錯誤；對于（4），，得，又，則曲線的切線在點和的切線方程為和，則直線不是曲線的切線，故（4）錯誤；所以正確的個數(shù)是個.故選：C.16．對于平面上點和曲線，任取上一點，若線段的長度存在最小值，則稱該值為點到曲線的距離，記作．下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（）①若曲線是一個點，則點集所表示的圖形的面積為；②若曲線是一個半徑為的圓，則點集所表示的圖形的面積為；③若曲線是一個長度為的線段，則點集所表示的圖形的面積為；④若曲線是邊長為的等邊三角形，則點集所表示的圖形的面積為．A．1 B．2 C．3 D．4〖答案〗C〖解析〗設(shè)點，對于①，若曲線表示點，則，化簡可得，所以，點集所表示的圖形是以點為圓心，半徑為2的圓及其內(nèi)部，所以，點集所表示的圖形的面積為，①對；對于②，若曲線表示以點為圓心，半徑為2的圓，設(shè)為曲線上一點，當(dāng)點在曲線內(nèi)時，，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，所以，可得，此時；當(dāng)點在曲線外時，，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，所以，，可得，此時，當(dāng)點在曲線上時，線段的長不存在最小值，綜上所述，或，即或，所以，點集所表示的圖形是夾在圓和圓的區(qū)域（但不包括圓的圓周），此時，點集所表示的圖形的面積為，②錯；對于③，不妨設(shè)點曲線為線段，且，當(dāng)點與點重合時，由①可知，則點集表示的是以點為圓心，半徑為1的圓，當(dāng)點與點重合時，則點集表示的是以點為圓心，半徑為1的圓，故當(dāng)點在線段上滑動時，點集表示的區(qū)域是一個邊長為2的正方形和兩個半徑為1的半圓所圍成的區(qū)域，此時，點集的面積為，③對；對于④，若曲線是邊長為9的等邊三角形，設(shè)等邊三角形為，因為，，則，由③可知，點集構(gòu)成的區(qū)域由矩形、、，以及分別由點為圓心，半徑為1，圓心角為的三段圓弧，和夾在等邊三角形和等邊三角形中間的部分（包括邊界），因此，，則，所以，點集所表示的圖形的面積為，④對.綜上所述：正確的序號為①③④，共3個.故選：C.三、解答題17．如圖，正直三棱柱中，，，是的中點，是的中點.(1)判斷直線與直線的位置關(guān)系并證明；(2)求直線與平面所成的角的大小.解：(1)直線與直線的異面且相互垂直，證明如下：由面，，面，面，即直線與直線的異面；正直三棱柱中，，則面，且，可構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，令，則，即，所以，即直線與直線相互垂直.綜上，直線與直線異面且相互垂直(2)由(1)知：面的一個法向量，，所以，則，故直線與平面所成角余弦值為，又線面角的范圍為，所以直線與平面所成角大小為.18．已知銳角的內(nèi)角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，求的周長的取值范圍.解：(1)由已知得，，則根據(jù)正弦定理得，，為銳角三角形，．(2)由正弦定理得，即，則，，因為，解得，得，所以，得．19．21世紀(jì)汽車博覽會在上海2023年6月7日在上海舉行，下表為某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍(lán)色外觀米色內(nèi)飾812棕色內(nèi)飾23(1)若小明從這些模型中隨機拿一個模型，記事件A為小明取到的模型為紅色外觀，事件B取到模型有棕色內(nèi)飾，求，并據(jù)此判斷事件A和事件B是否獨立；(2)為回饋客戶，該公司舉行了一個抽獎活動，并規(guī)定，在一次抽獎中，每人可以一次性抽取兩個汽車模型.為了得到獎品類型，現(xiàn)作出如下假設(shè)：假設(shè)1：每人抽取的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果：①兩個模型的外觀和內(nèi)飾均為同色；②兩個模型的外觀和內(nèi)飾均為不同色；③兩個模型的外觀同色但內(nèi)飾不同色，或內(nèi)飾同色但外觀不同色.假設(shè)2：該抽獎設(shè)置三類獎，獎金金額分別為：一等獎600元，二等獎300元，三等獎150元.假設(shè)3：每種抽取的結(jié)果都對應(yīng)一類獎.出現(xiàn)某種結(jié)果的概率越小，獎金金額越高.請判斷以上三種結(jié)果分別對應(yīng)幾等獎.設(shè)中獎的獎金數(shù)是，寫出的分布，并求的數(shù)學(xué)期望.解：