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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3山西省2024屆高考三模數(shù)學(xué)試題(〖解析〗版)一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合,均為集合的子集,則表示的區(qū)域?yàn)椋ǎ〢.① B.② C.③ D.④〖答案〗A〖解析〗由韋恩圖可知包含區(qū)域①④,所以表示的區(qū)域?yàn)棰?故選:A.2.向量在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,則()A.-7 B.-1 C.1 D.7〖答案〗C〖解析〗如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則,則.故選:C3.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,故選:B.4.設(shè)函數(shù),則不等式的解集為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?,且,所以為偶函?shù),當(dāng)時(shí),因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞減,不等式,即,等價(jià)于,解得或,所以不等式的解集為.故選:C5.若,且,則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?,則,且,則,可得,,又因?yàn)?,則,且,可得,,所以.故選:D6.某次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì),設(shè)置了教師足球射門比賽:教師射門,學(xué)生守門.已知參與射門比賽的教師有60名,進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是3和13,其中男教師進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是4和8,女教師進(jìn)球數(shù)的平均值為2,則女教師進(jìn)球數(shù)的方差為()A.15 B.16 C.17 D.18〖答案〗B〖解析〗設(shè)參加射門比賽的男教師人數(shù)為,則全部參賽教師進(jìn)球數(shù)的平均數(shù),解得,即參賽的男女教師各有人,設(shè)女教師進(jìn)球數(shù)的方差為,依題意可得,解得.故選:B.7.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為已知的外接圓半徑是邊的中點(diǎn),則長(zhǎng)為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由的外接圓半徑,得,由和得,又,解得,所以.因?yàn)橹?,是邊的中點(diǎn),所以,于.故選:D.8.正方體的棱長(zhǎng)為2,分別為的中點(diǎn),為底面的中心,則三棱錐的體積是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,設(shè)平面法向量為,則,取,則,故到平面的距離為,而,故,故,故選:B二、多項(xiàng)選擇題9.已知是虛數(shù)單位,若,則()A.為純虛數(shù) B.復(fù)數(shù)的虛部為C. D.當(dāng)時(shí),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限〖答案〗ACD〖解析〗由可得,故,故A正確,B錯(cuò)誤,,故C正確,,當(dāng)時(shí),則,故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,D正確,故選:ACD10.將一個(gè)直徑為的鐵球磨制成一個(gè)零件,能夠磨制成的零件可以是()A.底面直徑為,高為的圓柱體 B.底面直徑為,高為的圓錐體C.底面直徑為,高為的圓錐體 D.各棱長(zhǎng)均為的四面體〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A,若圓柱的底面直徑為8,則半徑為4,此時(shí)球心到圓柱底面的距離為,故圓柱的高可以為6,A符合,對(duì)于B,若圓錐的底面直徑為8,則半徑為4,此時(shí)球心到圓錐底面的距離為,故圓錐的高最大時(shí)為,B符合,對(duì)于C,若圓錐的底面直徑為7,則半徑為,此時(shí)球心到圓錐底面的距離為,故圓錐的高最大時(shí)為,C不符合,對(duì)于D,若將各棱長(zhǎng)均為的四面體放入到棱長(zhǎng)為的正方體中,此時(shí)正方體的外接球直徑為,故D符合,故選:ACD11.已知函數(shù),若,且,則的取值可能是()A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)椋詴r(shí)函數(shù)取得最小值,即直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,又因?yàn)椋?,即,所以,所以,所以,解得,?dāng)時(shí),當(dāng)時(shí).故選:BC.三、填空題12.清明小長(zhǎng)假期間,某學(xué)校打算安排甲、乙、丙等6位教師值班.從4月4日至4月6日每天的上、下午各需要安排一名教師到學(xué)校值班,每位教師只安排半天值班.已知甲只能值上午班,乙、丙二人只能值下午班,其他三人上下午均可值班,則不同的值班安排方式共有____________種(請(qǐng)用數(shù)字作答).〖答案〗108〖解析〗從三個(gè)上午班中選擇一個(gè)安排甲,再?gòu)南挛绲娜齻€(gè)班中選擇兩個(gè)安排乙丙,剩余三個(gè)人安排在剩余的班位上,故一共有,故〖答案〗:10813.已知函數(shù),若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是____________.〖答案〗〖解析〗,由于為對(duì)勾函數(shù),最小值為2,而,所以在單調(diào)遞減,故,作出的大致圖象如下:故要使恰有一個(gè)零點(diǎn),只需要只有一個(gè)交點(diǎn),故,即,故〖答案〗為:14.雙曲線的兩條漸近線分別為,經(jīng)過(guò)的右焦點(diǎn)的直線分別交于兩點(diǎn),已知為坐標(biāo)原點(diǎn),反向,若的最小值為9a,則的離心率為_(kāi)___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)漸近線的方程分別為,,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立與可得,,故,同理聯(lián)立與可得,由于反向,所以位于一四象限,故,故,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,故最小值,因此,故,故〖答案〗為:四、解答題15.已知等差數(shù)列的公差,前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.解:(1)因?yàn)椋?,所以,解得或,因?yàn)?,所以,則;(2)由(1)可得,所以.16.如圖三棱錐分別在線段AB,CD上,且滿足.(1)求證:平面平面;(2)求AD與平面BCD所成角的正弦值.(1)證明:連接,由于所以由于,所以故,即,又,,平面,故平面,平面,故,平面,所以平面,平面,故平面平面(2)解:由于所以由于,所以故,即,又,,平面,故平面,平面,故,平面,故平面,故即為直線與平面所成的角,,,17.袋中裝有大小、形狀、材質(zhì)完全相同的n個(gè)小球,其中有個(gè)紅球.(1)若,現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸出2個(gè)小球,其中紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量,求的方差(2)從袋中有放回地摸取小球次,每次摸出一個(gè)小球,其中摸到紅球的次數(shù)為隨機(jī)變量,若的期望,方差,求;(3)若,現(xiàn)從袋中有放回地摸取小球10次,每次摸出1個(gè)小球,記錄顏色后將摸出的小球放回袋中.以摸出紅球的頻率估計(jì)袋中紅球所占比例,若,求紅球占比估計(jì)值的誤差不超過(guò)的概率.參考數(shù)據(jù):0123456789100.02820.01210.00520.00220.00100.00040.00020.00010.00000.00000.0000解:(1)X的取值有0,1,2.且服從超幾何分布.因此,,;分布列如下:X012P..(2)因?yàn)橛蟹呕氐孛?個(gè)小球次,每次摸到紅球的概率是,所以,,,即,所以.(3)設(shè)從袋中有放回地摸取小球10次,每次摸出1個(gè)小球中紅球出現(xiàn)次,所以摸出紅球的頻率為,當(dāng),紅球所占比例為,如果以摸出紅球的頻率估計(jì)袋中紅球所占比例,且誤差不超過(guò),因此:,即只能取2、3或4.所以紅球占比估計(jì)值的誤差不超過(guò)的概率:.18.已知橢圓的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在上,且軸,.(1)求的方程;(2)求與有公共焦點(diǎn)的雙曲線的方程,使得以它們的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積最大;(3)過(guò)點(diǎn)作斜率之積為的兩直線,若交于,兩點(diǎn),交于,兩點(diǎn),,分別為,的中點(diǎn),求面積的最大值.解:(1)設(shè)橢圓的方程為,由題意知,在橢圓上,所以,,即,所以,解得,所以橢圓的方程為.(2)設(shè)四邊形面積為,其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,則,由橢圓與雙曲線的對(duì)稱性可知,其他三個(gè)點(diǎn)分別為:,,,所以四邊形為矩形,由,即,得,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),四邊形的面積取最大值,所以,設(shè)雙曲線方程為,又因?yàn)?,所以,,此時(shí)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng),即,虛半軸長(zhǎng),所以雙曲線的方程為.(3)根據(jù)題意,直線、斜率存在且不為,且斜率不能為,設(shè),,,則,,聯(lián)立,整理有:,所以,,,,故,聯(lián)立,整理有:,所以,,所以,若,即,整理有,解得不合題意,所以,故直線的斜率不為,設(shè)直線方程為:,在直線上,則,變形得:,在直線上,所以,變形得:,所以、時(shí)是關(guān)于的方程的的兩個(gè)根,故,解得,故直線過(guò)定點(diǎn),,的面積為,分子分母同除以,上式化為即,令,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),的面積取最大值,故面積的最大值為.19.微分中值定理是微積分學(xué)中的重要定理,它是研究區(qū)間上函數(shù)值變化規(guī)律的有效工具,其中拉格朗日中值定理是核心,它的內(nèi)容如下:如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo),導(dǎo)數(shù)為,那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得,其中叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”;(2)若,求證:函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點(diǎn),連線的斜率不大于;(3)若,且,求證:.(1)解:當(dāng)時(shí),則,因?yàn)闉楹瘮?shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn),則,即,解得(2)證明:當(dāng)時(shí),不妨設(shè),,,則,又,令,則,又,所以恒成立,所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以在處取得極大值,即最大值,所以,所以,由拉格朗日中值定理可知必存在使得,即,又,所以,即函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點(diǎn),連線的斜率不大于;(3)證明:當(dāng)時(shí),由拉格朗日中值定理知,存在和,使得,,所以只需證明,即證明在上單調(diào)遞減,又,令,則,令,則,當(dāng)時(shí),令,,則,則在上單調(diào)遞增,又,,所以存在使得,所以當(dāng)時(shí),則,即單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),則,即單調(diào)遞減,所以在處取得極大值,即最大值,所以,所以,所以在上單調(diào)遞減,即在上單調(diào)遞減,命題得證.山西省2024屆高考三模數(shù)學(xué)試題(〖解析〗版)一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合,均為集合的子集,則表示的區(qū)域?yàn)椋ǎ〢.① B.② C.③ D.④〖答案〗A〖解析〗由韋恩圖可知包含區(qū)域①④,所以表示的區(qū)域?yàn)棰?故選:A.2.向量在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,則()A.-7 B.-1 C.1 D.7〖答案〗C〖解析〗如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則,則.故選:C3.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,故選:B.4.設(shè)函數(shù),則不等式的解集為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)椋?,所以為偶函?shù),當(dāng)時(shí),因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞減,不等式,即,等價(jià)于,解得或,所以不等式的解集為.故選:C5.若,且,則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?,則,且,則,可得,,又因?yàn)?,則,且,可得,,所以.故選:D6.某次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì),設(shè)置了教師足球射門比賽:教師射門,學(xué)生守門.已知參與射門比賽的教師有60名,進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是3和13,其中男教師進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是4和8,女教師進(jìn)球數(shù)的平均值為2,則女教師進(jìn)球數(shù)的方差為()A.15 B.16 C.17 D.18〖答案〗B〖解析〗設(shè)參加射門比賽的男教師人數(shù)為,則全部參賽教師進(jìn)球數(shù)的平均數(shù),解得,即參賽的男女教師各有人,設(shè)女教師進(jìn)球數(shù)的方差為,依題意可得,解得.故選:B.7.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為已知的外接圓半徑是邊的中點(diǎn),則長(zhǎng)為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由的外接圓半徑,得,由和得,又,解得,所以.因?yàn)橹?,是邊的中點(diǎn),所以,于.故選:D.8.正方體的棱長(zhǎng)為2,分別為的中點(diǎn),為底面的中心,則三棱錐的體積是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,設(shè)平面法向量為,則,取,則,故到平面的距離為,而,故,故,故選:B二、多項(xiàng)選擇題9.已知是虛數(shù)單位,若,則()A.為純虛數(shù) B.復(fù)數(shù)的虛部為C. D.當(dāng)時(shí),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限〖答案〗ACD〖解析〗由可得,故,故A正確,B錯(cuò)誤,,故C正確,,當(dāng)時(shí),則,故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,D正確,故選:ACD10.將一個(gè)直徑為的鐵球磨制成一個(gè)零件,能夠磨制成的零件可以是()A.底面直徑為,高為的圓柱體 B.底面直徑為,高為的圓錐體C.底面直徑為,高為的圓錐體 D.各棱長(zhǎng)均為的四面體〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A,若圓柱的底面直徑為8,則半徑為4,此時(shí)球心到圓柱底面的距離為,故圓柱的高可以為6,A符合,對(duì)于B,若圓錐的底面直徑為8,則半徑為4,此時(shí)球心到圓錐底面的距離為,故圓錐的高最大時(shí)為,B符合,對(duì)于C,若圓錐的底面直徑為7,則半徑為,此時(shí)球心到圓錐底面的距離為,故圓錐的高最大時(shí)為,C不符合,對(duì)于D,若將各棱長(zhǎng)均為的四面體放入到棱長(zhǎng)為的正方體中,此時(shí)正方體的外接球直徑為,故D符合,故選:ACD11.已知函數(shù),若,且,則的取值可能是()A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)?,所以時(shí)函數(shù)取得最小值,即直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,又因?yàn)椋裕?,所以,所以,所以,解得,?dāng)時(shí),當(dāng)時(shí).故選:BC.三、填空題12.清明小長(zhǎng)假期間,某學(xué)校打算安排甲、乙、丙等6位教師值班.從4月4日至4月6日每天的上、下午各需要安排一名教師到學(xué)校值班,每位教師只安排半天值班.已知甲只能值上午班,乙、丙二人只能值下午班,其他三人上下午均可值班,則不同的值班安排方式共有____________種(請(qǐng)用數(shù)字作答).〖答案〗108〖解析〗從三個(gè)上午班中選擇一個(gè)安排甲,再?gòu)南挛绲娜齻€(gè)班中選擇兩個(gè)安排乙丙,剩余三個(gè)人安排在剩余的班位上,故一共有,故〖答案〗:10813.已知函數(shù),若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是____________.〖答案〗〖解析〗,由于為對(duì)勾函數(shù),最小值為2,而,所以在單調(diào)遞減,故,作出的大致圖象如下:故要使恰有一個(gè)零點(diǎn),只需要只有一個(gè)交點(diǎn),故,即,故〖答案〗為:14.雙曲線的兩條漸近線分別為,經(jīng)過(guò)的右焦點(diǎn)的直線分別交于兩點(diǎn),已知為坐標(biāo)原點(diǎn),反向,若的最小值為9a,則的離心率為_(kāi)___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)漸近線的方程分別為,,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立與可得,,故,同理聯(lián)立與可得,由于反向,所以位于一四象限,故,故,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,故最小值,因此,故,故〖答案〗為:四、解答題15.已知等差數(shù)列的公差,前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.解:(1)因?yàn)椋?,所以,解得或,因?yàn)?,所以,則;(2)由(1)可得,所以.16.如圖三棱錐分別在線段AB,CD上,且滿足.(1)求證:平面平面;(2)求AD與平面BCD所成角的正弦值.(1)證明:連接,由于所以由于,所以故,即,又,,平面,故平面,平面,故,平面,所以平面,平面,故平面平面(2)解:由于所以由于,所以故,即,又,,平面,故平面,平面,故,平面,故平面,故即為直線與平面所成的角,,,17.袋中裝有大小、形狀、材質(zhì)完全相同的n個(gè)小球,其中有個(gè)紅球.(1)若,現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸出2個(gè)小球,其中紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量,求的方差(2)從袋中有放回地摸取小球次,每次摸出一個(gè)小球,其中摸到紅球的次數(shù)為隨機(jī)變量,若的期望,方差,求;(3)若,現(xiàn)從袋中有放回地摸取小球10次,每次摸出1個(gè)小球,記錄顏色后將摸出的小球放回袋中.以摸出紅球的頻率估計(jì)袋中紅球所占比例,若,求紅球占比估計(jì)值的誤差不超過(guò)的概率.參考數(shù)據(jù):0123456789100.02820.01210.00520.00220.00100.00040.00020.00010.00000.00000.0000解:(1)X的取值有0,1,2.且服從超幾何分布.因此,,;分布列如下:X012P..(2)因?yàn)橛蟹呕氐孛?個(gè)小球次,每次摸到紅球的概率是,所以,,,即,所以.(3)設(shè)從袋中有放回地摸取小球10次,每次摸出1個(gè)小球中紅球出現(xiàn)次,所以摸出紅球的頻率為,當(dāng),紅球所占比例為,如果以摸出紅球的頻率估計(jì)袋中紅球所占比例,且誤差不超過(guò),因此:,即只能取2、3或4.所以紅球占比估計(jì)值的誤差不超過(guò)的概率:.18.已知橢圓的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在上,且軸,.(1)求的方程;(2)求與有公共焦點(diǎn)的雙曲線的方程,使得以它們的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積最大;(3)過(guò)點(diǎn)作斜率之積為的兩直線,若交于,兩點(diǎn),交于,兩點(diǎn),,分別為,的中點(diǎn),求面積的最大值.解:(1)設(shè)橢圓的方程為,由題意知,在橢圓上,所以,,即,所以,解得,所以橢圓的方程為.(2)設(shè)四邊形面積為,其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,則,由橢圓與雙曲線的對(duì)稱性可知,其他三個(gè)點(diǎn)分別為:,,,所以四邊形為矩形,由,即,得,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),四邊形的面積取最大值,

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