初中數(shù)學(xué)競賽定理大全

歐拉（Euler）線:

同一三角形的垂心、重心、外心三點共線，這條直線稱為三角

形的歐拉線;

且外心與重心的距離等于垂心與重心距離的一半。

外心重心重心垂心

2.00厘米4.00厘米

九點圓：

任意三角形三邊的中點，三高的垂足及三頂點與垂心間線段的中點，共九個

點共圓，這個圓稱為三角形的九點圓;

其圓心為三角形外心與垂心所連線段的中點，其半徑等于三角形外接圓半徑

的一半。

OA=1.07厘米

OB=1.07厘米

0Kl=2.43厘米

BD=4.87厘米

費爾馬點:

已知P為銳角^ABC內(nèi)一點，當(dāng)NAPB=NBPC=NCPA=120°時,

PA+PB+PC的值最小，這個點P稱為4ABC的費爾馬點。

BP+CP+APBE+CE+AE

10.90厘米11.51厘米

BE=3.45厘米

ZBPC=120°CE=5.00厘米

ZCPA=120°AE=3.06厘米

NAPB=120°BP=4.93厘米

CP=3.63厘米

AP=2.33厘米

海倫(Heron)公式：

海倫(Heron)公式：

1

在△ABC中，邊BC、CA、AB的長分別為a、b、c,若p=,(a+b+c),

則ZkABC的面積S=Jp(p—a)。—b)Q—c)

AB=4.00厘米

BC=6.09厘米

1CA=50。厘米

—■(AB+BC+CA)=7.54厘米

p=7.54厘米

AD=3.27厘米

._______________________1

Vp(p-AB)(p-BC)-(p-CA)=9.94厘米--BCAD=9.94厘米

塞瓦(Ceva)定理:

在aABC中，過^ABC的頂點作相交于一點P的直線，分別

交邊BC、CA、AB與點D、E、F,則(BD/DC)?(CE/EA)?(AF/FB)=1；其逆亦真。

密格爾(Miquel)點：

若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點,

構(gòu)成四個三角形，它們是^ABF、AAED>ABCE>△DCF,

則這四個三角形的外接圓共點，這個點稱為密格爾點。

葛爾岡U(Gergonne)點:

△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點D、E、F,

則AE、BF、CD三線共點，這個點稱為葛爾剛點。

西摩松（Simson）線：

已知P為^ABC外接圓周上任意一點，PD±BC,PE±ACPF±AB,D、

E、F為垂足，

則D、E、F三點共線，這條直線叫做西摩松線。

黃金分割：

把一條線段(AB)分成兩條線段，使其中較大的線段(AC)是原線段(AB)

與較小線段(BC)的比例中項，這樣的分割稱為黃金分割。

AC2=14.0厘米

C

CBAB=14.0厘米

AB

帕普斯(Pappus)定理：

已知點Ai、A2、A3在直線11上，已知點Bi、B2、B3在直線12上，

且AiB2與A2B1交于點X,A1B3與A3B1交于點Y,A2B3于A3

B2交于

點Z,則X、Y、Z三點共線。

笛沙格(Desargues)定理:

已知在△ABC與△ABC中，AA'、BB'、CC三線相交于點。，

BC與B'C'、CA與C'A'、AB與A'B'分別相交于點X、Y、Z,則X、Y、

Z三點共線；其逆亦真

摩萊(Morley)三角形：

在已知aABC三內(nèi)角的三等分線中，分別與BC、CA>AB相鄰的每兩

線相交于點D、E、F,則4DEF是正三角形,

這個正三角形稱為摩萊三角形。

帕斯卡（Paskal）定理：

已知圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的邊AB、DE延長線交于點G,邊BC、EF

延長線交于點H,邊CD、FA延長線交于點K,則H、G、K三點共線。

托勒密（Ptolemy）定理：

在圓內(nèi)接四邊形中，AB?CD+AD?BC=AC?BD

（任意四邊形都可！哇哈哈）

斯圖爾特（Stewart）定理：

設(shè)P為aABC邊BC上一點，且BP：PC=n：m,則

m?(AB2)+n,(AC2)=m,(BP2)+n,(PC2)+(m+n)(AP2)

PCAB2+BP-AC2=310.87厘米

PC-BP2+BP-PC2+(BP+P^AP2=310.87厘米3

BP=3.69厘米

PC=4.35厘米

AB=4.57厘米

AC=7.72厘米

AP=4.75厘米

梅內(nèi)勞斯定理：

在^ABC中，若在BC、CA、AB或其延長線上被同一條直線

截于點X、Y、Z，貝NBX/XC)?(CY/YA)?(AZ/ZB)=1

阿波羅尼斯(Apollonius)圓

一動點p與兩定點A、B的距離之比等于定比m:n，則點P的軌跡，是以

定比m:n內(nèi)分和外分定線段的兩個分點的連線為直徑的圓，這個圓被稱為阿波

布拉美古塔(Brahmagupta)定理：

在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC-1-BD,自對角線的交點p向一邊作垂線,

其延長線必平分對邊。

BF=4.27厘米

CF=4.27厘米

GD=4.15厘米

GC=4.15厘米

C(托動)

BC：

廣勾股定理:

在任一三角形中，

(1)銳角對邊的平方，等于兩夾邊之平方和，減去某夾邊和另一夾邊在

此邊上的影射乘積的兩倍.

(2)鈍角對邊的平方，等于兩夾邊的平方和，加上某夾邊與另一夾邊在

此邊延長上的影射乘積的兩倍.

加法原理:

做一件事情，完成它有N類辦法，在第一類辦法中有Ml種不同的方法，在

第二類辦法中有M2種不同的方法，……，在第N類辦法中有M(N)種不同的

方法，那么完成這件事情共有M1+M2+……+M(N)種不同的方法。

比如說：從北京到上海有3種方法可以直接到達(dá)上海，

1：火車ki

2：飛機k2

3：輪船k3,那么從北京-上海的方法N=ki+k2+k3

乘法原理:

做一件事，完成它需要分成n個步驟，

做第一步有ml種不同的方法，

做第二步有m2不同的方法，……,做第n步有m?n不同的方法.那么完成這件

事共有N=ml,m2?m3…mn種不同的方法.

正弦定理

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一個三角形中是恒量，是此三角形

外接圓的直徑)

這一定理對于任意三角形ABC,都有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R為三角形外接圓半徑)

余弦定理：

對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們

夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a,b,c三角為A,B,C,則滿足性質(zhì)：

a2=b2+c2-2bc?CosA

b2=a2+c2-2ac?CosB

c2==a2+b2-2ab,CosC

CosC=(a2+b2-c2)/2ab

CosB=(a2+c2-b2)/2ac

CosA=(c2+b~~a2)/2bc

解析幾何中的基本公式

1、兩點間距離:若A(X],yj),B(x2,y2),則[-七/+(%-%>

2、平行線間距離：若L:Ax+By+C]=O,12:Ax+By+C2=0

iQ-ql

則：d

7A2+B2

注意點:x,y對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)相等。

3、點到直線的距離：P(xo,yo),1:Ax+By+C=O

則P到出距離為：人房是善

y=kx+b

4、直線與圓錐曲線相交的弦長公式：

F(x,y)=O

消y：ax2+bx+c=O,務(wù)必注意A>0.

若I與曲線交于A（X1，M）K九2，為）

則：|例=血+42)(/_%1)2

5、若人（%1，%）,3（巧,乂），P（X，y）。P在直線AB上，且P分有向線段AB所成

的比為入，

Xy+X%M+x

X2x=-------9-

2

則1+?，特別地：入=1時，P為AB中點且<

%+3%

y=

1+X-2

變形后:入二口或九二J

/一%%一>

6、若直線li的斜率為七,直線I2的斜率為k2,則li到I2的角為a,ae（0/）

適用范圍：ki,k2都存在且kik27—1,tant=J—占

1+kxk2

若k與b的夾角為e'則tanej占

注意：⑴11到12的角，指從11按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到12所成的角,范圍（0,兀）

11到12的夾角：指312相交所成的銳角或直角。

（2）I1L2時，夾角、到角=烏。

2

（3）當(dāng)11與12中有一條不存在斜率時，畫圖，求到角或夾角。

7、(1)傾斜角a,ae(0,K)；

—>—>

(2)夾角①0e[0,兀|；

(3)直線I與平面a的夾角p,pe[0,1]；

(4)li與b的夾角為9，0e[0,1],其中I//I2時夾角e=o；

(5)二面角0,ae(0,兀]；

(6)li到12的角。，0e(0,7T)

8、直線的傾斜角a與斜率k的關(guān)系

a)每一條直線都有傾斜角a,但不一定有斜率。

b)若直線存在斜率k,而傾斜角為a,則1<=12門01。

9、直線11與直線12的的平行與垂直

(1)若kb均存在斜率且不重合：①U/I2Oki=k2

②I1L20kik2=-1

(2)4:A^x+B]y+G=。，，2：^2^+62、+C*2=0

若Ai、A2、Bi、B2都不為零

①11〃120在=2/三；

A2B2C2

②ll_LboA1A2+B1B2=O；

③11與12相交OAL/殳

A

2B2

④11與12重合0劣二旦二6；

A2B2C2

注意：若A2或B2中含有字母，應(yīng)注意討論字母二0與。0的情況。

10、直線方程的五種形式

名稱方程注意點

斜截式：y=kx+b應(yīng)分①斜率不存在

②斜率存在

點斜式：y-x=左(％一兒)(1)斜率不存在：x=x?

(2)斜率存在時為

y-y。=左(％-%)

兩點式：yf=％一%i

y2f9一芯

截距式：其中1交x軸于(a,0),交y

ab

軸于(0,b)當(dāng)直線1在坐標(biāo)軸上，

截距相等時應(yīng)分：

(1)截距=0設(shè)y=kx

(2)截足巨設(shè)

——F—=1

aa

即x+y=a

一般式：Ax+By+C-0(其中A、B不同時為零)

11、直線4x+3y+C=0與圓(％-1)2+(y—b)2=U的位置關(guān)系有三種

.,|Atz+Bb+Cl.

右d=--,,4>r=/目禺04<0

U2+B2

d—r<=>相切oA=0

J<r<=>相交oA>0

13、圓錐曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)

（一）橢圓

定義I：若Fi,F2是兩定點，P為動點，且|P耳|+歸閭=2a>|可圖（a為

常數(shù)）則P點的軌跡是橢圓。

定義H：若Fi為定點，I為定直線，動點P到Fi的距離與到定直線I的距離

之比為常數(shù)e（0<e<l）,則P點的軌跡是橢圓。

a2

準(zhǔn)線方程：^=±—

22

焦半徑：|PFj=e(x+?),\PF^e^--x),歸耳|=2a—歸閶，

a-c<|P娟<a+c等（注意涉及焦半徑①用點P坐標(biāo)表示，②第一定

義。）

注意：（1）圖中線段的幾何特征：內(nèi)耳|=工|=a—c,囿工|=4|=a+c

忸闿=B用=隹用=同周=a,他因=閶因=J。2+/?2等等。頂

點與準(zhǔn)線距離、焦點與準(zhǔn)線距離分別與凡九c有關(guān)。

（2）"K居中經(jīng)常利用余弦定理、三角形面積公式將有關(guān)線段|P片、

\PF2\>2c,有關(guān)角N片尸工結(jié)合起來,建立|P￡|+|P閶、|P^|?\PF2\

等關(guān)系

（3）橢圓上的點有時常用到三角換元：/="cos,；

y=Z?sin0

（4）注意題目中橢圓的焦點在x軸上還是在y軸上，請補充當(dāng)焦點在y軸

上時，其相應(yīng)的性質(zhì)。

二、雙曲線

（一）定義：I若Fi,F2是兩定點，帕耳|-|P可=2a<|耳國（a為常數(shù)）,

則動點P的軌跡是雙曲線。

II若動點P到定點F與定直線I的距離之比是常數(shù)e（e>l）,則

動點P的軌跡是雙曲線。

（二）圖形：

三）性質(zhì)

22

方程：-1（〃>0/>。）^~T~~T=1（〃>。*>0）

abab

定義域：｛小>a或x<a｝；值域為R;

實軸長=2a,虛軸長=2b

焦距：2c

a2

準(zhǔn)線方程：％=±丁

22

焦半徑：|PK|=e(x+?),\PF^=e^--x),\PF^-\PF^=2a；

注意：(1)圖中線段的幾何特征：|人周=忸/=°-°,|4閭=忸￡|=a+c

22

頂點到準(zhǔn)線的距離：a-—^a+—；焦點到準(zhǔn)線的距離：

CC

a2_p.a2;兩準(zhǔn)線間的距離=叱

c---或c+——

ccC

2222

(2)若雙曲線方程為=漸近線方程：與-二=0=>y=±*

ababa

若漸近線方程