九年級數(shù)學(xué)核心知識點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練（滬教版）重難點(diǎn)10四種方法求二次函數(shù)的解析式（原卷版）

重難點(diǎn)10四種方法求二次函數(shù)的解析式【知識梳理】1.一般式當(dāng)題目給出函數(shù)圖像上的三個(gè)點(diǎn)時(shí)，設(shè)為一般式（，，為常數(shù)，），轉(zhuǎn)化成一個(gè)三元一次方程組，以求得a，b，c的值；2.頂點(diǎn)式若已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸、最值，則設(shè)為頂點(diǎn)式．這頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對稱軸直線x=h，最值為當(dāng)x=h時(shí)，y最值=k來求出相應(yīng)的系數(shù).3.交點(diǎn)式已知圖像與x軸交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題目條件求出a的值．4.平移變換型將一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過上下左右的平移得到一個(gè)新的拋物線．要借此類題目，應(yīng)先將已知函數(shù)的解析是寫成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x–h)2+k，當(dāng)圖像向左（右）平移n個(gè)單位時(shí)，就在x–h上加上（減去）n；當(dāng)圖像向上（下）平移m個(gè)單位時(shí)，就在k上加上（減去）m．其平移的規(guī)律是：h值正、負(fù)，右、左移；k值正負(fù)，上下移．由于經(jīng)過平移的圖像形狀、大小和開口方向都沒有改變，所以a得值不變．【考點(diǎn)剖析】解法一：一般式1.一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．2.已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（﹣1，10），（1，4），（2，7）三點(diǎn)．求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并求出它的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．3.二次函數(shù)圖象過A，C，B三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C在y軸正半軸上，且AB＝OC，求二次函數(shù)的表達(dá)式．4.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，過點(diǎn)A、C，D作拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（3，0），（0，4），求拋物線的解析式．5．（2021·上海寶山·九年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將拋物線平移，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，求的面積；（3）如果點(diǎn)在軸上，與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．解法二：頂點(diǎn)式1.設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，2），且過點(diǎn)（1，1），求這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式．2.已知二次函數(shù)當(dāng)x＝1時(shí)有最大值是﹣6，其圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣8），求二次函數(shù)的解析式．3．（上海楊浦區(qū)·九年級一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線交y軸于點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D，對稱軸與x軸交于點(diǎn)H．（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)拋物線過點(diǎn)（1，-2），且不經(jīng)過第一象限時(shí)，平移此拋物線到拋物線的位置，求平移的方向和距離；（3）當(dāng)拋物線頂點(diǎn)D在第二象限時(shí)，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．解法三：交點(diǎn)式1.如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函數(shù)表達(dá)式．2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B，點(diǎn)C分別為x軸，y軸正半軸上一點(diǎn)，其滿足OC＝OB＝2OA．求過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；3.已知拋物線過A（1，0）和B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，且BC＝5，求該二次函數(shù)的解析式．4．（2021·上海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)結(jié)、，求的正切值；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．解法四：平移變換型1.將拋物線y＝x2﹣6x+5向上平移兩個(gè)單位長度，再向右平移一個(gè)單位長度后，求平移后的拋物線解析式．2.將拋物線y＝2x2先向下平移3個(gè)單位，再向右平移m（m＞0）個(gè)單位，所得新拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，5），求新拋物線的表達(dá)式及新拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．3.已知a+b+c＝0且a≠0，把拋物線y＝ax2+bx+c向下平移一個(gè)單位長度，再向左平移5個(gè)單位長度所得到的新拋物線的頂點(diǎn)是（﹣2，0），求原拋物線的表達(dá)式．4．（上海格致中學(xué)九年級月考）把二次函數(shù)這個(gè)圖像上下平移，使其頂點(diǎn)恰好落在正比例函數(shù)的圖像上，求平移后二次函數(shù)的解析式5.拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸正半軸交于A點(diǎn)，M（﹣2，m）在拋物線上，AM交y軸于D點(diǎn)，拋物線沿射線AD方向平移2個(gè)單位，求平移后的解析式．6．（2020·上海）已知：拋物線，經(jīng)過點(diǎn)A(-1,-2)，B(0,1).（1）求拋物線的關(guān)系式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo).（2）若點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱，把（1）中的拋物線向左平移m個(gè)單位，平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B′，設(shè)此時(shí)拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)P′.①求∠P′BB′的大小.②把線段P′B′以點(diǎn)B′為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，點(diǎn)P′落在點(diǎn)M處，設(shè)點(diǎn)N在（1）中的拋物線上，當(dāng)△MNB′的面積等于6時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).7．（2022·上海·中考真題）已知：經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求函數(shù)解析式；(2)平移拋物線使得新頂點(diǎn)為（m＞0）．①倘若，且在的右側(cè)，兩拋物線都上升，求的取值范圍；②在原拋物線上，新拋物線與軸交于，時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)．【過關(guān)檢測】1．（2021·上海九年級專題練習(xí)）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（4，1）和（，6）．求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．2．（2021·上海九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線y＝－x2＋4x＋m與x軸交于A，B兩點(diǎn)，AB＝2，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）若P為對稱軸上一點(diǎn)，要使PA＋PC最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)是二次函數(shù)．（1）求m的值；（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并指出開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．4．（2020·崇明縣大同中學(xué)九年級月考）如圖已知在直角坐標(biāo)系中，一條拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其中B（3，0），C（0，4），點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，OC＝4OA．（1）求點(diǎn)A坐標(biāo)；（2）求這條拋物線的解析式，并求出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)．5．（2021·上海中考真題）已知拋物線過點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)A在直線上且在第一象限內(nèi)，過A作軸于B，以為斜邊在其左側(cè)作等腰直角．①若A與Q重合，求C到拋物線對稱軸的距離；②若C落在拋物線上，求C的坐標(biāo)．6．（2022·上海徐匯·九年級期末）二次函數(shù)的自變量x的取值與函數(shù)y的值列表如下：x…﹣2﹣10…234……﹣503…30﹣5…(1)根據(jù)表中的信息求二次函數(shù)的解析式，并用配方法求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)請你寫出兩種平移的方法，使平移后二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)落在直線上，并寫出平移后二次函數(shù)的解析式．7．（2022·上海楊浦·九年級期末）已知二次函數(shù)．(1)用配方法把二次函數(shù)化為的形式，并指出這個(gè)函數(shù)圖像的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如果將該函數(shù)圖像沿軸向下平移5個(gè)單位，所得新拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，求的面積．8．（2022·上海金山·九年級期末）已知：拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，頂點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線的對稱軸與軸相交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）求的度數(shù)；（3）把拋物線向上或者向下平移，點(diǎn)平移到點(diǎn)的位置，如果，求平移后的拋物線解析式．9．（2022·上海閔行·九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與牰交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)．(1)用含的代數(shù)式表示頂點(diǎn)的坐標(biāo)：(2)當(dāng)頂點(diǎn)在內(nèi)部，且時(shí)，求拋物線的表達(dá)式：(3)如果將拋物線向右平移一個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位后，平移后的拋物線的頂點(diǎn)仍在內(nèi)，求的取值范圍．10．（2022·上海普陀·九年級期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖)，已知拋物線y=x2-bx+c經(jīng)過A(-1．2)、B(0，-1)兩點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)將拋物線y=x2-bx+c向左平移(+1)個(gè)單位，設(shè)平移后的拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)P'．①求∠BP'P的度數(shù)；②將線段P'B繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150°，點(diǎn)P’落在點(diǎn)M處，點(diǎn)N是平移后的拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△MNB的面積為1時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．11．（2022·上海靜安·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)是（2，4），點(diǎn)B在x軸上，（如圖所示），二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)O、A、B三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．(1)求點(diǎn)B與點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求二次函數(shù)圖像的對稱軸與線段AB的交點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過平移后，點(diǎn)A落在原二次函數(shù)圖像的對稱軸上，點(diǎn)D落在線段AB上，求圖像平移后得到的二次函數(shù)解析式．12．（2022·上海奉賢·九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn),頂點(diǎn)為．（1）求該拋物線的表達(dá)式的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將拋物線沿軸上下平移,平移后所得新拋物線頂點(diǎn)為,點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為．①如果點(diǎn)落在線段上,求的度數(shù)；②設(shè)直線與軸正半軸交于點(diǎn),與線段交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),求平移后新拋物線的表達(dá)式．13．（2022·上海市羅星中學(xué)模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線交y軸于點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D，對稱軸與x軸交于點(diǎn)H．（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)拋物線過點(diǎn)（1，-2），且不經(jīng)過第一象限時(shí)，平移此拋物線到拋物線的位置，求平移的方向和距離；（3）當(dāng)拋物線頂點(diǎn)D在第二象限時(shí)，如果∠ADH=∠AHO，求