人教版九年級數(shù)學下冊27.4相似三角形的性質(zhì)【十大題型】(學生版+解析)

專題27.4相似三角形的性質(zhì)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-1"\h\u【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求角度】 2【題型2利用相似三角形的性質(zhì)求線段長度】 2【題型3利用相似三角形的性質(zhì)求面積】 3【題型4利用相似三角形的性質(zhì)求周長】 4【題型5利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明角度相等】 4【題型6利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明對應(yīng)線段成比例】 6【題型7尺規(guī)作圖作相似三角形】 7【題型8在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形】 8【題型9新定義中的相似三角形】 9【題型10相似與函數(shù)綜合探究】 11【知識點1相似三角形的性質(zhì)】①相似三角形的對應(yīng)角相等．如圖，，則有．②相似三角形的對應(yīng)邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．③相似三角形的對應(yīng)邊上的中線，高線和對應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比．如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有④相似三角形周長的比等于相似比．如圖，∽，則有．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖，∽，則有【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求角度】【例1】（2022·湖南·永州柳子中學九年級期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，則∠F的度數(shù)為（

）A．30° B．60° C．70° D．80°【變式1-1】（2022·江蘇·常州市金壇良常初級中學九年級階段練習）如圖，△ABC∽△DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，則∠BCD的度數(shù)是（

）A．32° B．48° C．64° D．86°【變式1-2】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在正方形網(wǎng)格上有兩個相似三角形△ABC和△EDF，則∠ABC+∠ACB的度數(shù)為（）A．135° B．90° C．60° D．45°【變式1-3】（2022·云南楚雄·九年級期末）如圖，點A、B、C、D四點共線，ΔPBC是等邊三角形，當ΔPAB～ΔDPC時，∠APD的度數(shù)為（

）A．120° B．100° C．110° D．125°【題型2利用相似三角形的性質(zhì)求線段長度】【例2】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在?ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中點，在CD上取一點F，使△CBF∽△ABE，則DF的長是（

）A．8.2 B．6.4 C．5 D．1.8【變式2-1】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC∽△DEF，相似比為1∶2，若BC＝1，則EF的長是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-2】（2022·全國·九年級專題練習）已知△ABC∽△DEF，△ABC的三邊長分別為2，14，3，△DEF的其中的兩邊長分別為1和7，則第三邊長為______．【變式2-3】（2022·吉林·長春市赫行實驗學校二模）如圖所示，圖中x=___．【題型3利用相似三角形的性質(zhì)求面積】【例3】（2022·陜西渭南·九年級階段練習）若△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的面積比為25:36，則△ABC與△DEF的對應(yīng)邊的比是（

）A．5:6 B．6:5 C．25:36 D．36:25【變式3-1】（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級期末）△ABC與△A'B'C'的位似比是1:2，已知A．3 B．6 C．9 D．12【變式3-2】（2022·河北石家莊·九年級期末）把一個三角形的各邊長擴大為原來的3倍，則它的面積擴大為原來的__________倍．【變式3-3】（2022·河南·鶴壁市淇濱中學九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點D是線段BC上一動點，連結(jié)AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE的最小面積等于______．【題型4利用相似三角形的性質(zhì)求周長】【例4】（2022·湖南株洲·九年級期末）有一個直角三角形的邊長分別為3，4，5，另一個與它相似的直角三角形的最小邊長為7，則另一個直角三角形的周長是（

）A．425 B．845 C．21【變式4-1】（2022·重慶實驗外國語學校八年級期末）如圖是一個邊長為1的正方形組成的網(wǎng)絡(luò)，△ABC與△A1B1C1都是格點三角形（頂點在網(wǎng)格交點處），并且△ABC∽△A1B1C1，則△ABC與△A1B1C1的周長之比是（

）A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9【變式4-2】（2022·遼寧·阜新市第四中學九年級階段練習）已知△ABC∽△DEF，其中AB=12，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周長是______．【變式4-3】（2022·遼寧鞍山·二模）已知△ABC∽△A'B'C'，且【題型5利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明角度相等】【例5】（2022·北京市第一五六中學九年級期中）如圖，已知AE平分∠BAC，ABAD(1)求證：∠E=∠C；(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的長．【變式5-1】（2022·上海·測試·編輯教研五八年級期末）如圖，在△ABC中，點D、點E分別在AC、AB上，點P是BD上的一點，聯(lián)結(jié)EP并延長交AC于點F，且∠A=∠EPB=∠ECB．(1)求證：BE?BA=BP?BD；(2)若∠ACB=90°，求證：CP⊥BD．【變式5-2】（2022·山東·東平縣江河國際實驗學校二模）如圖，點D，E分別在△ABC的邊BC，AC上，連接AD，DE．（1）若∠C=∠BAD，AB=5，求BD·BC的值；（2）若點E是AC的中點，AD=2AE，求證：∠1=∠C．【變式5-3】（2022·湖北恩施·二模）如圖，在△ABC中，D、E、F分別是邊AC，AB，BC上的點，DE∥BC，DF∥AB．(1)求證：∠B=∠EDF．(2)若CF＝13BC，求S【題型6利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明對應(yīng)線段成比例】【例6】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，已知△ADE的頂點E在△ABC的邊BC上，DE與AB相交于點F，∠FEA=∠B，∠DAF=∠EAC．(1)若AF=BF=4，求AE；(2)求證：DFDE【變式6-1】（2022·江蘇·九年級專題練習）已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．如圖，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．（1）求證：OCPD（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長．【變式6-2】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在ΔABC中，AB=AC，D是邊BC的延長線上一點，E是邊AC上一點，且∠EBC=∠D．求證：CEAB【變式6-3】（2022·湖南益陽·九年級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個動點（不與B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F，G．(1)求證：EGAD(2)FD與DG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由；【題型7尺規(guī)作圖作相似三角形】【例7】（2022·山東煙臺·八年級期末）尺規(guī)作圖：如圖，已知△ABC，且AB>AC．（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）(1)在AB邊上求作點D，使DB=DC；(2)在AC邊上求作點E，使△ADE∽△ACB．【變式7-1】（2022·山東濟寧·二模）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,BD平分∠ABC．(1)求作△CDE使點E在BC上，且△CDE∽△CBD；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，若BA=3,∠ABC=60°，求【變式7-2】（2022·陜西寶雞·一模）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點D是AC邊上一定點．請用尺規(guī)作圖法在BC上求作一點P，使得△ABC∽△PCD．（保留作圖痕跡，不寫作法）【變式7-3】（2022·江蘇省錫山高級中學實驗學校模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)按要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：①過點D作AB的平行線交BC于點F；②P為AB邊上的一點，且△DAP∽△PBC，請找出所有滿足條件的點；(2)在（1）的條件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，則AP＝．【題型8在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形】【例8】（2022·安徽合肥·二模）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A、B、C、D四點均在正方形網(wǎng)格的格點上，線段AB、CD相交于點O．(1)請在網(wǎng)格圖中畫出兩條線段（不添加另外的字母），構(gòu)成一對相似三角形，并用“∽”符號寫出這對相似三角形：(2)線段AO的長為______．【變式8-1】（2022·河南南陽·九年級期末）（1）如圖，△ABC的三個頂點都在方格紙的格點上．在方格紙內(nèi)畫△A'B'C（2）△A【變式8-2】（2022·浙江溫州·九年級專題練習）請在如圖所示的網(wǎng)格中，運用無刻度直尺作圖（保留作圖痕跡）(1)在圖1中畫出線段AB的中垂線(2)如圖2，在線段AB上找出點C，使AC:CB=1:2．【變式8-3】（2022·浙江溫州·九年級期中）如圖，在8×8的方格中，△ABC的三個頂點都在小方格的頂點上，按要求畫一個三角形，使它的頂點在方格的頂點上．(1)請在圖1中畫一個三角形，使它與△ABC相似，且相似比為2：1(2)請在圖2中畫一個三角形，使它與△ABC相似，且面積比為2：1【題型9新定義中的相似三角形】【例9】（2022·陜西渭南·九年級期末）四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線稱為這個四邊形的“理想對角線”．(1)如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC=70°，AB=AD，AD∥BC，當∠ADC=145°時．求證：對角線BD是四邊形ABCD的“理想對角線”；(2)如圖2，四邊形ABCD中，CA平分∠BCD，BC=3，CD=2，對角線AC是四邊形ABCD的“理想對角線”，求AC的長．【變式9-1】（2022·福建·廈門市第五中學八年級期中）定義：若一個三角形最長邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點F在邊AC上，D是邊BC上的一點，AB＝BD，點A，D關(guān)于直線l對稱，且直線l經(jīng)過點F．（1）如圖1，求作點F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長BC，AC，AB分別a，b，c，且滿足下列兩個條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之間的等量關(guān)系；②若AE是△ABD的中線．求證：△ACE是“和諧三角形”．【變式9-2】（2022·江蘇常州·九年級期末）如果經(jīng)過一個三角形某個頂點的直線將這個三角形分成兩部分，其中一部分與原三角形相似，那么稱這條直線被原三角形截得的線段為這個三角形的“形似線段”．(1)在△ABC中，∠A=30．①如圖1，若∠B=100°，請過頂點C畫出△ABC的“形似線段”CM，并標注必要度數(shù)；②如圖2，若∠B=90°，BC=1，則△ABC的“形似線段”的長是．如圖3，在DEF中，DE=4，EF=6，DF=8，若EG是DEF的“形似線段”，求EG的長．【變式9-3】（2022·安徽合肥·二模）定義：如果一個三角形中有一個角是另一個角的2倍，那么我們稱這樣的三角形為倍角三角形．根據(jù)上述定義可知倍角三角形中有一個角是另一個角的2倍，所以我們就可以通過作出其中的2倍角的角平分線，得出一對相似三角形，再利用我們學過的相似三角形的性質(zhì)解決相關(guān)問題．請通過這種方法解答下列問題：(1)如圖1，△ABC中，AD是角平分線，且AB2=BD?BC(2)如圖2，已知△ABC是倍角三角形，且∠A=2∠C，AB=8，BC=10，求AC的長；(3)如圖3，已知△ABC中，∠A=3∠C，AB=8，BC=10，求AC的長．【題型10相似與函數(shù)綜合探究】【例10】（2022·遼寧大連·九年級期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．點D是線段AC上的一點，點E在射線CB上且∠CDE＝∠B．(1)求BC的長；(2)若AD＝x，△CDE的面積與△ABC重合部分的面積是y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍．【變式10-1】（2022·全國·九年級）如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分別為垂足．(1)已知：∠APC＝90°，求證：△ABP∽△PDC．(2)已知：AB＝2，CD＝3，BD＝7，點P是線段BD上的一動點，若使點P分別與A、B和C、D構(gòu)成的兩個三角形相似，求線段PB的值．(3)已知：AB＝2，CD＝3，點P是直線BD上的一動點，設(shè)PB＝x，BD＝y(tǒng)，使點P分別與A、B和C、D構(gòu)成的兩個三角形相似，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．【變式10-2】（2022·廣東茂名·二模）如圖，在矩形OABC中，OA=3，AB=4，反比例函數(shù)y=kxk>0的圖像與矩形的邊AB、BC分別交于點D、E(1)求點D的坐標及k的值；(2)點Pm,0m>2是線段OC上的一個動點，當△AOP∽△PCE時，求【變式10-3】（2022·四川成都·三模）已知：如圖，菱形ABCD中，對角線AC，且AC＝12cm，BD＝16cm．點P從點B出發(fā)，速度為1cm/s；同時，點Q沿DB方向勻速運動，速度為1cm/s，且與AD，BD，Q，F(xiàn)；當直線EF停止運動時，點P也停止運動．連接PF（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：(1)當t為何值時，四邊形APFD是平行四邊形？(2)設(shè)四邊形APFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)是否存在某一時刻t，使S四邊形APFE：S菱形ABCD＝17：40？若存在，求出t的值，并求出此時PE的長度；若不存在，請說明理由．專題27.4相似三角形的性質(zhì)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-1"\h\u【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求角度】 2【題型2利用相似三角形的性質(zhì)求線段長度】 4【題型3利用相似三角形的性質(zhì)求面積】 6【題型4利用相似三角形的性質(zhì)求周長】 8【題型5利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明角度相等】 10【題型6利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明對應(yīng)線段成比例】 14【題型7尺規(guī)作圖作相似三角形】 19【題型8在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形】 23【題型9新定義中的相似三角形】 29【題型10相似與函數(shù)綜合探究】 37【知識點1相似三角形的性質(zhì)】①相似三角形的對應(yīng)角相等．如圖，，則有．②相似三角形的對應(yīng)邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．③相似三角形的對應(yīng)邊上的中線，高線和對應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比．如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有④相似三角形周長的比等于相似比．如圖，∽，則有．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖，∽，則有【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求角度】【例1】（2022·湖南·永州柳子中學九年級期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，則∠F的度數(shù)為（

）A．30° B．60° C．70° D．80°【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等求出∠A＝∠D＝50°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵△ABC~△DEF，∴∠A＝∠D＝50°，∴∠F＝180°－∠D－∠E＝180°－50°－70°＝60°，故選：B．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．【變式1-1】（2022·江蘇·常州市金壇良常初級中學九年級階段練習）如圖，△ABC∽△DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，則∠BCD的度數(shù)是（

）A．32° B．48° C．64° D．86°【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠DAC=∠B=31°，∠BAC=∠D=117°，∠BCA=∠ACD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】解：∵△ABC∽△DAC，∠B=31°，∠D=117°，∴∠DAC=∠B=31°，∠BAC=∠D=117°，∠BCA=∠ACD，∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=2(180°-31°-117°)=64°，故選：C．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在正方形網(wǎng)格上有兩個相似三角形△ABC和△EDF，則∠ABC+∠ACB的度數(shù)為（）A．135° B．90° C．60° D．45°【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等和三角形內(nèi)角和等于180°，即可得出．【詳解】解：∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF，又∵∠DEF＝90°+45°＝135°，∴∠BAC＝135°，∴∠ABC+∠ACB=故選：D．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到相似三角形中的對應(yīng)關(guān)系．【變式1-3】（2022·云南楚雄·九年級期末）如圖，點A、B、C、D四點共線，ΔPBC是等邊三角形，當ΔPAB～ΔDPC時，∠APD的度數(shù)為（

）A．120° B．100° C．110° D．125°【答案】A【分析】根據(jù)ΔPAB～ΔDPC得出∠A=∠DPC，根據(jù)ΔPBC是等邊三角形得出∠PBC=∠BPC=60°，根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠A+∠APB=∠PBC=60°，可推出∠APB+∠DPC=60°，從而即可得到答案.【詳解】∵ΔPAB～ΔDPC∴∠A=∠DPC∵ΔPBC是等邊三角形∴∠PBC=∠BPC=60°∴∠A+∠APB=∠PBC=60°∴∠APB+∠DPC=60°∴∠APD=∠APB+∠PBC+∠DPC=120°故選A.【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.【題型2利用相似三角形的性質(zhì)求線段長度】【例2】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在?ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中點，在CD上取一點F，使△CBF∽△ABE，則DF的長是（

）A．8.2 B．6.4 C．5 D．1.8【答案】A【分析】E是AD的中點可求得AE，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得CFAE=BC【詳解】解：∵E是AD的中點，AD=6，∴AE=1又∵△CBF∽△ABE，∴CFAE=解得CF=1.8，∴DF=DC?CF=10?1.8=8.2，故選：A．【點睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)，掌握三角形相似的性質(zhì)對應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC∽△DEF，相似比為1∶2，若BC＝1，則EF的長是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)已知條件得到BCEF＝12，即可得到EF＝2【詳解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比為1∶2，∴BCEF＝1∴EF＝2BC＝2．故選：B【點睛】本題考查了相似的性質(zhì)，熟知相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·全國·九年級專題練習）已知△ABC∽△DEF，△ABC的三邊長分別為2，14，3，△DEF的其中的兩邊長分別為1和7，則第三邊長為______．【答案】3【分析】先求得相似比，再列式計算求得【詳解】設(shè)△DEF的第三邊長為x，∵△ABC∽△DEF且△ABC的三邊長分別為2，14，3，△DEF的其中的兩邊長分別為1和7，∴12∴x＝33∴△DEF的第三邊長為3故答案為：3【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，求出相似比是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·吉林·長春市赫行實驗學校二模）如圖所示，圖中x=___．【答案】2【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，由相似三角形的判定定理可判斷出ΔABC∽【詳解】解：∵ΔABC中，∠A=45°，∴∠C=180°?∠A?∠B=180°?45°?30°=105°，∵∠E=∠B=30°，∠C=∠F，∴Δ∴BCEF即24∴x=22故答案為：22【點睛】本題涉及到三角形內(nèi)角和定理、相似三角形的判定及性質(zhì)，比較簡單．【題型3利用相似三角形的性質(zhì)求面積】【例3】（2022·陜西渭南·九年級階段練習）若△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的面積比為25:36，則△ABC與△DEF的對應(yīng)邊的比是（

）A．5:6 B．6:5 C．25:36 D．36:25【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方先求出△ABC與△DEF的相似比即可．【詳解】解：∵△ABC∽△DEF且△ABC與△DEF的面積比為25:36∴它們的相似比為5：6．故選：A．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級期末）△ABC與△A'B'C'的位似比是1:2，已知A．3 B．6 C．9 D．12【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩個三角形的相似比，根據(jù)題意計算即可．【詳解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為1：2，∴△ABC與△A′B′C′的面積比為1：4，∵△ABC的面積是3，∴△A′B′C′的面積是12，故選：D．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·河北石家莊·九年級期末）把一個三角形的各邊長擴大為原來的3倍，則它的面積擴大為原來的__________倍．【答案】9【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得出即可．【詳解】解：∵把一個三角形的各邊長擴大為原來的3倍，∴面積擴大為原來的9倍，故答案為：9．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確運用相似三角形的性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的周長比等于相似比．【變式3-3】（2022·河南·鶴壁市淇濱中學九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點D是線段BC上一動點，連結(jié)AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE的最小面積等于______．【答案】96【分析】根據(jù)勾股定理得到AC＝4，當AD⊥BC時，△ADE的面積最小，根據(jù)三角形的面積公式得到AD＝AB?ACBC=3×45=【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，∵△ADE∽△ABC，∴ADAB=∴AE=4∴S△ADE∴當AD⊥BC時，△ADE的面積最小，∴此時有S△ABC∴AD＝AB?ACBC∴△ADE的最小面積=2故答案為9625【點睛】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂線段最短，三角形的面積公式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．【題型4利用相似三角形的性質(zhì)求周長】【例4】（2022·湖南株洲·九年級期末）有一個直角三角形的邊長分別為3，4，5，另一個與它相似的直角三角形的最小邊長為7，則另一個直角三角形的周長是（

）A．425 B．845 C．21【答案】D【分析】根據(jù)題意求出三角形的周長，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比列式計算即可．【詳解】解：設(shè)另一個直角三角形的周長為x，∵三角形的邊長分別為3，4，5，∴周長為：3＋4＋5＝12，∵兩個三角形相似，∴12x解得：x＝28，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·重慶實驗外國語學校八年級期末）如圖是一個邊長為1的正方形組成的網(wǎng)絡(luò)，△ABC與△A1B1C1都是格點三角形（頂點在網(wǎng)格交點處），并且△ABC∽△A1B1C1，則△ABC與△A1B1C1的周長之比是（

）A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AB=2,A∴△ABC與△A1B1C1的周長之比ABA故選C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·遼寧·阜新市第四中學九年級階段練習）已知△ABC∽△DEF，其中AB=12，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周長是______．【答案】27【分析】根據(jù)兩個三角形相似，相似三角形的周長比等于相似比，即可解出△DEF的周長．【詳解】∵△ABC∽△DEF∴相似三角形的周長比等于相似比∴C∴12+6+9∴C故答案為：274【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：相似三角形的周長比等于相似比．【變式4-3】（2022·遼寧鞍山·二模）已知△ABC∽△A'B'C'，且【答案】9【分析】利用相似三角形的周長的比等于相似比求解即可．【詳解】解：∵△ABC∽∴△ABC的周長：△A'B∵△ABC的周長是18cm，∴△A故答案為：9．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，用到的知識點為：相似三角形周長的比等于相似比．【題型5利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明角度相等】【例5】（2022·北京市第一五六中學九年級期中）如圖，已知AE平分∠BAC，ABAD(1)求證：∠E=∠C；(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的長．【答案】(1)見解析(2)BE=【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠BAE=∠DAC，結(jié)合已知條件得出△BAE∽△DAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；（2）根據(jù)△BAE∽△DAC列出比例式，代入數(shù)據(jù)計算即可求解．（1）證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠DAC，又ABAD∴△BAE∽△DAC，∴∠E=∠C；（2）∵△BAE∽△DAC，∴ABAD∵AB=9，∴9解得BE=27【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·上?！y試·編輯教研五八年級期末）如圖，在△ABC中，點D、點E分別在AC、AB上，點P是BD上的一點，聯(lián)結(jié)EP并延長交AC于點F，且∠A=∠EPB=∠ECB．(1)求證：BE?BA=BP?BD；(2)若∠ACB=90°，求證：CP⊥BD．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證明△PBE和△ABD相似，即可證明．（2）先證明△ABC∽△CBE，再證明△PBC∽△CBD，得到∠BPC=∠BCD=90°，即可證明．（1）證明：∵∠A=∠EPB，∠PBE=∠ABD，∴△PBE∽△ABD，∴BE∴BE?BA=BP?BD．（2）證明：∵∠A=∠ECB，∠ABC=∠CBE，∴△ABC∽△CBE，∴BC∴BE?BA=BC又∵BE?BA=BP?BD，∴BC∴BC∵∠PBC=∠CBD，∴△PBC∽△CBD，∵∠ACB=90°，∴∠BPC=∠BCD=90°，∴CP⊥BD．【點睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出相應(yīng)的比例式，再經(jīng)過適當?shù)淖冃问顾玫谋壤椒稀皟蛇叧杀壤見A角相等”的形式．【變式5-2】（2022·山東·東平縣江河國際實驗學校二模）如圖，點D，E分別在△ABC的邊BC，AC上，連接AD，DE．（1）若∠C=∠BAD，AB=5，求BD·BC的值；（2）若點E是AC的中點，AD=2AE，求證：∠1=∠C．【答案】（1）25；（2）見解析【分析】（1）由∠C=∠BAD、∠ABD=∠CBA可得出△ABD∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出ABBC（2）由點E是AC的中點、AD=2AE，可得出AD【詳解】解：（1）∵∠C=∠BAD，∠B=∠B,∴ΔABD∽ΔCBA∴ABBC∵AB=5∴BD?BC=A（2）∵點E是AC的中點，∴AC=2AE.∵AD=2AE.∴ADACAEAD∴ADAC又∠DAE=∠CAD(公共角).，∴△DAE∽△CAD，∴∠1=∠C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出等積式；（2）由邊與邊之間的關(guān)系找出兩邊對應(yīng)成比例，結(jié)合夾角相等證明三角形相似【變式5-3】（2022·湖北恩施·二模）如圖，在△ABC中，D、E、F分別是邊AC，AB，BC上的點，DE∥BC，DF∥AB．(1)求證：∠B=∠EDF．(2)若CF＝13BC，求S【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）證明四邊形BEDF為平行四邊形，從而得到∠B=∠EDF；（2）證明△DFC∽△AED，利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方求解．(1)證明：∵DE//BC，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴∠B=∠EDF．(2)解：∵CF=1∴BF=2∵四邊形BEDF是平行四邊形，∴ED=BF=2∵DE//BC，∴∠C=∠ADE，∠CDF=∠A，∴△DFC∽△AED，∴S△DFC【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是將相似三角形的面積之比轉(zhuǎn)化為相似比的平方．【題型6利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明對應(yīng)線段成比例】【例6】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，已知△ADE的頂點E在△ABC的邊BC上，DE與AB相交于點F，∠FEA=∠B，∠DAF=∠EAC．(1)若AF=BF=4，求AE；(2)求證：DFDE【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）根據(jù)∠FEA=∠B，∠BAE=∠EAF，證明ΔBAE∽ΔEAF（2）首先由∠DAF=∠CAE，得到∠DAE=∠CAF，然后進一步證明ΔDAE∽ΔCAB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例和對應(yīng)角相等得到DEBC=ADAC，∠D=∠C（1）解：∵∠FEA=∠B，∠BAE=∠EAF，∴△BAE∽∴AEAF∴AE∵AF=BF=4，∴AE∴AE=42（2）證明：∵∠DAF=∠CAE，∠FAE=∠FAE，∴∠DAE=∠CAF，∵∠FEA=∠B，∴△DAE∽∴DEBC=AD∵∠DAF=∠EAC，∴△DAF∽∴DFEC∴DEBC∴CEBC【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定方法．相似三角形性質(zhì)：相似三角形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等．相似三角形的判定方法：①兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；②兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似；③三組邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似．【變式6-1】（2022·江蘇·九年級專題練習）已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．如圖，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．（1）求證：OCPD（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長．【答案】（1）見解析；（2）10【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠APO=∠B=90°，根據(jù)相似三角形的判定定理證明ΔOCP∽ΔPDA，進而解答即可；（2）根據(jù)相似三角形的相似比得出PC=1【詳解】證明：（1）由折疊的性質(zhì)可知，∠APO=∠B=90°，∴∠APD+∠OPC=90°，又∠POC+∠OPC=90°，∴∠APD=∠POC，又∠D=∠C=90°，∴ΔOCP∽ΔPDA，∴OCPD（2）∵OP與PA的比為1：2，∴PC=1設(shè)AB=x，則DC=x，AP=x，DP=x?4，在Rt△APD中，AP2=A解得，x=10，即AB=10．【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊是一種軸對稱，折疊前后的圖形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等．【變式6-2】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在ΔABC中，AB=AC，D是邊BC的延長線上一點，E是邊AC上一點，且∠EBC=∠D．求證：CEAB【答案】見解析【分析】由AB=AC可知∠ABC=∠ACB，結(jié)合∠EBC=∠D，判定△BCD∽△DBA即可得證．【詳解】證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，即∠ABD=∠ECB，∵∠EBC=∠D，∴△BCD∽△DBA，∴CEAB【點睛】本題考查三角形的相似性質(zhì)和判定，等相關(guān)知識點，牢記知識點是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·湖南益陽·九年級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個動點（不與B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F，G．(1)求證：EGAD(2)FD與DG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由；【答案】(1)見解析(2)FD與DG垂直，證明見解析【分析】（1）由比例線段可知，我們需要證明△ADC～△EGC,由兩個角對應(yīng)相等即可證得．（1）由矩形的判定定理可知，四邊形AFEG為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定可得到△AFD～△CGD,從而不難得到結(jié)論．(1)在△ADC和△EGC中，∵∠ADC＝∠EGC，∠C＝∠C，∴△ADC∽△EGC．∴EGAD(2)FD與DG垂直．證明如下：

在四邊形AFEG中，∵∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°，∴四邊形AFEG為矩形．∴AF＝EG．∵EGAD∴AFAD=又∵△ABC為直角三角形，AD⊥BC，∴∠FAD＝∠C＝90°﹣∠DAC，∴△AFD∽△CGD．∴∠ADF＝∠CDG．∵∠CDG+∠ADG＝90°，∴∠ADF+∠ADG＝90°．即∠FDG＝90°．∴FD⊥DG．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，①如果兩個三角形的兩組對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似;②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似.【題型7尺規(guī)作圖作相似三角形】【例7】（2022·山東煙臺·八年級期末）尺規(guī)作圖：如圖，已知△ABC，且AB>AC．（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）(1)在AB邊上求作點D，使DB=DC；(2)在AC邊上求作點E，使△ADE∽△ACB．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意作出BC垂直平分線交AB于點D，即可求解；（2）作∠ADE=∠ACB即可求解．（1）如圖所示，作出BC垂直平分線交AB于點D，D點即為所求；（2）如圖所示，作∠ADE=∠ACB交AC于點E，點E即為所求．∵∠A=∠A,∠ACB=∠ADE，∴△ADE∽△ACB．【點睛】本題考查了作垂直平分線，作一個角等于已知角，掌握垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)以及基本作圖是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·山東濟寧·二模）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,BD平分∠ABC．(1)求作△CDE使點E在BC上，且△CDE∽△CBD；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，若BA=3,∠ABC=60°，求【答案】(1)見解析(2)CE的長為2【分析】（1）根據(jù)作一個角等于已知角進行作圖即可；（2）先求出∠C=30°，∠ABD=∠CBD=30°，再求出CD與BC的長，再由△CDE∽△CBD列出比例式CECD(1)作圖如下：(2)∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，∴∠C=30°，∵BD平分∠ABC．∴∠ABD=∠CBD=30°，∵在Rt△ABC中，BA=3，∠C∴AC=3∵在Rt△ABD中，BA=3，∠ABD∴AD=∴CD=2，∵△CDE∽△CBD，∴CECD∴CE2解得：CE=23【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定及直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)．【變式7-2】（2022·陜西寶雞·一模）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點D是AC邊上一定點．請用尺規(guī)作圖法在BC上求作一點P，使得△ABC∽△PCD．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】由△ABC∽△PCD和AB＝AC，可以推導(dǎo)出△PCD為等腰三角形，即可知點P在線段CD的中垂線上．【詳解】解：∵△ABC∽△PCD，∴ABPC∴△PCD是以P為頂點的等腰三角形，及P在線段CD的中垂線上，如圖，點P即為所求.【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用、尺規(guī)作圖，通過相似找到線段關(guān)系，準確畫出圖像是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·江蘇省錫山高級中學實驗學校模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)按要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：①過點D作AB的平行線交BC于點F；②P為AB邊上的一點，且△DAP∽△PBC，請找出所有滿足條件的點；(2)在（1）的條件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，則AP＝．【答案】(1)見解析；(2)3+3或【分析】（1）延長AD，作∠EDF=∠A，則此時DF∥AB；先作DC的垂直平分線，過點D作AB的垂線交AB于點M，以C為頂點，CD為角的一條邊，作∠DCO=ADM，交CD的垂直平分線于一點O，以O(shè)為圓心，以O(shè)C為半徑作圓，與AB的交點即為所求作的點P；（2）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊相等，列出關(guān)于AP的關(guān)系式，求解即可．(1)如圖所示：DF即為所求作的平行線；如圖所示，符合條件的點P共有兩個；(2)∵△DAP∽△PBC，∴ADPB設(shè)AP=x，則BP=6-x，∴26?x即x6?x?x解得：x1=3+3即AP=3+3或3?【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，三角形相似的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)作一個角等于已知角，線段的垂直平分線，是解決本題的關(guān)鍵．【題型8在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形】【例8】（2022·安徽合肥·二模）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A、B、C、D四點均在正方形網(wǎng)格的格點上，線段AB、CD相交于點O．(1)請在網(wǎng)格圖中畫出兩條線段（不添加另外的字母），構(gòu)成一對相似三角形，并用“∽”符號寫出這對相似三角形：(2)線段AO的長為______．【答案】(1)見解析，△AOC∽△BOD(2)3【分析】（1）如圖，連接BD，AC即可，可得△AOC∽△BOD．（2）利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．(1)如圖，連接AC，BD，由格點圖可得BD∥AC，∴△AOC∽△BOD，(2)∵△AOC∽△BOD，∴OAOB∵DB=12+12=2，AC=∴OAOB∴AO=3OB，∴AO=3故答案為：3【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計，三角形的三邊關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．【變式8-1】（2022·河南南陽·九年級期末）（1）如圖，△ABC的三個頂點都在方格紙的格點上．在方格紙內(nèi)畫△A'B'C（2）△A【答案】（1）答案見解析；（2）12【分析】（1）根據(jù)相似比為2:1先確定對應(yīng)點的位置，再連接即可得到答案；（2）先求出根據(jù)△ABC的面積，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到△A【詳解】（1）如圖，△A（2）由題意得，S∵△A'∴∴故答案為：12．【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理，涉及作圖，熟練掌握知識是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·浙江溫州·九年級專題練習）請在如圖所示的網(wǎng)格中，運用無刻度直尺作圖（保留作圖痕跡）(1)在圖1中畫出線段AB的中垂線(2)如圖2，在線段AB上找出點C，使AC:CB=1:2．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）取格點E，F(xiàn)，作直線EF即可；（2）將點A沿網(wǎng)格向下移動2個小格到點M，將點B沿網(wǎng)格向上移動4個小格到點N，連接MN交AB于點C，則點C即為所求．（1）如圖所示，利用網(wǎng)格線確定中點，然后使二者垂直即可；（2）將點A沿網(wǎng)格向下移動2個小格到點M，將點B沿網(wǎng)格向上移動4個小格到點N，連接MN交AB于點C，∴AM:BN=1:2，∵△ACM∽△BCN，∴AM∴點C即為所求，如圖所示：【點睛】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖，相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．【變式8-3】（2022·浙江溫州·九年級期中）如圖，在8×8的方格中，△ABC的三個頂點都在小方格的頂點上，按要求畫一個三角形，使它的頂點在方格的頂點上．(1)請在圖1中畫一個三角形，使它與△ABC相似，且相似比為2：1(2)請在圖2中畫一個三角形，使它與△ABC相似，且面積比為2：1【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）已知△ABC的三邊長分別為AB＝22+22=22，AC＝12+22=5，BC＝3，則△A1B（2）已知△ABC的三邊長分別為AB＝22+22=22，AC＝12+22=5，BC＝3，則△A2B2C（1）解：如圖1所示：△A1B1C1即為所求；（2）如圖2所示：△A2B2C2即為所求．【點睛】此題主要考查了相似變換，正確得出相似三角形的邊長是解題關(guān)鍵．【題型9新定義中的相似三角形】【例9】（2022·陜西渭南·九年級期末）四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線稱為這個四邊形的“理想對角線”．(1)如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC=70°，AB=AD，AD∥BC，當∠ADC=145°時．求證：對角線BD是四邊形ABCD的“理想對角線”；(2)如圖2，四邊形ABCD中，CA平分∠BCD，BC=3，CD=2，對角線AC是四邊形ABCD的“理想對角線”，求AC的長．【答案】(1)證明見解析；(2)6【分析】（1）利用兩角對應(yīng)相等證明△ABD∽△DBC，可得結(jié)論；（2）利用“理想對角線”的定義可得△ABC與△DAC相似，先找到對應(yīng)角（分兩種情況），再利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．（1）證明：如圖1中，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵AD∥BC，∠ABC=70°，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ABD=∠DBC=1∵AD∥BC，∠ADC=145°，∴∠C=180°?∠ADC=180°?145°=35°，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=∠C=35°，∴△ABD∽△DBC，∴對角線BD是四邊形ABCD的“理想對角線”．（2）解：如圖2中，∵CA平分∠BCD，∴∠BCA=∠ACD，∵對角線AC是四邊形ABCD的“理想對角線”，∴△ABC與△DAC相似，①若∠ABC=∠DAC，則△ABC∽△DAC，∴ACBC=DC∵BC=3，CD=2，∴AC解得：AC1=②若∠BAC=∠DAC，∵AC=AC，∠BCA=∠ACD，∴△ABC≌△DAC，與四邊形的“理想對角線”的定義矛盾，∴∠BAC與∠DAC不相等，即第二種情況不存在．綜上所述，AC的長為6．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的“理想對角線”的定義，等邊對等角，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵是靈活運用相似三角形的判定和性質(zhì)．【變式9-1】（2022·福建·廈門市第五中學八年級期中）定義：若一個三角形最長邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點F在邊AC上，D是邊BC上的一點，AB＝BD，點A，D關(guān)于直線l對稱，且直線l經(jīng)過點F．（1）如圖1，求作點F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長BC，AC，AB分別a，b，c，且滿足下列兩個條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之間的等量關(guān)系；②若AE是△ABD的中線．求證：△ACE是“和諧三角形”．【答案】（1）見解析（2）①a=b+1②見解析【分析】（1）作AD的垂直平分線，交AC于F點即可；（2）①根據(jù)題意得到a=2c，聯(lián)立a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1即可求解；②證明△ABE∽△CBA，得到AECA【詳解】（1）如圖，點F為所求；（2）①∵△ABC是“和諧三角形”∴a=2c又a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．聯(lián)立化簡得到a=b+1；②∵E點是BD中點∴BE=1由①得到AB=1∴AB又∠ABE=∠CBA∴△ABE∽△CBA∴AB故△ACE是“和諧三角形”．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知垂直平分線的做法．【變式9-2】（2022·江蘇常州·九年級期末）如果經(jīng)過一個三角形某個頂點的直線將這個三角形分成兩部分，其中一部分與原三角形相似，那么稱這條直線被原三角形截得的線段為這個三角形的“形似線段”．(1)在△ABC中，∠A=30．①如圖1，若∠B=100°，請過頂點C畫出△ABC的“形似線段”CM，并標注必要度數(shù)；②如圖2，若∠B=90°，BC=1，則△ABC的“形似線段”的長是．(2)如圖3，在DEF中，DE=4，EF=6，DF=8，若EG是DEF的“形似線段”，求EG的長．【答案】(1)①見解析；②32或(2)3【分析】（1）①使∠BCM=30°即可，②利用三角形相似求解，分論討論，當∠CBD=30°時，當∠CDB=60°時，結(jié)合勾股定理求解；（2）進行分類討論，若△DEG∽△DFE，若△FEG∽△FDE，結(jié)合DE=4，EF=6，DF=8進行求解．(1)①如圖所示，②分論討論如下：當∠CBD=30°時，如下圖：∴DC=1∵∠A=30°，∴∠C=60°，∴BD=B當∠CDB=60°時，如下圖：設(shè)BD=x，則DC=2x，(2x)2解得：x=3∴DC=2則△ABC的“形似線段”的長是32或2故答案為：32或2(2)解：①若△DEG∽△DFE，則EGEF∵DE=4，EF=6，DF=8，∴EG=3．②若△FEG∽△FDE，則EGDE∵DE=4，EF=6，DF=8，∴EG=3．綜上，EG=【點睛】本題考查了三角形相似的判定及性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定及性質(zhì)，及利用分論討論的思想進行求解．【變式9-3】（2022·安徽合肥·二模）定義：如果一個三角形中有一個角是另一個角的2倍，那么我們稱這樣的三角形為倍角三角形．根據(jù)上述定義可知倍角三角形中有一個角是另一個角的2倍，所以我們就可以通過作出其中的2倍角的角平分線，得出一對相似三角形，再利用我們學過的相似三角形的性質(zhì)解決相關(guān)問題．請通過這種方法解答下列問題：(1)如圖1，△ABC中，AD是角平分線，且AB2=BD?BC(2)如圖2，已知△ABC是倍角三角形，且∠A=2∠C，AB=8，BC=10，求AC的長；(3)如圖3，已知△ABC中，∠A=3∠C，AB=8，BC=10，求AC的長．【答案】(1)見解析(2)AC=4.5(3)AC=3【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定可證△ABD∽△CBA，進而由相似三角形的性質(zhì)可得∠BAD=∠C，角平分線的性質(zhì)可得∠BAC=2∠BAD，等量代換即可求證結(jié)論；（2）作△ABC的角平分線AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)易得∠BAC=2∠BAD=2∠CAD，進而可證△ABD∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AB2=BD?BC，進而可得BD、CD，由等角對等邊可得AD=CD=（3）過點A作∠BAC的三等分角，AD，AE，分別交BC于點D，E，根據(jù)三等分線的性質(zhì)可知：∠BAC=3∠BAD=3∠DAE=3∠CAE，進而可證△ABD～△CBA，由相似三角形的性質(zhì)可得：AB2=BD?BC，進而可得BD、CD，根據(jù)外角的性質(zhì)和等量代換可得∠BAE=∠BEA=2∠C,進而由等角對等邊可得BE=AB=8，進而可得△ADE∽△CDA，由相似三角形的性質(zhì)可得：A(1)∵AB∴ABBC∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴∠BAD=∠C，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAC=2∠BAD，∴∠BAC=2∠C，∴△ABC是倍角三角形：(2)如圖2，作△ABC的角平分線AD，則∠BAC=2∠BAD=2∠CAD，∵∠BAC=2∠C，∴∠BAD=∠C，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴AB∴BD=6.4，∴CD=BC?BD=10?6.4=3.6，∵∠CAD=∠C，∴AD=CD=3.6，∵ADAC∴3.6AC∴AC=4.5(3)如圖3，過點A作∠BAC的三等分角，AD，AE分別交BC于點D，E，則∠BAC=3∠BAD=3∠DAE=3∠CAE，∵∠BAC=3∠C，∴∠BAD=∠C，∵∠B=∠B，∴△ABD～△CBA，∴AB∴BD=6.4，∴CD=BC?BD=10?6.4=3.6，∵∠BAE=∠BEA=2∠C，∴BE=AB=8，∴CE=2，DE=1.6，∵∠CAE=∠C，∴AE=CE=2，∵∠DAE=∠C，∠ADC=∠EDA，∴△ADE∽∴AD∴AD=2.4，∵AEAC∴2AC∴AC=3.【點睛】本題考查相似三角形的判定及其性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等角對等邊等知識，正確做輔助線構(gòu)造相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法及其性質(zhì)．【題型10相似與函數(shù)綜合探究】【例10】（2022·遼寧大連·九年級期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．點D是線段AC上的一點，點E在射線CB上且∠CDE＝∠B．(1)求BC的長；(2)若AD＝x，△CDE的面積與△ABC重合部分的面積是y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍．【答案】(1)6(2)y=?【分析】（1）根據(jù)勾股定理可以直接求得BC的長；（2）當點E在線段BC上時，△CDE的面積與△ABC重合部分的面積是△CDE的面積，根據(jù)△ABC∽△EDC得到CE即可求出△CDE的面積，當點E在CB的延長線上時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出高OF關(guān)于x的表達式，即可求得S△ADO，從而得到y(tǒng)=S(1)解：∵∠C＝90°∴BC∴BC=A(2)解：當點E在線段BC上時，S∵∠C＝90°，∠CDE＝∠B，∴∠DEC=∴△ABC∽△EDC,∴DCBC∵AC=8,BC=6,DC=8?x∴CE=8∴S∴S△DCE如下圖所示，當E點于B點重合，即BC=CE=6時，即43得x=7∴當72≤x≤8時，當0≤x<72時，點E在設(shè)AB交DE于點O，過點O作OF⊥AC，∵∠DFO=∠C=90°，∴△FDO∽△CBA，∵∠DFO=∠C=90°，∴△AFO∽△ACB，∴FOAC=設(shè)OF=?，∵AF∴?86h=8n即3h=4n6x+6n=8h解方程組得：?=12∴S△ADOy=S∴y=?67【點睛】本題考查直角三角形、相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例建立等式，得到相應(yīng)邊長關(guān)于x的表達式，從而求得三角形的面積，最終得到函數(shù)的解析式．【變式10-1】（2022·全國·九年級）如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分別為垂足．(1)已知：∠APC＝90°，求證：△ABP∽△PDC．(2)已知：AB＝2，CD＝3，BD＝7，點P是線段BD上的一動點，若使點P分別與A、B和C、D構(gòu)成的兩個三角形相似，求線段PB的值．(3)已知：AB＝2，CD＝3，點P是直線BD上的一動點，設(shè)PB＝x，BD＝y(tǒng)，使點P分別與A、B和C、D構(gòu)成的兩個三角形