北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊2.10二次函數(shù)解析式的確定【六大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題2.10二次函數(shù)解析式的確定【六大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用一般式確定二次函數(shù)解析式】 1【題型2利用頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式】 2【題型3利用兩根式確定二次函數(shù)解析式】 3【題型4利用平移變換確定二次函數(shù)解析式】 4【題型5利用對稱變換確定二次函數(shù)解析式】 6【題型6二次函數(shù)解析式的確定（條件開放性）】 7【知識(shí)點(diǎn)1】當(dāng)題目給出函數(shù)圖像上的三個(gè)點(diǎn)時(shí)，設(shè)為一般式（，，為常數(shù)，），轉(zhuǎn)化成一個(gè)三元一次方程組，以求得a，b，c的值.【題型1利用一般式確定二次函數(shù)解析式】【例1】（2022秋?閩侯縣期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中的x，y滿足下表：x…﹣1012345…y…3.51﹣0.5﹣1﹣0.513.5…（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）利用上表，在平面直角坐標(biāo)系畫出這條拋物線；（3）直接寫出，當(dāng)x取什么值時(shí)，y＞0？【變式1-1】（2022秋?淮安區(qū)期末）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．【變式1-2】（2022秋?大連期末）二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過（2，0），（4，2）兩點(diǎn)．求這個(gè)二次函數(shù)的解析式并寫出圖象的對稱軸和頂點(diǎn)．【變式1-3】（2022秋?上城區(qū)期中）已知二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c，過（1，﹣32），在x＝﹣2時(shí)取到最大值，且二次函數(shù)的圖象與直線y2＝x+1交于點(diǎn)P（m，0）．（1）求m的值；（2）求這個(gè)二次函數(shù)解析式；（3）求y1大于y2時(shí)，x的取值范圍．【知識(shí)點(diǎn)2】若已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸、最值，則設(shè)為頂點(diǎn)式．這頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對稱軸直線x=h，最值為當(dāng)x=h時(shí)，y最值=k來求出相應(yīng)的系數(shù).【題型2利用頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式】【例2】（2022秋?長汀縣校級月考）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣1．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）求該圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）觀察圖象，當(dāng)y＞0時(shí)，求自變量x的取值范圍．【變式2-1】（2022秋?西城區(qū)校級期中）拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，9），與x軸兩交點(diǎn)間的距離是6．求拋物線解析式．【變式2-2】（2022秋?涼州區(qū)校級月考）已知某二次函數(shù)的圖象如圖所示．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，當(dāng)﹣2＜x≤1時(shí)，y的取值范圍為.（直接寫出答案）【變式2-3】（2022秋?漢濱區(qū)校級月考）已知拋物線頂點(diǎn)為C（1，4），交x軸于點(diǎn)A（3，0），交y軸于點(diǎn)B．（1）求拋物線的解析式．（2）求△ABC的面積．【知識(shí)點(diǎn)3】已知圖像與x軸交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題目條件求出a的值．【題型3利用兩根式確定二次函數(shù)解析式】【例3】（2022?包頭）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，﹣3），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．【變式3-1】（2022秋?溫州校級月考）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．（1）求此二次函數(shù)的解析式．（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)及△ABD的面積．【變式3-2】（2022春?岳麓區(qū)校級期末）已知二次函數(shù)如圖所示，M為拋物線的頂點(diǎn)，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)M的坐標(biāo)．（2）求直線CM的解析式．【變式3-3】（2022秋?廬陽區(qū)校級期中）二次函數(shù)圖象經(jīng)過（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三點(diǎn)，求此函數(shù)的解析式．【知識(shí)點(diǎn)4】將一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過上下左右的平移得到一個(gè)新的拋物線．要借此類題目，應(yīng)先將已知函數(shù)的解析是寫成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x–h)2+k，當(dāng)圖像向左（右）平移n個(gè)單位時(shí)，就在x–h上加上（減去）n；當(dāng)圖像向上（下）平移m個(gè)單位時(shí)，就在k上加上（減去）m．其平移的規(guī)律是：h值正、負(fù)，右、左移；k值正負(fù)，上下移．由于經(jīng)過平移的圖像形狀、大小和開口方向都沒有改變，所以a得值不變．【題型4利用平移變換確定二次函數(shù)解析式】【例4】（2022秋?宜春期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線N過A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三點(diǎn)（1）求該拋物線和直線AB的解析式；（2）平移拋物線N，求同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的平移后的拋物線解析式：①平移后拋物線的頂點(diǎn)在直線AB上；②設(shè)平移后拋物線與y軸交于點(diǎn)C，如果S△ABC＝3S△ABO．【變式4-1】（（2022秋?河?xùn)|區(qū)校級期中）已知拋物線y＝﹣2x2+4x+3．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸；（2）當(dāng)x＝時(shí)，y隨x的增大而減小；（3）若將拋物線進(jìn)行平移，使它經(jīng)過原點(diǎn)，并且在x軸上截取的線段長為4，求平移后的拋物線解析式．【變式4-2】（2022秋?長葛市校級月考）已知直線y＝x+1與x軸交于點(diǎn)A，拋物線y＝﹣2x2的頂點(diǎn)平移后與點(diǎn)A重合．（1）求平移后的拋物線C的解析式；（2）若點(diǎn)B（x1，y1），C（x2，y2）在拋物線C上，且?12＜x1＜x2，試比較y1，【變式4-3】（2022秋?蕭山區(qū)月考）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），且過點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）請寫出兩種一次平移的方法，使平移后拋物線的頂點(diǎn)落在直線y＝﹣2x上，并寫出平移后相應(yīng)的拋物線解析式．【知識(shí)點(diǎn)5】根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此|a|永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式．【題型5利用對稱變換確定二次函數(shù)解析式】【例5】（2022?蓮湖區(qū)二模）已知拋物線W1：y＝ax2﹣bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線W1的表達(dá)式；（2）將拋物線W1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線W2，W2的頂點(diǎn)為D'，點(diǎn)M為W2上的一點(diǎn)，當(dāng)△D'DM的面積等于△ABC的面積時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【變式5-1】（2022秋?淮南月考）已知拋物線y＝x2+2x﹣1，求與這條拋物線關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的拋物線的解析式．【變式5-2】（2022秋?南京期末）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示：（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）觀察圖象，當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，y的取值范圍為；（3）將該二次函數(shù)圖象沿x軸翻折后得到新圖象，新圖象的函數(shù)表達(dá)式為．專題2.10二次函數(shù)解析式的確定【六大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用一般式確定二次函數(shù)解析式】 1【題型2利用頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式】 4【題型3利用兩根式確定二次函數(shù)解析式】 8【題型4利用平移變換確定二次函數(shù)解析式】 10【題型5利用對稱變換確定二次函數(shù)解析式】 14【題型6二次函數(shù)解析式的確定（條件開放性）】 18【知識(shí)點(diǎn)1】當(dāng)題目給出函數(shù)圖像上的三個(gè)點(diǎn)時(shí)，設(shè)為一般式（，，為常數(shù)，），轉(zhuǎn)化成一個(gè)三元一次方程組，以求得a，b，c的值.【題型1利用一般式確定二次函數(shù)解析式】【例1】（2022秋?閩侯縣期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中的x，y滿足下表：x…﹣1012345…y…3.51﹣0.5﹣1﹣0.513.5…（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）利用上表，在平面直角坐標(biāo)系畫出這條拋物線；（3）直接寫出，當(dāng)x取什么值時(shí)，y＞0？【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．（2）描點(diǎn)、連線畫出圖象即可；（3）令y＝0，解方程求得拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)圖象即可求得．【解答】解：（1）由已知可得，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣1），（0，1），（4，1）則4a+2b+c=?1c=1解得：a=1∴二次函數(shù)解析式為y=12x2﹣2（2）用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，如圖所示：（3）令y＝0，則12x2﹣2x解得：x1＝2?2，x2＝2+由圖象知，當(dāng)x＞2+2或x＜2?2時(shí)，【變式1-1】（2022秋?淮安區(qū)期末）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．【分析】先設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（﹣1，10）、（1，4）、（0，3）代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，解即可求a、b、c，進(jìn)而可得函數(shù)解析式．【解答】解：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），根據(jù)題意，得a?b+c=10a+b+c=4解得a=4b=?3∴所求二次函數(shù)解析式為y＝4x2﹣3x+3．【變式1-2】（2022秋?大連期末）二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過（2，0），（4，2）兩點(diǎn)．求這個(gè)二次函數(shù)的解析式并寫出圖象的對稱軸和頂點(diǎn)．【分析】把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中，可得二元一次方程組4+2b+c=0①16+4b+c=2②，解二元一次方程組可得b=?5c=6，即可求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)對稱軸的公式x=?b2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)公式(?b2a，【解答】解：把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中，得4+2b+c=0①16+4b+c=2②②﹣①，得2b＝﹣10，解得：b＝﹣5，把b＝5代入①中，得4+2×（﹣5）+c＝0，解得：c＝6，∴b=?5c=6∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣5x+6，∴二次函數(shù)y＝x2﹣5x+6對稱軸是直線x=?b由二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式（?b2a，二次函數(shù)y＝x2﹣5x+6頂點(diǎn)坐標(biāo)：x=?b2a=5即（52【變式1-3】（2022秋?上城區(qū)期中）已知二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c，過（1，﹣32），在x＝﹣2時(shí)取到最大值，且二次函數(shù)的圖象與直線y2＝x+1交于點(diǎn)P（m，0）．（1）求m的值；（2）求這個(gè)二次函數(shù)解析式；（3）求y1大于y2時(shí)，x的取值范圍．【分析】（1）將（m，0）代入直線解析式求解．（2）根據(jù)拋物線對稱軸為直線x＝﹣2可得a與b的關(guān)系，再將（﹣1，0），（1，﹣32）代入拋物線解析式求解．（3）聯(lián)立兩方程，根據(jù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)求解．【解答】解：（1）將（m，0）代入y2＝x+1得0＝m+1，解得m＝﹣1．（2）由題意可得拋物線對稱軸為直線x=?b∴b＝4a，y＝ax2+4ax+c，把（1，﹣32），（﹣1，0）代入y＝ax2+4ax+c得?32=a解得a=?4∴y＝﹣4x2﹣16x﹣12．（3）令﹣4x2﹣16x﹣12＝x+1，解得x＝﹣1或x=?13∴拋物線與直線交點(diǎn)橫縱標(biāo)為﹣1和?13如圖，∴?134＜x＜﹣1時(shí)，y1【知識(shí)點(diǎn)2】若已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸、最值，則設(shè)為頂點(diǎn)式．這頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對稱軸直線x=h，最值為當(dāng)x=h時(shí)，y最值=k來求出相應(yīng)的系數(shù).【題型2利用頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式】【例2】（2022秋?長汀縣校級月考）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣1．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）求該圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）觀察圖象，當(dāng)y＞0時(shí)，求自變量x的取值范圍．【分析】（1）由對稱軸為直線x＝﹣1，可設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）2+k，再通過待定系數(shù)法求解．（2）由拋物線頂點(diǎn)式求解．（3）根據(jù)拋物線的對稱性求出拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）2+k，將（﹣3，0），（0，3）代入y＝a（x+1）2+k得0=4a+k3=a+k解得a=?1k=4∴y＝﹣（x+1）2+4．（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）．（3）∵拋物線經(jīng)過（﹣3，0），對稱軸為直線x＝﹣1，∴拋物線經(jīng)過（1，0），∴﹣3＜x＜1時(shí)，y＞0．【變式2-1】（2022秋?西城區(qū)校級期中）拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，9），與x軸兩交點(diǎn)間的距離是6．求拋物線解析式．【分析】由題意設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）2+9，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（﹣4，0）或（2，0），利用待定系數(shù)法即可解決問題．【解答】解：由拋物線頂點(diǎn)知，拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，又與x軸交點(diǎn)間的距離為6，∴交點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣4與2，∴兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（2，0），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）2+9，把點(diǎn)（2，0）代入0＝9a+9，解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+1）2+9．【變式2-2】（2022秋?涼州區(qū)校級月考）已知某二次函數(shù)的圖象如圖所示．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，當(dāng)﹣2＜x≤1時(shí)，y的取值范圍為﹣4≤y≤0.（直接寫出答案）【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)y＝a（x+1）2﹣4，直接把點(diǎn)（1，0）代入即可得到二次函數(shù)的解析式；（2）把x＝﹣2和x＝1分別代入解析式，再根據(jù)頂點(diǎn)可得y的取值范圍．【解答】解：（1）∵頂點(diǎn)為（﹣1，﹣4），∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入可得0＝a（1+1）2﹣4，解得a＝1，∴y＝（x+1）2﹣4；（2）當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣3，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，∵y的最小值是﹣4，∴y的取值范圍是﹣4≤y≤0．故答案為：﹣4≤y≤0．【變式2-3】（2022秋?漢濱區(qū)校級月考）已知拋物線頂點(diǎn)為C（1，4），交x軸于點(diǎn)A（3，0），交y軸于點(diǎn)B．（1）求拋物線的解析式．（2）求△ABC的面積．【分析】（1）已知了頂點(diǎn)C坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式的二次函數(shù)通式設(shè)出這個(gè)二次函數(shù)，然后根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)可求出二次函數(shù)的解析式；（2）先根據(jù)（1）中求出的二次函數(shù)的解析式，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可用待定系數(shù)法用B、A的坐標(biāo)求出AB所在直線的解析式，求出對稱軸與直線AB的交點(diǎn)D的坐標(biāo)，求三角形CAB的面積轉(zhuǎn)化為三角形BCD和三角形ACD面積之和即可．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+4，把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1，所以y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，則y＝3，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b中，得3k+b=0b=3解得：k=?1b=3∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3，設(shè)對稱軸直線x＝1與直線AB相交與點(diǎn)D，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，∴D點(diǎn)坐標(biāo)（1，2），所以CD＝4﹣2＝2，S△CAB＝S△BCD+S△ACD=1∴△ABC的面積為3．【知識(shí)點(diǎn)3】已知圖像與x軸交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題目條件求出a的值．【題型3利用兩根式確定二次函數(shù)解析式】【例3】（2022?包頭）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，﹣3），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．【分析】設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將（0，﹣3）代入解析式求解．【解答】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）得﹣3a＝﹣3，解得a＝1．∴拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3．【變式3-1】（2022秋?溫州校級月考）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．（1）求此二次函數(shù)的解析式．（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)及△ABD的面積．【分析】（1）先設(shè)函數(shù)的交點(diǎn)式，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B代入函數(shù)解析式得到二次函數(shù)的一般式；（2）將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求得△ABD的面積．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，∴此二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4），∴點(diǎn)D到AB的距離為4，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∴S△ABD=1【變式3-2】（2022春?岳麓區(qū)校級期末）已知二次函數(shù)如圖所示，M為拋物線的頂點(diǎn)，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)M的坐標(biāo)．（2）求直線CM的解析式．【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式．【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），將C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)M（2，﹣1），（2）設(shè)直線CM的解析式為y＝kx+b，將C（0，3）、M（2，﹣1）代入得：b=32k+b=?1∴k=?2b=3∴y＝﹣2x+3．【變式3-3】（2022秋?廬陽區(qū)校級期中）二次函數(shù)圖象經(jīng)過（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三點(diǎn)，求此函數(shù)的解析式．【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)（﹣1，0），（3，0）可設(shè)解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將點(diǎn)（1，﹣8）代入求得a即可．【解答】解：根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將點(diǎn)（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，解得：a＝2，∴該二次函數(shù)解析式為y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6．25．二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣5x+6，對稱軸是直線x=52，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（【知識(shí)點(diǎn)4】將一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過上下左右的平移得到一個(gè)新的拋物線．要借此類題目，應(yīng)先將已知函數(shù)的解析是寫成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x–h)2+k，當(dāng)圖像向左（右）平移n個(gè)單位時(shí)，就在x–h上加上（減去）n；當(dāng)圖像向上（下）平移m個(gè)單位時(shí)，就在k上加上（減去）m．其平移的規(guī)律是：h值正、負(fù)，右、左移；k值正負(fù)，上下移．由于經(jīng)過平移的圖像形狀、大小和開口方向都沒有改變，所以a得值不變．【題型4利用平移變換確定二次函數(shù)解析式】【例4】（2022秋?宜春期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線N過A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三點(diǎn)（1）求該拋物線和直線AB的解析式；（2）平移拋物線N，求同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的平移后的拋物線解析式：①平移后拋物線的頂點(diǎn)在直線AB上；②設(shè)平移后拋物線與y軸交于點(diǎn)C，如果S△ABC＝3S△ABO．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線M和直線AB的解析式；（2）先求出直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），設(shè)平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t+4），則平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣t）2+t+4，接著表示出N（0，t2+t+4），利用三角形面積公式得到12?|t2+t+4﹣4|?（4+1）＝4×【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）代入得a?b+c=316a+4b+c=8c=0，解得∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x；設(shè)直線AB的解析式為y＝mx+n，把A（﹣1，3），B（4，8）代入得?m+n=34m+n=8，解得m＝1，n∴直線AB的解析式為y＝x+4；（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x+4＝4，則直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），設(shè)平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t+4），則平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣t）2+t+4，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝（0﹣t）2+t+4＝t2+t+4，則C（0，t2+t+4），∵S△ABC＝3S△ABO，∴12?|t2+t+4﹣4|?（4+1）＝3×即|t2+t|＝12，方程t2+t＝﹣12沒有實(shí)數(shù)解，解方程t2+t＝12得t1＝﹣4，t2＝3，∴平移后的拋物線解析式為y＝（x+4）2或y＝（x﹣3）2+7．【變式4-1】（（2022秋?河?xùn)|區(qū)校級期中）已知拋物線y＝﹣2x2+4x+3．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸；（2）當(dāng)x＝＞1時(shí)，y隨x的增大而減??；（3）若將拋物線進(jìn)行平移，使它經(jīng)過原點(diǎn)，并且在x軸上截取的線段長為4，求平移后的拋物線解析式．【分析】（1）先把解析式配成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）先設(shè)平移后的拋物線解析式為y＝﹣2x2+bx，再根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題求出平移后的拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）、（b2，0），利用兩交點(diǎn)間的距離可計(jì)算出b【解答】解：（1）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5），對稱軸為直線x＝1；（2）當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減??；故答案為＞1；（3）因?yàn)槠揭坪蟮膾佄锞€過原點(diǎn)，所以設(shè)平移后的拋物線解析式為y＝﹣2x2+bx，解方程﹣2x2+bx＝0得x1＝0，x2=所以平移后的拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）、（b2所以|b2|＝4，解得b所以平移后的拋物線解析式為y＝﹣2x2+8x或y＝﹣2x2﹣8x．【變式4-2】（2022秋?長葛市校級月考）已知直線y＝x+1與x軸交于點(diǎn)A，拋物線y＝﹣2x2的頂點(diǎn)平移后與點(diǎn)A重合．（1）求平移后的拋物線C的解析式；（2）若點(diǎn)B（x1，y1），C（x2，y2）在拋物線C上，且?12＜x1＜x2，試比較y1，【分析】（1）求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的規(guī)律即可求得；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）∵直線y＝x+1與x軸交于點(diǎn)A，∴A（﹣1，0），∵拋物線y＝﹣2x2的頂點(diǎn)平移后與點(diǎn)A重合，∴平移后的拋物線C的解析式是y＝﹣2（x+1）2；（2）拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，拋物線開口向下，故當(dāng)?12＜x1＜x2，y1＞【變式4-3】（2022秋?蕭山區(qū)月考）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），且過點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）請寫出兩種一次平移的方法，使平移后拋物線的頂點(diǎn)落在直線y＝﹣2x上，并寫出平移后相應(yīng)的拋物線解析式．【分析】（1）利用交點(diǎn)式得出y＝a（x﹣1）（x﹣3），進(jìn)而得出a的值，再利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，把y＝1代入y＝﹣2x得出y=?1【解答】解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），可設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，1）；（2）平移方法有：①向下平移5個(gè)單位，得到：y＝﹣x2+4x﹣8，把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，∵頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，1）；∴向下平移5個(gè)單位，拋物線的頂點(diǎn)為（2，﹣4）；②向左平移2.5個(gè)單位，得到：y＝﹣（x+0.5）2+1，把y＝1代入y＝﹣2x得出y=?1∴向左平移2.5個(gè)單位，拋物線的頂點(diǎn)為（?1【知識(shí)點(diǎn)5】根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此|a|永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式．【題型5利用對稱變換確定二次函數(shù)解析式】【例5】（2022?蓮湖區(qū)二模）已知拋物線W1：y＝ax2﹣bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線W1的表達(dá)式；（2）將拋物線W1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線W2，W2的頂點(diǎn)為D'，點(diǎn)M為W2上的一點(diǎn)，當(dāng)△D'DM的面積等于△ABC的面積時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解得即可；（2）由題意求得拋物線W2的頂點(diǎn)坐標(biāo)和解析式，在坐標(biāo)系中畫出拋物線W2的圖象，利用待定系數(shù)法求得直線DD′的解析式，過點(diǎn)M作MN∥x軸，交DD′于N，利用S△DD′M＝S△MND′+S△MND，用m的代數(shù)式表示出S△DD′M，利用已知條件列出m的方程，解方程即可求得結(jié)論．【解答】解：（1）∵拋物線W1：y＝ax2﹣bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，∴a+b?3=09a?3b?3=0解得：a=1b=2∴拋物線W1的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），∵將拋物線W1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線W2，W2的頂點(diǎn)為D'，∴D′（﹣1，4），∴拋物線W2的解析式為y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．如圖，在坐標(biāo)系中畫出拋物線W2的圖象，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB＝4，∴S△ABC=1過點(diǎn)M作MN∥x軸，交DD′于N，∵D（1，﹣4），D′（﹣1，4），∴直線DD′為y＝﹣4x，設(shè)點(diǎn)M（m，﹣m2﹣2m+3），則N（m2+2m?34，﹣m2∴MN=m2+2m?3∴S△DD′M=12×m2?2m?3∵△D'DM的面積等于△ABC的面積，∴m2﹣2m﹣3＝6．解得：m＝1±10．當(dāng)m＝1+10時(shí)，﹣m2﹣2m+3＝﹣410當(dāng)m＝1?10時(shí)，﹣m2﹣2m+3＝410∴M（1+10，﹣410?10）或（1?10【變式5-1】（2022秋?淮南月考）已知拋物線y＝x2+2x﹣1，求與這條拋物線關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的拋物線的解析式．【分析】求出頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對稱的坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式解析式寫出，再整理成一般形式即可．【解答】解：拋物線y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2．所以其頂點(diǎn)（﹣1，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），所以，拋物線為y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x﹣+2，即y＝﹣x2+2x﹣+2．【變式5-2】（2022秋?南京期末）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示：（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）觀察圖象，當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，y的取值范圍為﹣4≤y＜0；（3）將該二次函數(shù)圖象沿x軸翻折后得到新圖象，新圖象的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x+1）2+4．【分析】（1）設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x+1）2﹣4，然后把（1，0）代入得求出a即可；（2）計(jì)算自變量為﹣3、0對應(yīng)的函數(shù)值，然后利用函數(shù)圖象寫出對應(yīng)的函數(shù)值的范圍；（3）利用關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，所以拋物線的解析式為y＝（x+1）2﹣4；（2）當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝（﹣3+1）2﹣4＝0；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3；所以當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，y的取值范圍為﹣4≤y＜0，故答案為﹣4≤y＜0；（3）∵函數(shù)y＝（x+1）2﹣4圖象的頂點(diǎn)為（﹣1，﹣4），a＝1∴該函數(shù)的圖象沿x軸翻折后得到的函數(shù)圖象頂點(diǎn)為（﹣1，4），a＝﹣1∴翻折后得到的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x+1）2+4，故答案為y＝﹣（