高一下學期《復數(shù)》期末復習綜合練習

高一下學期《復數(shù)》期末復習綜合練習知識點回顧復數(shù)的基本概念1、虛數(shù)單位數(shù)叫倣虛數(shù)單位，它的平方等于，即．知?點詮釋：（1）是的一個平方根，即方程的一個根，方程的另一個根是；（2）可與實數(shù)進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立．2、復數(shù)的摡念形如的數(shù)叫復數(shù)，記作：；其中：叫復數(shù)的實部，叫復數(shù)的虛部，是虛數(shù)單位．全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，用字母表示．知識點詮釋：復數(shù)定義中，容易忽視，但卻是列方程求復數(shù)的重要依據．3、復數(shù)的分類對于復數(shù)若，則為實數(shù)，若，則為虛數(shù)，若且，則為純虛數(shù)．分類如下：（）用集合表示如下圖：4、復數(shù)集與其它數(shù)集之間的關系（其中為自然數(shù)集，為整數(shù)集，為有理數(shù)集，為實數(shù)集，C為復數(shù)集．）復數(shù)的幾何意義1、復平面、實軸、虛軸：如圖所示，復數(shù)可用點表示，這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，也叫高斯平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸知識點詮釋：實軸上的點都表示實數(shù)．除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)．2、復數(shù)集與復平面內點的對應關系按照復數(shù)的幾何表示法，每一個復數(shù)有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數(shù)和它對應．復數(shù)集C和復平面內所有的點所成的集合是一一對應關系，即復數(shù)復平面內的點這是復數(shù)的一種幾何意義．3、復數(shù)集與復平面中的向量的對應關系在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數(shù)對來表示，而有序實數(shù)對與復數(shù)是一一對應的，所以，我們還可以用向量來表示復數(shù)．設復平面內的點表示復數(shù)，向量由點唯一確定；反過來，點也可以由向量唯一確定．復數(shù)集和復平面內的向量所成的集合是一一對應的，即復數(shù)平面向量這是復數(shù)的另一種幾何意義．4、復數(shù)的模設，則向量的長度叫做復數(shù)的模，記作．知識點詮釋：①兩個復數(shù)不全是實數(shù)時不能比較大小，但它們的?？梢员容^大?。趶推矫鎯龋硎緝蓚€共軛復數(shù)的點關于x軸對稱，并且他們的模相等．考點探究復數(shù)的概念例1、若復數(shù)滿足，則（

）A．B．是純虛數(shù)C．復數(shù)在復平面內對應的點在第二象限D．若復數(shù)在復平面內對應的點在角的終邊上，則【答案】D【解析】由題設，且對應點在第一象限，A、C錯誤；不是純虛數(shù)，B錯誤；由在復平面內對應的點為，所以，D正確.故選：D例2、已知下列三個命題：①若復數(shù)z1，z2的模相等，則z1，z2是共軛復數(shù)；②z1，z2都是復數(shù)，若z1+z2是虛數(shù)，則z1不是z2的共軛復數(shù)；③復數(shù)z是實數(shù)的充要條件是z.則其中正確命題的個數(shù)為A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】運用復數(shù)的模、共軛復數(shù)、虛數(shù)等知識對命題進行判斷.對于①中復數(shù)和的模相等,例如,,則和是共軛復數(shù)是錯誤的;對于②和都是復數(shù),若是虛數(shù),則其實部互為相反數(shù),則不是的共軛復數(shù),所以②是正確的;對于③復數(shù)是實數(shù),令,則所以,反之當時,亦有復數(shù)是實數(shù),故復數(shù)是實數(shù)的充要條件是是正確的.綜上正確命題的個數(shù)是個.故選復數(shù)的四則運算例（1）化簡；（2）已知復數(shù)的，求.【解析】（1）;（2）由已知得，∴.復數(shù)的幾何意義例1、已知復數(shù)z在復平面內所對應的點的坐標為，則為．【答案】1【解析】由已知得該復數(shù)，則，故答案為：1.復數(shù)方程例1、若關于x的方程無實根，則實數(shù)p的取值范圍是．【答案】【解析】若方程無實根，即：無實根，假定方程有實數(shù)根，而為實數(shù)，則，且，解得或，因此原方程無實數(shù)根時，且，故實數(shù)p的取值范圍是.故答案為：例2、設關于x的實系數(shù)方程的兩個虛根為、，則．【答案】【解析】由題可知，，設，a，b∈R，則，則．故答案為：復數(shù)最值問題例1．已知復數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【解析】設復數(shù)在復平面內對應的點為，因為復數(shù)滿足，所以由復數(shù)的幾何意義可知，點到點和的距離相等，所以在復平面內點的軌跡為，又表示點到點的距離，所以問題轉化為上的動點到定點距離的最小值，當為時，到定點的距離最小，最小值為1，所以的最小值為1，故選：A．例2、已知復數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由可設：，，（其中），當時，即時，.故選：C.專題練習一、單選題1．在復數(shù)范圍內方程的兩個根分別為，，則（

）A．1 B． C． D．2．在復平面內，復數(shù)對應的點關于直線對稱，若，則（

）A． B．5 C． D．13．如圖，復數(shù)對應的向量為，且，則向量在向量上的投影向量的坐標為（

）A． B． C． D．4．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足．則取最大值時，在復平面上以對應的點，為頂點的三角形的形狀是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形5．已知都是復數(shù)，其共軛復數(shù)分別為，則下列說法錯誤的是（

）A． B．C．若，則 D．6．復數(shù)是虛數(shù)單位在復平面內對應點為，設是以軸的非負半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角，則，把叫做復數(shù)的三角形式，利用復數(shù)的三角形式可以進行復數(shù)的指數(shù)運算，，例如：，，復數(shù)滿足：，則可能取值為（

）A． B．C． D．7．已知設，則，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．68．已知復數(shù)，則（

）A．2022 B．2023 C． D．9．已知復數(shù)，和滿足，若，則的最大值為（

）A． B．3 C． D．10．已知復數(shù)滿足，且有，求（

）A． B． C． D．都不對二、多選題11．已知復數(shù)，下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則12．已知復數(shù)的共軛復數(shù)為，下列說法正確的是（

）A．可能為虛數(shù)B．為實數(shù)C．D．若為一元二次方程的一個復數(shù)根，則13．下列說法正確的是（

）A．復數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部為B．已知復數(shù)，若，則C．若，則的最小值為1D．已知復數(shù)，復數(shù)的虛部不為0，則14．下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．已知，是關于的方程的一個根，則D．若復數(shù)滿足，則的最大值為15．設復數(shù)在復平面內對應的點為，原點為，為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若點的坐標為，且是關于的方程（，）的一個根，則C．若復數(shù)，則復數(shù)在復平面內對應的點位于第一象限D．若復數(shù)滿足，則的最小值為三、填空題16．已知虛數(shù)，其實部為1，且，則實數(shù)為．17．已知復數(shù)（i是虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)是．18．已知，是方程的兩根，則，.19．設為復數(shù)，若，則的最大值為.20．已知三個復數(shù)，，，且，，，所對應的向量，滿足；則的最大值為.四、解答題21．已知復數(shù)，，．(1)若為實數(shù)，求的值；(2)設復數(shù)在復平面內對應的向量分別是，若，求的值．22．已知復數(shù)為虛數(shù)單位，其中是實數(shù).(1)若是實數(shù)，求的值；(2)若復數(shù)在復平面內對應的點在第二象限，求的取值范圍.23．設復數(shù)．(1)在復平面內，復數(shù)對應的點在第二象限，求a的取值范圍；(2)若是純虛數(shù)，求.24．已知復數(shù)，，其中．(1)求的值；(2)求的最大值并說明取得最大值時的取值集合．25．設復數(shù)，．(1)若是實數(shù)，求；(2)若復數(shù)在復平面上對應的點在第二象限，求實數(shù)的取值范圍；(3)若復數(shù)滿足，求的最小值．26．已知復數(shù)，，（，是虛數(shù)單位）．(1)若在復平面內對應的點落在第一象限，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是實系數(shù)一元二次方程的根，求實數(shù)的值；(3)若，且是實數(shù)，求實數(shù)的值．27．已知復數(shù)的實部與虛部的和為．(1)若，且，求復數(shù)的虛部；(2)當取得最小值時，且在第四象限，求的取值范圍．28．歐拉公式：（為虛數(shù)單位，），是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的．它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到了復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關系，它被譽為“數(shù)學中的天橋”．(1)根據歐拉公式計算；(2)設函數(shù)，求函數(shù)在上的值域．29．任意一個復數(shù)z的代數(shù)形式都可寫成復數(shù)三角形式，即，其中i為虛數(shù)單位，，.棣莫弗定理由法國數(shù)學家棣莫弗（1667～1754）創(chuàng)立.設兩個復數(shù)用三角函數(shù)形式表示為：，，則：.如果令，則能導出復數(shù)乘方公式：.請用以上知識解決以下問題.(1)試將寫成三角形式；(2)試應用復數(shù)乘方公式推導三倍角公式：；；(3)計算：的值.30．現(xiàn)定義“維形態(tài)復數(shù)”：，其中為虛數(shù)單位，，.(1)當時，證明：“2維形態(tài)復數(shù)”與“1維形態(tài)復數(shù)”之間存在平方關系；(2)若“2維形態(tài)復數(shù)”與“3維形態(tài)復數(shù)”相等，求的值；(3)若正整數(shù)，，滿足，，證明：存在有理數(shù)，使得.參考答案1．D【分析】先求出兩復數(shù)根，再根據復數(shù)的加法運算及復數(shù)的模的公式即可得解.【詳解】根據題意可得，，即，當，時，，，當，時，，，綜上，.故選：D.2．C【分析】由關于直線對稱求出，再根據復數(shù)模的定義計算即可．【詳解】因為，所以其對應點為，關于直線對稱的點為，則，所以，故選：C．3．D【分析】首先根據復數(shù)的幾何意義設出復數(shù)，再根據復數(shù)模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解.【詳解】由題圖可知，，則，解得（舍去），所以，，則向量在向量上的投影向量為，所以其坐標為．故選：D4．D【分析】假設，根據模長公式構造關于的函數(shù)，從而可確定當取最大值時，的取值，從而求得；利用兩點間距離公式表示出所構成三角形的三邊長，從而可確定三角形形狀.【詳解】因為，所以可設，所以，所以，當時，取最大值，即當，即時，取最大值，此時，所以對應的點，所以，，，所以，根據各邊關系易知各邊對應角為銳角，所以該圖形為等腰三角形.故選：D.5．C【分析】設，利用復數(shù)的運算及共軛復數(shù)的概念判斷AD，根據復數(shù)乘積運算及模的運算判斷B，舉反例判斷C.【詳解】對于A，設，則，而，故，故A正確；對于B，，則，又，所以，故B正確；對于C，令，則，所以，但是，故C錯誤；對于D，，又，所以，故D正確.故選：C6．D【分析】根據復數(shù)的三角形及運算，利用復數(shù)相等可得，即可得解.【詳解】設，則，所以，，即，所以故時，，故可取，故選：D7．A【分析】先求得復數(shù)實部與虛部的關系，再去求的最小值即可解決.【詳解】由，可得，可令，則（為銳角，且）由，可得則的最小值為3.故選：A8．B【分析】根據題意結合復數(shù)運算可得的方程的根為，進而整理可得，取即可得結果.【詳解】設，則，由題意可得：可得關于的方程的根為，故，整理得，即，令，可得，且2022為偶數(shù)，所以.故選：B.9．B【分析】先利用復數(shù)的模與加減法的幾何意義，及三角形兩邊之和大于第三邊得到，再將時各復數(shù)的取值取出，即可得到的最大值.【詳解】根據題意，得，當，，時，，此時，所以.故選：B.10．A【解析】根據題意可設（為虛數(shù)單位）；然后再利用棣莫佛公式，可得，再根據復數(shù)的概念，可得，利用三角函數(shù)同角關系，即可求出的值，進而求出結果.【詳解】因為，設（為虛數(shù)單位）；由棣莫佛公式，可得，所以所以，即因為，所以；化簡可得，即所以，所以；所以.故選：A.11．BC【分析】舉例說明判斷AD；利用復數(shù)運算及共軛復數(shù)、復數(shù)模的意義計算判斷BC.【詳解】對于A，取，，而，A錯誤；對于B，設，，由，得，，B正確；對于C，由及已知得，設，，解得，則，C正確；對于D，取，，而，D錯誤.故選：BC12．BD【分析】設，，利用復數(shù)的乘法、平方、模長可判斷、、，運用韋達定理判斷.【詳解】設，則，，因為，所以，即，故A錯誤；，故B正確；，，當時，，故C錯誤；若為一元二次方程的一個復數(shù)根，則為一元二次方程的另一個復數(shù)根，所以，，，故D正確.故選：BD.13．ACD【分析】由已知結合復數(shù)的四則運算及復數(shù)得幾何意義檢驗各選項即可判斷.【詳解】對于A，的虛部為，則A正確；對于B，令，，滿足，故B錯誤，對于C，設，則，且，由，得，所以，故C正確；對于D，，則D正確故選：ACD14．ACD【分析】A.直接求模判斷；B.直接利用復數(shù)乘法運算求解；C.代入，利用復數(shù)相等列式計算；D.設，求出的關系并利用基本不等式求的最大值，然后代入計算即可.【詳解】對于A：若，則，A正確；對于B：若，則，B錯誤；對于C：由已知，所以，所以，即，C正確；對于D：設，則，所以，所以，且，即，當且僅當時等號成立，所以，D正確.故選：ACD.15．ABD【分析】對于A：設，根據復數(shù)的運算和模長可得，即可得結果；對于B：可知，結合復數(shù)的運算可得，即可得結果；對于C：根據復數(shù)的除法結合復數(shù)的幾何意義分析判斷；對于D：根據復數(shù)的幾何意義分析可知數(shù)對應的點是以點為圓心，1為半徑的圓，結合圓的性質分析求解.【詳解】對于A，設（，），可得，則，化簡得，所以，故A正確；對于B，若點的坐標為，可知，則，整理得，可得，解得，所以，故B正確；對于C中：因為，所以，所以復數(shù)在復平面內對應的點的坐標為，在第四象限，故C不正確；對于D中：根據復數(shù)模的幾何意義可知，表示復數(shù)與復數(shù)對應兩點間的距離為1，所以復數(shù)對應的點是以點為圓心，1為半徑的圓，又因為表示圓上的點到原點的距離，所以的最小值為，故D正確；故選：ABD.16．2【分析】設，直接根據復數(shù)的除法運算，再根據復數(shù)分類即可得到答案.【詳解】設，且.則，，，解得，故答案為：2.17．【分析】根據題意，利用復數(shù)的運算法則，求得，結合共軛復數(shù)的概念，即可求解.【詳解】因為，所以且，所以，則其共軛復數(shù)為．故答案為：.18．【分析】首先求出方程的兩根，，再根據復數(shù)代數(shù)形式的乘方及復數(shù)的模計算可得.【詳解】因為，是方程的兩根，又，即或，不妨令，所以；又，所以.故答案為：；19．【分析】設，利用模的公式求出關系，利用關系消元求解的最大值.【詳解】設，則，又，所以，所以，即所以，所以.故答案為：.20．【分析】依題意設，，，即可表示出，再由復數(shù)的模、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質計算可得.【詳解】設復數(shù)，，在復平面內對應的點分別為，，，因為且，所對應的向量，滿足，即，不妨令，，則，，又，設，即則，所以，所以當時取得最大值，即.故答案為：21．(1)(2)【分析】（1）利用復數(shù)的乘法結合復數(shù)的有關概念求解；（2）利用復數(shù)的幾何意義和平面向量的數(shù)量積運算求解.【詳解】（1）解：因為，，所以，且為實數(shù)，所以，即，又因為，所以，所以，則.（2）由題意可得，，，因為，所以，即，化簡可得，所以，又因為，則，所以.22．(1)(2)【分析】（1）由復數(shù)的除法和乘法運算結合復數(shù)的意義計算即可；（2）由共軛復數(shù)的定義和復數(shù)的運算結合復數(shù)的幾何意義計算即可；【詳解】（1），因為是實數(shù)，則.（2），因為復數(shù)在復平面內對應的點在第二象限，則，故a的取值范圍為.23．(1)；(2).【分析】（1）求出復數(shù)及所對應的點，再列出不等式求解即得.（2）利用復數(shù)除法運算求出復數(shù)，再由純虛數(shù)的意義求出，進而求出模.【詳解】（1）由，得，由復數(shù)對應的點在第二象限，得，解得，所以a的取值范圍是.（2）依題意，是純虛數(shù)，因此，解得，則所以.24．(1)3(2)；【分析】（1）根據共軛復數(shù)概念以及復數(shù)乘法規(guī)則運算即可.（2）根據復數(shù)的模長和復數(shù)的乘法運算結合降冪公式即可求解.【詳解】（1）由題；，所以.（2）由題得，又，所以當即時，取得最大值為，故最大值為，此時的取值構成的集合為.25．(1)；(2)；(3)4.【分析】（1）由復數(shù)加法及結果特征求出，再利用復數(shù)乘法計算得解.（2）由復數(shù)乘方求出，再由對應點的特征列出不等式組，求解即得.（3）利用給定等式的幾何意義，結合圓上的點與定點距離最值問題求解即得.【詳解】（1）復數(shù)，，則，由是實數(shù)，得，解得，，因此.（2），依題意，在第二象限，于是，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（3）顯然是復平面內表示復數(shù)的點與表示復數(shù)的點的距離為1，因此點在以點為圓心，1為半徑的圓上，而是點到原點的距離，而，即原點在上述的圓外，則，所以的最小值是4.26．(1)(2)(3)【分析】（1）根據復數(shù)的減法運算和幾何意義建立關于a的不等式組，解之即可求解；（2）將代入方程，根據相等復數(shù)的條件建立關于a的方程組，解之即可求解；（3）由共軛復數(shù)的概念與運算求出a，結合復數(shù)的有關概念即可求解.【詳解】（1）∵，則在復平面對應的點坐標為，在復平面對應的點落在第一象限，∴，解得．（2）∵是方程的根，則，即，所以，解得．（3）因為，則．于是，代入，得，即是實數(shù)，，解得．27．(1)(2)【分析】（1）化簡復數(shù)，得到，根據，求得，得到，求得，即可求解；（2）由（1）知，函數(shù)，得到，化簡得到，結合在第四象限，列出不等式組，即可求解.【詳解