2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假提升學(xué)與練（人教版）第09講 三角形的中位線（原卷版）

第09講三角形的中位線連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線（任意一個(gè)三角形都有三條中位線）．三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.已知D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，求證：DE∥BC且DE＝QUOTEBC.證明：（方法1）如圖（1）所示，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接CF.∵∠AED＝∠CEF，AE＝CE，∴△ADE≌△CFE，∴∠ADE＝∠F，AD＝CF.∴AD∥CF.∵D為AB的中點(diǎn)，∴BD∥CF.∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴DF∥BC.∵DE＝QUOTEDF，∴DE∥BC且DE＝QUOTEBC.（1）（2）（方法2）如圖（2）所示，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接CF，CD和AF.∵AE＝EC，DE＝EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∴CF∥AD.∵D是AB的中點(diǎn)，∴CF∥BD.∴四邊形DBCF是平行四邊形，∴DF∥BC.∵DE＝QUOTEDF，∴DE∥BC且DE＝QUOTEBC.三角形的中位線：（1）三角形有三條中位線，每一條中位線與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．三角形的中位線定義為證明兩條直線平行、兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系提供了一個(gè)重要依據(jù)．（2）三角形的中位線與中線的區(qū)別：三角形的中位線是連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段，三角形的中線是連接三角形頂點(diǎn)與其對(duì)邊中點(diǎn)的線段．（3）當(dāng)遇到中點(diǎn)時(shí)，可考慮構(gòu)造三角形的中位線來(lái)解決問(wèn)題，這種思路方法就是我們常說(shuō)的“遇到中點(diǎn)想中位線”；相應(yīng)地，知道三角形的中位線也就等于知道了三角形兩邊的中點(diǎn)．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、利用三角形的中位線求線段長(zhǎng)度【例1】如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為(

)

A．2 B．4 C．6 D．8【變式1】如圖，為了測(cè)量一塊不規(guī)則綠地，兩點(diǎn)間的距離，可以在綠地的一側(cè)選定一點(diǎn)，然后測(cè)量出，的中點(diǎn)，，如果測(cè)量出，兩點(diǎn)間的距離是，那么綠地、兩點(diǎn)間的距離是（

）

A． B． C． D．考點(diǎn)二、利用三角形的中位線求角【例2】如圖，四邊形中，，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，若，，則．【變式2】如圖，在四邊形中，P是對(duì)角線的中點(diǎn)，E、F分別是、的中點(diǎn)，，，則的度數(shù)是.

考點(diǎn)三、利用三角形的中位線求周長(zhǎng)【例3】如圖，已知的周長(zhǎng)是2，以它的三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成第2個(gè)三角形，再以第2個(gè)三角形的三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成第3個(gè)三角形，……，則第個(gè)三角形的周長(zhǎng)為

【變式3】如圖，在中，，，，點(diǎn)，，分別是的三邊，，的中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（

）

A．12 B．11 C．10 D．9考點(diǎn)四、利用三角形的中位線求面積【例4】如圖所示，在中，是邊上任一點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，連接，若的面積為6，則的面積為（

）A．32 B．48 C．64 D．72【變式4】如圖，在中，分別是的中點(diǎn)，則的面積是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五、三角形的中位線有關(guān)計(jì)算與證明【例5】如圖，中，中線相交于O．F、G分別為的中點(diǎn)．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若的面積為12，求四邊形的面積．【變式5】如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使，連接CD，EF，DE．(1)求證：DE＝CF；(2)求EF的長(zhǎng)．考點(diǎn)六、利用三角形的中位線判斷線段關(guān)系【例6】如圖，于點(diǎn)于點(diǎn)，連接分別為的中點(diǎn)，連接．

(1)求證：．(2)猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【變式6】如圖，的中線、相交于點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，線段與之間有什么關(guān)系？為什么？

過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．中，D、E分別是的中點(diǎn)，，，，則（）

A． B． C． D．不確定2．如圖，蹺蹺板的支柱經(jīng)過(guò)它的中點(diǎn)O，且垂直于地面于點(diǎn)C，，當(dāng)它的一端A著地時(shí)，另一端B離地面的高度為（

）

A．0.6m B．1m C．1.1m D．1.2m3．如圖，任意四邊形各邊中點(diǎn)分別是E、F、G、H．若對(duì)角線、的長(zhǎng)分別是、，則四邊形的周長(zhǎng)是（）

A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm4．如圖，在平行四邊形中，，E為上一動(dòng)點(diǎn)，M，N分別為，的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）

A．4 B．3 C．2 D．不確定5．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)F在上，且，連接，E為的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題6．如圖，在四邊形中，，，E，F(xiàn)，M分別為邊，和對(duì)角線的中點(diǎn)．連接，，則．7．如圖，在中，點(diǎn)M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是AM，AN的中點(diǎn)，連接MN，PQ，若BC的長(zhǎng)為12，則PQ的長(zhǎng)為．8．如圖，四邊形中，，，為的平分線，，，，分別是，的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．

9．如圖，，是四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，順次連接，，，，若，則四邊形的周長(zhǎng)是．10．如圖，在中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，連接，則的最小值為．

三、解答題11．如圖所示，在四邊形中，，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)．求證：是等腰三角形．

12．已知：在中，D，E，F(xiàn)分別是邊的中點(diǎn)．求證：四邊形的周長(zhǎng)等于．13．如圖，在平行四邊形中，兩條