專題13 圖案設(shè)計（解析版）

數(shù)學(xué)八年級下暑假預(yù)習(xí)專題訓(xùn)練專題十三圖案設(shè)計（解析版）【專題導(dǎo)航】目錄【考點一利用平移設(shè)計圖案】......................................1【考點二利用軸對稱設(shè)計圖案】....................................5【考點三利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案】.....................................10【考點四幾何圖形變換的綜合題】.................................14【聚焦考點1】利用平移設(shè)計圖案確定一個基本圖案按照一定的方向平移一定的距離，連續(xù)作圖即可設(shè)計出美麗的圖案．通過改變平移的方向和距離可使圖案變得豐富多彩。平移變換：在平移變換下，對應(yīng)線段平行且相等．兩對應(yīng)點連線段與給定的有向線段平行（共線）且相等【典例剖析1】【典例1-1】“方勝”是中國古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個全等正方形相疊組成，寓意是同心、吉祥．如圖，將邊長為2cm的正方形ABCD沿對角線BD方向平移1cm得到正方形，形成一個”方勝”圖案，則點D、B′之間的距離為（）A．1cm B．2cm C． D．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理求出BD，根據(jù)平移的概念求出BB′，計算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD為邊長為2cm的正方形，∴BD＝＝2（cm），由平移的性質(zhì)可知，BB′＝1cm，∴B′D＝（2﹣1）cm，故選：D．【點評】本題考查的是平移的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，根據(jù)平移的概念求出BB′是解題的關(guān)鍵．【典例1-2】把18個邊長都為1的等邊三角形如圖拼接成平行四邊形，且其中6個涂上了陰影現(xiàn)在，可以旋轉(zhuǎn)、翻折或平移某一個陰影等邊三角形到某一個空白的等邊三角形處，使新構(gòu)成的陰影部分圖案是軸對稱圖形，共可得________種軸對稱圖形．【答案】【詳解】解：∵把六個等邊三角形分別經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、翻折或平移可以得到的軸對稱圖形有：∴共可得到種軸對稱圖形故答案是：【點評】例題3考查了軸對稱圖形的定義，判斷一個圖形是否是軸對稱圖形就看能否找到對稱軸．把六個等邊三角形分別經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、翻折或平移，根據(jù)軸對稱圖形的定義進行判斷即可得解．針對訓(xùn)練1【變式1-1】下列圖形中，不能通過其中一個四邊形平移得到的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，不改變圖形的形狀和大小，經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，找各點位置關(guān)系不變的圖形．【解答】解：A、能通過其中一個四邊形平移得到，故不符合題意；B、不能通過其中一個四邊形平移得到，需要一個四邊形旋轉(zhuǎn)得到，故符合題意；C、能通過其中一個四邊形平移得到，故不符合題意；D、能通過其中一個四邊形平移得到，故不符合題意．故選：B．【點評】本題考查的是利用平移設(shè)計圖案，熟知圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小是解答此題的關(guān)鍵．【變式1-2】如圖，請畫出一個圖形經(jīng)過兩次軸對稱變換之后得到的圖形，其中圖①中的兩條對稱軸是平行的，圖②中的兩條對稱軸是垂直的．仔細(xì)觀察上面的兩個圖形經(jīng)過兩次軸對稱變換之后得到的圖形．圖①中的圖形除經(jīng)過兩次軸對稱變換得到之外，還可以通過我們學(xué)過的________變換得到，圖②中的圖形還可以通過________變換得到．【答案】

平移

旋轉(zhuǎn)【詳解】如圖：，圖①中的圖形除經(jīng)過兩次軸對稱變換得到之外，還可以通過我們學(xué)過的平移變換得到，圖②中的圖形還可以通過旋轉(zhuǎn)變換得到，故答案為平移，旋轉(zhuǎn)．【能力提升1】【提升1-1】在如圖的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，△ABC的三個頂點都在格點上（每個小方格的頂點叫格點）．（1）畫出△ABC向下平移3個單位后的△A1B1C1；（2）畫出△ABC關(guān)于點O的中心對稱圖形△A2C2C2；（3）連接C1C2請直接寫出C1C2的長為．?【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可；（2）根據(jù)中心對稱圖形的定義可進行求解；（3）根據(jù)勾股定理即可求得答案．【解答】解：（1）所作圖如下所示；（2）所作△A2B2C2如圖所示；（3）C1C2的＝＝．故答案為：．【點評】本題考查作圖﹣平移變換，勾股定理，熟練掌握平移性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【提升1-2】如圖，△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A（1，3），B（2，1），C（4，4）．?（1）將△ABC向左平移5個單位得到△A1B1C1，寫出△A1B1C1三個頂點的坐標(biāo)；（2）將△ABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2（A，B，C的對應(yīng)點分別為A2，B2，C2）【分析】（1）直接利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進而得出答案；【解答】解：（1）A1（﹣4，3），B1（﹣3，1），C1（﹣1，4）；（2）如圖，△A2B2C2即為所求．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換以及勾股定理，掌握對應(yīng)點位置是關(guān)鍵．【聚焦考點2】利用軸對稱設(shè)計圖案軸對稱變換：在軸對稱變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線（段）或者平行，或者交于對稱軸，且這兩條直線的夾角被對稱軸平分．利用軸對稱設(shè)計圖案關(guān)鍵是要熟悉軸對稱的性質(zhì)，利用軸對稱的作圖方法來作圖，通過變換對稱軸來得到不同的圖案【典例剖析2】【典例2-1】認(rèn)真觀察圖（1）﹣（4）中的四個圖案，回答下列問題：（1）請寫出這四個圖案都具有的兩個共同特征：特征1：；特征2：（2）請你在圖5中設(shè)計出你心中最美的圖案，使它也具備你所寫出的上述特征．【答案】（1）都是軸對稱圖形；都是中心對稱圖形（2）解：如圖所示，【解析】【解答】解：（1）特征1：都是軸對稱圖形；特征2：都是中心對稱圖形．故答案為：都是軸對稱圖形；都是中心對稱圖形；【點評】（1）利用沿某條直線折疊后直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形．繞一個點旋轉(zhuǎn)180度后所得的圖形與原圖形完全重合的圖形叫做中心對稱圖形，進而得出即可；（2）根據(jù)題意畫出圖形即可．【典例2-2】如圖，在等邊三角形網(wǎng)格中，已有兩個小等邊三角形被涂黑，若再將圖中其余小等邊三角形涂黑一個，使涂色部分構(gòu)成一個軸對稱圖形，則有_______種不同的涂法．【答案】3【詳解】如圖所示：當(dāng)將1，2，3涂成黑色可以構(gòu)成一個軸對稱圖形，故有種不同3的涂法．故答案為：3．針對訓(xùn)練2【變式2-1】（2022·山西·九年級專題練習(xí)）閱讀理解，并解答問題：觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1是一塊正方形瓷磚，分析發(fā)現(xiàn)這塊瓷磚上的圖案是按圖2所示的過程設(shè)計的，其中虛線所在的直線是正方形的對稱軸．問題解決：用四塊如圖1所示的正方形瓷磚按下列要求拼成一個新的大正方形，并在圖3和圖4中各畫一種拼法．(1)圖3中所畫拼圖拼成的圖案是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；(2)圖4中所畫拼圖拼成的圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．【答案】（1）解：（1）參考圖案，如圖所示：（2）參考圖案，如圖所示：【變式2-2】如圖，它是由哪個基本圖形經(jīng)過怎樣的變化得到的？【答案】見解析【解析】是由基本圖形向右平移，再向下平移，再向左平移，然后再由基本圖形利用軸對稱結(jié)合平移，得出．【能力提升2】【提升2-1】在圖示的四個汽車標(biāo)志圖案中，能用平移變換來分析其形成過程的圖案是（?）A． B． C． D．.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平移的概念：在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移，即可選出答案．【詳解】解：A.可以通過軸對稱變換得到；B.不能通過平移變換得到；C.可以通過旋轉(zhuǎn)得到；D.可以通過平移變換得到，故選D.【點評】本題主要考查了圖形的平移，在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一的方向移動，學(xué)生混淆圖形的平移與旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)，而誤選．【提升2-1】如圖①，把∠α=60°的一個單獨的菱形稱作一個基本圖形，將此基本圖形不斷的復(fù)制并平移，使得下一個菱形的一個頂點與前一個菱形的中心重合，這樣得到圖②，圖③，…（1）觀察圖形并完成表格：圖形名稱基本圖形的個數(shù)菱形的個數(shù)圖①11圖②23圖③37圖④4________………猜想：在圖n中，菱形的個數(shù)為________

[用含有n（n≥3）的代數(shù)式表示]；（2）如圖，將圖n放在直角坐標(biāo)系中，設(shè)其中第一個基本圖形的中心O1的坐標(biāo)為（x1，1），則x1=________；第2017個基本圖形的中心O2017的坐標(biāo)為________【答案】（1）11；4n﹣5（2）3；（20173，1）【分析】（1）由題意可知，圖③中菱形的個數(shù)7=3+4×（3﹣2），圖④中，菱形的個數(shù)為3+4×（4﹣2）=11，∵當(dāng)n≥3時，每多一個基本圖形就會多出4個菱形，∴圖（n）中，菱形的個數(shù)為3+4（n﹣2）=4n﹣5，故答案為：11，4n﹣5；⑵過點O1作O1A⊥y軸，O1B⊥x軸，則OA=1，由菱形的性質(zhì)知∠BAO1=30°，∴AO1=BO1tan30°=1即x1=3，中心O2的坐標(biāo)為（23，1）、O3的坐標(biāo)為（33，1）…，O2017的坐標(biāo)為（20173，1），故答案為：3，（20173，1）．【點評】（1）由題意可知，圖③中菱形的個數(shù)7=3+4×（3﹣2），圖④中，菱形的個數(shù)為3+4×（4﹣2）=11，當(dāng)n≥3時，每多一個基本圖形就會多出4個菱形，得到規(guī)律，菱形的個數(shù)為3+4（n﹣2）=4n﹣5；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出O1的坐標(biāo)，依次得到O2、O3……的坐標(biāo)，得出結(jié)論.【聚焦考點3】旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換：在旋轉(zhuǎn)變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角（4）位似變換：在位似變換下，一對位似對應(yīng)點與位似中心共線；一條線上的點變到一條線上，且保持順序，即共線點變?yōu)楣簿€點，共點線變?yōu)楣颤c線；對應(yīng)線段的比等于位似比的絕對值，對應(yīng)圖形面積的比等于位似比的平方；不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行，即一直線變?yōu)榕c它平行的直線；任何兩條直線的平行、相交位置關(guān)系保持不變；圓變?yōu)閳A，且兩圓心為對應(yīng)點；兩對應(yīng)圓相切時切點為位似中心?！镜淅饰?】【典例3-1】如果，那么_______．【答案】.【詳解】解：由題意可知，先旋轉(zhuǎn)了，上半部分再作軸對稱變換，可得圖形：【點評】掌握圖形的旋轉(zhuǎn)、軸對稱變換是解題的關(guān)鍵。【典例3-2】如圖所示，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，請你認(rèn)真觀察圖（1）中的三個網(wǎng)格中陰影部分構(gòu)成的圖案，解答下列問題：（1）這三個圖案都具有以下共同特征：都是________對稱圖形，都不是________對稱圖形．（2）請在圖（2）中設(shè)計出一個面積為4，且具備上述特征的圖案，要求所畫圖案不能與圖（1）中所給出的圖案相同．【完整解答】（1）中心；軸（2）解：如圖所示：【點評】（1）觀察三個圖形，利用中心對稱和軸對稱的性質(zhì)即可解答（2）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)設(shè)計圖案即可．【典例3-3】如圖,在4×4的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的頂點稱為格點,左上角陰影部分是一個以格點為頂點的正方形（簡稱格點正方形）.若再作一個格點正方形,并涂上陰影,使這兩個格點正方形無重疊,且組成的圖形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,則這個格點正方形的作法共有（

）A.

2種

B.

3種

C.

4種

D.

5種【答案】C【解析】解：如圖所示：組成的圖形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，則這個格點正方形的作法共有4種．故答案為：C．針對訓(xùn)練3【變式3-1】如圖，先將該圖沿著它自己的右邊緣翻折，再繞著右下角的一個端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，之后所得到的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】先將圖沿著它自己的右邊緣翻折，得到，再繞著右下角的一個端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，之后所得到的圖形為．故選：A在下列四種圖形變換中，如圖圖案包含的變換是（

）A．平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱 B．軸對稱和平移C．平移和旋轉(zhuǎn) D．旋轉(zhuǎn)和軸對稱【答案】D【詳解】解：圖形的形狀沿中間的豎線折疊，兩部分可重合，得軸對稱．里外各一個順時針旋轉(zhuǎn)8次，得旋轉(zhuǎn)．故選：D．【能力提升3】【提升3-1】綜合實踐活動課上，小紅準(zhǔn)備用兩種不同顏色的布料縫制一個正方形座墊，座墊的圖案如右圖所示，應(yīng)該選下圖中的哪一塊布料才能使其與右圖拼接符合原來的圖案模式().A． B． C． D．【答案】C【詳解】圖形是由小三角形順時針旋轉(zhuǎn)90°形成的．故選C．【提升3-2】某居民小區(qū)搞綠化，小區(qū)的居民們把一塊矩形垃圾場地清理干凈后，準(zhǔn)備建幾個花壇，老張說：花壇應(yīng)該有圓有方；老李說：花壇和整個矩形空地應(yīng)該成中心對稱圖案，這樣比較漂亮．你能設(shè)計一個讓大家都滿意的方案嗎？試試看（將你設(shè)計的方案畫在下面的矩形方框中）．【完整解答】解：如圖所示：【點評】根據(jù)題目要求畫出圖形，注意花壇和整個矩形空地應(yīng)該成中心對稱圖案．【提升3-3】圖1、圖2是兩張形狀和大小完全相同的方格紙，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，線段AB的兩個端點均在小正方形的頂點上．（1）在圖1中畫出一個以AB為一邊面積為5的等腰RtABC，且點C在小正方形頂點上；（2）在圖2中畫出一個以AB為一邊面積為4的平行四邊形ABDE，且點D和點E均在小正方形的頂點上；并直接寫出所畫四邊形周長.【完整解答】（1）解：如圖1所示：三角形ABC即為所求，；（2）解：如圖2所示：四邊形ABDE即為所求．四邊形ABDE的周長為：2(10【點評】（1）利用方格紙的特點，根據(jù)勾股定理算出AB=10，畫出一個以AB為一邊面積為5的等腰RtABC，可以以AB為等腰直角三角形的腰，然后以點A為旋轉(zhuǎn)中心將AB逆時針旋轉(zhuǎn)90°即可得出點C的位置，連接AC,BC△ABC就是所求的三角形；（2）根據(jù)割補法，面積為4的平行四邊形的面積等于面積是是8的矩形的面積減去兩個面積是12，兩個面積是3【聚焦考點4】【典例剖析4】【典例4-1】如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于，AE=BE，D是AE上的一點，且DE=CE，連接BD、AC．（1）試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若將△DCE繞點E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，仍然有DE⊥EC，DE=CE，試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由；（3）如圖3，若將(2)中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變：

①試猜想BD與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②你能求出BD與AC所成的角的度數(shù)嗎？如果能，請直接寫出該角的度數(shù)；如果不能，請說明理由．【詳解】解：（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由是：延長BD交AC于F，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△BED和△AEC中，∴△BED≌△AEC，∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∵∠BED＝90°，∴∠EBD＋∠BDE＝90°，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF＋∠CAE＝90°，∴∠AFD＝180°?90°＝90°，∴BD⊥AC；（2）不發(fā)生變化，理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA＋∠AED＝∠DEC＋∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，∴△BED≌△AEC，∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE＋∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE＋∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°?90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）能，理由是：∵△ABE和△DEC是等邊三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA＋∠AED＝∠DEC＋∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，∴△BED≌△AEC，∴∠BDE＝∠ACE，∴∠DFC＝180°?（∠BDE＋∠EDC＋∠DCF）＝180°?（∠ACE＋∠EDC＋∠DCF）＝180°?（60°＋60°）＝60°，即BD與AC所成的角的度數(shù)為60°．【典例4-2】已知：如圖①所示，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點．（1）求證：①BE＝CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在圖①的基礎(chǔ)上，將△ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請你在圖②中延長ED交線段BC于點P．求證：△PBD∽△AMN．【詳解】（1）證明：①∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE＝CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，∵M、N分別是BE，CD的中點，∴BM＝CN，在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN．∴AM＝AN，即△AMN為等腰三角形．（2）解：（1）中的兩個結(jié)論仍然成立．理由：①∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD，∴BE＝CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，∵M、N分別是BE，CD的中點，∴BM＝CN，在△ABM和△ACN中，，∴△ABM≌△ACN．∴AM＝AN，即△AMN為等腰三角形．（3）證明：由（1）同理可證△ABM≌△ACN，∴∠CAN＝∠BAM，∴∠BAC＝∠MAN．又∵∠BAC＝∠DAE，∴∠MAN＝∠DAE＝∠BAC．∴△AMN，△ADE和△ABC都是頂角相等的等腰三角形．∵∠PBD＝∠ABC，∠PDB＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠ABC，∴△PBD和△AMN都為頂角相等的等腰三角形，∴∠PBD＝∠AMN，∠PDB＝∠ANM，∴△PBD∽△AMN．針對訓(xùn)練4【變式4-1】已知△ABC為等邊三角形，取△ABC的邊AB，BC中點D，E，連接DE，如圖1，易證△DBE為等邊三角形，將△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如圖2，當(dāng)α＝30°，連接AD，CE，求證：AD＝CE；（2）在△DBE旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)α超過一定角度時，如圖3，連接AD，CE會交于一點，記交點為點F，AD交BC于點P，CE交BD于點Q，連接BF，請問BF是否會平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，請說明理由；（3）在第（2）問的條件下，試猜想線段AF，BF和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】證明：（1）∵△ABC，△DBE都是等邊三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；（2）不存在，理由如下：如圖3，過點B作BN⊥AD于N，過點B作BH⊥CE于H，∵△ABC，△DBE都是等邊三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD＝∠BCE，∴×AD×BN＝×CE×BH，∴BN＝BH，又∵BF＝BF，∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），∴∠AFB＝∠EFB，∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝∠EFB＝60°，∴∠CFB＝∠DFB＝120°，當(dāng)BF平分∠CBD時，則∠CBF＝∠DBF，∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB＝DB，與題干DB＝BC＝AB相矛盾，∴BF不會平分∠CBD；（3）AF＝CF+BF，理由如下：如圖4，在AF上截取MF＝BF，連接BM，∵∠AFB＝60°，MF＝FB，∴△MFB是等邊三角形，∴MB＝BF，∠MBF＝∠ABC＝60°，∴∠ABM＝∠CBF，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝AM+MF，∴AF＝CF+BF．【變式4-2】【課題研究】旋轉(zhuǎn)圖形中對應(yīng)線段所在直線的夾角（小于等于90°的角）與旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系．【問題初探】線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，其中點A與點C對應(yīng)，點B與點D對應(yīng)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為α，且0°＜α＜180°．（1）如圖①，當(dāng)α＝60°時，線段AB、CD所在直線夾角（銳角）為；（2）如圖②，當(dāng)90°＜α＜180°時，直線AB與直線CD所夾銳角與旋轉(zhuǎn)角α存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；【形成結(jié)論】旋轉(zhuǎn)圖形中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時，對應(yīng)線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角．【運用拓廣】運用所形成的結(jié)論解決問題：（3）如圖③，四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AB＝BC，CD＝3，BD＝，求AD的長．【答案】（1）60°；（2）互補，理由見解析；【形成結(jié)論】相等或互補；（3）【詳解】解：（1）如圖1，延長交于，交于，，，線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段，，，，，，，，，故答案為：；（2）直線與直線所夾銳角角與旋轉(zhuǎn)角互補，理由如下：如圖2，延長，交于點，線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段，，，，，，，，，，直線與直線所夾銳角角與旋轉(zhuǎn)角互補．形成結(jié)論由（1）（2）（3）可知：旋轉(zhuǎn)圖形中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時，對應(yīng)線段所在直線的所夾銳角角與旋轉(zhuǎn)角：相等或互補．故答案為：相等或互補．運用拓廣（3）如圖3，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，延長，交于點，旋轉(zhuǎn)角，，，，，，，又，，是等邊三角形，，在中，．【能力提升4】【提升4-1】探究問題：(1)方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠BAF＝45°，連接EF，求證DE＋BF＝EF．感悟解題方法，并完成下列填空：將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴

∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上．∵

∠EAF＝45°∴

∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵

∠1＝