專題06用公式法一元二次方程的解法（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)9種題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)3種中考考法）（原卷版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

【關(guān)注公眾號(hào)：林樾數(shù)學(xué)】免費(fèi)獲取更多初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料專題06用公式法一元二次方程的解法（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)9種題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)3種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：求根公式知識(shí)點(diǎn)2：用公式法解一元二次方程（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3：一元二次方程的判別式（重難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1：不解方程判斷方程根的情況題型2：用公式法解一元二次方程題型3：解系數(shù)中有字母的一元二次方程題型4：根據(jù)一元二次方程根的情況確定字母參數(shù)的值或取值范圍題型5：利用一元二次方程根的情況討論分式有無意義的問題題型6：新定義與一元二次方程綜合題型7：一元二次方程與一次函數(shù)的綜合題型8：用公式法解關(guān)于一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用題型9：利用根的判別式判斷三角形的形狀【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1：根據(jù)一元二次方程根的情況，求方程中所含字母的值或取值范圍時(shí)，忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一隱含條件易錯(cuò)點(diǎn)2：考慮問題不全面，誤認(rèn)為方程問題就是一元二次方程問題【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：用公式法解一元二次方程考法2：根據(jù)根的判別式判斷方程根的情況考法3：由一元二次方程根的情況，求參數(shù)的值或取值范圍【方法五】成果評(píng)定法【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：求根公式一元二次方程（），當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：，這就是一元二次方程（）的求根公式．知識(shí)點(diǎn)2：用公式法解一元二次方程（重點(diǎn)）用公式法解一元二次方程一般步驟把一元二次方程化成一般形式（）；確定a、b、c的值；求出的值（或代數(shù)式）；若，則把a(bǔ)、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，則方程無解．知識(shí)點(diǎn)3：一元二次方程的判別式（重難點(diǎn)）1.根的判別式1.一元二次方程根的判別式：我們把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號(hào)“”表示，記作．2.一元二次方程， 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．2.根的判別式的應(yīng)用（1）不解方程判定方程根的情況；（2）根據(jù)參數(shù)系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；（3）解與根有關(guān)的證明題．【方法二】實(shí)例探索法題型1：不解方程判斷方程根的情況1.不解方程，判別下列方程的根的情況：（1）； （2）；（3）； （4）． 2.當(dāng)取何值時(shí)，關(guān)于的方程，（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？（3）沒有實(shí)數(shù)根？題型2：用公式法解一元二次方程3.用公式法解下列方程：（1）； （2）．4.用公式法解下列方程：（1）； （2）．5.用公式法解下列方程：（1）； （2）．6.用公式法解下列方程：（1）； （2）．7.用公式法解下列方程：（1）； （2）．題型3：解系數(shù)中有字母的一元二次方程8.用配方法解下列關(guān)于x的方程：（）．9.用公式法解下列關(guān)于x的方程：（1）； （2）．題型4：根據(jù)一元二次方程根的情況確定字母參數(shù)的值或取值范圍10．（2023?羅山縣三模）若關(guān)于x的方程x2+2x＝c無實(shí)數(shù)根，則c的值可以是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．111．（2023春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為．12．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)東臺(tái)市三倉(cāng)鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．13.已知關(guān)于的方程總有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．題型5：利用一元二次方程根的情況討論分式有無意義的問題14．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考三模）若分式不論x取任何數(shù)總有意義，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型6：新定義與一元二次方程綜合15．（2023?遂寧）我們規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右邊是通常的乘法和減法運(yùn)算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；（2）已知關(guān)于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．16．（2022秋·四川遂寧·九年級(jí)?？计谥校?duì)于任意一個(gè)三位數(shù)k，如果k滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個(gè)數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因?yàn)?2＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．(1)已知一個(gè)“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)），請(qǐng)直接寫出a，b，c所滿足的關(guān)系式；判斷241

“喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”），并寫出一個(gè)“喜鵲數(shù)”；(2)利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個(gè)一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個(gè)根，x＝n是方程②的一個(gè)根，求m與n滿足的關(guān)系式；(3)在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有k的值．17．（2023秋·重慶北碚·九年級(jí)重慶市兼善中學(xué)?？计谀?duì)任意一個(gè)三位數(shù)，如果滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字等于百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的平均數(shù)，那么稱這個(gè)數(shù)為“快樂數(shù)”．例如：，因?yàn)椋允恰翱鞓窋?shù)”．(1)請(qǐng)通過計(jì)算判斷是不是“快樂數(shù)”，并直接寫出最大的“快樂數(shù)”；(2)已知一個(gè)“快樂數(shù)”（、、，、、為自然數(shù)），且使關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，求滿足條件的所有的值．題型7：一元二次方程與一次函數(shù)的綜合18．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)的大致圖象可能是（）A．

B．

C．

D．

19．（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根是，若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，設(shè)，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型8：用公式法解關(guān)于一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用20.某商場(chǎng)銷售一批襯衫，進(jìn)貨價(jià)為每件元，按每件元出售，一個(gè)月內(nèi)可售出件．已知這種襯衫每件漲價(jià)元，其銷售量要減少件．為了減少庫(kù)存量，且在月內(nèi)賺取元的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每件多少元？題型9：利用根的判別式判斷三角形的形狀21．（2022?天津模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c為△ABC的三邊．（1）若x＝1是方程的根，判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，判斷△ABC的形狀，并說明理由．22．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)校考期中）已知：關(guān)于x的一元二次方程(1)已知x=2是方程的一個(gè)根，求m的值；(2)以這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根作為△ABC中AB、AC（AB<AC）的邊長(zhǎng)，當(dāng)BC=時(shí)，△ABC是直角三角形，求此時(shí)m的值．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1：根據(jù)一元二次方程根的情況，求方程中所含字母的值或取值范圍時(shí)，忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一隱含條件23．（2023春·北京西城·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)取滿足要求的最小正整數(shù)時(shí)，求方程的解．易錯(cuò)點(diǎn)2：考慮問題不全面，誤認(rèn)為方程問題就是一元二次方程問題24．（2023春·上海楊浦·八年級(jí)?？计谥校┙怅P(guān)于的方程：．25．（2022秋·上海奉賢·八年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于的方程(1)當(dāng)取什么值時(shí)，方程只有一個(gè)根？(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法：用公式法解一元二次方程26．（2021?無錫）（解方程：2x（x﹣2）＝1；27．（2020?無錫）解方程：x2+x﹣1＝0；考法2：根據(jù)根的判別式判斷方程根的情況28．（2023?河南）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根29．（2023?濱州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情況為（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．不能判定30．（2023?廣元）關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情況，下列說法中正確的是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定31．（2023?內(nèi)江）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”為a?b＝b2﹣ab，例如：3?2＝22﹣3×2＝﹣2，則關(guān)于x的方程（k﹣3）?x＝k﹣1的根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定32．（2023?廣安）已知a、b、c為常數(shù)，點(diǎn)P（a，c）在第四象限，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法判斷33．（2023?瀘州）關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情況是（）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)與實(shí)數(shù)a的取值有關(guān)考法3：由一元二次方程根的情況，求參數(shù)的值或取值范圍34．（2023?北京）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．﹣9 B． C． D．935．（2023?蘭州）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．436．（2023?聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（）A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠037．（2023?眉山）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜338．（2023?遼寧）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．39．（2023?寧夏）方程x2﹣4x﹣m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為．40．（2023?泰安）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是．【方法五】成功評(píng)定法一、單選題1．用公式法解方程時(shí)，a，b，c的值分別為（

）A．5，6，8 B．5，， C．5，，8 D．5，6，2．（2023秋·河南開封·九年級(jí)開封市第十三中學(xué)?？计谀╆P(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)滿足（

）A．且 B． C．且 D．3．一元二次方程根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定4．（2023·安徽六安·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2023秋·河南許昌·九年級(jí)許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義新運(yùn)算：，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是（

）A．4 B． C． D．6．（2023秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）從，0，1，2，3中任取一個(gè)數(shù)作為a的值，既要使關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，又要滿足，則a符合條件的概率為（

）A． B． C． D．17．（2023秋·遼寧遼陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“*”為，例如，則關(guān)于x的方程的根的情況，下列說法正確的是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定8．（2022秋·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且二、填空題9．（2022秋·山西臨汾·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為．10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是．11．（2022秋·湖北荊州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）對(duì)于實(shí)數(shù)u、v定義一種運(yùn)算“*”為：．若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求滿足條件的實(shí)數(shù)a的值為．12．（2022秋·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）一元二次方程的根的情況是．13．（2022春·江蘇無錫·八年級(jí)宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知無論取何值，分式總有意義，則的取值范圍是．14．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．15．（2020秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谥校┮阎謩e為（）的三邊的長(zhǎng)，則關(guān)于的一元二次方程根的情況是．16．（2023秋·遼寧遼陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是．17．（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則．三、解答題18．（2023秋·河北秦皇島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程：．(1)當(dāng)時(shí)，解方程；(2)若的一個(gè)解是，求k．19．（2022秋·上海徐匯·八年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┙夥匠蹋?0．（2022秋·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：．21．（2023春·廣東惠州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）已知關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的值．22．（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于的方程．(1)求證：無論取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰的底邊長(zhǎng)，另兩邊、恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求的周長(zhǎng)．23．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知正方形中，，E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接和．(1)尺規(guī)作圖：在圖中分別作線段和的中點(diǎn)F和G，連接FG；（不寫作法，不說明理由，寫明結(jié)論并保留作圖痕跡）(2)當(dāng)時(shí)，求（1）中所作的線段的長(zhǎng)度．24．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB