人教版高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)》全部教案7

第四章三角函數(shù)

第一教時(shí)

教材：角的概念的推廣

目的：要求學(xué)生掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，并進(jìn)而理解“正角”“負(fù)角”“象

限角”“終邊相同的角”的含義。

過程：一、提出課題：“三角函數(shù)”

回憶初中學(xué)過的“銳角三角函數(shù)”——它是利用直角三角形中兩邊的比值

來定義的。相對(duì)于現(xiàn)在，我們研究的三角函數(shù)是“任意角的三角函數(shù)”，

它對(duì)我們今后的學(xué)習(xí)和研究都起著十分重要的作用，并且在各門學(xué)科技術(shù)

中都有廣泛應(yīng)用。

二、角的概念的推廣

1.回憶：初中是任何定義角的？(從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾

何圖形)這種概念的優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹

隘”

2.講解：“旋轉(zhuǎn)”形成角(P4)

突出“旋轉(zhuǎn)”注意：“頂點(diǎn)”“始邊”“終邊”

“始邊”往往合于x軸正半軸

3.“正角”與“負(fù)角”——這是由旋轉(zhuǎn)的方向所決定的。

記法：角《或Na可以簡(jiǎn)記成二

4.由于用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地?cái)U(kuò)大了。

1°角有正負(fù)之分如：a=210。p=-150°Y=-660°

2°角可以任意大

實(shí)例：體操動(dòng)作：旋轉(zhuǎn)2周(360°X2=720°)3周(360°X3=1080°)

3°還有零角一條射線，沒有旋轉(zhuǎn)

三、關(guān)于“象限角”

為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來討論角

角的頂點(diǎn)合于坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊合于x軸的正半軸，這樣一來,

角的終邊落在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角(角的終邊落在

坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限)

例如：30°390°-330。是第I象限角300°-60。是第IV

象限角

585°1180。是第m象限角-2000。是第H象限

角等

四、關(guān)于終邊相同的角

1.觀察：390。，-330。角，它們的終邊都與30。角的終邊相同

2.終邊相同的角都可以表示成一個(gè)0。到360。的角與攵（keZ）個(gè)周角的和

390°=30°+360°(k=1)

-330°=30°-360°(k=-l)30°=30°+0X360°

(女=0)

1470°=30°+4X360°(4=4)

-1770°=30°-5X360°(k=-5)

3.所有與a終邊相同的角連同a在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集合

S={Q|P=a+036(r,kez}

即：任何一個(gè)與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和

4.例一（P5略）

五、小結(jié)：1°角的概念的推廣

用“旋轉(zhuǎn)”定義角角的范圍的擴(kuò)大

2°“象限角”與“終邊相同的角”

六、作業(yè)：P7練習(xí)1、2、3、4

習(xí)題1.41

第三教時(shí)

教材：弧度制

目的：要求學(xué)生掌握弧度制的定義，學(xué)會(huì)弧度制與角度制互化，并進(jìn)而建立角的

集合與實(shí)數(shù)集R一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的概念。

過程：一、回憶（復(fù)習(xí)）度量角的大小第一種單位制一角度制的定義。

二、提出課題：弧度制一另一種度量角的單位制

它的單位是rad讀作弧度

定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心

角稱為1弧度的角。

如圖：ZA0B=1rad

ZA0C=2rad

周角二27trad

1.正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0

2.角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值囪=：3為弧長(zhǎng)，/?為半徑）

3.用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0）

用角度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同。

三、角度制與弧度制的換算

抓?。?60°=27trad.,.180。=兀rad

，1°=—raJ?0.01745raJ

180

1必/=（竺3B57.30°=57°18'

例一把67。30,化成弧度

解：67。30'=1674/.6730'=—raJx67-=-Tirad

<2）18028

例二把三行〃化成度

33

解：一—xl80=108°

55

注意幾點(diǎn)：1.度數(shù)與弧度數(shù)的換算也可借助“計(jì)算器”《中學(xué)數(shù)學(xué)用表》進(jìn)

行；

2.今后在具體運(yùn)算時(shí)，“弧度”二字和單位符號(hào)“rad”可以省

略如：3表示3radsin兀表示7trad角的正弦

3.一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)值應(yīng)該記?。ㄒ娬n本P9

表）

4.應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是

弧度制都能在角的集合與實(shí)數(shù)的集合之間建立一種一一對(duì)應(yīng)

的關(guān)系。

任意角的集合實(shí)數(shù)集R

四、練習(xí)（P11練習(xí)12）

例三用弧度制表示：1。終邊在x軸上的角的集合2。終邊在y軸

上的角的集合3。終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合

解：1。終邊在X軸上的角的集合S,={/3\/3=k^,keZ}

2。終邊在y軸上的角的集合52=h\P=k7r+^k^Z

3。終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合$3=￡|力=勺，攵eZ

例四老《精編》P118-1194、5、6、7

五、小結(jié)：1.弧度制定義2.與弧度制的互化

六、作業(yè)：課本P11練習(xí)3、4P12習(xí)題4.22、3

第四教時(shí)

教材：弧度制（續(xù)）

目的：加深學(xué)生對(duì)弧度制的理解，逐步習(xí)慣在具體應(yīng)用中運(yùn)用弧度制解決具體的

問題。

過程：一、復(fù)習(xí)：弧度制的定義，它與角度制互化的方法。

口答《教學(xué)與測(cè)試》P101-102練習(xí)題1—5并注意緊

扣，鞏固弧度制的概念，然后再講P101例二

二、由公式：H-―工I?囪比相應(yīng)的公式/="簡(jiǎn)單

11rL--------11180

弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對(duì)值與半徑的積

例一（課本P10例三）利用弧度制證明扇形面積公式5=,質(zhì)其中/是扇

2

形弧長(zhǎng)，/?是圓的半徑。

證：如圖：圓心角為1rad的扇形面積為：—TLR1

比較這與扇形面積公式5摒=%要簡(jiǎn)單

例二《教學(xué)與測(cè)試》P101例一直徑為20cm的圓中，求下列各圓心所對(duì)

的弧長(zhǎng)⑴絲(2)165°

3

解：r-10cm(1)：I=ar=x10=~~~(cm)

TT1\jr

(2)：165°=---x165(raJ)=---rad/.

18012

/=—xlO=^^

例三如圖，已知扇形A08的周長(zhǎng)是6cm,該扇形

的中心角是1弧度，求該扇形的面積。

解：設(shè)扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為/,則有

夕+/=6"=2-'一1

扇形的面積S=—rl—幺）

例四計(jì)算sin工

解：2=45°，sin-=sin450=—

1.5rad=57.30*x1.5=85.95°=85°57'

tanl.5=tan85°57'=14.12

例五將下列各角化成0到2兀的角加上2k^kGZ)的形式

19

(1)—n(2)—315°

TT

-315°=45°-360°=—-2萬

4

例六求圖中公路彎道處弧AB的長(zhǎng)/（精確到1m）

圖中長(zhǎng)度單位為：m

解：60°=-

3

，Z=|a|./?=^x45?3.14xl5?47（m）

三、練習(xí)：P116、7《教學(xué)與測(cè)試》P102練習(xí)6

四、作業(yè):課本P11-12練習(xí)8、9、10

P12-13習(xí)題4.25—14

《教學(xué)與測(cè)試》P1027、8及思考題

第五教時(shí)

教材：任意角的三角函數(shù)（定義）

目的：要求學(xué)生掌握任意角的三角函數(shù)的定義，繼而理解a角與B=2k7i+a（keZ）

的同名三角函數(shù)值相等的道理。

過程：一、提出課題：講解定義：

1.設(shè)a是一個(gè)任意角，在a的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)p（x,y）

則P與原點(diǎn)的距離r==G+y2>0（圖示見P13略）

2.比值上叫做a的正弦記作：sin6Z=—

rr

X

比值也叫做a的余弦記作：COS6Z=

rr

比值上叫做a的正切記作：tana=y_

XX

X

比值二叫做a的余切記作：cota=

yy

比值二叫做a的正割記作：seccif=—

XX

r

比值立叫做a的余割記作：CSCa=

yy

注意突出幾個(gè)問題：①角是“任意角”，當(dāng)B=2k兀+a（keZ）時(shí)，p與a的

同名三角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相

等。

②實(shí)際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用。（下

面有例子說明）

③三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)

④尸〉0,而x,y的正負(fù)是隨象限的變化而不同，故三角函

數(shù)的符號(hào)應(yīng)由象限確定（今后將專題研究）

⑤定義域：

y=sinaRy二=cota

y=cosaRy==seca

y=tanaawkji-\——(kGZ)y二-esca

awk7i(kGZ)

冗

awk7r+—(kGZ)

awk兀(kGZ)

二、例一已知a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,-3),求a的六個(gè)三角函數(shù)值

〉|解：x=2,y=—3,r=^22+(―3)2=Vt3

3V132VT

0k.sina二-----------cosa=-----------------

1313

(二32

\P2,-3)tana:——cota=—

23

V13

sec"-----CSCOF一

2亍

例二求下列各角的六個(gè)三角函數(shù)值

3471

(1)0(2)兀(3)—(4)-

22

解：⑴⑵⑶的解答見P1677

(4)當(dāng)a='時(shí)x=0,y=r

??Sin——1cos——0tan—彳、cot——0

2222

sec工不存在esc-=1

22

例三《教學(xué)與測(cè)試》P103例一求函數(shù)y=隨W+誓的值域

cosx|tanx|

解：定義域：cosxM；.x的終邊不在x軸上

又丁tanx^Ox的終邊不在v軸上

???當(dāng)x是第I象限角時(shí),x>0,y>0cosx=|cosx|tanx=|tanx|/.y=2

............II..................,x<0,y>0Icosxl-cosx|tanx|-tanx/.

y=-2

，

...............IllIV...........x>o,y<oIc1osx|='-cosxIt'anxl=tanxy=0

例四《教學(xué)與測(cè)試》P103例二

(1)已知角a的終邊經(jīng)過P(4,-3),求2sina+cosa的值

⑵已知角a的終邊經(jīng)過P(4a,-3a),(awO)求2sina+cosa的值

,342

ft?：(1)由:r=5sinot——cosot——?.2sina+cosa=—

555

342

(2)若Ha>0r=5a貝ijsina=—cosa=-/.2sina+cosa=—

555

“342

若a<0r=-5a貝ijsina=—cosa=-/.2sina+cosa=—

555

三、小結(jié)：定義及有關(guān)注意內(nèi)容

四、作業(yè)：課本P19練習(xí)1P20習(xí)題4.33

《教學(xué)與測(cè)試》P1044、5、6、7

第六教時(shí)

教材：三角函數(shù)線

目的：要求學(xué)生掌握用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值，從而使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)

的定義域、值域有更深的理解。

過程：一、復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義，指出：“定義”從代數(shù)的角度揭示了三角函數(shù)

是一個(gè)“比值”

二、提出課題：從幾何的觀點(diǎn)來揭示三角函數(shù)的定義：

用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值

三、新授：

2.介紹（定義）“單位圓”一圓心在原點(diǎn)0,半徑等于單位長(zhǎng)度的圓

3.作圖：（課本P14圖4-12）

此處略..................................

設(shè)任意角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，

角a的終邊也與單位圓交于P,坐標(biāo)軸正半軸分別與單位圓交于A、B

兩點(diǎn)

過P（x,y）作PM_Lx軸于M,過點(diǎn)A（1,0）作單位圓切線，與a

角的終邊或其反向延長(zhǎng)線交于T,過點(diǎn)B（0,1）作單位圓的切線，與a角

的終邊或其反向延長(zhǎng)線交于S

4.簡(jiǎn)單介紹“向量”（帶有“方向”的量一用正負(fù)號(hào)表示）

“有向線段”（帶有方向的線段）

方向可取與坐標(biāo)軸方向相同，長(zhǎng)度用絕對(duì)值表示。

例：有向線段0M,0P長(zhǎng)度分別為

當(dāng)0M=x時(shí)若x>00M看作與x軸同向0M具有正

值x

若x<00M看作與x軸反向

0M具有負(fù)值x

yy

5.sina=—=—=y=MP、

r1

xx

cosa=—=—=x=OM有向線段

r1

MP,OM,AT,BS分別稱作>')

yMPAT

tana====ATa角的正弦線，余弦線,

xOMOA

正切線,余切線>

xOMBS

cota=—=-----=-----=BS

yMPOB

四、例一.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

色。里與

1°sin-sin—2°tan-tan3cot

35353

工4萬

cot——

5

解：'B如圖可知：

.'A

2444

tan——<tan——

35

例二利用單位圓尋找適合下列條件的0。到360。的角

例三求證：若04弓<。2〈工時(shí)，貝Usinaysinaz

證明:分別作a”a?的正弦線x的終邊不在x軸上

sinoti=MRsinaz=M2P2

?Q<a2<—

:.MR<M2P2即sinai<sina2

五、小結(jié)：?jiǎn)挝粓A，有向線段，三角函數(shù)線

六、作業(yè)：課本P15練習(xí)P20習(xí)題4.32

補(bǔ)充：解不等式:(xG[0,2^-))

1°sinx2——2°tanx>-1

2

21

3°sinxW—

2

第七教時(shí)

教材：三角函數(shù)的值在各象限的符號(hào)

目的：通過啟發(fā)讓學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定三角函數(shù)的值在各象限的符號(hào),

并由此熟練地處理一些問題。

過程：一、復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義；用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值

二、提出課題然后師生共同操作：

1.第一象限：/>0,y>0

sina>0,cosa>0,tana>0,cota>0,seca>0,csca>0

第二象限：.x<0,y>0二

sina>0,cosa<0,tana<0,cota<0,seca<0,csca>0

第三象限：.x<0,y<0

sina<0,cosa<0,tana>0,cota>0,seca<0,csca<0

第四象限：.x>0,y<0

sina<0,cosa>0,tana<0,cota<0,seca>0,csca<0

記憶法則：

sina，_

為正全正

esca

tana4丁cosa

為正為正

cotaseca

2.由定義:sin(a+2kn)=sinacos(a+2k?i)=cosa

tan(a+2kn)=tana

cot(a+2k7i)=coasec(a+2k?i)=seca

esc(a+2kju)=csca

三、例一(P18例三略)

sin。<0(1)

例二(P18例四)求證角0為第三象限角的充分條件是

tan<9>0⑵

證：必要性：

若0是第三象限角，則必有sin8<0,tan0>0

充分性：

若⑴⑵兩式成立?.?若sin0<0貝哨角的終邊

可能位于第三、第四象限，也可能位于y軸的非正半軸

若tan0>0,則角0的終邊可能位于第一或第三象限

V(l)(2)者械立二。角的終邊只能位于第三象限

.?.角0為第三象限角

例三(P19例五略)

四、練習(xí)：

1.若三角形的兩內(nèi)角a,p滿足sinacosp<0,則此三角形必為.......(B)

A：銳角三角形B：鈍角三角形C：直角三角形D：以上三種情況

都可能

2.若是第三象限角，則下列各式中不成立的是......................

(B)

A：sina+cosa<0B：tana-sina<0

C：cosa-cota<0D：cotacsca<0

qq

3.已知。是第三象限角且cos上<0,問2是第幾象限角？

22

JT

解：；(2k+1)》<<9<(2k+1)乃+5(kwZ)

k7V+-<-<k7T+~(keZ)則豈是第二或第四象

2242

限角

又???cos,<0則口是第二或第三象限角

22

，,必為第二象限角

2

/［、sin26

4.已知3<1，貝帕為第幾象限角？

z［、sin23

解：由卜<1，sin20>O

.\2k7r<20<2kjc+K(kGZ)kK<0<k7i+y

???0為第一或第三象限角

五、小結(jié)：符號(hào)法則，誘導(dǎo)公式

六、作業(yè)：課本P19練習(xí)4,5,6

P20-21習(xí)題4.36-10

第八教時(shí)

教材：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

目的：要求學(xué)生能根據(jù)三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，并能正

確運(yùn)用進(jìn)行三角函數(shù)式的求值運(yùn)算。

過程：

一、復(fù)習(xí)任意角的三角函數(shù)的定義：

計(jì)算下列各式的值：

l.sin2900+COS29002.sin2300+cos23003.tan45°-cot245°

.n.3TI

sinsin—

/5兀5兀

475.—6.tan----cot——

兀3兀66

coscos—

34

二、1.導(dǎo)入新課：引導(dǎo)學(xué)生觀察上述題目的結(jié)果(并像公式“方向”引導(dǎo))

sina

引導(dǎo)猜想：sin2a+cos2a=1tanatana-cota=1

cosa

2.理論證明：(采用定義)

_2X.22i

1°,??x2+y2=r2且sina-,cosa=—sina+cosa=1

rr

TTsina

20當(dāng)a豐ku+Q（keZ）0寸,----；---——x———tana

cosarrrxx

3°當(dāng)a。z兀且01。&兀+四時(shí)，tana-cota=—?—=1

2xy

3.推廣：這種關(guān)系稱為平方關(guān)系。類似的平方關(guān)系還有：sec2a-tan2a=l

esc2a-cot2a=1

sina

=tana這種關(guān)系稱為商數(shù)關(guān)系。類似的商數(shù)關(guān)系還有:

cosa

cosa

-----=cota

sina

tana?cota=l這種關(guān)系稱為倒數(shù)關(guān)系。類似的倒數(shù)關(guān)系還有：

escasina=1seca-cosa=1

4.點(diǎn)題：三種關(guān)系，八個(gè)公式，稱為同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。

5.注意：

1。“同角”的概念與角的表達(dá)形式無關(guān)，

.a

sin—）a

如：sin23a+cos23a=1------=tan—

a2

cos—

2

2。上述關(guān)系（公式）都必須在定義域允許的范圍內(nèi)成立。

3。據(jù)此，由一個(gè)角的任一三角函數(shù)值可求出這個(gè)角的其余各三角函數(shù)

值，且因?yàn)槔谩捌椒疥P(guān)系”公式，最終需求平方根，會(huì)出現(xiàn)兩解,

因此應(yīng)盡可能少用（實(shí)際上，至多只要用一次）。

三、例題：

例一、（課本P25例一）略

注：已知角的象限，利用平方關(guān)系，也只可能是一解。

例二、（課本P25例二）略

注：根據(jù)已知的三角函數(shù)值可以分象限討論。

例三、（課本P25例三）略

實(shí)際上：sec2a=tan2a+1即cos?a=------------

1+tan-a

當(dāng)a為第一、四象限角

當(dāng)a為第二、三象限角

而

tana

當(dāng)a為第一、四象限角

2

cosa=1+tana

jna_當(dāng)a為第二、三象限角

+tan2a

四、小結(jié)：三種關(guān)系，八個(gè)公式

五、作業(yè)：P27練習(xí)1—4

P27—28習(xí)題4.41—4

第九教時(shí)

教材：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系⑵——求值

目的：要求學(xué)生能運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求一些三角函數(shù)（式）的值，并

從中了解一些三角運(yùn)算的基本技巧。

過程：

二、復(fù)習(xí)同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系：

練習(xí)：已知cosa=m（mw0,mw±1）,求a的其他三角函數(shù)值。

解：若a在第一、二象限，則

seca=—sina=yll-m21

esca=?/丁

mVl-w2

Jl一m2m

tana=-----------cota=」一

mVl-m2

若a在第三、四象限，則

1

seca=—sina=-Vl-zw2esca=--/

inyll-m2

Jl-m2m

tana=------------

mJl一團(tuán)一

六、例一、（見P25例四）化簡(jiǎn):

角星：71-sin2(360°+80°)=Vl-sin2800=Vcos280°=cos80°

例二、已知since=2cosa,求包上一生竺匕及sin2a+2sinacosa的值。

5sina+2cosa

解：*/sina=2cosatana=2

sina-4cosa_tana-4_-2_1

5sina+2cosa5tana+2126

.23?sin2a+2sinacosatan2a+2tana4+26

sin-a+2sinacosa=--------------------------=---------------------=-------=—

sina+cosatana+l4+15

強(qiáng)調(diào)（指出）技巧：1。分子、分母是正余弦的一次（或二次）齊次式

2?！盎?法”

例三、已知sina+cosa=——，求tana+cota及sina-cosa的值。

3

解：將sina+cosa=兩邊平方，得：sinacosa=——

3

tana+cota=-.................=-3

sinacosa

25

(sina-cosa)72=1-2sinacosa=1+y=—

sina-cosa=±J-A----

3

例四、已知tana+cota=一,

求tana-cota,tan2a-cot2a,tan3a+cot3a,sina+cosa

解：由題設(shè)：tan2a+cot2a=^^--2,

144

.16257

??tana-cota=±J-------4A=±一

V14412

tana-cot-a=(tana+cota)(tana-cota)=—x(±—)=

tan5a+cot3a=(tana+cota)(tan2a+cot2a-tanacota)

25月37-251934825

12144121441728

sina+cosa=±Jl+2sinacosa=

/12512.

(vtana+cota=--------------=—/.sinacosa=-)

sinacosa1225

例五、已知sina+cosa=:(0<0<TI),求tan0及sin,0-cos,0的值。

]2IT

解：1°由sinacosa=-石，0<0<K,得：cosO<00G(—,n)

497

由(sina-cosa)2=一,得：sin0-cos0=—

1sin0=1

sin0+cos04

聯(lián)立:—=>tan0=——

尹c(diǎn)33

sin0-cos0cos0=——

55

例六、已知sina=土包，cosa=—,a是第四象限角，求

m+5m4-5

tana的值。

解:Vsin2a+cos2a=14—2加y+(-)2=]

m+5m+5

化簡(jiǎn)，整理得：m[m-8)=0/.mx—0,m2=8

一43

當(dāng)加二0時(shí)，since=—,cosa=-（與a是第四象限角不合）

5

125_12

當(dāng)/=8時(shí)，sina=-----,cosa=—,二.tana=

1313—一工

七、小結(jié):幾個(gè)技巧

八、作業(yè):《課課練》P12例題推薦1、2、3

P13課時(shí)練習(xí)6、1、8、9、10

P14例題推薦1

《精編》P3514

第十教時(shí)

教材：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系⑶——證明《教學(xué)與測(cè)試》第50課

目的：運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)恒等式的證明。

過程：

三、復(fù)習(xí)同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系：

例：（練習(xí)、《教學(xué)與測(cè)試》P25例一）

已知sina—cosa=-2,求sinacosa的值。

4

25259

角星：（sina-cosa）2-——即：l-2sinacosa--sinacosa-------

161632

九、提出課題：利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系證明三角恒等式（或化簡(jiǎn)）

例一、（見P25例四）化簡(jiǎn):

解:原式=J1-sin2(360°+80°)=71-sin2800=7cos280°=cos80°

例二、已知a是第三象限角，化簡(jiǎn)、匕吧巴匕?吧（《教學(xué)與測(cè)試》

V1-sinaV1+sina

例二）

(1+sina)(l+sina)1(1-sina)(l-sina)

解:

(1+sina)(1-sina)\(1+sina)(l-sina)

(14-sina)2(1-sina)2_1+sina1-sina

1-sin2aV1-sin2a|cosa||cosa|

??,a是第三象限角，.二cosa<0

...原式=1±包2一匕包W=—2tana（注意象限、符號(hào)）

-cosa-cosa

__、Tcosa1+sina

例/RIL二、求證：---------=----------（課本P26例5）

1-sinacosa

證左邊=cosa(l+sina)=cosa(l+sina)cosa(l+sina)

(l-sina)(l+sina)1-sin2a=cos7a

1+sina/

=-------=右邊.?.等式成立（利用平方關(guān)

cosa

系）

證二:

v(1-sina)(l+sina)=1-sin2a=cos2a且1-sinaw0,cosaw0

cosa_1+sina

（利用比例關(guān)系）

1-sinacosa

證三.

cosa1+sina_cos2a-(1-sina)(l+sina)_cos2a-(l-sin2a)

1-sinacosa(1-sina)cosa(1-sina)cosa

cos2a-cos2acosa_1+sina

（作差）

(1-sina)cosa1-sinacosa

例三、已知方程2x?-(6+1)工+機(jī)=0的兩根分別是sin。,cos9,

求XL+_￡2^_的值。(《教學(xué)與測(cè)試》例三)

1-cot01-tan0

Hasin20cos20sin20-cos20.八八

角牛：???原式=----------+-----------=-------------=sin。+cos0

sin0-cos0cos0-sin0sin0-cos0

.?.由韋達(dá)定理知：原式=且把(化弦法)

2

例四