第14章整式的乘法與因式分解 講義2024－2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第14章整式的乘法與因式分解講義-數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)人教版知識(shí)梳理知識(shí)梳理一、知識(shí)框架:整式乘法整式乘法整式除法因式分解乘法法則二、知識(shí)梳理：1.基本運(yùn)算：⑴同底數(shù)冪的乘法：⑵冪的乘方：⑶積的乘方：2.整式的乘法：⑴單項(xiàng)式單項(xiàng)式：系數(shù)系數(shù)，同字母同字母，不同字母為積的因式.⑵單項(xiàng)式多項(xiàng)式：用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的每個(gè)項(xiàng)后相加.⑶多項(xiàng)式多項(xiàng)式：用一個(gè)多項(xiàng)式每個(gè)項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式每個(gè)項(xiàng)后相加.3.計(jì)算公式：⑴平方差公式：⑵完全平方公式：；4.整式的除法：⑴同底數(shù)冪的除法：⑵單項(xiàng)式單項(xiàng)式：系數(shù)系數(shù)，同字母同字母，不同字母作為商的因式.⑶多項(xiàng)式單項(xiàng)式：用多項(xiàng)式每個(gè)項(xiàng)除以單項(xiàng)式后相加.⑷多項(xiàng)式多項(xiàng)式：用豎式.5.因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：②完全平方公式：③立方和：④立方差：⑶十字相乘法：⑷拆項(xiàng)法⑸添項(xiàng)法典例分析典例分析1．計(jì)算：(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)0(3)2(4)【分析】本題考查了冪的混合運(yùn)算，平方差公式，完全平方公式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式等，熟知運(yùn)算法則并準(zhǔn)確進(jìn)行運(yùn)算是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪乘法、冪的乘方、積的乘方計(jì)算即可；（3）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式分別計(jì)算即可；（4）根據(jù)平方差公式，完全平方公式分別計(jì)算即可；【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式；（3）解：原式．（4）解：原式．2．我們學(xué)習(xí)過多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，根據(jù)法則可知，那么再根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算可得，這就是多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式．兩個(gè)多項(xiàng)式相除，可以先把這兩個(gè)多項(xiàng)式都按照同一字母降冪排列，然后再仿照兩個(gè)多位數(shù)相除的計(jì)算方法，用豎式進(jìn)行計(jì)算．例如，可仿照用豎式計(jì)算（如圖）：因此，多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式可借助豎式進(jìn)行計(jì)算．請(qǐng)用上述方法計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算，多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，用豎式形式計(jì)算，熟練掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式運(yùn)算法則用豎式表示即可求解；（2）根據(jù)多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式運(yùn)算法則用豎式表示即可求解；【詳解】（1）解：；（2）．．3．把完全平方公式適當(dāng)?shù)淖冃危纾旱?，這些變形可解決很多數(shù)學(xué)問題．例如：若，，求的值．解：因?yàn)椋?，所以，即，，所以．根?jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題．(1)①若，，且，則________；②我們知道，若，則________．(2)如圖，C是線段上的一點(diǎn)，以，為邊向兩邊作正方形，，兩個(gè)正方形的面積和為15，設(shè)，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)①1；②15(2)5【分析】本題考查了完全平方公式與圖形面積，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．（1）①先根據(jù)求出的值，再求平方根即可得；②將和看作整體，利用完全平方公式計(jì)算即可得；（2）先根據(jù)題意得出，，再根據(jù)求解即可得．【詳解】（1）解：①∵，，∴，∴，又∵，即，∴，故答案為：1；②∵，，∴，故答案為：15．（2）解：由題意可知，，，則圖中陰影部分的面積為，答：圖中陰影部分的面積為5．精選好題精選好題一、單選題1．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．2．多項(xiàng)式的公因式是（

）A． B． C． D．3．下列等式不成立的是（

）A． B．C． D．4．下列算式中能用平方差公式計(jì)算的是（）A． B．C． D．5．已知，則的值是（

）A． B． C． D．6．下列從左到右的變形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．7．若是完全平方式，則的值為（

）A． B．或 C．或 D．8．通過計(jì)算圖中陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的等式為（

）A． B．C． D．二、填空題9．計(jì)算：．10．計(jì)算：．11．已知：，則．12．已知，那么的值是．13．若的一個(gè)因式是，則另一個(gè)因式為．14．若多項(xiàng)式是完全平方式，則．15．已知a，b，c為三邊的長，當(dāng)時(shí)，則的形狀是．16．某“數(shù)學(xué)樂園”展廳的密碼被設(shè)計(jì)成如圖所示的數(shù)學(xué)問題．小明在參觀時(shí)經(jīng)過認(rèn)真思索，輸入密碼后順利地連接到網(wǎng)絡(luò)，則他輸入的密碼是．三、解答題17．因式分解：(1)(2)．18．分解因式：(1)；(2)．19．先化簡(jiǎn)，再求值．，其中．20．閱讀材料：要把多項(xiàng)式因式分解，可以先把它進(jìn)行分組再因式分解：這種因式分解的方法叫做分組分解法．(1)請(qǐng)用上述方法因式分解：；(2)知a、b、c是三邊的長，且滿足，試判斷的形狀，并說明理由；(3)已知，求的值．21．觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律．解決下列問題：(1)寫出第6個(gè)等式：______；(2)寫出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示），并通過計(jì)算說明其正確性．22．在數(shù)學(xué)中，有許多關(guān)系都是在不經(jīng)意間被發(fā)現(xiàn)的，請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問題：

(1)如圖1，用兩種不同的方法表示陰影圖形的面積，得到一個(gè)等量關(guān)系式為________；(2)如圖2，C是線段上一點(diǎn)，以為邊向兩邊作正方形，，兩個(gè)正方形的面積和，求圖中陰影部分的面積．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：題號(hào)12345678答案DCCDCDCA1．D【分析】本題考查了積的乘方與冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法與除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)積的乘方與冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法與除法的運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，則此項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．2．C【分析】本題主要考查了公因式的定義，多項(xiàng)式的公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的，據(jù)此求解即可．【詳解】解：多項(xiàng)式的公因式是，故選：C．3．C【分析】本題考查了整式的乘方．根據(jù)整式的乘方運(yùn)算法則求解即可判斷．【詳解】解：A、，本選項(xiàng)不符合題意；B、，本選項(xiàng)不符合題意；C、，本選項(xiàng)符合題意；D、，本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．4．D【分析】此題考查了平方差公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可得到結(jié)果．【詳解】解：A、不是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，故不符合題意；B、是和的和與和的積，故不符合題意；C、可化為，故不符合題意；D、是和的和與差的積，故符合題意；故選：D．5．C【分析】本題主要考查了平方差公式，完全平方公式的應(yīng)用，根據(jù)，可得，可得，再利用平方差公式可得答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：C．6．D【分析】此題主要考查因式分解的定義．解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形就是把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式的積，可得答案．【詳解】解：A．，該選項(xiàng)不符合題意；B．沒把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式的積，不屬于因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；C．是整式的乘法，不屬于因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；D．是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式的積，屬于因式分解，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．7．C【分析】根據(jù)完全平方公式即可求出答案．本題主要考查了完全平方式，熟練掌握完全平方式的特征是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，或．故選：C．8．A【分析】本題考查了平方差公式的幾何背景，根據(jù)陰影部分的面積為兩個(gè)正方形的面積之差，還可以表示為兩個(gè)梯形的面積，由此即可得出答案，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：圖中陰影部分面積可以表示為，還可以表示為，∴，故選：A．9．【分析】本題考查了積的乘方的逆運(yùn)算，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．將式子變形為，再利用積的乘方的逆運(yùn)算計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．10．【分析】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．將變形為，利用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．11．【分析】本題考查了整式的乘法的應(yīng)用，熟練掌握求高次式子時(shí)的思路：降次是解題的關(guān)鍵．將變形為，利用降次的思想求即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．12．1【分析】本題考查了因式分解，已知式子的值，求代數(shù)式的值，先把原式整理為，再把代入化簡(jiǎn)計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵∴故答案為：113．【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的應(yīng)用，結(jié)合題意列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵的一個(gè)因式是，且∴故答案為：．14．16【分析】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵多項(xiàng)式是完全平方式，∴，故答案為：16．15．等邊三角形【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，利用平方差公式對(duì)原式正確的因式分解是解題的關(guān)鍵．先分組因式分解，然后再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a、b、c的關(guān)系即可解答．【詳解】解：，，，，，，，，是等邊三角形．故答案為：等邊三角形．16．2024【分析】本題考查了單項(xiàng)式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵，根據(jù)單項(xiàng)式的乘除法計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵，∴等號(hào)右邊的數(shù)字依次為等號(hào)左邊代數(shù)式中x，y，z的次數(shù)∵∴他輸入的密碼是2024．故答案為：2024．17．(1)(2)【分析】本題主要考查了分解因式：（1）先提取公因數(shù)4，再利用平方差公式分解因式即可；（2）利用十字相乘法分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．18．(1)(2)【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握乘法公式以及提公因式是解本題的關(guān)鍵．（1）提取公因式分解即可；（2）先將原式變形為，然后根據(jù)完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．19．，33【分析】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值和非負(fù)數(shù)性質(zhì)．根據(jù)多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得的值代入化簡(jiǎn)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算即可求解；【詳解】解：，∵，，解得；原式．20．(1)(2)是等邊三角形，理由見解析(3)【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，等邊三角形的判定：（1）仿照題意分為兩組，再利用提公因式法和平方差公式分解因式即可；（2）去括號(hào)展開后利用分組分解法進(jìn)行因式分解即可求解；（3）把原式分組得到，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：（2）解：是等邊三角形，理由如下：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形；（3）解：∵，∴．21．(1)(2)第個(gè)等式為，，理由見解析【分析】本題主要考查了完全平方公式和平方差公式：（1）觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，即可求解；（2）分別計(jì)算等式左邊，右邊，即可驗(yàn)證．【詳解】（1）解：觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第6個(gè)等式為：；（2）解：第個(gè)等式為：，理由如下：等式左邊，等式右邊：，，成立．22．(1)(2)12【分析】本題考查完全平方公式的幾