一文搞定高中數(shù)學(xué)一題多解與一題多變

專題01一題多變，利用條件求范圍

【典例】已知P={x4—8x—20W0},非空集合S={Ml-mW九W1+機(jī)}.若xGP是xGS的必

要條件，求機(jī)的取值范圍.

解由小一&丫-2040,得一24.《10,

/.P={x|-2<X10}.

是xEs的必要條件，

則SCR

fl-w>-2,上

,金m解付次43-

J十次&10,

又'.'S為非空集合，1-加<1+制,解得，〃>0.

綜上，可知物》0<3時(shí)，尸是x€s的必要條件.

【變式」】本例條件不變，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)機(jī)，使xep是XGS的充要條件？

解由例題知P={x|—2WxW10}.

1—m=-2,機(jī)=3,

若xGP是xGS的充要條件，則P=S,這樣的m不存在

l+m=10,m=9.

【變式2】本例條件不變，若V是F的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解由例題知「={可一2WxW10}.

?.…P是F的必要不充分條件，是S的充分不必要條件，...P=S且西、P.

[—2,10]￡[1—m,1+m].

1—mW—2,1~m<一2,

或1一.??加29，則機(jī)的取值范圍是［9，+8）.

1+m>10」十根310,

【小結(jié)】充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問(wèn)題的求解上.解題時(shí)需注意：

⑴把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出

關(guān)于參數(shù)的不等式（或不等式組）求解；

⑵要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).

【鞏固提升】

1.已知命題p：/+2%—3>0；命題q：x>a,且飛的一個(gè)充分不必要條件是>,則。的取值

范圍是()

A.[l,+8)8.(—8r,1]C.[-i,+8)D(—8,-3]

解析：由/+2x—3>0,得x<—3或x>』，由力的一個(gè)充分不必要條件是“，可知力是飛

的充分不必要條件，等價(jià)于q是〃的充分不必要條件.故位L選A

2.已知P：f-8x-20W0；q-.\-m2^x^l+m2.若「p是一'"的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍是.

解析：是rq的必要不充分條件，

h一加2<一2

.?應(yīng)是p的必要不充分條件，即~即〃及29,解得〃?23或〃zW-3

[1+/M2>10

即機(jī)的取值范圍是(-°°,-3]U[3,+8).

3.已知條件p：x2+12x+20<0,條件q：l-"?VxVl+/"(機(jī)>0).若一"p是q的必要不充分條件

“求機(jī)的取值范圍.

解析:,；P：-104x4-2,「p：x<-10或x〉-2,

若「P是q的必要不充分條件，

則-241-m,即0<m43.

4.已知p：(x-m)2>3Cx-jn),s：x2+3x-4<0,若〃是x￡s的必要不充分條件，求的

取值范圍.

解析：由(x-"〃)2>3(x-m),得(犬-〃2-2)(x-m)>0,即x>/n+2或彳〈加，

由f+3/4V0得-4VxV1,

是x￡s的必要不充分條件，

或〃?+2<-4,

即\或“W-6,

即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是加21或機(jī)W-6

5.已知p：{R-2W%W10},q：{x|l-m<尤<l+〃2,m>0},若q的一個(gè)充分不必要條件是p,則

實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

解析：V/?：{M-2WxW10},q：{x\\-m^x^l+m9m>0},

設(shè)A={R-2〈xW10},B={x\l-m^x^1+m,m>0},

要使p是q一個(gè)充分不必要條件，即

l-m<-2

m>9

l+m>10

6.已知〃：犬<-2或X>10；q：1-777<X<1+77Z2；是q的充分而不必要條件，則實(shí)數(shù)”的取

值范圍—.

解析：V/z：xV-2或x>10,；Lp：-2W?xW10.q：l-m<x<l+/n2.

1—"zV—2

???「P是q的充分而不必要條件，???s一2，，〃2>3

10<l+m

7.已知集合A=1x；V2'V8,XGRJ,B={x\~\<x<m+1,x^R},若九GB成立的一個(gè)充分

不必要的條件是xdA,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

解析.4=ix1<2X<8,R={x|-l<x<3},

成立的一個(gè)充分不必要條件是x^A,

：.A^B,/.w+l>3,即次>2.

8.已知命題p：aSr%+l,命題q：x2—4x<0,若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍

是.

2

解析：令M=3。0立。+1},N={xl^—4x<0,}=r{x|0<r<4}

,:p是q的充分不必要條.件，

a>0,

.Y,解得0<a<3.

[a+l<4,

9.已知「nHjAZc-lSWO},S={x|2-〃zWxW3+m},使是x?S的必要條件，則〃z的取值

范圍是.

解析：若存在實(shí)數(shù)m,使xEP是x￡S的必要條件，

則SUP,若2-m>3+m得m<-2此時(shí)s=0,滿足條件.

2-w<3+w

-1

<3+w<5w<2<w<2

2

2-w>-3w<5

若S#。，則滿足

10.已知集合P={x||x-l|>2},S={尤|/-(a+l)x+a>0},若QWI,x￡S是的必要條件，

求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解析：由|41|>2解得%V-1或x>3，P=3%V/或x>3}

由x2-Ca+l)尢+〃>0即(x?〃)(x-1)>0

VxeS是尸的必要條件/.P￡S

當(dāng)a>l時(shí)，S={x|x<l或x>a}

由P￡S,得〃<3,?二1?

當(dāng)a<1時(shí)，S={x|xVa或x>1}

由PGS,得心?L：.-l^a<l

綜上所述，T4V1或lVaW3

專題02一題多變，綜合函數(shù)性質(zhì)來(lái)幫忙

【典例】定義在R上函數(shù)/(x)滿足：/(x+D=—―，X?(0,1］時(shí)，f(x)=2*,f(logA)等于()

/(x

98

人aD

一

16一--25

/?.89

2516

【解析】函數(shù)f(x)滿足：f(Kl)=R^可得：f(x+2)=——;v=f(x),

〃x)〃x+l)

Q1I

二.函數(shù)的周期T=2.「.f(log；9)=f(2+log：-)=/logt

4i

【變式1】本例條件，(x+l)改為fQ-x)=f(/+x),結(jié)果又如何呢？

【解析】函數(shù)f(x)滿足：fU-x)=fG+x\所以/(x)=/(2+x),：.f(x)是周期為2的函數(shù),

/9\

:JQlogQ=f(2+log2)=flog^

4IJ

-998

---=-

xz89選c

1

【變式2】本例條件，(x+l)=改為/(X)+f^-x)=0,f(x-1)V(x+1),結(jié)果又如何?

/(x)

【解析】由f(v)+f(-X)=0得，/(-%)(%),所以/(x)是定義在R上的奇函數(shù),

由/(JC-1)-f(x+1)得，f(x)-f(x+2),

<9\

-

是定義在R上以2為周期的周期函數(shù)，."(/咱9)=/,(2+/O^2)=/14

所以/(X)og2

\<7

【小結(jié)】

1.運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)，先要正確理解和把握函數(shù)相關(guān)性質(zhì)本身的含義及其應(yīng)用方向.

2.在研究函數(shù)性質(zhì)特別是奇偶性、周期、對(duì)稱性、單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時(shí)，要注意用好其與條件的相互關(guān)

系，結(jié)合特征進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化研究.如奇偶性可實(shí)現(xiàn)自變'量正負(fù)轉(zhuǎn)化，周期可實(shí)現(xiàn)自變量大小轉(zhuǎn)化，單調(diào)性可

實(shí)現(xiàn)去,即將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化自變量大小關(guān)系，對(duì)稱性可得到兩個(gè)對(duì)稱的自變量所對(duì)應(yīng)函數(shù)值關(guān)系.

抽象函數(shù)的周期性：

(1)若/(x+T)=/(x),則函數(shù)/(x)周期"為T

(2)若/(x+a)=/(x+〃)，則/(x)函數(shù)周期為6-a

⑶若=—/(￡),則函數(shù)的周期為2a

(4)若+—7~r則函數(shù)的周期為2a

【變式訓(xùn)練】

1.定義在R上的函數(shù)/(%),滿足/(%+5)=/(x),當(dāng)xe(-3,0］時(shí)，/(x)=-x-l,當(dāng)xe(0,2］時(shí),

/(x)=log2x,則“1)+,⑵+〃3)+”2018)的值等于()

A.403B.405C.806D.809

【答案】B

t解析】定義在及上的函數(shù)八X),滿足〃A'匚/㈤，即函數(shù)的周期為5.

當(dāng)xc(0j］時(shí)，y(x)=log2X,所以/⑴=logj=0,/(2)=log;2=l

當(dāng)xe(T0］時(shí)，/(x)=-x-lt

所以〃3)=〃-2)=1J(4)=/(T)=OJ(5)=/(O)=T

川)+/(2)+〃3)+.?力：2018)=403乂(八1)+.2)+八3)+外4)+力到+42016)+以20功+〃2018)

=403x1+/(1)+/(2)+7(3)=403+0+1+1=405

3

2.已知定義在R上的函數(shù)滿足“X一3)=—/(%),在區(qū)間0,-上是增函數(shù)，且函數(shù)y=f(x—3)

為奇函數(shù)，則()

A./(-31)</(84)</(13)B./(84)</(13)</(-31)

C./(13)</(84)</(-31)D./(-31)</(13)</(84)

【解析】根據(jù)題意，函數(shù)/(x)滿足f(x—3)=—/(￡),

則有./■(x-6)=—y(x—3)=f(x),則函數(shù)/(x)為周期為6的周期函數(shù)，

若函數(shù)y=/(x—3)為奇函數(shù)，則/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-3,0)成中心對(duì)稱，則有fCx)=fC-6-x)

又由函數(shù)的周期為6,則有/(x)=—/(—x),函數(shù)/(X)為奇函數(shù)；

-3-1「33-

又由函數(shù)在區(qū)間o--上是增函數(shù)，則函數(shù)/(x)在-5，萬(wàn)上為增函數(shù)，

/(84)=/(14x6+0)=/(0),/(-31)=/(-l-5x6)=/(-I),/(13)=/(l+2x6)=/(l),

則有了(一1)</(0)勺'⑴，即/(-31)</(84)寸(13)；選A

3.設(shè)fO)是定義在R上的奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于龍=1對(duì)稱，當(dāng)無(wú)￡[0,2]時(shí)，fM=2x-x2,則

/(0)+f⑴+.“+/(2017)的值為()

4.-1,B.0C.1D.不能確定

【答案】C

【解析】定義在火上的奇函數(shù)“外的圖象是關(guān)于直線*=1對(duì)稱，

/(2-x)=/(x)

f[2-(x+2)]=f(x+2)府(x+2)=-/(x),f(x+4)=f(x)

故函數(shù)"功的周期為4

???r(-l)=-AD=-1.f(D=1J(2)=f(0)=0/(3)=r(-l)=-l,/(4)=f(0)=0

則f(l)+f⑵+f(3)+???+f(2017)

=504X[/?(0)+/(I)+/(2)+f(3)]+f(2016)+/(2017)=504x0+/(O)+/(I)=1

4.f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x+2)=f(x),當(dāng)(-2,0)時(shí)，f(x)=2*-2,則八-3)的值

等于()

3131

4.一一B.—C,—D.——

2222

【解析】因?yàn)閒(x+2)=/(x),所以函數(shù)/(x)的周期是2.

13

所以/(-3)(-1)=2--2=a-2=-萬(wàn)，選A

5.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足條件/(廿4)=于'(x),且函數(shù)元/"(x+2)是偶函數(shù)，當(dāng)xW(0,2]

時(shí)，/(x)=lnx-ax(d>,當(dāng)xW[-2,0)時(shí)，f(x)的最小值為3,則a的值等于()

A./B.eC.2D.1

【答案】A

【解析】<f<x+2)是偶函數(shù)，；.f(x+2)=f(-x+2),

/.f(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

.,.當(dāng)2WY4時(shí),f(x)=f(4-x)=ln(4-x)-a(4-x).

,/f(x+4)=-f(x),

.,.當(dāng)-2WxVO時(shí),f(x)=-f(x+4)=-ln[4-(x+4)]+a[4-(x+4)]=-ln(-x)-ax,

1111rr21

——--e(-2,0)—

.'.fz(x)=x-a,令f'(x)=0得x=a..%>2,a.,.當(dāng)-2Wx<時(shí)，f'(x)<

0,當(dāng)a<x<0時(shí)，f‘(x)>0,

：.■￡(x)在[-2,a)上單調(diào)遞減，在(a,o)上單調(diào)遞增，

_￡￡

...當(dāng)X=a時(shí)，f(X)取得最小值f(a)=-ina+i,

■.?f(x)在[-2,0)上有最小值3,

二.Tna+1=3,解得a=e：.

6.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(-x)=《+|)/(2014)=2,則/(-1)=

f(x+-)

【解析】???函數(shù)f(X)滿足f(-X)=2,

故函數(shù)f(X)為周期為3的周期函數(shù)，

'：-￡(2014)=2,

.,.f(1)=2,

又二.函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，

：.f(-1)=-f(1)=-2,

]

7.已知定義在［L3］上的函數(shù)/(x)滿足/(x+l)=且當(dāng)xe[2,3]時(shí),/(x)=W.若對(duì)

〃x)+l

任意。、b、cG[l,r],都有+成立，則實(shí)數(shù)，的最大值是.

【解析】當(dāng)xe[l,2)時(shí)，X+1G[2,3),/(x+l)=—(x+l)--,.-./(x+l)=—x-—

1221212

12

-l,xe[l,2)

1175x-l

又聽(tīng)，?.?/3=不一】,?../(])=,

5

—x——x.xe[2冏

1122

當(dāng)xe［l,2)時(shí)，“X)單調(diào)遞減；當(dāng)xe［2,3］時(shí)，/(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)a、b、。€［1"］時(shí)都有/(。)+/僅)2/?,

247

若時(shí)，則“2)+/(2)2/(1)舍去；若f<2時(shí)，則/⑺+/(。2/(1),---2>2,解得

5t—15

7

故答案實(shí)數(shù)f的最大值是二

8.已知函數(shù)/(X)對(duì)任意xeR都有〃x+6)+/(x)=2/(3),y=4％—1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱且

"2)=4,則/(22)=,一

【解析】因?yàn)椋?=〃xT)的圖象關(guān)于點(diǎn)(L0)對(duì)稱，所以N=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0P)對(duì)稱,即函數(shù)/(X)

為奇函數(shù)，由/(x+Gj+flxJuZ/m,l得/(x+12)+/|.X+6,I=2/(3)所以

/(x+12)=〃x),T=12但此〃22)"(—2)=—42)=-4.

專題03一題多變，分段函數(shù)求值或范圍

2'1—2,%<1,

,:「二,且兒0=—3,則穴6—〃)=()

{—1022(X+1),X>1,

7531

--c--

44-44

解⑴當(dāng)W時(shí),圖)=2門-2=-3,

即2。-1二一1,不成立，舍去；

當(dāng)心1時(shí)，岫=-log2(a+1)=-3,

即log：(a+l)=3,解得a=7,

此時(shí)人6—a)』.1)=2-2—2二一

.答案A.

【變式1】設(shè)函數(shù)段)=[Q)'—7'“<0,若人。)<1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

[y[x9x>0,

A.(-oo,—3)B.(1,+oo)C.(—3,1)D.(—oo,—3)U(1,+oo)

解：法一：當(dāng)a<0時(shí)，不等式加)<1為(?一7<1,即管〃<8,即⑤"〈⑤汽因?yàn)樗?,此

時(shí)一3<a<0：當(dāng)介0時(shí)，不等式為/<1,所以037<1.故a的取值范圍是(一3,1),故選C.

法二：取。=0,/0)=0<1,符合題意，排除A,B,D.

答案：C

log2j+a,x>0

【變式2]已知於)=,1八，若44)=3,則大幻>0的解集為(「)

cix\1Jx^O

A.{x|x>—1}B.{x|—1<A<0}C.{x|x>—1且#0}D.jx|—1<A<0BJU>^

解：因?yàn)閤>0時(shí)，_/(x)=/og2x+a,所以/(4)=2+a=3,所以a=l.

x>0,i[x<0

所以不等式外)>0等價(jià)于，「八即x>；，或」八，即一1X0

[log以+1>0,2lx+1>0

所以危)>0的解集為口—1X0或L

答案。

【小結(jié)】

（1）根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解。

（2）已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分捌求解，但要注意檢驗(yàn)

所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍。

【鞏固提升】

5、、

1.設(shè)函數(shù)段）=[3x0—b,.x<l,若瓶就）=4,則一）

AA,B三

解⑴蠟=3x1一b三一b,

若^一上1,即b>澗，

則b=；lb]-b=』，,選。

解之得b=1,不合題意舍去.

若，應(yīng)1,即區(qū)|,則小=4,解得b=；.

[l+log2(2—X),X<1,

2.設(shè)函數(shù)危)=.「I則1-2)十/(四212)=()

A.3B6C.90.12

解：根據(jù)分段函數(shù)的意義，八-2)=1+/og2(2+2)=1+2=3.又/og212>l,

.\/(/og212)=2(%i2F=2%6=6,因此人一2)+必笈212)=3+6=9,答案C

x+〃，-l<x<0,

3.設(shè)7U）是定義在K上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[―I,I）上,2其中“GR.若

5—X,0<￥<1,

4號(hào)，則貝5a）的值是（）

選C

[10g3X?X>0,

4.已知八》)=且_/(。)=2,人-1)=3,則歡—3))=()

[a+b,爛0n,

A.-2B.2C.3D.-3

解：<0)=M+8=l+匕=2,解得匕=1;

人-1)=丁1+方=小+1=3,解得a=；.

logs%,JOQ,

故網(wǎng)=<傲+1在0<-3)=a-3+1=9,加-3))=虺)=皿9=2,故選B.

3x—],x<1,

則滿足歡"))=2火。的4的取值范圍是()

{2,%>1,

「21「2、

1JB.[0,I]唱，+oojD.[\,+a>)

解:由歡“))=2刎得，&)“

22

當(dāng)〃<1時(shí)，有3〃一61,與，；?石〃<1.

當(dāng)生1時(shí),有221,???介0,：.d>\,

2

綜上，6f>T.,選C

卜*~1,X<1,

6.設(shè)函數(shù)凡￥)=，1則使得.危丑2成立的X的取值范圍是_________.

L?,x>i,

解：當(dāng)x<l時(shí)，爐一七2,解得它1+02,所以比<1.

當(dāng)后1時(shí)，x3<2,解得讓8,所以1SE8.

綜上可知x的取值范圍是(-8,8].

(2

元+二一3,x>i,

7.已知函數(shù)/U)=<x則歡—3))=，的最小值是.

Jg(/+1),x<l,

解：:1-3)=/加(-3)2+1]=k10尸1,???歡—3))=x1)=0,

2

當(dāng)於1時(shí)，40=》+嚏-3工2小一3,當(dāng)且僅當(dāng)》=也時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)人尤)而“=2地一3<0；

當(dāng)x<l時(shí)，Kt)=/g(W+l)2/g1=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),取等號(hào)，此時(shí)兀為同=0,；,心)最小值為2吸一3

2。x>0

8.已知函數(shù)氏0=八.若次〃)+41)=0,則實(shí)數(shù)。的值等于______

X-T1(,它0

解：???川）=2>0,且式1）+X”）=0,

?\/（。）=-2<0,故處0.依題知〃+1=—2,解得。=一3.

9.定義新運(yùn)算：當(dāng)〃》時(shí)，ab=a；當(dāng)時(shí)，a6=戶.設(shè)函數(shù)/(x)=x)x-x),—2,2],

則函數(shù)段)的值域?yàn)?

解：由題意知?=l<x—_2,2x,￡[g—2I,21J].,

當(dāng)工￡[—2,1]時(shí)，段)可一4,-1]；當(dāng)工￡(1,2]時(shí)，於)《(一1,6].

故當(dāng)天￡[-2,2]時(shí),於)￡[-4,6].

—2ax+3。，x<l,

10.己知函數(shù)的值域?yàn)镵,那么。的取值范圍是______

Jnx,x>l

解：要使函數(shù)9的值域?yàn)镽’需使t1—?dú)w2a>一0勿r+3“，所以,吃,所以一lWa<1.

a>—

11.已知奇函數(shù)孔0=jK則函數(shù)力。)的最大值為.

hxx<,

解：先求出x〉0時(shí)，網(wǎng)=，1的最小值.當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=-^Y不~~-1，二x&0,l)時(shí)，/(x)<0,函數(shù)單

調(diào)遞減，x€(l,+8時(shí)，/(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，.匕=1時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，為e-l,.?.由

已知條件得幽X)的最大值為l—e.

專題04一題多變，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

(21a)—|—[x<]f/\f/x

、.:''滿足對(duì)任意8g小都有-二:~~匚〉0成立，那

{a,xNlx\—xi

么a的取值范圍是

(2)(2017?珠海模擬)定義在R上的奇函數(shù)y=/(x)在(0,+8)上遞增，且《")=(),則不等式/(依?產(chǎn))〉0的

9

解集為.

解析(1)對(duì)任意汨去檢，都有/(二)./(山-〉0,所以y=/(x)在(-8,+8)上是增函數(shù)

矛1X2

f2-a>0,

3「3、

所以ja>l,解得尹水2,故實(shí)數(shù)。的取值范圍是2J

.(2-a)Xl+lWa,

(2)■,>=fix)是定義在R上的奇函數(shù)，目尸f(x)在9,+8)上遞增..?.尸f(x)在(-8,0)上也是熠函數(shù)

又《尸知W一：一《；二°?故原不等式f(log；x)>?？苫癁?/p>

/(logx)>/.■.log.x>^-^<log,JT<0,解得OCK；或

f(log,x)>

_\4/_4/_J

9S9

所以原不等式的解集為;X|0〈K|或1<叱31

【變式1】在例題第⑴題中，條件不變，若設(shè)%=/(一)n=f(a),tt=/(2),試比較小n,t的大小.

解析由例題知f(x)在(-8,+8)上是增函數(shù)，且2c又一T〈水2,.,/一，54)</(2),HPm<n<t

【變式2】在例題第(2)題中，若條件改為：“定義在7?上的偶函數(shù))，=/(x)在[0,+8)上單調(diào)遞減”，且

(9=0,則不等式/(/ogR>0的解集是

解析因?yàn)閒(x)在R上為偶函數(shù)，且不；)=0,所以等價(jià)于《

Ilog,^r111,1

又一(x)在[0,+8)上為減函數(shù)，所以-<-,即一解得鼻Vx<3

9/z2,zo

【小結(jié)】

(1)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)的思路是：根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或

先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解

(2)在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“廣符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等

式求解，此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域

【鞏固提升】

1.已知函數(shù)/3=(病一根一5)/是基函數(shù)，且在xe(O,+8)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的值是()

A.-2B.4C.3O.-2或3

解：f(x)=(〃『一,"一5)/是幕函數(shù)=/一m一5=1=〃?=-2或加=3.又在xG(0,+8)上增函數(shù)，機(jī)=3

答案：C

2.已知於)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(尤)單調(diào)遞減，設(shè)“=一2'2,。=2例2貝Uf(a),,/(c)

的大小關(guān)系為()

A./(c)</(Z?)<f(a)B.y(c)<f(a)<f(b)C.f(c)>f(b)>f(a)D./(c)?(a)〉/(〃)

解：依題意，注意到2，：>吸'=⑤-°"20=1=1。靂5>io費(fèi)4=2］。靂2>0,又函數(shù)f(x)在區(qū)間9,+8)上是減

函數(shù)，于是有f(2°')?(21咕⑵，由函數(shù)fG)是偶函數(shù)得f(a)=f(2：；),因此f(a”f(b)<f(c),選

C.

3.已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(一8,0］上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)。滿足鏡),

則〃的取值范圍是()

A.(-8,小)B.(0,小)C.他,+8)￡>.(1,小)

解：是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-8,0］上單調(diào)遞增，

.?./(X)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減.

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，可得f(一?=式木)，；.f⑵唯山小木).；2bgw〉0,

/(X)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減，,o<2/og心<，^=/og3a<；=0<a</,

故選B.

4.已知函數(shù)y=/G)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，且在(1,+8)上單調(diào)遞增，設(shè)b=f②,c=/(3),

則a,6,c的大小關(guān)系為()

A.c^b^aB.b〈a〈cC.b〈c〈aD.a〈b〈c

解：：函數(shù)圖象關(guān)于X=1對(duì)稱，."=(一+娟，又尸於)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

/./(2)〈局7(3)，即b<a<c.

答案B

5JG)是定義在(0,+8)上的單調(diào)增函數(shù),滿足/(xy)=/(x)+/(y),/(3)=1,當(dāng)/⑺+/6—8)W2時(shí),x

的取值范圍是()

A.(8,+8)B.(8,9]C.[8,9]D.(0,8)

解2=1+1=f(3)4-f(3)=/(9),由f(x)+f(x-8)W2,可得f[xG-8)]Wf(9),因?yàn)閒(x)是定義在

(0,+8)上的增函數(shù)，

\>0,

所以有<x-8>0,解得8<xW9.

.x(x-8)W9,

答案B

—|4xx'^^-4

6.設(shè)函數(shù)/(x)=,'''若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,a+1)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)?的取值范圍是

log2x,x>4.

解：作出函數(shù)八x)的圖象如圖所示，由圖象可知/(x)在(a,。+1)上單調(diào)遞增，需滿足或“+1W2,即

aWl或心4.

答案(一8,1]U[4,+8)

7.若函數(shù)/(x)=優(yōu)(〃>0,"1)在［-1,2］上的最大值為4,最小值為相，且函數(shù)g(x)=(1—4加在［0,

+8)上是增函數(shù)，則。=()

11

442GD

2-4-

］

解析當(dāng)a>l,則y="為增函數(shù)，有d=4,a~=mf此時(shí)。=2,加=：

此時(shí)g(x)=一，:在［0,+8)上為減函數(shù)，不合題意

當(dāng)0<水1,則y="為減函數(shù)

有〃T=4,a=m,此時(shí)a=：,加=上

416

此時(shí)g(x)=*〃在［0,+8)上是增函數(shù).故4=］

答案。

8.設(shè)函數(shù)/(尤)=52—9/心在區(qū)間［”-1,〃+1］上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.l<aW2B.心4C.aW2D.0<aW3

解：易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,+8),f(jr)=x--,由，(x)=x—腹0,解得?！?.因?yàn)楹瘮?shù)

XX

1—..a―1>0

f(x)=;x；-91nx在區(qū)間［a-1,a+l］上單調(diào)遞減，所以，解得1</2,選A.

答案：A

9.已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)〃滿足/(2則

a的取值范圍是

解：/(x)在R匕是偶函數(shù)，且在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞增，.?./(X)在(0,+8)上是減函數(shù),

則八2L)?(一的=/《「),

因此2"-'〈*=22,又y=2*是增函數(shù),

|a—11<1,解得上<水,.

Iw

答案2,2

10.已知函數(shù)f(x)=；f+2ar—/"X,若/(x)在區(qū)間;，2上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

解：由題意知￡(X)=X+23-SC^；,2'|±恒成立，即2e一x+1在;，21b恒成立.

“L3廣*L3廣

又.?>=一X+亍在21h單調(diào)遞減，."-"+5==|,

一84

「.2含即含

答案：|，+8)

11.已知函數(shù)八X)=X-2X+，T，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若/(〃一l)+/(2d)W0,則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是.

解析：因?yàn)?(—X)=(一工)'-2(-x)+er一甘7

=~xi+2x-ex+\=-/(%),

所以/U)=d—2x+F—5是奇函數(shù).

因?yàn)?(〃-1)+/(21)二0,

所以/(24)即f(2a2).

因?yàn)?(x)=3x2—2+F+ex3x2—2+2y/ex?ev=3x20,

所以/(x)在K上單調(diào)遞增，

所以2〃-W1—a,E[J2aa—IWO,

所以一Kwg.

答案：一1,I

專題05一題多變，深挖式子巧解題

(x+1)~+qinx

【典例】設(shè)函數(shù)，(x)=——7-—~~■的最大值為M,最小值為機(jī)則加+機(jī)=

x+2x4-1+sinx2x4-sinx

解：fix)------：-1d-

x+lx+1

人、2x4-sinx、

々式z公=X：+］，貝”式z-x)二一虱x),

...g(x)為奇函數(shù),

由奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性知g(x)a+g(x)…=0,

故JH?42.

(V—I-1)2-4-ainv

【變式1】設(shè)函,數(shù)/(x)=---------F+J-------+m已知,f(lnx)+/(-lnx)=4,則a:

、x+2%+l+sinx,2%+sinx

解：/U)=---------苕方------吃=1+小一笠+])

9Y-X-sinx

令g(x)=球：,則g(—x)=-g(x),所以M+N=2+2a=4,r.a=l

(x~\~1)"+sinx

【變式2】設(shè)函數(shù)/(x)=矢:，最大值為必最小值為mM+N>4,則a的范圍

f+2x+l+sinX2x+sinx

解：f(x),=—+〃=1+。+

7+i%2+15

2x+qinx

令g(x)=—云力一,則g(—x)=-g(x),所以M+N=2+2。>4/.a>1

【小結(jié)】

題干中條件很簡(jiǎn)單，但我們要從已知中挖掘信息，如/(lnx)+/(—lnx)=4,在［一〃，可上的值域?yàn)?/p>

［a,b］,在［—2017,2017］上的最大值與最小值的和，川取力+工2f(1)可以看出無(wú)論從給出的等

式還是不等式，還是研究的區(qū)間都暗示著要研究函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性等，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上最值互為

相反數(shù)即最值之和為0的性質(zhì)的應(yīng)用，其中構(gòu)造函數(shù)g(X)是求解本題的關(guān)鍵。

【鞏固提升】

oX

1.若對(duì)有/(%+)，)=/■彳討乂｝■3,則函數(shù)8(力=彳彳+/(力在［-2017,2017］上的

最大值與最小值的和為()

A.4B.6C.9D.12

解：對(duì)~Vx,yeR,有/(x+y)=/(x)+/(y)-3,令x=y=O,

有〃O)=〃O)+〃O)—3J(())=3,

令，=一》，有F(O)=/(X)+/(T)-3,則〃x)+f(r)=6,

令//(x)=/(x)-3”，則〃(x)+〃(一x)=0,則/?(x)為奇函數(shù)，

又設(shè)函數(shù)9(x)=2+］，°(x)為奇函數(shù)，則g(x)=0(x)+〃(x)+3,而o(x)+〃(x)為奇函數(shù)，由于

奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)的最大值與最小值互為相反數(shù)，則g(x)的最大值與最小值之和為6.

答案8

b

2.已知函數(shù)/0)=Qsinx+—+c,xe［-5TT,0)0(0,5^］,若/⑴+/(-1)=4034,貝ljc=.

x

解：設(shè)：9⑴-3"+”是奇函數(shù)，f(x)=gO)+c,/(T)+"l)=g(-l)+2)+2c,

p(x)=asinx+-0、，八

因?yàn)?是奇函數(shù)，所以g(D+g(-D=0,

/(-I)+/(I)=g(T)+j(l)+2c=2c=4034,故c=2017.

故答案為c=2。”.

3.12018河南溪河三?！吭O(shè)函數(shù)〃x)=2+.'、—：若/(X)在上的值域?yàn)椋邸?目,

乙i-人

其中a,方,〃z,〃eR,且”〉0,則。+匕=()

A.0B.2C.4D.2m

XX

/、7MX(2+cosjc)+siru-sinr2sincos

解：/'(x)=2+—------------------=2+mx+-----------=2+mx+--------乜——

2+cosx2+cosxsin2X+3cos2%

22

2tan—

n2

=2+mvd------------=2+mx+

x3

tan2'+3tan+

2x

2tan

2

g(X)=/研+---------_2

令tan-+-------，則g(-x)=-g(x)，為奇函數(shù),

2tan-

2

若存在玉,取得g(x)皿=g5)"-2,則有g(shù)(x)1nhi=g(F>)=-gGb)，

即a—2=2—人，得a+Z?=4,

答案C

4.已知函數(shù)〃x)=lg(Jl+4x2+2x)+2,則“l(fā)n2)+/(ln；)=()

A.4B.2C.1D.0

解：由于函數(shù)的解析式可得：

/(x)+/(-x)=lg(Jl+4/+2x)+2+應(yīng)(71+4X2.2x)+2

=7g(1+4/-4f)+4=4S

.-/(ln2)+/5n￡；=/(ln2)+/(-ln2)=4

答案A

5.已知函數(shù)f(x)=(eX-e-)Gfao93X)+f，o"x)W2f(l),則x的取值范圍是.

解：由題意可得f(-x)寸U),所以/(尤)是偶函數(shù)，又/3見(jiàn)，=/("。％》)=4。93。