2024屆湖南省益陽市高三下學期5月適應(yīng)性考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3湖南省益陽市2024屆高三下學期5月適應(yīng)性考試數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，則A的子集個數(shù)為（）A.4 B.7 C.8 D.16〖答案〗C〖解析〗由題意可得：，可知A有3個元素，所以A的子集個數(shù)為.故選：C.2.展開式中的系數(shù)為（）A. B.5 C.15 D.35〖答案〗A〖解析〗若要產(chǎn)生這一項，則當在中取1時，再在中取2個、取4個1，當在中取時，再在中取3個、取3個1，所以展開式中的系數(shù)為.故選：A.3.已知數(shù)列中，，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗由，得，，，，，，則是以6為周期的周期數(shù)列，所以.故選：C.4.已知正三棱錐P－ABC的底面邊長為，若半徑為1的球與該正三棱錐的各棱均相切，則三棱錐P－ABC的體積為（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因為球與該正三棱錐的各棱均相切，所以該球的球心在過截面圓圓心且與平面垂直的直線上，又因為底面邊長為，所以底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為，又因為球的半徑，即，所以棱切球的球心即為底面正三角形的中心點O，如圖，過球心O作PA的垂線交PA于H，則H為棱切球在PA上的垂足，所以，又因為，所以,因為，所以，又由題意可知，平面，所以，所以所以，所以.故選：A.5.秋冬季節(jié)是某呼吸道疾病的高發(fā)期，為了解該疾病的發(fā)病情況，疾控部門對該地區(qū)居民進行普查化驗，化驗結(jié)果陽性率為，但統(tǒng)計分析結(jié)果顯示患病率為，醫(yī)學研究表明化驗結(jié)果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗結(jié)果呈陽性的概率為0.01，則該地區(qū)患有該疾病的居民化驗結(jié)果呈陽性的概率為（）A.0.96 B.0.97 C.0.98 D.0.99〖答案〗C〖解析〗設(shè)事件為“患有該疾病”，為“化驗結(jié)果呈陽性”，由題意可得，，，因為，所以，解得，所以該地區(qū)患有該疾病的居民化驗結(jié)果呈陽性的概率為，故選：C.6.已知函數(shù)，若在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，函數(shù)，當時，，顯然，且正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，由在區(qū)間上的值域為，得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D7.已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，它的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知該球為圓柱的外接球，所以球心為圓柱的中心，設(shè)球半徑為，則，故該球的表面積為.故選：C8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，根據(jù)雙曲線的光學性質(zhì)可知，過雙曲線上任意一點的切線平分.直線過交雙曲線的右支于A，B兩點，設(shè)的內(nèi)心分別為，若與的面積之比為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D..〖答案〗C〖解析〗令圓切分別為點，則，，令點，而，因此，解得，又，則點橫坐標為，同理點橫坐標為，即直線的方程為，設(shè)，依題意，直線的方程分別為：，，聯(lián)立消去得：，整理得，令直線的方程為，于是，即點的橫坐標為，因此，所以雙曲線的離心率.故選：C二、選擇題9.已知，為復數(shù)，則（）A. B.若，則C.若，則的最小值為2 D.若，則或〖答案〗BD〖解析〗對于A，若，則，，則，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，所以，而，所以，故B正確；對于C，設(shè)，因為，所以，所以，因為，所以，所以的最小值為1，故C錯誤；對于D，若，所以，所以，所以或，所以至少有一個為0，故D正確.故選：BD10.若函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于對稱 B.在上單調(diào)遞增C.的極小值點為 D.有兩個零點〖答案〗AC〖解析〗對于函數(shù)，令，解得或，所以函數(shù)的定義域為，又，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于對稱，故A正確；又，當時，，即在上單調(diào)遞減，故B錯誤；當時，，即在上單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值點為，極大值點為，故C正確；又，且當趨近于1時，趨近于無窮大，當趨近于0時，趨近于無窮大，所以在上無零點，根據(jù)對稱性可知在上無零點，故無零點，故D錯誤．故選：AC．11.如圖，在直三棱柱中，，，分別是棱，上的動點（異于頂點），，為的中點，則下列說法中正確的是（）A.直三棱柱體積的最大值為B.三棱錐與三棱錐的體積相等C.當，且時，三棱錐外接球的表面積為D.設(shè)直線，與平面分別相交于點，，若，則最小值為〖答案〗BCD〖解析〗A選項：由已知可得，又，所以，即體積的最大值為，A選項錯誤；B選項：如圖所示，由點為的中點，則，設(shè)點到平面的距離為，則，，又，所以，所以，B選項正確；C選項：如圖所示，由已知為正三角形，設(shè)外接球球心為，中心為，中點為，則平面，且，，即，所以外接球半徑為，外接球表面積為，C選項正確；D選項：如圖所示，取中點，可知在的延長線上，在的延長線上，則，即，設(shè)，，易知，，則，，則，,，所以，當且僅當，即時取等號，故D選項正確；故選：BCD.三、填空題12.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．則=______．〖答案〗〖解析〗在中，由余弦定理可得，所以，所以，因為，所以，所以，解得，由，可得，在中，由正弦定理可得，所以.故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)，若方程有三個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為________.〖答案〗〖解析〗由題意可知：的定義域為，則，當時，；當時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且當趨近于時，趨近于；當趨近于時，趨近于0；作出的圖象，如圖所示，對于關(guān)于x的方程，令，可得，整理得，且不為方程的根，可知方程等價于，若方程有三個不相等的實數(shù)解，可知有兩個不同的實數(shù)根，且或或，構(gòu)建，若，則，解得；若，則，解得，此時方程為，解得，不合題意；若，則，解得，此時方程為，解得，不合題意；綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為.故〖答案〗為：.14.“序列”在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用，該序列中的數(shù)取值于或1.設(shè)是一個有限“序列”，表示把中每個都變?yōu)?，每個0都變?yōu)?，每個1都變?yōu)?，1，得到新的有序?qū)崝?shù)組.例如：，則.定義，，若中1的個數(shù)記為，則的前10項和為______.〖答案〗〖解析〗因為，依題意得，，，顯然，中有2項，其中1項為，1項為1，中有4項，其中1項為，1項為1，2項為0，中有8項，其中3項為，3項為1，2項為0，由此可得中共有項，其中1和的項數(shù)相同，設(shè)中有項為0，1和的項數(shù)相同都為，所以，，從而①，因為表示把中每個都變?yōu)?，每個0都變?yōu)椋總€1都變?yōu)?，1，得到新的有序?qū)崝?shù)組，則②，①②得③，所以④，④③得，所以當為奇數(shù)且時，，經(jīng)檢驗，當時符合，所以(為奇數(shù))，當為偶數(shù)，則為奇數(shù)，又因為，所以，所以，當為奇數(shù)時，，所以的前10項和為.故〖答案〗為：四、解答題15.已知函數(shù)，的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，求的值.解：（1），，，，，，；（2），法一：，，，根據(jù)正弦定理得，由余弦定理得①將代入①式，得，，；法二：，，，由余弦定理得①將代入①式，得，，.16.已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項和為16，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解：（1）設(shè)的公差為，由題意知，即，即有，因為，可得，，所以；（2）設(shè)數(shù)列的前項中的奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則，，所以．17.近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進技術(shù)革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計該企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點圖．其中2019年至2023年對應(yīng)的年份代碼依次為1，2，3，4，5．（1）根據(jù)散點圖判斷，和哪一個適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程；（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，估計2024年的企業(yè)利潤．參考公式及數(shù)據(jù)；，，，，，，解：（1）由散點圖的變化趨勢，知適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型；（2）由題意得：，，，，所以；（3）令，，估計2024年的企業(yè)利潤為99.25億元．18.如圖，在四棱錐中，平面⊥平面，為等邊三角形，，，，，M為的中點．（1）證明：⊥平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：設(shè)中點為O，連接，為等邊三角形，故，由題意知平面⊥平面，平面平面，平面，故平面，平面，故，又，平面，故平面，平面，故，又M為的中點，為等邊三角形，則,平面，所以⊥平面；（2）解：由（1）知平面，平面，故，連接，，則，即四邊形為平行四邊形，故，故以O(shè)為坐標原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則,即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則.19.在平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知直線與橢圓相切，與圓相交于兩點，設(shè)為圓上任意一點，求面積最大時直線的斜率．解：（1）由題橢圓的左焦點為，即①；當時，，又過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，所以②，由①②得：，所以橢圓的標準方程為：.（2）當斜率存在時，設(shè)直線方程為,與聯(lián)立，消去并整理得：已知直線與橢圓相切，所以，化簡得：；又O到直線的距離為，設(shè)P到直線的距離為，則，則的面積，令,得,當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以當時，取得極大值也是最大值,當斜率不存在時，可得，此時的面積，因為，所以，綜上：的面積最大值為，此時故的面積最大時直線的斜率為.湖南省益陽市2024屆高三下學期5月適應(yīng)性考試數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，則A的子集個數(shù)為（）A.4 B.7 C.8 D.16〖答案〗C〖解析〗由題意可得：，可知A有3個元素，所以A的子集個數(shù)為.故選：C.2.展開式中的系數(shù)為（）A. B.5 C.15 D.35〖答案〗A〖解析〗若要產(chǎn)生這一項，則當在中取1時，再在中取2個、取4個1，當在中取時，再在中取3個、取3個1，所以展開式中的系數(shù)為.故選：A.3.已知數(shù)列中，，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗由，得，，，，，，則是以6為周期的周期數(shù)列，所以.故選：C.4.已知正三棱錐P－ABC的底面邊長為，若半徑為1的球與該正三棱錐的各棱均相切，則三棱錐P－ABC的體積為（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因為球與該正三棱錐的各棱均相切，所以該球的球心在過截面圓圓心且與平面垂直的直線上，又因為底面邊長為，所以底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為，又因為球的半徑，即，所以棱切球的球心即為底面正三角形的中心點O，如圖，過球心O作PA的垂線交PA于H，則H為棱切球在PA上的垂足，所以，又因為，所以,因為，所以，又由題意可知，平面，所以，所以所以，所以.故選：A.5.秋冬季節(jié)是某呼吸道疾病的高發(fā)期，為了解該疾病的發(fā)病情況，疾控部門對該地區(qū)居民進行普查化驗，化驗結(jié)果陽性率為，但統(tǒng)計分析結(jié)果顯示患病率為，醫(yī)學研究表明化驗結(jié)果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗結(jié)果呈陽性的概率為0.01，則該地區(qū)患有該疾病的居民化驗結(jié)果呈陽性的概率為（）A.0.96 B.0.97 C.0.98 D.0.99〖答案〗C〖解析〗設(shè)事件為“患有該疾病”，為“化驗結(jié)果呈陽性”，由題意可得，，，因為，所以，解得，所以該地區(qū)患有該疾病的居民化驗結(jié)果呈陽性的概率為，故選：C.6.已知函數(shù)，若在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，函數(shù)，當時，，顯然，且正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，由在區(qū)間上的值域為，得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D7.已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，它的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知該球為圓柱的外接球，所以球心為圓柱的中心，設(shè)球半徑為，則，故該球的表面積為.故選：C8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，根據(jù)雙曲線的光學性質(zhì)可知，過雙曲線上任意一點的切線平分.直線過交雙曲線的右支于A，B兩點，設(shè)的內(nèi)心分別為，若與的面積之比為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D..〖答案〗C〖解析〗令圓切分別為點，則，，令點，而，因此，解得，又，則點橫坐標為，同理點橫坐標為，即直線的方程為，設(shè)，依題意，直線的方程分別為：，，聯(lián)立消去得：，整理得，令直線的方程為，于是，即點的橫坐標為，因此，所以雙曲線的離心率.故選：C二、選擇題9.已知，為復數(shù)，則（）A. B.若，則C.若，則的最小值為2 D.若，則或〖答案〗BD〖解析〗對于A，若，則，，則，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，所以，而，所以，故B正確；對于C，設(shè)，因為，所以，所以，因為，所以，所以的最小值為1，故C錯誤；對于D，若，所以，所以，所以或，所以至少有一個為0，故D正確.故選：BD10.若函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于對稱 B.在上單調(diào)遞增C.的極小值點為 D.有兩個零點〖答案〗AC〖解析〗對于函數(shù)，令，解得或，所以函數(shù)的定義域為，又，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于對稱，故A正確；又，當時，，即在上單調(diào)遞減，故B錯誤；當時，，即在上單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值點為，極大值點為，故C正確；又，且當趨近于1時，趨近于無窮大，當趨近于0時，趨近于無窮大，所以在上無零點，根據(jù)對稱性可知在上無零點，故無零點，故D錯誤．故選：AC．11.如圖，在直三棱柱中，，，分別是棱，上的動點（異于頂點），，為的中點，則下列說法中正確的是（）A.直三棱柱體積的最大值為B.三棱錐與三棱錐的體積相等C.當，且時，三棱錐外接球的表面積為D.設(shè)直線，與平面分別相交于點，，若，則最小值為〖答案〗BCD〖解析〗A選項：由已知可得，又，所以，即體積的最大值為，A選項錯誤；B選項：如圖所示，由點為的中點，則，設(shè)點到平面的距離為，則，，又，所以，所以，B選項正確；C選項：如圖所示，由已知為正三角形，設(shè)外接球球心為，中心為，中點為，則平面，且，，即，所以外接球半徑為，外接球表面積為，C選項正確；D選項：如圖所示，取中點，可知在的延長線上，在的延長線上，則，即，設(shè)，，易知，，則，，則，,，所以，當且僅當，即時取等號，故D選項正確；故選：BCD.三、填空題12.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．則=______．〖答案〗〖解析〗在中，由余弦定理可得，所以，所以，因為，所以，所以，解得，由，可得，在中，由正弦定理可得，所以.故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)，若方程有三個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為________.〖答案〗〖解析〗由題意可知：的定義域為，則，當時，；當時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且當趨近于時，趨近于；當趨近于時，趨近于0；作出的圖象，如圖所示，對于關(guān)于x的方程，令，可得，整理得，且不為方程的根，可知方程等價于，若方程有三個不相等的實數(shù)解，可知有兩個不同的實數(shù)根，且或或，構(gòu)建，若，則，解得；若，則，解得，此時方程為，解得，不合題意；若，則，解得，此時方程為，解得，不合題意；綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為.故〖答案〗為：.14.“序列”在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用，該序列中的數(shù)取值于或1.設(shè)是一個有限“序列”，表示把中每個都變?yōu)椋總€0都變?yōu)?，每個1都變?yōu)?，1，得到新的有序?qū)崝?shù)組.例如：，則.定義，，若中1的個數(shù)記為，則的前10項和為______.〖答案〗〖解析〗因為，依題意得，，，顯然，中有2項，其中1項為，1項為1，中有4項，其中1項為，1項為1，2項為0，中有8項，其中3項為，3項為1，2項為0，由此可得中共有項，其中1和的項數(shù)相同，設(shè)中有項為0，1和的項數(shù)相同都為，所以，，從而①，因為表示把中每個都變?yōu)椋總€0都變?yōu)椋總€1都變?yōu)?，1，得到新的有序?qū)崝?shù)組，則②，①②得③，所以④，④③得，所以當為奇數(shù)且時，，經(jīng)檢驗，當時符合，所以(為奇數(shù))，當為偶數(shù)，則為奇數(shù)，又因為，所以，所以，當為奇數(shù)時，，所以的前10項和為.故〖答案〗為：四、解答題15.已知函數(shù)，的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，求的值.解：（1），，，，，，；（2），法一：，，，根據(jù)正弦定理得，由余弦定理得①將代入①式，得，，；法二：，，，由余弦定理得①將代入①式，得，，.16.已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項和為16，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解：（1）設(shè)的公差為，由題意知，即，即有，因為，可得，，所以；（2）設(shè)數(shù)列的前項中的奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則，，所以．17.近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進技術(shù)革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計該企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點圖．其中2019年至2023年對應(yīng)的年份代碼依次為1，2，3，4，5．