2022-2023學年浙江省溫州市十校聯(lián)合體高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3浙江省溫州市十校聯(lián)合體2022-2023學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題考生須知：1.本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.3.所有〖答案〗必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗解不等式，得，即，而，所以.故選：C2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，得，即，但若，取，則不成立，所以“”是“”的充分不必要條件；故選:A.3.已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復平面復數(shù)所對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因為,所以,所以復平面復數(shù)所對應的點在第一象限,故選:A.4.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到B.函數(shù)的圖象可以將函數(shù)圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍得到C.若且，則的最小值為D.若為偶函數(shù)，則〖答案〗C〖解析〗由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)，所以A不正確；將函數(shù)圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍得到函數(shù)，所以B不正確；因為函數(shù)的周期為，所以且，當為最小值時，此時為相鄰的兩個零點，故的最小值為，所以C正確；若為偶函數(shù)，可得函數(shù)，，則，所以D不正確；故選：C．5.如圖，三棱錐的四個頂點都在球上，平面，，則球的表面積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中點，連,平面，平面，，又，，平面，平面，，是的斜邊上的中線，．同理可得：中，，，可得、、、四點在以為球心的球面上．中，，，可得，中，，可得．球的半徑，可得球的表面積為．故選：B6.已知實數(shù)，其中，則的大小關系是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以，則；因為，所以，且，所以；因為，所以；綜上：.故選：D.7.2023年2月10日，神舟十五號三位航天員完成出艙活動全部既定任務，中國空間站全面建成后的首次出艙活動取得圓滿成功.該航天科研所的甲?乙?丙?丁?戊5位科學家應邀去三所不同的學校開展科普講座活動，要求每所學校至少1名科學家.已知甲?乙到同一所學校，丙不到學校，則不同的安排方式有多少種（）A.12種 B.24種 C.36種 D.30種〖答案〗B〖解析〗因為甲?乙到同一所學校，所以將甲、乙“捆綁”看成一個元素，因此要將四個元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所學校，每所學校至少1個元素，若A學校只安排一個元素，則有種分配方法；若A學校只安排二個元素，則有種分配方法；所以不同的安排方式有24種，故選:B.8.點在線段上（不含端點），為直線外一點，且滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，又點在線段上（不含端點），所以，且，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.故選：D.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列四個選項中，計算結果是的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對A，，A正確；對B，，B正確；對C，，C正確；對D，，D錯誤；故選:ABC.10.關于平面向量，有下列四個命題，則（）A.已知向量，若，則B.設向量，則C.若向量和向量是單位向量，且，則D.若向量，則向量在向量上的投影向量是〖答案〗CD〖解析〗，若，則，即，解得或4，A錯誤；當且，且不共線時，，B錯誤；是單位向量，時，，，C正確；，在上的投影向量為：，D正確．故選:CD11.一個不透明箱子中有大小形狀均相同的兩個紅球?兩個白球，從中不放回地任取2個球，每次取1個.記事件為“第次取到的球是紅球”，事件為“兩次取到的球顏色相同”，事件為“兩次取到的球顏色不同”，則（）A.與互斥 B.C. D.與相互獨立〖答案〗BCD〖解析〗對于A，與可以同時發(fā)生，即兩次取到的都是紅球，則與不互斥，故A錯誤；對于B，箱子中有大小形狀均相同的兩個紅球、兩個白球，則，故B正確；對于C，，，則，故C正確；對于D，，，，則有與相互獨立，故D正確.故選：BCD.12.是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當時，，則下列選項正確的是（）A.4是函數(shù)的一個周期B.是函數(shù)圖象的一條對稱軸C.函數(shù)是偶函數(shù)D.〖答案〗AB〖解析〗對A，因為，即，則，所以，因此，4是函數(shù)的一個周期，A正確；對B，因為，且是定義在上的奇函數(shù)則，可得，所以是函數(shù)圖象一條對稱軸，B正確；對C，因為，且是定義在上的奇函數(shù)，則，可得，所以函數(shù)是奇函數(shù)，C錯誤；對D，當時，，則，所以，D錯誤；故選：AB.非選擇題部分三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在題中的橫線上.13.的展開式中的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗，所以展開式中的系數(shù)為．故〖答案〗為：14.已知變量和的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：-2-10125221由表中的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程，那么當時殘差為__________.（注：殘差觀測值-預測值）〖答案〗〖解析〗由數(shù)表知，，則，因此時的觀測值為，而時的預測值為，所以當時殘差為.故〖答案〗為：15.已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有3個零點，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，因為函數(shù)在區(qū)間上有且只有3個零點，所以，解得，故〖答案〗為:.16.已知為正三角形，其邊長是2，空間中動點滿足：直線與平面所成角為，則面積的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗過作平面，由于與平面所成角為，所以，故，所以三棱錐的體積為,故當平面時，面積取得最小值，故故〖答案〗為：．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域.解：（1）,令,所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.（2）因為得：,所以,所以函數(shù)的值域為.18.中國國家流感中心3月2日發(fā)布的2023年第8周流感檢測周報稱：本周南?北方省份流感病毒檢測陽性率繼續(xù)上升.某醫(yī)院用甲?乙兩種療法治療流感患者，為了解兩種治療方案的效果，現(xiàn)隨機抽取105名患者，調查每人的恢復期，得到如下列聯(lián)表（注：恢復期大于7天為恢復期長）方案/人數(shù)恢復期長恢復期短甲1045乙2030（1）是否有95%的把握認為“恢復期長短”與治療方案有關；（2）現(xiàn)按分層隨機抽樣的方法，從采用乙治療方案的樣本中隨機抽取10人，從這10人中再隨機抽取3人，求其中恢復期長的人數(shù)的分布列和期望.（3）假設甲方案治療的恢復期為，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)近似服從正態(tài)分布，若某患者采用甲方案治療，則7天后是否有大于的把握恢復健康？請說明理由.0.10.050.0102.7063.8416.635若則，.解：（1）由題意可得如下列聯(lián)表：方案/人數(shù)恢復期長恢復期短合計甲104555乙203050合計3075105零假設：“恢復期長短”與“治療方案”無關,,所以有95%的把握認為“恢復期長短”與“治療方案”有關.（2）由分層抽樣得，抽取恢復期長的為4人，恢復期短的為6人，根據(jù)題意可取，，，，，可得的分布列為：0123.（3）因為，所以又因為,所以7天后有大于的把握恢復健康.19.在中，角的對邊分別為，且滿足__________.從條件①?條件②這兩個條件中任選一個補充在上面橫線上作為已知，（1）求角；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.條件①：條件②：注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分解：（1）選擇條件①：由題意及正弦定理知，選擇條件②：因為，所以，即，解得，又，所以（2）由可得因為是銳角三角形，由（1）知得到，故，解得，所以，則，所以.20.已知三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，且，平面平面，三棱錐的體積為.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）取線段的中點，連接.,平面平面，平面平面,且平面，平面,又,平面,平面,平面,.（2）方法一：等體積法，則,因為平面,平面,所以，所以,因為平面,平面,所以，所以,所以為等腰三角形，取中點為，則有,所以，設點到平面的距離為.，即，即，則，設直線與平面所成角為，所以直線與平面所成角的正弦為.方法二：定義法作交于點，連接,則,過作于，連接.,平面，平面，又平面,平面平面，平面平面平面,平面,是直線與平面所成角,，則,因平面,平面,所以，所以,因為平面,平面,所以，所以,所以為等腰三角形，取中點為，則有,在直角中，根據(jù)等面積法可得，,解得，在則,直線與平面所成角的正弦為.21.黨的二十大報告中提出：“我們要堅持以推動高質量發(fā)展為主題，推動經(jīng)濟實現(xiàn)質的有效提升和量的合理增長”.為了適應新形勢，滿足市場需求，某企業(yè)準備購進新型機器以提高生產(chǎn)效益.已知生產(chǎn)產(chǎn)品的質量以其質量指標值來衡量，并按照質量指標值劃分產(chǎn)品等級如圖表1：圖表1質量指標值產(chǎn)品等級一等品二等品三等品現(xiàn)從試用的新機器生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取200件作為樣品，檢驗其質量指標值，得到頻率分布直方圖，如圖表2：（1）根據(jù)樣本估計總體的思想，求該產(chǎn)品的質量指標值的第70百分位數(shù)（精確到0.1）；（2）整理該企業(yè)的以往銷量數(shù)據(jù)，獲得信息如圖表3：圖表3產(chǎn)品等級一等品二等品三等品銷售率單件產(chǎn)品原售價20元15元10元未按原價售出的產(chǎn)品統(tǒng)一按原售價的可以全部售出（產(chǎn)品各等級的銷售率為等級產(chǎn)品銷量與其對應產(chǎn)量的比值）已知該企業(yè)購進新型機器前提條件是，該機器生產(chǎn)的產(chǎn)品同時滿足下列兩個條件：①質量指標值的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）不低于35.②單件產(chǎn)品平均利潤不低于4元.已知該新型機器生產(chǎn)的產(chǎn)品的成本為10元/件，月產(chǎn)量為2000件，根據(jù)圖表1?圖表2?圖表3信息，分析該新機器是否達到企業(yè)的購進條件.解：（1）設該產(chǎn)品的質量指標值的第70百分位數(shù)為，由頻率直方圖可知.（2）先分析該產(chǎn)品質量指標值的平均數(shù)：由頻率分布直方圖可知，產(chǎn)品質量指標值的平均數(shù)為故滿足認購條件①.再分析該產(chǎn)品的單價平均利潤值：由頻率分布直方圖可知，新型機器生產(chǎn)的產(chǎn)品為一?二?三等品的概率估計值分別為：，故2000件產(chǎn)品中，一?二?三等品的件數(shù)估計值為：件，則2000件產(chǎn)品的總利潤為：元，元，元，元，故2000件產(chǎn)品的單件平均利潤的估計值為，故不滿足認購條件②.綜上，該新型機器沒有達到該企業(yè)的認購條件.22.已知函數(shù)（1）若函數(shù)在區(qū)間的值域為，求的值；（2）令，（i）若在上恒成立，求證：；（ii）若對任意實數(shù)，方程恒有三個不等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由于函數(shù)在區(qū)間單調遞減，所以，即解得（2）（i）由題意可得，，若在恒成立，則在恒成立，即，（ii）由題意可得，當函數(shù)與函數(shù)的圖像無交點或只有一個交點時，方程只有一個實根，不符題意；當函數(shù)與函數(shù)圖像的兩個不同交點位于對稱軸的同一側時，方程只有一個實根，不符題意；以下求解，函數(shù)與函數(shù)圖像的兩個交點位于對稱軸的兩側時，實數(shù)的取值范圍：設函數(shù)圖像與函數(shù)的圖像交于兩點，化簡得，即，解得，所以或.，所以，，即得，當時，無解，當時，顯然成立，所以綜上所述，.浙江省溫州市十校聯(lián)合體2022-2023學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題考生須知：1.本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.3.所有〖答案〗必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗解不等式，得，即，而，所以.故選：C2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，得，即，但若，取，則不成立，所以“”是“”的充分不必要條件；故選:A.3.已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復平面復數(shù)所對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因為,所以,所以復平面復數(shù)所對應的點在第一象限,故選:A.4.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到B.函數(shù)的圖象可以將函數(shù)圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍得到C.若且，則的最小值為D.若為偶函數(shù)，則〖答案〗C〖解析〗由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)，所以A不正確；將函數(shù)圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍得到函數(shù)，所以B不正確；因為函數(shù)的周期為，所以且，當為最小值時，此時為相鄰的兩個零點，故的最小值為，所以C正確；若為偶函數(shù)，可得函數(shù)，，則，所以D不正確；故選：C．5.如圖，三棱錐的四個頂點都在球上，平面，，則球的表面積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中點，連,平面，平面，，又，，平面，平面，，是的斜邊上的中線，．同理可得：中，，，可得、、、四點在以為球心的球面上．中，，，可得，中，，可得．球的半徑，可得球的表面積為．故選：B6.已知實數(shù)，其中，則的大小關系是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以，則；因為，所以，且，所以；因為，所以；綜上：.故選：D.7.2023年2月10日，神舟十五號三位航天員完成出艙活動全部既定任務，中國空間站全面建成后的首次出艙活動取得圓滿成功.該航天科研所的甲?乙?丙?丁?戊5位科學家應邀去三所不同的學校開展科普講座活動，要求每所學校至少1名科學家.已知甲?乙到同一所學校，丙不到學校，則不同的安排方式有多少種（）A.12種 B.24種 C.36種 D.30種〖答案〗B〖解析〗因為甲?乙到同一所學校，所以將甲、乙“捆綁”看成一個元素，因此要將四個元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所學校，每所學校至少1個元素，若A學校只安排一個元素，則有種分配方法；若A學校只安排二個元素，則有種分配方法；所以不同的安排方式有24種，故選:B.8.點在線段上（不含端點），為直線外一點，且滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，又點在線段上（不含端點），所以，且，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.故選：D.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列四個選項中，計算結果是的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對A，，A正確；對B，，B正確；對C，，C正確；對D，，D錯誤；故選:ABC.10.關于平面向量，有下列四個命題，則（）A.已知向量，若，則B.設向量，則C.若向量和向量是單位向量，且，則D.若向量，則向量在向量上的投影向量是〖答案〗CD〖解析〗，若，則，即，解得或4，A錯誤；當且，且不共線時，，B錯誤；是單位向量，時，，，C正確；，在上的投影向量為：，D正確．故選:CD11.一個不透明箱子中有大小形狀均相同的兩個紅球?兩個白球，從中不放回地任取2個球，每次取1個.記事件為“第次取到的球是紅球”，事件為“兩次取到的球顏色相同”，事件為“兩次取到的球顏色不同”，則（）A.與互斥 B.C. D.與相互獨立〖答案〗BCD〖解析〗對于A，與可以同時發(fā)生，即兩次取到的都是紅球，則與不互斥，故A錯誤；對于B，箱子中有大小形狀均相同的兩個紅球、兩個白球，則，故B正確；對于C，，，則，故C正確；對于D，，，，則有與相互獨立，故D正確.故選：BCD.12.是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當時，，則下列選項正確的是（）A.4是函數(shù)的一個周期B.是函數(shù)圖象的一條對稱軸C.函數(shù)是偶函數(shù)D.〖答案〗AB〖解析〗對A，因為，即，則，所以，因此，4是函數(shù)的一個周期，A正確；對B，因為，且是定義在上的奇函數(shù)則，可得，所以是函數(shù)圖象一條對稱軸，B正確；對C，因為，且是定義在上的奇函數(shù)，則，可得，所以函數(shù)是奇函數(shù)，C錯誤；對D，當時，，則，所以，D錯誤；故選：AB.非選擇題部分三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在題中的橫線上.13.的展開式中的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗，所以展開式中的系數(shù)為．故〖答案〗為：14.已知變量和的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：-2-10125221由表中的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程，那么當時殘差為__________.（注：殘差觀測值-預測值）〖答案〗〖解析〗由數(shù)表知，，則，因此時的觀測值為，而時的預測值為，所以當時殘差為.故〖答案〗為：15.已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有3個零點，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，因為函數(shù)在區(qū)間上有且只有3個零點，所以，解得，故〖答案〗為:.16.已知為正三角形，其邊長是2，空間中動點滿足：直線與平面所成角為，則面積的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗過作平面，由于與平面所成角為，所以，故，所以三棱錐的體積為,故當平面時，面積取得最小值，故故〖答案〗為：．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域.解：（1）,令,所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.（2）因為得：,所以,所以函數(shù)的值域為.18.中國國家流感中心3月2日發(fā)布的2023年第8周流感檢測周報稱：本周南?北方省份流感病毒檢測陽性率繼續(xù)上升.某醫(yī)院用甲?乙兩種療法治療流感患者，為了解兩種治療方案的效果，現(xiàn)隨機抽取105名患者，調查每人的恢復期，得到如下列聯(lián)表（注：恢復期大于7天為恢復期長）方案/人數(shù)恢復期長恢復期短甲1045乙2030（1）是否有95%的把握認為“恢復期長短”與治療方案有關；（2）現(xiàn)按分層隨機抽樣的方法，從采用乙治療方案的樣本中隨機抽取10人，從這10人中再隨機抽取3人，求其中恢復期長的人數(shù)的分布列和期望.（3）假設甲方案治療的恢復期為，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)近似服從正態(tài)分布，若某患者采用甲方案治療，則7天后是否有大于的把握恢復健康？請說明理由.0.10.050.0102.7063.8416.635若則，.解：（1）由題意可得如下列聯(lián)表：方案/人數(shù)恢復期長恢復期短合計甲104555乙203050合計3075105零假設：“恢復期長短”與“治療方案”無關,,所以有95%的把握認為“恢復期長短”與“治療方案”有關.（2）由分層抽樣得，抽取恢復期長的為4人，恢復期短的為6人，根據(jù)題意可取，，，，，可得的分布列為：0123.（3）因為，所以又因為,所以7天后有大于的把握恢復健康.19.在中，角的對邊分別為，且滿足__________.從條件①?條件②這兩個條件中任選一個補充在上面橫線上作為已知，（1）求角；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.條件①：條件②：注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分解：（1）選擇條件①：由題意及正弦定理知，選擇條件②：因為，所以，即，解得，又，所以（2）由可得因為是銳角三角形，由（1）知得到，故，解得，所以，則，所以.20.已知三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，且，平面平面，三棱錐的體積為.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）取線段的中點，連接.,平面平面，平面平面,且平面，平面,又,平面,平面,平面,.（2）方法一：等體積法，則,因為平面,平面,所以，所以,因為平面,平面,所以，所以,所以為等腰三角形，取中點為，則有,所以，設點到平面的距離為.，即，即，則，設直線與平面所成角為，所以直線與平面所成角的正弦為.方法二：定義法作交于點，連接,則,過作于，連接.,平面，平面，又平面,平面平面，平面平面平面,平面,是直線與平面所成角,，則,因平面,平面,所以，所以,因為平面,平面,所以，所以,所以為等腰三角形，取中點為，則有,在直角中，根據(jù)等面積法可得，,解得，在則,直線與平面所成角的正弦為.21.黨的二十大報告中提出：“我們要堅持以推動高質量發(fā)展為主題，推動經(jīng)濟實現(xiàn)質的有效提升和量的合理增長”.為了適應新形勢，滿足市場需求，某企業(yè)準備購進新型機器以