2024屆廣東省高三三模數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3廣東省2024屆高三三模數(shù)學試題（〖解析〗版）一?選擇題1.以下數(shù)據(jù)為某學校參加數(shù)學競賽10人的成績：（單位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，則這10個成績的第75百分位數(shù)是（）A.90 B.89 C.88 D.88.5〖答案〗A〖解析〗從小到大排序這10個數(shù)據(jù)為72，78，80，81，83，86，88，90，91，92，因為，所以這10個成績的第75百分位數(shù)是第8個數(shù)90.故選：A.2.在復平面內，若，則對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗因為，可得，所以對應的點為，位于第四象限.故選：D.3.已知是等差數(shù)列的前項和，若，，則數(shù)列的首項（）A.3 B.2 C.1 D.-1〖答案〗B〖解析〗設等差數(shù)列的公差為，因為，可得，即，所以，又因為，可得，即，聯(lián)立解得，.故選：B.4.已知某函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列函數(shù)中符合此圖象的為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設題設函數(shù)為，由選項可知：ABCD中的函數(shù)定義域均為，對于選項D：若，但此時，矛盾，故可排除D；對于選項C：若，但此時，矛盾，故可排除C；對于選項B：若，但此時，矛盾，故可排除B.故選：A.5.若正數(shù)，滿足：，則的最大值為（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗因為，為正數(shù)，所以，因為，所以，所以，所以，當且僅當，時，取等號.故選：B.6.在中，已知，，，若存在兩個這樣的三角形，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由正弦定理可得，由題意可知：關于A的方程：在有兩解，在同一坐標系內分別作出曲線，和水平直線，因為它們有兩個不同的交點，所以，所以.故選：C.7.在直角坐標系中，繞原點將軸的正半軸逆時針旋轉角交單位圓于點、順時針旋轉角交單位圓于點，若點的縱坐標為，且的面積為，則點的縱坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由點的縱坐標為，得，，顯然，而，即，又，因此，，有，，顯然點在第四象限，所以點的縱坐標為.故選：B8.在半徑為的半球內放入一個正四棱柱，使得正四棱柱上底面的四個頂點位于半球面上，下底面與半球的大圓面重合，則正四棱柱體積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗顯然正四棱柱上底面正方形為與半球底面平行的截面圓的內接正方形，設正四棱柱的高為，則正四棱柱上底面外接圓半徑，上底面邊長為，因此正四棱柱體積，顯然，求導得，當時，，當時，，則函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，當時，，所以正四棱柱體積的最大值為.故選：二?多選題9.已知集合，，集合滿足，則（）A.， B.集合可以為C.集合的個數(shù)為7 D.集合的個數(shù)為8〖答案〗AC〖解析〗由題意得，，又.所以，，故A正確；當時，不滿足，B錯誤，集合的個數(shù)等價于集合的非空子集的個數(shù)，所以集合的個數(shù)為，故C正確，D錯誤，故選：AC.10.已知橢圓的長軸端點分別為?兩個焦點分別為是上任意一點，則（）A.的離心率為 B.的周長為C.面積的最大值為 D.〖答案〗ABD〖解析〗橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，對于A，的離心率為，A正確；對于B，的周長為，B正確；對于C，，設，，則面積的最大值為，C錯誤；對于D，，，，因此，D正確.故選：ABD11.已知正方體的棱長為分別為棱的中點，則（）A.三棱錐的體積為B.與所成的角為C.過三點的平面截正方體所得截面圖形為等腰梯形D.平面與平面夾角的正切值為〖答案〗ACD〖解析〗正方體的棱長為分別為棱的中點，對于A，三棱錐的體積，A正確；對于B，，則是與所成的角或其補角，而，因此與所成的角為，B錯誤；對于C，連接，由，得，則，而，，因此平面截正方體所得截面圖形為等腰梯形，C正確；對于D，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，設平面的法向量，則，令，得，顯然平面的法向量，設平面與平面的夾角為，則，，則，D正確.故選：ACD三?填空題12.函數(shù)，設為的最小正周期，若，則________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)，最小正周期，由于，，又，可得.故〖答案〗為：.13.展開式中項的系數(shù)為________.〖答案〗30〖解析〗展開式的通項表達式為，當時，，.故〖答案〗為:30.14.已知正方形的邊長為，兩個點，（兩點不重合）都在直線的同側（但，與在直線的異側），，關于直線對稱，若，則面積的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗以為軸，為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，，設，，所以，，因為，所以，即位于雙曲線的右支上，漸近線方程為或，直線與直線：的距離為，即點到直線的距離的取值范圍是，又，所以面積的取值范圍是.因為不重合，故不重合，故面積不為，故〖答案〗為：.四?解答題15.已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）過原點作圖象的切線，求直線的方程；（2）若，使成立，求的最小值.解：（1）設切點坐標為，則切線方程為，因為切線經過原點，所以，解得，所以切線的斜率為，所以的方程為.（2），，即成立，則得在有解，故有時，.令，，，令得；令得，故在單調遞減，單調遞增，所以，則，故的最小值為.16.某基層工會擬通過摸球的方式對會員發(fā)放節(jié)日紅包.現(xiàn)在一個不透明的袋子中裝有5個都標有紅包金額的球，其中有2個球標注的為40元，有2個球標注的為50元，有1個球標注的為60元，除標注金額不同外，其余均相同，每位會員從袋中一次摸出1個球，連續(xù)摸2次，摸出的球上所標的紅包金額之和為該會員所獲得的紅包總金額.（1）若每次摸出的球不放回袋中，求一個會員所獲得的紅包總金額不低于90元的概率；（2）若每次摸出的球放回袋中，記為一個會員所獲得的紅包總金額，求的分布列和數(shù)學期望.解：（1）設事件“一個會員所獲得紅包總金額不低于90元”，因為每次摸出的球不放回袋中，所以.（2）由已知得，，因為每次摸出的球放回袋中，所以每次摸出40元、50元和60元紅包的概率分別為，，，所以，，，，，所以得分布列為8090100110120所以.17.如圖，，是圓錐底面圓的兩條互相垂直的直徑，過的平面與交于點，若為的中點，，圓錐的體積為.（1）求證：；（2）若圓上的點滿足，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因為，是圓錐底面圓的兩條互相垂直的直徑，所以，底面圓，而底面圓，則，，，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）解：因為，圓錐的體積為，所以，所以，因為，為的中點，所以，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，即平面的法向量為，顯然，又底面圓，底面圓，所以，所以，，兩兩垂直，以原點，分別以直線，，為，，軸建立空間直角坐標系，，，，，由題意，點在圓上，則，如圖所示，在中，，則，過作軸的垂線，垂足為，有，，則，得，所以，，，設平面的法向量為，所以，令，則，所以，設平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知為拋物線：的焦點，，，是上三個不同的點，直線，，分別與軸交于，，，其中的最小值為4.（1）求的標準方程；（2）的重心位于軸上，且，，的橫坐標分別為，，，是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.解：（1）因為直線通過拋物線的焦點，所以線段為拋物線的焦點弦，如圖，設，，線段的中點，由拋物線定義可得，由平面幾何的性質得當且僅當軸時，取得最小值為，所以，所以拋物線的標準方程為.（2）依題知直線的傾斜角不為0，則設直線的方程為.設，，，由，得，則，因為的重心位于軸上，所以，所以，，所以，，，因為A，E，C三點共線，所以，所以，顯然，解得，，同理可得，又，則，所以定值1.19.數(shù)列滿足則稱數(shù)列為下凸數(shù)列.（1）證明：任意一個正項等比數(shù)列均為下凸數(shù)列；（2）設，其中，分別是公比為，的兩個正項等比數(shù)列，且，證明：是下凸數(shù)列且不是等比數(shù)列；（3）若正項下凸數(shù)列的前項和為，且，求證：.證明：（1）設正項等比數(shù)列的公比為，則，即，所以任意一個正項等比數(shù)列為下凸數(shù)列.（2）顯然，，所以正項數(shù)列為下凸數(shù)列.下面證明：正項數(shù)列不是等比數(shù)列.若是等比數(shù)列，則，所以，因為數(shù)列，分別為兩個正項等比數(shù)列，所以，，所以，所以，因為，所以，所以，所以，與矛盾，所以數(shù)列不是等比數(shù)列.（3）假設存在一個常數(shù)，使得，但，因為，所以，將中的換成得，.進一步得，.又，由不等式的可加性得，，同理可得，，所以，所以數(shù)列從項到項單調遞減，從項開始向后單調遞增，所以，因為該規(guī)律是固定的，且，所以當足夠大時，必有，與題設矛盾，所以不可能從某一項開始單調遞增，所以，令，，由得，，所以所以，即，進一步得，，所以，，，，相加得，所以.廣東省2024屆高三三模數(shù)學試題（〖解析〗版）一?選擇題1.以下數(shù)據(jù)為某學校參加數(shù)學競賽10人的成績：（單位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，則這10個成績的第75百分位數(shù)是（）A.90 B.89 C.88 D.88.5〖答案〗A〖解析〗從小到大排序這10個數(shù)據(jù)為72，78，80，81，83，86，88，90，91，92，因為，所以這10個成績的第75百分位數(shù)是第8個數(shù)90.故選：A.2.在復平面內，若，則對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗因為，可得，所以對應的點為，位于第四象限.故選：D.3.已知是等差數(shù)列的前項和，若，，則數(shù)列的首項（）A.3 B.2 C.1 D.-1〖答案〗B〖解析〗設等差數(shù)列的公差為，因為，可得，即，所以，又因為，可得，即，聯(lián)立解得，.故選：B.4.已知某函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列函數(shù)中符合此圖象的為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設題設函數(shù)為，由選項可知：ABCD中的函數(shù)定義域均為，對于選項D：若，但此時，矛盾，故可排除D；對于選項C：若，但此時，矛盾，故可排除C；對于選項B：若，但此時，矛盾，故可排除B.故選：A.5.若正數(shù)，滿足：，則的最大值為（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗因為，為正數(shù)，所以，因為，所以，所以，所以，當且僅當，時，取等號.故選：B.6.在中，已知，，，若存在兩個這樣的三角形，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由正弦定理可得，由題意可知：關于A的方程：在有兩解，在同一坐標系內分別作出曲線，和水平直線，因為它們有兩個不同的交點，所以，所以.故選：C.7.在直角坐標系中，繞原點將軸的正半軸逆時針旋轉角交單位圓于點、順時針旋轉角交單位圓于點，若點的縱坐標為，且的面積為，則點的縱坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由點的縱坐標為，得，，顯然，而，即，又，因此，，有，，顯然點在第四象限，所以點的縱坐標為.故選：B8.在半徑為的半球內放入一個正四棱柱，使得正四棱柱上底面的四個頂點位于半球面上，下底面與半球的大圓面重合，則正四棱柱體積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗顯然正四棱柱上底面正方形為與半球底面平行的截面圓的內接正方形，設正四棱柱的高為，則正四棱柱上底面外接圓半徑，上底面邊長為，因此正四棱柱體積，顯然，求導得，當時，，當時，，則函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，當時，，所以正四棱柱體積的最大值為.故選：二?多選題9.已知集合，，集合滿足，則（）A.， B.集合可以為C.集合的個數(shù)為7 D.集合的個數(shù)為8〖答案〗AC〖解析〗由題意得，，又.所以，，故A正確；當時，不滿足，B錯誤，集合的個數(shù)等價于集合的非空子集的個數(shù)，所以集合的個數(shù)為，故C正確，D錯誤，故選：AC.10.已知橢圓的長軸端點分別為?兩個焦點分別為是上任意一點，則（）A.的離心率為 B.的周長為C.面積的最大值為 D.〖答案〗ABD〖解析〗橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，對于A，的離心率為，A正確；對于B，的周長為，B正確；對于C，，設，，則面積的最大值為，C錯誤；對于D，，，，因此，D正確.故選：ABD11.已知正方體的棱長為分別為棱的中點，則（）A.三棱錐的體積為B.與所成的角為C.過三點的平面截正方體所得截面圖形為等腰梯形D.平面與平面夾角的正切值為〖答案〗ACD〖解析〗正方體的棱長為分別為棱的中點，對于A，三棱錐的體積，A正確；對于B，，則是與所成的角或其補角，而，因此與所成的角為，B錯誤；對于C，連接，由，得，則，而，，因此平面截正方體所得截面圖形為等腰梯形，C正確；對于D，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，設平面的法向量，則，令，得，顯然平面的法向量，設平面與平面的夾角為，則，，則，D正確.故選：ACD三?填空題12.函數(shù)，設為的最小正周期，若，則________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)，最小正周期，由于，，又，可得.故〖答案〗為：.13.展開式中項的系數(shù)為________.〖答案〗30〖解析〗展開式的通項表達式為，當時，，.故〖答案〗為:30.14.已知正方形的邊長為，兩個點，（兩點不重合）都在直線的同側（但，與在直線的異側），，關于直線對稱，若，則面積的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗以為軸，為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，，設，，所以，，因為，所以，即位于雙曲線的右支上，漸近線方程為或，直線與直線：的距離為，即點到直線的距離的取值范圍是，又，所以面積的取值范圍是.因為不重合，故不重合，故面積不為，故〖答案〗為：.四?解答題15.已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）過原點作圖象的切線，求直線的方程；（2）若，使成立，求的最小值.解：（1）設切點坐標為，則切線方程為，因為切線經過原點，所以，解得，所以切線的斜率為，所以的方程為.（2），，即成立，則得在有解，故有時，.令，，，令得；令得，故在單調遞減，單調遞增，所以，則，故的最小值為.16.某基層工會擬通過摸球的方式對會員發(fā)放節(jié)日紅包.現(xiàn)在一個不透明的袋子中裝有5個都標有紅包金額的球，其中有2個球標注的為40元，有2個球標注的為50元，有1個球標注的為60元，除標注金額不同外，其余均相同，每位會員從袋中一次摸出1個球，連續(xù)摸2次，摸出的球上所標的紅包金額之和為該會員所獲得的紅包總金額.（1）若每次摸出的球不放回袋中，求一個會員所獲得的紅包總金額不低于90元的概率；（2）若每次摸出的球放回袋中，記為一個會員所獲得的紅包總金額，求的分布列和數(shù)學期望.解：（1）設事件“一個會員所獲得紅包總金額不低于90元”，因為每次摸出的球不放回袋中，所以.（2）由已知得，，因為每次摸出的球放回袋中，所以每次摸出40元、50元和60元紅包的概率分別為，，，所以，，，，，所以得分布列為8090100110120所以.17.如圖，，是圓錐底面圓的兩條互相垂直的直徑，過的平面與交于點，若為的中點，，圓錐的體積為.（1）求證：；（2）若圓上的點滿足，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因為，是圓錐底面圓的兩條互相垂直的直徑，所以，底面圓，而底面圓，則，，，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）解：因為，圓錐的體積為，所以，所以，因為，為的中點，所以，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，即平面的法向量為，顯然，又底面圓，底面圓，所以，所以，，兩兩垂直，以原點，分別以直線，，為，，軸建立空間直角坐標系，，，，，由題意，點在圓上，則，如圖所示，在中，，則，過作軸的垂線，垂足為，有，，則，得，所以，，，設平面的法向量為，所以，令，則，所以，設平面與平