2023-2024學(xué)年浙江省培優(yōu)聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2浙江省培優(yōu)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C．2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，故其虛部為.故選：C．3.已知角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗因為角的終邊經(jīng)過點，所以.故選：A．4.正方體的平面展開圖如圖所示，，，，為四條對角線，則在正方體中，這四條對角線所在直線互相垂直的有（）A.1對 B.2對 C.3對 D.4對〖答案〗B〖解析〗將展開圖合成一個正方體，如圖所示：連接和，由正方體性質(zhì)可得：，，四邊形為正方形，則四邊形為平行四邊形，，所以，所以，同理可得：，因，所以為異面直線與所成的角或其補角，又因為，所以為等邊三角形，則，同理可得：與所成角為；與所成角為；與所成角為，綜上可得：與垂直；與所成角為；與所成角為；與所成角為；與所成角為；與垂直；故有2對.故選：B．5.在中，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，由正弦定理可得，又因為，可知，且，可得或，顯然是真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B．6.已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由題意可知，的零點個數(shù)可以轉(zhuǎn)化為和函數(shù)的圖象交點個數(shù)，它們的函數(shù)圖象如圖所示.故選：C．7.已知函數(shù)在上有最大值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，令，，，，因為，，要使存在最大值，只需，即，所以.故選：B．8.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中非常重要的一部．在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的所有頂點都在球的球面上，且．若球的表面積為，則這個三棱柱的表面積是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，的中點分別為，，連接，取的中點，直三棱柱中，，，四邊形是平行四邊形，有，因為三棱柱的底面是直角三角形，，所以，，，分別是，的外接圓圓心，因為平面，所以平面，所以為的外接球的球心，連接，因為球的表面積為，所以球的半徑為1，即，，則，，可得，，所以三棱柱的表面積.故選：C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖，在正方體中，為正方形的中心，當點在線段（不包含端點）上運動時，下列直線中一定與直線異面的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗如圖，由題意易知在平面上，對于A，平面，平面，，由異面直線的定義知，與直線是異面直線，故A正確；對于B，平面，平面，，由異面直線的定義知，與直線是異面直線，故B正確；對于C，平面，平面，，由異面直線的定義知，與直線是異面直線，故C正確；對于D，當為的中點時，，所以D錯誤.故選：ABC．10.已知函數(shù)，則（）A. B.在上只有1個零點C.在上單調(diào)遞增 D.直線為圖象的一條對稱軸〖答案〗ABD〖解析〗對A：，故A正確；對B：當時，，則在上只有1個零點，故B正確；對C：當時，，故C錯誤；對D：當時，，故D正確．故選：ABD.11.如圖，設(shè)，當時，定義平面坐標系為的斜坐標系．在的斜坐標系中，任意一點的斜坐標這樣定義：設(shè)，是分別與軸，軸正方向相同的單位向量，若，則記．下列結(jié)論正確的是（）A設(shè)，，若，則B.設(shè)，，若，則C.設(shè)，則D.設(shè)，，若與的夾角為，則〖答案〗BD〖解析〗對于A，若，則，，故A錯誤；對于B，若，則，則，所以，故B正確；對于C，，，故C錯誤；對于D，，即，解得，所以，故D正確．故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復(fù)數(shù)，，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第________象限．〖答案〗二〖解析〗根據(jù)題意，，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第二象限．故〖答案〗為：二.13.已知函數(shù)，若，則________．〖答案〗6〖解析〗令，，所以為奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以．故〖答案〗為：6.14.如圖，點是棱長為1的正方體表面上的一個動點，直線與平面所成的角為，則點的軌跡長度為________．〖答案〗〖解析〗因為直線與平面所成的角為，所以點的軌跡在以為頂點，底面圓的半徑為，高為1的圓錐的側(cè)面上，又因為點是正方體表面上的一個動點，所以點軌跡如圖所示，則點的軌跡長為．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，.（1）求當時，的〖解析〗式；（2）求在上的值域.解：（1）∵當時，，∴當時，，，∴.（2）∵當時，單調(diào)遞增，∴，由奇函數(shù)性質(zhì)可得，當時，，又，∴在上的值域為.16.如圖，在矩形中，，，點為邊的中點，點在邊上．（1）若點為線段上靠近的三等分點，求的值；（2）求的取值范圍．解：（1）由題意，，∵，，∴．（2）設(shè)則，∴，∴，顯然為增函數(shù)，因，故．17.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求的值；（2）若，且是銳角三角形，求面積的最大值．解：（1）∵，由正弦定理可得：，因為，所以，∴，即或．（2）∵是銳角三角形，∴，，則，又，∴，當且僅當時，等號成立，∵，∴．18.如圖，正方體的棱長為1，，分別為，的中點.（1）證明：平面.（2）求異面直線與所成角的大小.（3）求直線與平面所成角的正切值.解：（1）如圖，連接交于點，因為，分別為，的中點，所以，因為平面，且平面，所以平面.（2）因，且，易得，則有，由（1）得，故與所成角為（或其補角），因為，所以，即與所成角的大小為.（3）連接，過作于點，因為平面，且平面，所以，又且，所以平面，因為平面，所以，又，且，平面，所以平面，所以直線與平面所成角為（或其補角），因為正方體的邊長為1，所以，，所以.19.當且時，對一切，恒成立．學(xué)生小剛在研究對數(shù)運算時，發(fā)現(xiàn)有這么一個等式，帶著好奇，他進一步對進行深入研究．（1）若正數(shù)，滿足，當時，求的值；（2）除整數(shù)對，請再舉出一個整數(shù)對滿足；（3）證明：當時，只有一對正整數(shù)對使得等式成立．解：（1）當時，則，∴，即，∴．（2）當時，，所以整數(shù)對為.（3）證明：∵，∴，且，當時，，顯然無解，當時，，可得，無正整數(shù)解，同理，當和時，也無正整數(shù)解，當，時，，∵，∴由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得，又∵，∴當且僅當時，原等式成立.浙江省培優(yōu)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C．2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，故其虛部為.故選：C．3.已知角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗因為角的終邊經(jīng)過點，所以.故選：A．4.正方體的平面展開圖如圖所示，，，，為四條對角線，則在正方體中，這四條對角線所在直線互相垂直的有（）A.1對 B.2對 C.3對 D.4對〖答案〗B〖解析〗將展開圖合成一個正方體，如圖所示：連接和，由正方體性質(zhì)可得：，，四邊形為正方形，則四邊形為平行四邊形，，所以，所以，同理可得：，因，所以為異面直線與所成的角或其補角，又因為，所以為等邊三角形，則，同理可得：與所成角為；與所成角為；與所成角為，綜上可得：與垂直；與所成角為；與所成角為；與所成角為；與所成角為；與垂直；故有2對.故選：B．5.在中，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，由正弦定理可得，又因為，可知，且，可得或，顯然是真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B．6.已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由題意可知，的零點個數(shù)可以轉(zhuǎn)化為和函數(shù)的圖象交點個數(shù)，它們的函數(shù)圖象如圖所示.故選：C．7.已知函數(shù)在上有最大值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，令，，，，因為，，要使存在最大值，只需，即，所以.故選：B．8.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中非常重要的一部．在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的所有頂點都在球的球面上，且．若球的表面積為，則這個三棱柱的表面積是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，的中點分別為，，連接，取的中點，直三棱柱中，，，四邊形是平行四邊形，有，因為三棱柱的底面是直角三角形，，所以，，，分別是，的外接圓圓心，因為平面，所以平面，所以為的外接球的球心，連接，因為球的表面積為，所以球的半徑為1，即，，則，，可得，，所以三棱柱的表面積.故選：C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖，在正方體中，為正方形的中心，當點在線段（不包含端點）上運動時，下列直線中一定與直線異面的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗如圖，由題意易知在平面上，對于A，平面，平面，，由異面直線的定義知，與直線是異面直線，故A正確；對于B，平面，平面，，由異面直線的定義知，與直線是異面直線，故B正確；對于C，平面，平面，，由異面直線的定義知，與直線是異面直線，故C正確；對于D，當為的中點時，，所以D錯誤.故選：ABC．10.已知函數(shù)，則（）A. B.在上只有1個零點C.在上單調(diào)遞增 D.直線為圖象的一條對稱軸〖答案〗ABD〖解析〗對A：，故A正確；對B：當時，，則在上只有1個零點，故B正確；對C：當時，，故C錯誤；對D：當時，，故D正確．故選：ABD.11.如圖，設(shè)，當時，定義平面坐標系為的斜坐標系．在的斜坐標系中，任意一點的斜坐標這樣定義：設(shè)，是分別與軸，軸正方向相同的單位向量，若，則記．下列結(jié)論正確的是（）A設(shè)，，若，則B.設(shè)，，若，則C.設(shè)，則D.設(shè)，，若與的夾角為，則〖答案〗BD〖解析〗對于A，若，則，，故A錯誤；對于B，若，則，則，所以，故B正確；對于C，，，故C錯誤；對于D，，即，解得，所以，故D正確．故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復(fù)數(shù)，，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第________象限．〖答案〗二〖解析〗根據(jù)題意，，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第二象限．故〖答案〗為：二.13.已知函數(shù)，若，則________．〖答案〗6〖解析〗令，，所以為奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以．故〖答案〗為：6.14.如圖，點是棱長為1的正方體表面上的一個動點，直線與平面所成的角為，則點的軌跡長度為________．〖答案〗〖解析〗因為直線與平面所成的角為，所以點的軌跡在以為頂點，底面圓的半徑為，高為1的圓錐的側(cè)面上，又因為點是正方體表面上的一個動點，所以點軌跡如圖所示，則點的軌跡長為．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，.（1）求當時，的〖解析〗式；（2）求在上的值域.解：（1）∵當時，，∴當時，，，∴.（2）∵當時，單調(diào)遞增，∴，由奇函數(shù)性質(zhì)可得，當時，，又，∴在上的值域為.16.如圖，在矩形中，，，點為邊的中點，點在邊上．（1）若點為線段上靠近的三等分點，求的值；（2）求的取值范圍．解：（1）由題意，，∵，，∴．（2）設(shè)則，∴，∴，顯然為增函數(shù)，因，故．17.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求的值；（2）若，且是銳角三角形，求面積的最大值．解：（1）∵，由正弦定理可得：，因為，所以，∴，即或．（2）∵是銳角三角形，∴，，則，又，∴，當且僅當時，等號成立，∵，∴．18.如圖，正方體的棱長為1，，分別為，的中點.（1）證明：平面.（2）求異面直線與所成角的大小.（3）求直線與平面所成角的正切值.解：（1）如圖，連接交于點，因為，分別為，的中點，所以，因為平面，且平面，所以平面.（2）因，且，易得，則有，由（1）得，故與所成角為（或其補角），因為，所以，即與所成角的大小為.（3）連接，過作于點，因為平面，且平面，所以，又且，所以