2023-2024學年江蘇省連云港市七校高一下學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2江蘇省連云港市七校2023-2024學年高一下學期期中考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則（）A. B. C.0 D.1〖答案〗A〖解析〗因為，所以，即．故選：A．2.已知，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可知，，，由于，則，解得：.故選：B.3.已知，，若，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以，又，則，，又，所以，所以.故選：D.4.在中，，，，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，因為，，，由余弦定理得，因為，所以，則.故選：B.5.已知空間不共線的向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A.、、 B.、、 C.、、D.、、〖答案〗C〖解析〗因為，，，對于A：因為，則不存任何，使得，所以、、不共線，故A錯誤；對于B：因為，則不存在任何，使得，所以、、不共線，故B錯誤；對于C：因為，所以，則、、三點共線，故C正確；對于D：因為，則不存在任何，使得，所以、、不共線，故D錯誤.故選：C.6.已知△ABC的重心為O，則向量（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設分別是的中點，由于是三角形的重心，所以.故選：C.7.中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因為，由大角對大邊可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理當時，，，由正弦定理可得，由大邊對大角可得，必要性成立，“”是“”的充要條件.故選：C.8.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，而，因此，則，所以.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.下列各式中，值為的是（）A B.C D.〖答案〗BC〖解析〗選項A，，錯誤；選項B，，正確；選項C，，正確；選項D，，錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A. B.在區(qū)間上只有1個零點C.的最小正周期為 D.〖答案〗ACD〖解析〗已知函數(shù)，，：，正確；B：當，，即，，在區(qū)間上只有2個零點，則在區(qū)間上只有1個零點錯誤；C：的最小正周期為，正確；D：當時，函數(shù)，，，所以為圖象的一條對稱軸，正確．故選：ACD．11.下列說法正確的是（）A.設是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則B.設，，若與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為C.設，，且，則D.若是內(nèi)的一點，滿足，則〖答案〗AC〖解析〗對于A，由不共線，與共線，則，即，所以，解得，故A正確；對于B，由，的夾角為銳角，得且不共線（同向），則，解得且，即實數(shù)的取值范圍為，故B錯誤；對于C，由，，則，由，得，解得，故C正確；對于D，由，得，令的中點分別為，則，即，則是線段靠近的四等分點，如圖，在中，連接，則是的中位線，所以，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖，在平行四邊形中，和分別是邊和的中點，若，其中，則________.〖答案〗〖解析〗設，因為和分別是邊和的中點，可得，又因為，所以，因為，所以，所以.故〖答案〗為：.13.已知為銳角，且，則_________.〖答案〗1〖解析〗因為，解得或，又因為，則，可知，所以.故〖答案〗為：1.14.在中，已知，若的最長邊的長為，三角形中最小邊的長為是___________．〖答案〗〖解析〗因為在中，，，，即為最大角，A與都為銳角，，即A為最小角，為最小邊，，由正弦定理，得，解得，則最小邊長為.故〖答案〗為:.四、解答題：本題共5小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標為，且為純虛數(shù)（是z的共軛復數(shù)）.（1）求m的值；（2）復數(shù)在復平面對應的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）由題意，復數(shù)，所以，則，因為為純虛數(shù)，所以，解得.（2）復數(shù)，因為復數(shù)在復平面對應的點在第一象限，所以，解得.16.已知向量＝（2cosα，2sinα），＝（6cosβ，6sinβ），且＝2．（1）求向量與的夾角；（2）若，求實數(shù)t的值．解：（1）由＝（2cosα，2sinα），＝（6cosβ，6sinβ），得，，又，∴，則，設向量與的夾角為θ，則cosθ＝，又θ∈[0，π]，∴.（2）由，得，即，∴4t2﹣12t+36＝27，∴4t2﹣12t+9＝0，解得t＝．17.（1）已知，求的值；（2）已知均為銳角，求的值.解：（1）由，可得，由，可得，所以.（2）因為均為銳角，可得，所以，由，可得，由，為銳角，可得，所以.18.在中，分別為角，，所對的邊，已知，.（1）若的面積等于，求邊；（2）若，求的面積；（3）求周長的最大值.解：（1）由余弦定理得：，由，則，即，聯(lián)立方程組，解得，.（2）由題得，即，當時，，則，故，，當時，，即，則有，即，則，則.（3）由正弦定理得，又，則當時，有，故周長的最大值為.19.在劉志州公園湖畔擬建造一個四邊形的露營基地，如圖ABCD所示.為考慮露營客人娛樂休閑的需求，在四邊形ABCD區(qū)域中，將三角形ABD區(qū)域設立成花卉觀賞區(qū)，三角形BCD區(qū)域設立成燒烤區(qū)，邊AB?BC?CD?DA修建觀賞步道，邊BD修建隔離防護欄，其中米，米，.（1）若米，求燒烤區(qū)的面積？（2）如果燒烤區(qū)是一個占地面積為9600平方米的鈍角三角形，那么需要修建多長的隔離防護欄？（3）考慮到燒烤區(qū)的安全性，在規(guī)劃四邊形ABCD區(qū)域時，首先保證燒烤區(qū)的占地面積最大時，再使得花卉觀賞區(qū)的面積盡可能大，則應如何設計觀賞步道？解：（1）在中，由余弦定理可知，所以所以平方米.（2），解得，因為是鈍角，所以，=，故需要修建米的隔離防護欄.（3），當且僅當時取到等號，此時，設，在中，，解得：，花卉觀賞區(qū)的面積為，因為，所以，故當，即時，取得最大值為1，，當且僅當時取到等號，此時，答：修建觀賞步道時應使得，.江蘇省連云港市七校2023-2024學年高一下學期期中考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則（）A. B. C.0 D.1〖答案〗A〖解析〗因為，所以，即．故選：A．2.已知，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可知，，，由于，則，解得：.故選：B.3.已知，，若，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以，又，則，，又，所以，所以.故選：D.4.在中，，，，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，因為，，，由余弦定理得，因為，所以，則.故選：B.5.已知空間不共線的向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A.、、 B.、、 C.、、D.、、〖答案〗C〖解析〗因為，，，對于A：因為，則不存任何，使得，所以、、不共線，故A錯誤；對于B：因為，則不存在任何，使得，所以、、不共線，故B錯誤；對于C：因為，所以，則、、三點共線，故C正確；對于D：因為，則不存在任何，使得，所以、、不共線，故D錯誤.故選：C.6.已知△ABC的重心為O，則向量（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設分別是的中點，由于是三角形的重心，所以.故選：C.7.中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因為，由大角對大邊可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理當時，，，由正弦定理可得，由大邊對大角可得，必要性成立，“”是“”的充要條件.故選：C.8.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，而，因此，則，所以.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.下列各式中，值為的是（）A B.C D.〖答案〗BC〖解析〗選項A，，錯誤；選項B，，正確；選項C，，正確；選項D，，錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A. B.在區(qū)間上只有1個零點C.的最小正周期為 D.〖答案〗ACD〖解析〗已知函數(shù)，，：，正確；B：當，，即，，在區(qū)間上只有2個零點，則在區(qū)間上只有1個零點錯誤；C：的最小正周期為，正確；D：當時，函數(shù)，，，所以為圖象的一條對稱軸，正確．故選：ACD．11.下列說法正確的是（）A.設是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則B.設，，若與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為C.設，，且，則D.若是內(nèi)的一點，滿足，則〖答案〗AC〖解析〗對于A，由不共線，與共線，則，即，所以，解得，故A正確；對于B，由，的夾角為銳角，得且不共線（同向），則，解得且，即實數(shù)的取值范圍為，故B錯誤；對于C，由，，則，由，得，解得，故C正確；對于D，由，得，令的中點分別為，則，即，則是線段靠近的四等分點，如圖，在中，連接，則是的中位線，所以，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖，在平行四邊形中，和分別是邊和的中點，若，其中，則________.〖答案〗〖解析〗設，因為和分別是邊和的中點，可得，又因為，所以，因為，所以，所以.故〖答案〗為：.13.已知為銳角，且，則_________.〖答案〗1〖解析〗因為，解得或，又因為，則，可知，所以.故〖答案〗為：1.14.在中，已知，若的最長邊的長為，三角形中最小邊的長為是___________．〖答案〗〖解析〗因為在中，，，，即為最大角，A與都為銳角，，即A為最小角，為最小邊，，由正弦定理，得，解得，則最小邊長為.故〖答案〗為:.四、解答題：本題共5小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標為，且為純虛數(shù)（是z的共軛復數(shù)）.（1）求m的值；（2）復數(shù)在復平面對應的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）由題意，復數(shù)，所以，則，因為為純虛數(shù)，所以，解得.（2）復數(shù)，因為復數(shù)在復平面對應的點在第一象限，所以，解得.16.已知向量＝（2cosα，2sinα），＝（6cosβ，6sinβ），且＝2．（1）求向量與的夾角；（2）若，求實數(shù)t的值．解：（1）由＝（2cosα，2sinα），＝（6cosβ，6sinβ），得，，又，∴，則，設向量與的夾角為θ，則cosθ＝，又θ∈[0，π]，∴.（2）由，得，即，∴4t2﹣12t+36＝27，∴4t2﹣12t+9＝0，解得t＝．17.（1）已知，求的值；（2）已知均為銳角，求的值.解：（1）由，可得，由，可得，所以.（2）因為均為銳角，可得，所以，由，可得，由，為銳角，可得，所以.18.在中，分別為角，，所對的邊，已知，.（1）若的面積等于，求邊；（2）若，求的面積；（3）求周長的最大值.解：（1）由余弦定理得：，由，則，即，聯(lián)立方程組，解得，.（2）由題得，即，當時，，則，故，，當時，，即，則有，即，則，則.（3）由正弦定理得，又，則當時，有，故周長的最大值為.19.在劉志州公園湖畔擬建造一個四邊形的露營基地，如圖ABCD所示.為考慮露營客人娛樂休閑的需求，在四邊形ABCD區(qū)域中，將三角形ABD區(qū)域設立成花卉觀賞區(qū)，三角形BCD區(qū)域設立成燒烤區(qū)，邊AB?BC?CD?DA修建觀賞步道，邊BD修建隔離防護欄，其中米，米，.（1）若