2023-2024學年內(nèi)蒙古名校聯(lián)盟高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2內(nèi)蒙古名校聯(lián)盟2023-2024學年高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，而，所以.故選：A.2.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗依題意，，在復平面內(nèi)復數(shù)對應的點位于第四象限.故選：D.3.已知是平面內(nèi)的一個基底，則可以與向量構(gòu)成平面另一個基底的向量是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗易得向量與向量平行，不能構(gòu)成空間的一個基底，由題意及向量加法的平行四邊形法則與向量減法法則可知與不共線，所以與可構(gòu)成平面的一個基底．故選：C.4.如圖，在矩形中，是的中點，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由圖可知：.故選：A.5.在中，角所對的邊分別是，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，則，所以，又，所以（舍去）或，所以．故選：B.6.已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，即，所以，故在上的投影向量為．故選：D.7.如圖，為了測量河對岸的塔高，某測量隊選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與．現(xiàn)測量得米，在點處測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為，則塔高（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗A〖解析〗設該塔的高度為米，則，在中，，即，由，解得，即塔高為30米.故選：A.8.已知是正六邊形邊上任意一點，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設正六邊形的中心為，．根據(jù)正六邊形的對稱性，以點在邊上為例，當點在與頂點重合時，最大為2，當時，最小為，則，所以.故選：B.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得分分，有選錯的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則三點共線B.若，則線段的中點坐標為C.對于向量，有D.對于向量，有〖答案〗ABD〖解析〗選項A，若，則，所以，所以與共線且有公共點，所以三點共線，A正確；選項B，若，則線段的中點坐標為，B正確；選項C，，，當向量的夾角大于時，，，C錯誤；選項D，，所以，D正確．故選：ABD.10.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，，為的圖像與軸的交點，為圖像上的最高點，是邊長為1的等邊三角形，，則（）A.B.直線是圖像的一條對稱軸C.的單調(diào)遞減區(qū)間為D.的單調(diào)遞增區(qū)間為〖答案〗BC〖解析〗對于A，由圖可得：的最小正周期為2，所以，即，易得，所以，因為，所以，，，由五點作圖法可得：，即，所以，所以，故A不正確；對于B，由于，為最大值，所以直線是圖象的一條對稱軸，故B正確；對于C，令，解得；，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，故C正確；對于D，令，解得；，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D不正確.故選：BC.11.對任意兩個非零的平面向量和，定義：；．若平面向量滿足，且和都在集合中，則的值可能為（）A.1 B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗因為，設向量和的夾角為，則．因為，所以，所以，所以，故，當時，，又，所以，符合題意；當時，，又，所以，符合題意，所以或．故選：AC.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．12.已知平面向量，若，則___________．〖答案〗〖解析〗因為，所以，解得．故〖答案〗為：.13.已知，函數(shù)是奇函數(shù)，則___________，___________．〖答案〗〖解析〗由，解得，所以，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以或，所以1或，解得(舍去)．故〖答案〗為：-11．14.在中，，O是的外心，，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗在中，外接圓半徑，由正弦定理得，所以，由余弦定理，解得，當且僅當時等號成立，所以，即的取值范圍為．故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復數(shù)滿足．（1）求；（2）若復數(shù)的虛部為1，且是實數(shù)，求．解：（1）．（2）復數(shù)的虛部為1，設，則，因為是實數(shù)，所以，解得，所以．16.如圖，在平面四邊形中，的面積為．（1）求；（2）若，求．解：（1）因為，又，所以．在中，由余弦定理得：，所以（2）在中，由正弦定理得，即，解得，又，所以，所以，，，故．17.已知函數(shù)．（1）求的定義域；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）求不等式的解集．解：（1）函數(shù)中，由，解得，所以的定義域為.（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.（3）由，得函數(shù)為偶函數(shù)，由（2）知，在上單調(diào)遞增，則，因此，即，解得，所以原不等式的解集是．18.某時刻，船只甲在處以每小時30海里的速度向正東方向行駛，與此同時，在處南偏東方向距離甲150海里的處，有一艘補給船同時出發(fā)，準備與甲會合．（1）若要使得兩船同時到達會合點時補給船行駛路程最短，補給船應沿何種路線，以多大的速度行駛？（2）要使補給船能追上甲，該補給船的速度最小為多少？當該補給船以最小速度行駛時，要多長時間追上甲？（參考數(shù)據(jù)：取，）解：（1）假設甲行駛的路線為，過作的垂線，點到的最短距離為，要使補給船行駛的路程最短，補給船需沿正北方向，即方向行駛，，甲行駛到處所需時間為小時，補給船行駛的速度為海里/小時，故要使得兩船同時到達會合點時，補給船行駛的路程最短，補給船應沿正北方向，以海里小時的速度行駛．（2）設補給船以海里/小時速度從處出發(fā)，沿方向行駛，小時后與甲在處會合，在中，，由余弦定理得，所以，即，當，即時，取得最小值，即，所以補給船至少以海里/小時的速度行駛才能追上甲．當補給船以最小速度行駛時，要小時追上甲．19.在平面直角坐標系中，已知點．（1）①證明：．②證明存在點，使得，并求出的坐標．（2）若點在四邊形的四條邊上運動，且將四邊形分成周長相等的兩部分，求點的坐標．解：（1）①因為，所以，，，，得，，所以．②由知，點為四邊形外接圓的圓心．因為，，所以，，所以，，四邊形外接圓的圓心為的中點，所以點的坐標為，得證．（2）易得，，．因為將四邊形分成周長相等的兩部分，則點在上，且．設點的坐標為，則，所以，則，故點的坐標為．內(nèi)蒙古名校聯(lián)盟2023-2024學年高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，而，所以.故選：A.2.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗依題意，，在復平面內(nèi)復數(shù)對應的點位于第四象限.故選：D.3.已知是平面內(nèi)的一個基底，則可以與向量構(gòu)成平面另一個基底的向量是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗易得向量與向量平行，不能構(gòu)成空間的一個基底，由題意及向量加法的平行四邊形法則與向量減法法則可知與不共線，所以與可構(gòu)成平面的一個基底．故選：C.4.如圖，在矩形中，是的中點，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由圖可知：.故選：A.5.在中，角所對的邊分別是，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，則，所以，又，所以（舍去）或，所以．故選：B.6.已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，即，所以，故在上的投影向量為．故選：D.7.如圖，為了測量河對岸的塔高，某測量隊選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與．現(xiàn)測量得米，在點處測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為，則塔高（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗A〖解析〗設該塔的高度為米，則，在中，，即，由，解得，即塔高為30米.故選：A.8.已知是正六邊形邊上任意一點，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設正六邊形的中心為，．根據(jù)正六邊形的對稱性，以點在邊上為例，當點在與頂點重合時，最大為2，當時，最小為，則，所以.故選：B.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得分分，有選錯的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則三點共線B.若，則線段的中點坐標為C.對于向量，有D.對于向量，有〖答案〗ABD〖解析〗選項A，若，則，所以，所以與共線且有公共點，所以三點共線，A正確；選項B，若，則線段的中點坐標為，B正確；選項C，，，當向量的夾角大于時，，，C錯誤；選項D，，所以，D正確．故選：ABD.10.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，，為的圖像與軸的交點，為圖像上的最高點，是邊長為1的等邊三角形，，則（）A.B.直線是圖像的一條對稱軸C.的單調(diào)遞減區(qū)間為D.的單調(diào)遞增區(qū)間為〖答案〗BC〖解析〗對于A，由圖可得：的最小正周期為2，所以，即，易得，所以，因為，所以，，，由五點作圖法可得：，即，所以，所以，故A不正確；對于B，由于，為最大值，所以直線是圖象的一條對稱軸，故B正確；對于C，令，解得；，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，故C正確；對于D，令，解得；，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D不正確.故選：BC.11.對任意兩個非零的平面向量和，定義：；．若平面向量滿足，且和都在集合中，則的值可能為（）A.1 B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗因為，設向量和的夾角為，則．因為，所以，所以，所以，故，當時，，又，所以，符合題意；當時，，又，所以，符合題意，所以或．故選：AC.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．12.已知平面向量，若，則___________．〖答案〗〖解析〗因為，所以，解得．故〖答案〗為：.13.已知，函數(shù)是奇函數(shù)，則___________，___________．〖答案〗〖解析〗由，解得，所以，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以或，所以1或，解得(舍去)．故〖答案〗為：-11．14.在中，，O是的外心，，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗在中，外接圓半徑，由正弦定理得，所以，由余弦定理，解得，當且僅當時等號成立，所以，即的取值范圍為．故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復數(shù)滿足．（1）求；（2）若復數(shù)的虛部為1，且是實數(shù)，求．解：（1）．（2）復數(shù)的虛部為1，設，則，因為是實數(shù)，所以，解得，所以．16.如圖，在平面四邊形中，的面積為．（1）求；（2）若，求．解：（1）因為，又，所以．在中，由余弦定理得：，所以（2）在中，由正弦定理得，即，解得，又，所以，所以，，，故．17.已知函數(shù)．（1）求的定義域；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）求不等式的解集．解：（1）函數(shù)中，由，解得，所以的定義域為.（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.（3）由，得函數(shù)為偶函數(shù)，由（2）知，在上單調(diào)遞增，則，因此，即，解得，所以原不等式的解集是．18.某時刻，船只甲在處以每小時30海里的速度向正東方向行駛，與此同時，在處南偏東方向距離甲150海里的處，有一艘補給船同時出發(fā)，準備與甲會合．（1）若要使得兩船同時到達會合點時補給船行駛路程最短，補給船應沿何種路線，以多大的速度行駛？（2）要使補給船能追上甲，該補給船的速度最小為多少？當該補給船以最小速度行駛時，要多長時間追上甲？（參考數(shù)據(jù)：取，）解：（1）假設甲行駛的路線為，過作的垂線，點到的最短距離為，要使補給船行駛的路程最短，補給船需沿正北方向，即方向行駛，，甲行駛到處所需時間為小時，補給船行駛的速度為海里/小時，故要使得兩船同時到達會合點時，補給船行駛的路程最短，補給船應沿正北方向，以海里小時的速度行駛．（2）設補給船以海里/小時速度從處出發(fā)，沿方向行駛，小時后與甲在處會合，在中，