2023-2024學(xué)年河北省保定市部分學(xué)校高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3河北省保定市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊和集合與常用邏輯用語.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意得，，則.故選：D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗命題“，”的否定是“，”.故選：C.3.曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，，則所求切線切點坐標(biāo)為，，有，則所求切線斜率為，所求的切線方程為，即.故選：B4.已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個樣本，變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗回歸方程為，并計算出變量x，y之間的相關(guān)系數(shù)為，，，則經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過（）A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限〖答案〗B〖解析〗由相關(guān)系數(shù)為，知，負(fù)相關(guān)，所以又，，即點在經(jīng)驗回歸直線上，且在第三象限，所以經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過第二、三、四象限.故選：B.5.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，集合若AB，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，解得，故，又，且AB，所以，解得.故選：A.6.已知函數(shù)，則“有極值”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗，若有極值，則有兩個不相等的實數(shù)根，，解得；反之，時，有兩個不相等的實數(shù)根，有極值.所以“有極值”是“”的充要條件.故選：C.7.有8名志愿者參加周六、周日的公益活動，每名志愿者只參加其中一天.這8人中甲、乙、丙三人精通日語，丁、戊兩人精通英語，公益活動每天需要4名志愿者，且每天至少需要一名精通日語和一名精通英語的志愿者，則分配方法的總數(shù)為（）A.32 B.36 C.48 D.56〖答案〗B〖解析〗周六分配一名精通日語的志愿者有種不同方法，周六分配兩名精通日語的志愿者有種不同方法，所以分配方法的總數(shù)為36.故選：B8.一次知識競賽中，共有五道題，參賽人從中抽出三道題回答，每題的分值如下：分值1020202030答對該試題可得相應(yīng)的分值，答錯不得分，得分不低于60分可以獲獎.已知參賽人甲答對題的概率為，答對題的概率均為，答對E題的概率為，則甲能獲獎的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗若從，，中只選擇了一題，則甲能獲獎的概率；若從，，中選擇了兩題，則甲能獲獎的概率；若從，，中選擇了三題，則甲能獲獎的概率.故甲能獲獎的概率.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，則下列說法正確的是（）A.的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為B.C.D.除以10的余數(shù)為9〖答案〗BC〖解析〗的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為，故A錯誤；令，可得，令，，則，故B正確；，故C正確；，故除以10的余數(shù)為1，故D錯誤.故選：BC.10.在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列，且傳輸相互獨立.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送0時，收到1的概率為0.1，收到0的概率為0.9；發(fā)送1時，收到0的概率為0.3，收到1的概率為0.7.下列說法正確的是（）A.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的，收到0的概率為0.6B.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的，收到11的概率為0.16C.若發(fā)送的信號為111，則收到的信號中恰有兩個1的概率為0.147D.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的，已知收到的信號是11，則發(fā)送的信號也是11的概率為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，收到0的概率為，故A正確；對于B，收到1的概率為，所以收到11的概率為，故B正確；對于C，若發(fā)送的信號為111，則收到的信號中恰有兩個1的概率為，故C錯誤；對于D，設(shè)收到的信號是11為事件，發(fā)送的信號是11為事件，則，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.存在，使得在上單調(diào)遞減B.對任意，在上單調(diào)遞增C.對任意，在上恒成立D.存在，使得在上恒成立〖答案〗BCD〖解析〗，因為，所以不存在，使得在上單調(diào)遞減，故A錯誤；，因為，，所以，即，故B正確；當(dāng)，時，，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，故C正確；當(dāng)時，令，則，令，則，又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)隨機(jī)變量，若，則______，______.〖答案〗①②5〖解析〗，則，因為，所以，故，.故〖答案〗為：；.13.用4種不同顏色的顏料給圖中五個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，有公共邊的兩個區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法共有______種.〖答案〗72〖解析〗先對1，2，3三個區(qū)域涂色，有種涂法，當(dāng)1和5區(qū)域同色時，有種涂法；當(dāng)1和5區(qū)域不同色時，有種涂法；綜上所述：共有種涂法.故〖答案〗為：72.14.已知函數(shù)在上連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)，對任意實數(shù)滿足，當(dāng)時，.若，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由，可得.令，則，，所以的圖象關(guān)于直線對稱.當(dāng)時，，所以，又在上連續(xù)，所以在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減，由，可得，即，所以，解得.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為了解人們對環(huán)保的認(rèn)知程度，某市為不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次環(huán)保知識競賽，滿分100分.隨機(jī)抽取的8人的得分為84，78，81，84，85，84，85，91.（1）計算樣本平均數(shù)和樣本方差；（2）若這次環(huán)保知識競賽的得分X服從正態(tài)分布，其中和的估計值分別為樣本平均數(shù)和樣本方差，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例將參賽者的競賽成績從低分到高分依次劃分為參與獎、二等獎、一等獎、特等獎四個等級，試確定各等級的分?jǐn)?shù)線.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)）附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，.解：（1）解根據(jù)題意，由平均數(shù)的計算公式和方差的計算公式得：數(shù)據(jù)的平均為，數(shù)據(jù)的方差為.（2）該市所有參賽者的成績近似服從正態(tài)分布，設(shè)競賽成績達(dá)到及以上為特等獎，成績達(dá)到但小于為一等獎，成績達(dá)到但小于為二等獎，成績未達(dá)到為參與獎，則，，，.因為，所以.因為，所以，因為，所以.綜上可得，分?jǐn)?shù)小于80.54的為參與獎，分?jǐn)?shù)大于或等于80.54且小于87.46的為二等獎，分?jǐn)?shù)大于或等于87.46且小于90.92的為一等獎，分?jǐn)?shù)大于或等于90.92的為特等獎.16.某生產(chǎn)企業(yè)對原有的生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級，在技術(shù)升級前后，分別從其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，制作了如下列聯(lián)表：合格品不合格品合計升級前12080200升級后15050200合計270130400（1）根據(jù)上表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級有關(guān)？（2）在抽取的所有合格品中，按升級前后合格品的比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，抽取9件產(chǎn)品，然后從這9件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，記其中屬于升級前生產(chǎn)的有件，屬于升級后生產(chǎn)的有件，求的概率.附：.010.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)為：產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級無關(guān)，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級有關(guān).（2）升級前后合格品的比例為，故抽取的9件中有4件屬于升級前生產(chǎn)的，有5件屬于升級后生產(chǎn)的，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，則的概率.17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，恒成立，求的取值范圍.解：（1）由題意知函數(shù)的定義域為，.當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由，得，由，得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當(dāng)時，時，，則不一定成立，故不滿足題意.當(dāng)時，.令，則，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而所以時，，且.所以的解集為，所以，即，故的取值范圍為.18.在活動中，初始的袋子中有5個除顏色外其余都相同的小球，其中3個白球，2個紅球.每次隨機(jī)抽取一個小球后放回.規(guī)則如下：若抽到白球，放回后把袋中的一個白球替換為紅球；若抽到紅球，則把該紅球放回袋中.記經(jīng)過次抽取后，袋中紅球的個數(shù)為.（1）求的分布列與期望；（2）證明為等比數(shù)列，并求關(guān)于的表達(dá)式.解：（1）的可能取值為2，3，4.，，，則的分布列為234故.（2）①若第次取出來的是紅球，由于每次紅球和白球的總個數(shù)是5，則這種情況發(fā)生的概率是，此時紅球的個數(shù)為；②若第次取出來的是白球，則這種情況發(fā)生的概率是，此時紅球的個數(shù)為.故，，則，所以是公比為的等比數(shù)列.故，即19.若函數(shù)存在零點，函數(shù)存在零點，使得，則稱與互為親密函數(shù).（1）判斷函數(shù)與是否為親密函數(shù)，并說明理由；（2）若與互為親密函數(shù)，求的取值范圍.附：.解：（1）與互為親密函數(shù)，理由如下，記是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點.因為在上單調(diào)遞增，且，，所以.因為，所以當(dāng)時，.又，，解得；，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由，因為，，所以，所以，故與互為親密函數(shù)（2），解得，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故有唯一的零點1，因為與互為親密函數(shù)，所以在上有解.由，可得.因為，所以，令，則，設(shè)，，時，；時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，則，故的取值范圍為.河北省保定市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊和集合與常用邏輯用語.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意得，，則.故選：D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗命題“，”的否定是“，”.故選：C.3.曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，，則所求切線切點坐標(biāo)為，，有，則所求切線斜率為，所求的切線方程為，即.故選：B4.已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個樣本，變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗回歸方程為，并計算出變量x，y之間的相關(guān)系數(shù)為，，，則經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過（）A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限〖答案〗B〖解析〗由相關(guān)系數(shù)為，知，負(fù)相關(guān)，所以又，，即點在經(jīng)驗回歸直線上，且在第三象限，所以經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過第二、三、四象限.故選：B.5.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，集合若AB，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，解得，故，又，且AB，所以，解得.故選：A.6.已知函數(shù)，則“有極值”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗，若有極值，則有兩個不相等的實數(shù)根，，解得；反之，時，有兩個不相等的實數(shù)根，有極值.所以“有極值”是“”的充要條件.故選：C.7.有8名志愿者參加周六、周日的公益活動，每名志愿者只參加其中一天.這8人中甲、乙、丙三人精通日語，丁、戊兩人精通英語，公益活動每天需要4名志愿者，且每天至少需要一名精通日語和一名精通英語的志愿者，則分配方法的總數(shù)為（）A.32 B.36 C.48 D.56〖答案〗B〖解析〗周六分配一名精通日語的志愿者有種不同方法，周六分配兩名精通日語的志愿者有種不同方法，所以分配方法的總數(shù)為36.故選：B8.一次知識競賽中，共有五道題，參賽人從中抽出三道題回答，每題的分值如下：分值1020202030答對該試題可得相應(yīng)的分值，答錯不得分，得分不低于60分可以獲獎.已知參賽人甲答對題的概率為，答對題的概率均為，答對E題的概率為，則甲能獲獎的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗若從，，中只選擇了一題，則甲能獲獎的概率；若從，，中選擇了兩題，則甲能獲獎的概率；若從，，中選擇了三題，則甲能獲獎的概率.故甲能獲獎的概率.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，則下列說法正確的是（）A.的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為B.C.D.除以10的余數(shù)為9〖答案〗BC〖解析〗的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為，故A錯誤；令，可得，令，，則，故B正確；，故C正確；，故除以10的余數(shù)為1，故D錯誤.故選：BC.10.在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列，且傳輸相互獨立.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送0時，收到1的概率為0.1，收到0的概率為0.9；發(fā)送1時，收到0的概率為0.3，收到1的概率為0.7.下列說法正確的是（）A.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的，收到0的概率為0.6B.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的，收到11的概率為0.16C.若發(fā)送的信號為111，則收到的信號中恰有兩個1的概率為0.147D.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的，已知收到的信號是11，則發(fā)送的信號也是11的概率為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，收到0的概率為，故A正確；對于B，收到1的概率為，所以收到11的概率為，故B正確；對于C，若發(fā)送的信號為111，則收到的信號中恰有兩個1的概率為，故C錯誤；對于D，設(shè)收到的信號是11為事件，發(fā)送的信號是11為事件，則，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.存在，使得在上單調(diào)遞減B.對任意，在上單調(diào)遞增C.對任意，在上恒成立D.存在，使得在上恒成立〖答案〗BCD〖解析〗，因為，所以不存在，使得在上單調(diào)遞減，故A錯誤；，因為，，所以，即，故B正確；當(dāng)，時，，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，故C正確；當(dāng)時，令，則，令，則，又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)隨機(jī)變量，若，則______，______.〖答案〗①②5〖解析〗，則，因為，所以，故，.故〖答案〗為：；.13.用4種不同顏色的顏料給圖中五個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，有公共邊的兩個區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法共有______種.〖答案〗72〖解析〗先對1，2，3三個區(qū)域涂色，有種涂法，當(dāng)1和5區(qū)域同色時，有種涂法；當(dāng)1和5區(qū)域不同色時，有種涂法；綜上所述：共有種涂法.故〖答案〗為：72.14.已知函數(shù)在上連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)，對任意實數(shù)滿足，當(dāng)時，.若，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由，可得.令，則，，所以的圖象關(guān)于直線對稱.當(dāng)時，，所以，又在上連續(xù)，所以在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減，由，可得，即，所以，解得.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為了解人們對環(huán)保的認(rèn)知程度，某市為不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次環(huán)保知識競賽，滿分100分.隨機(jī)抽取的8人的得分為84，78，81，84，85，84，85，91.（1）計算樣本平均數(shù)和樣本方差；（2）若這次環(huán)保知識競賽的得分X服從正態(tài)分布，其中和的估計值分別為樣本平均數(shù)和樣本方差，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例將參賽者的競賽成績從低分到高分依次劃分為參與獎、二等獎、一等獎、特等獎四個等級，試確定各等級的分?jǐn)?shù)線.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)）附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，.解：（1）解根據(jù)題意，由平均數(shù)的計算公式和方差的計算公式得：數(shù)據(jù)的平均為，數(shù)據(jù)的方差為.（2）該市所有參賽者的成績近似服從正態(tài)分布，設(shè)競賽成績達(dá)到及以上為特等獎，成績達(dá)到但小于為一等獎，成績達(dá)到但小于為二等獎，成績未達(dá)到為參與獎，則，，，.因為，所以.因為，所以，因為，所以.綜上可得，分?jǐn)?shù)小于80.54的為參與獎，分?jǐn)?shù)大于或等于80.54且小于87.46的為二等獎，分?jǐn)?shù)大于或等于87.46且小于90.92的為一等獎，分?jǐn)?shù)大于或等于90.92的為特等獎.16.某生產(chǎn)企業(yè)對原有的生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級，在技術(shù)升級前后，分別從其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，制作了如下列聯(lián)表：合格品不合格品合計升級前12080200升級后15050200合計270130400（1）根據(jù)上表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級有關(guān)？（2）在抽取的所有合格品中，按升級前后合格品的比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，抽取9件產(chǎn)品，然后從這9件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，記其中屬于升級前生產(chǎn)的有件，屬于升級后生產(chǎn)的有件，求的概率.附：.010.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)為：產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級無關(guān)，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認(rèn)為產(chǎn)品