強度計算.基本概念：應(yīng)力：有限元方法在應(yīng)力分析中的應(yīng)用

強度計算.基本概念：應(yīng)力：有限元方法在應(yīng)力分析中的應(yīng)用1強度計算：應(yīng)力與有限元方法1.1緒論1.1.1強度計算的重要性在工程設(shè)計中，強度計算是確保結(jié)構(gòu)安全性和可靠性的關(guān)鍵步驟。無論是橋梁、飛機、還是日常使用的電子設(shè)備，其設(shè)計都離不開對材料在不同載荷下強度的精確計算。強度不足可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效，造成財產(chǎn)損失甚至人員傷亡，而過度設(shè)計則會增加成本，影響經(jīng)濟效益。因此，準確評估結(jié)構(gòu)強度，平衡安全與經(jīng)濟，是工程設(shè)計中的一項重要任務(wù)。1.1.2應(yīng)力的基本概念應(yīng)力是材料內(nèi)部單位面積上所受的力，是強度計算的核心概念。它描述了材料在受力時的內(nèi)部反應(yīng)，分為正應(yīng)力（σ）和剪應(yīng)力（τ）。正應(yīng)力與材料的軸向力相關(guān)，而剪應(yīng)力則與橫向力或扭矩有關(guān)。應(yīng)力的單位通常為帕斯卡（Pa），在工程中常用兆帕（MPa）表示。1.1.3有限元方法簡介有限元方法（FiniteElementMethod,FEM）是一種數(shù)值計算技術(shù)，用于求解復(fù)雜的工程問題，如結(jié)構(gòu)分析、熱傳導(dǎo)、流體動力學(xué)等。它將連續(xù)體（如結(jié)構(gòu)）離散為有限數(shù)量的單元，每個單元用簡單的數(shù)學(xué)模型表示，然后通過求解這些單元的組合來近似整個系統(tǒng)的響應(yīng)。FEM能夠處理復(fù)雜的幾何形狀、材料屬性和載荷條件，是現(xiàn)代工程分析中不可或缺的工具。1.2應(yīng)力分析中的有限元方法應(yīng)用1.2.1離散化過程在使用有限元方法進行應(yīng)力分析時，首先需要將結(jié)構(gòu)離散化，即將其分解為許多小的、形狀規(guī)則的單元，如四邊形、三角形或六面體。每個單元的節(jié)點位置、形狀和材料屬性都需要定義。例如，對于一個簡單的梁結(jié)構(gòu)，可以將其離散為一系列的矩形單元。#Python示例：使用FEniCS庫創(chuàng)建一個簡單的梁結(jié)構(gòu)的有限元模型

fromfenicsimport*

#創(chuàng)建一個矩形網(wǎng)格

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(1,0.1),10,1)

#定義函數(shù)空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定義材料屬性和外力

E=1e3#彈性模量

nu=0.3#泊松比

f=Constant((0,-10))#外力

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

a=inner(nu*grad(u),grad(v))*dx

L=inner(f,v)*dx

#求解變分問題

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#輸出應(yīng)力和位移

print("StressanddisplacementcalculatedusingFEM.")1.2.2材料屬性與載荷每個單元的材料屬性，如彈性模量、泊松比等，以及作用在結(jié)構(gòu)上的載荷，是有限元分析中的重要參數(shù)。這些參數(shù)的準確設(shè)定直接影響到分析結(jié)果的可靠性。例如，彈性模量E和泊松比ν是描述材料彈性行為的關(guān)鍵參數(shù)。1.2.3求解過程有限元方法通過求解每個單元的局部平衡方程，然后將這些方程組合成一個全局的線性方程組，最后求解該方程組來得到整個結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。這一過程通常涉及矩陣運算和迭代求解技術(shù)。#Python示例：定義和求解線性方程組

A=assemble(a)

b=assemble(L)

bc.apply(A,b)

solve(A,u.vector(),b)1.2.4后處理與結(jié)果分析分析完成后，需要對結(jié)果進行后處理，包括可視化應(yīng)力分布、位移、應(yīng)變等。這些結(jié)果幫助工程師理解結(jié)構(gòu)在載荷下的行為，評估其強度和穩(wěn)定性。#Python示例：使用FEniCS庫可視化應(yīng)力分布

importmatplotlib.pyplotasplt

#創(chuàng)建一個繪圖窗口

plt.figure()

plot(u)

#顯示繪圖窗口

plt.show()1.3結(jié)論有限元方法在應(yīng)力分析中的應(yīng)用，為工程師提供了一種強大的工具，能夠精確計算復(fù)雜結(jié)構(gòu)在各種載荷條件下的應(yīng)力分布，從而確保設(shè)計的安全性和經(jīng)濟性。通過合理設(shè)置材料屬性、載荷條件和邊界條件，結(jié)合高效的求解算法，有限元分析能夠幫助我們深入理解結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為，優(yōu)化設(shè)計，提高性能。2有限元方法基礎(chǔ)2.1節(jié)點與單元的概念在有限元分析中，節(jié)點和單元是構(gòu)建模型的基石。節(jié)點是模型中的離散點，它們是有限元網(wǎng)格的基本組成部分。單元則是連接這些節(jié)點的幾何體，可以是線、面或體，用于近似實際結(jié)構(gòu)的幾何形狀和物理行為。2.1.1節(jié)點節(jié)點是結(jié)構(gòu)的幾何位置，它們在有限元模型中代表了結(jié)構(gòu)的離散點。在這些點上，我們定義了位移、速度、加速度等自由度，以及可能的力和約束。節(jié)點之間的連接形成了單元，而單元的性質(zhì)決定了結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。2.1.2單元單元是有限元模型中的基本構(gòu)建塊，它們可以是線性的、二次的或更高階的，形狀可以是三角形、四邊形、六面體等。每個單元由一組節(jié)點組成，通過這些節(jié)點的位移來計算單元內(nèi)部的應(yīng)力和應(yīng)變。2.2網(wǎng)格劃分技術(shù)網(wǎng)格劃分是有限元分析中的關(guān)鍵步驟，它將連續(xù)的結(jié)構(gòu)分解為一系列離散的單元。網(wǎng)格的質(zhì)量直接影響到分析的準確性和計算效率。2.2.1自適應(yīng)網(wǎng)格劃分自適應(yīng)網(wǎng)格劃分是一種智能技術(shù)，它根據(jù)模型的局部應(yīng)力或應(yīng)變需求動態(tài)調(diào)整網(wǎng)格的密度。在高應(yīng)力區(qū)域，網(wǎng)格會更細密，而在低應(yīng)力區(qū)域，網(wǎng)格則可以更粗，這樣可以提高計算效率同時保持高精度。2.2.2網(wǎng)格劃分示例使用Python的meshpy庫進行網(wǎng)格劃分是一個常見的實踐。下面是一個簡單的示例，展示如何使用meshpy生成一個三角形網(wǎng)格。#導(dǎo)入meshpy庫

importmeshpy.triangleastriangle

#定義幾何邊界

points=[

(0,0),

(1,0),

(1,1),

(0,1),

]

#創(chuàng)建邊界

boundary=[

(0,1),

(1,2),

(2,3),

(3,0),

]

#設(shè)置網(wǎng)格生成參數(shù)

info=triangle.MeshInfo()

info.set_points(points)

info.set_facets(boundary)

#生成網(wǎng)格

mesh=triangle.build(info,max_volume=0.01)

#輸出網(wǎng)格信息

print(mesh.elements)

print(mesh.points)在這個例子中，我們定義了一個正方形的邊界，并設(shè)置了最大單元體積為0.01，以控制網(wǎng)格的細密度。2.3材料屬性與邊界條件材料屬性和邊界條件是有限元分析中不可或缺的部分，它們定義了結(jié)構(gòu)的物理特性和外部環(huán)境。2.3.1材料屬性材料屬性包括彈性模量、泊松比、密度等，這些屬性決定了材料在受力時的響應(yīng)。例如，彈性模量越高，材料在相同應(yīng)力下的應(yīng)變越小。2.3.2邊界條件邊界條件描述了結(jié)構(gòu)與外部環(huán)境的相互作用，包括固定約束、力的施加、溫度變化等。正確設(shè)置邊界條件對于獲得準確的分析結(jié)果至關(guān)重要。2.3.3示例：材料屬性與邊界條件的設(shè)置在有限元軟件中，如ANSYS或Abaqus，材料屬性和邊界條件通常在模型建立階段設(shè)置。下面是一個使用Python的FEniCS庫設(shè)置材料屬性和邊界條件的示例。#導(dǎo)入FEniCS庫

fromfenicsimport*

#創(chuàng)建一個矩形網(wǎng)格

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(1,1),10,10)

#定義函數(shù)空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定義材料屬性

E=1e3#彈性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

defsigma(v):

returnlmbda*tr(eps(v))*Identity(2)+2*mu*eps(v)

#定義外力

f=Constant((0,-10))

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

a=inner(sigma(u),grad(v))*dx

L=inner(f,v)*dx

#求解問題

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#輸出結(jié)果

plot(u)

interactive()在這個示例中，我們創(chuàng)建了一個矩形網(wǎng)格，并定義了邊界條件為所有邊界上的位移為零。我們還設(shè)置了材料的彈性模量和泊松比，并定義了應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。最后，我們施加了一個垂直向下的力，并求解了位移場。通過以上內(nèi)容，我們深入了解了有限元方法的基礎(chǔ)，包括節(jié)點與單元的概念、網(wǎng)格劃分技術(shù)以及材料屬性與邊界條件的設(shè)置。這些知識是進行復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計的基礎(chǔ)。3應(yīng)力分析原理3.1應(yīng)力的類型在工程力學(xué)中，應(yīng)力（Stress）是描述材料內(nèi)部受力狀態(tài)的物理量，它表示單位面積上內(nèi)力的大小。應(yīng)力主要分為兩大類：正應(yīng)力（NormalStress）和剪應(yīng)力（ShearStress）。正應(yīng)力：當(dāng)力垂直于材料表面作用時，產(chǎn)生的應(yīng)力稱為正應(yīng)力。正應(yīng)力可以是拉伸（Tension）或壓縮（Compression）的，取決于力的方向。剪應(yīng)力：當(dāng)力平行于材料表面作用時，產(chǎn)生的應(yīng)力稱為剪應(yīng)力。剪應(yīng)力會導(dǎo)致材料內(nèi)部產(chǎn)生相對滑動。3.2應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變（Strain）之間的關(guān)系是材料力學(xué)研究的核心。應(yīng)變是材料在受力作用下變形的程度，通常用無量綱的比例表示。應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系可以通過應(yīng)力-應(yīng)變曲線來描述，不同的材料具有不同的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，這反映了材料的彈性、塑性、強度和韌性等特性。3.2.1彈性階段在彈性階段，應(yīng)力與應(yīng)變之間存在線性關(guān)系，即應(yīng)力正比于應(yīng)變。這一階段的材料行為可以用胡克定律來描述。3.2.2塑性階段超過彈性極限后，材料進入塑性階段，此時應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系變得非線性，材料開始發(fā)生永久變形。3.2.3強化階段在塑性階段之后，材料可能經(jīng)歷一個強化階段，應(yīng)力繼續(xù)增加，但應(yīng)變的增長速率減慢。3.2.4斷裂階段最終，當(dāng)應(yīng)力達到材料的斷裂強度時，材料將發(fā)生斷裂。3.3胡克定律胡克定律（Hooke’sLaw）是描述彈性材料在彈性階段應(yīng)力與應(yīng)變之間關(guān)系的基本定律。對于一維情況，胡克定律可以表示為：σ其中：-σ是應(yīng)力（單位：Pa或N/m?2）。-?是應(yīng)變（無量綱）。-E是材料的彈性模量（Young’sModulus），反映了材料抵抗彈性變形的能力（單位：Pa或N/m?3.3.1示例：計算正應(yīng)力假設(shè)有一根直徑為10mm的圓柱形鋼桿，長度為1m，當(dāng)它受到1000N的拉力時，計算其正應(yīng)力。#定義材料屬性和受力情況

force=1000#拉力，單位：N

diameter=10e-3#直徑，單位：m

area=3.14159*(diameter/2)**2#截面積，單位：m^2

#計算正應(yīng)力

stress=force/area

print(f"正應(yīng)力為：{stress:.2f}Pa")3.3.2示例：計算應(yīng)變繼續(xù)使用上述鋼桿的例子，假設(shè)鋼桿的彈性模量為200GPa，當(dāng)它伸長了0.001m時，計算其應(yīng)變。#定義材料屬性和變形情況

elastic_modulus=200e9#彈性模量，單位：Pa

length=1#原始長度，單位：m

delta_length=0.001#伸長量，單位：m

#計算應(yīng)變

strain=delta_length/length

#計算應(yīng)力

stress=elastic_modulus*strain

print(f"應(yīng)變?yōu)椋簕strain:.4f}")

print(f"根據(jù)胡克定律計算的應(yīng)力為：{stress:.2f}Pa")通過以上示例，我們可以看到如何應(yīng)用胡克定律來計算應(yīng)力和應(yīng)變，這對于理解材料在不同載荷下的行為至關(guān)重要。在實際工程應(yīng)用中，這些計算是有限元分析的基礎(chǔ)，幫助工程師預(yù)測和優(yōu)化結(jié)構(gòu)的性能。4有限元方法在應(yīng)力分析中的應(yīng)用4.1線性應(yīng)力分析4.1.1原理線性應(yīng)力分析是基于線性彈性理論的一種有限元分析方法。它假設(shè)材料的應(yīng)力與應(yīng)變成正比關(guān)系，遵循胡克定律。在分析過程中，結(jié)構(gòu)被離散成多個小單元，每個單元的應(yīng)力和應(yīng)變通過節(jié)點位移來計算。線性應(yīng)力分析適用于小變形和彈性范圍內(nèi)工作的結(jié)構(gòu)，不考慮材料的非線性、大變形或接觸條件。4.1.2內(nèi)容線性應(yīng)力分析主要涉及以下步驟：結(jié)構(gòu)離散化：將結(jié)構(gòu)分解為有限數(shù)量的單元，如梁單元、殼單元或?qū)嶓w單元。定義材料屬性：輸入材料的彈性模量和泊松比。施加邊界條件和載荷：確定結(jié)構(gòu)的約束和外力。求解：使用有限元軟件求解結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力。結(jié)果分析：檢查應(yīng)力分布，確保結(jié)構(gòu)在安全范圍內(nèi)工作。4.1.3示例假設(shè)我們有一個簡單的梁結(jié)構(gòu)，需要進行線性應(yīng)力分析。以下是一個使用Python和FEniCS庫的示例代碼：fromfenicsimport*

#創(chuàng)建網(wǎng)格和定義函數(shù)空間

mesh=UnitIntervalMesh(10)

V=FunctionSpace(mesh,'P',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant(0),boundary)

#定義材料屬性和外力

E=1e3#彈性模量

nu=0.3#泊松比

rho=1.0#密度

g=Constant((0,-10))#重力加速度

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant(0)

a=rho*dot(grad(u),grad(v))*dx

L=f*v*dx+dot(g,v)*ds

#求解

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#輸出結(jié)果

plot(u)

interactive()此代碼創(chuàng)建了一個單位區(qū)間上的網(wǎng)格，定義了邊界條件、材料屬性和外力，然后求解了梁的位移。最后，它輸出了位移圖，可以進一步分析應(yīng)力。4.2非線性應(yīng)力分析4.2.1原理非線性應(yīng)力分析考慮了材料的非線性行為、大變形或幾何非線性。當(dāng)結(jié)構(gòu)的變形導(dǎo)致其幾何形狀顯著變化，或者材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系不再是線性時，需要使用非線性分析。非線性分析通常更復(fù)雜，計算時間更長，但能更準確地預(yù)測結(jié)構(gòu)在極端條件下的行為。4.2.2內(nèi)容非線性應(yīng)力分析包括：材料非線性：考慮材料的塑性、蠕變或超彈性行為。幾何非線性：考慮大變形對結(jié)構(gòu)剛度的影響。接觸非線性：分析兩個或多個物體之間的接觸行為。求解：使用迭代算法求解非線性方程組。4.2.3示例對于非線性應(yīng)力分析，我們考慮一個簡單的超彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。以下是一個使用Python和FEniCS庫的示例代碼：fromfenicsimport*

#創(chuàng)建網(wǎng)格和定義函數(shù)空間

mesh=UnitSquareMesh(10,10)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'P',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((1,0)),boundary)

#定義材料屬性和外力

E=1e3#彈性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

f=Constant((0,-10))#外力

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

du=Function(V)

F=(I+grad(u))

J=det(F)

W=mu*inner(dev(sym(F.T*F)),dev(sym(F.T*F)))*dx\

+lmbda*ln(J)*dx\

-inner(f,v)*dx

#求解非線性問題

solve(FiniteElementProblem(V,W,bc),du)

u.vector()[:]+=du.vector()[:]

plot(u)

interactive()此代碼定義了一個超彈性材料的本構(gòu)關(guān)系，并求解了非線性應(yīng)力應(yīng)變問題。通過迭代求解，可以得到結(jié)構(gòu)在非線性條件下的位移和應(yīng)力分布。4.3接觸應(yīng)力分析4.3.1原理接觸應(yīng)力分析用于研究兩個或多個物體接觸時的應(yīng)力分布。接觸問題通常是非線性的，因為接觸區(qū)域的大小和位置隨著載荷和變形的變化而變化。接觸分析需要考慮摩擦、間隙和接觸壓力等因素。4.3.2內(nèi)容接觸應(yīng)力分析包括：接觸檢測：確定哪些物體之間存在接觸。接觸力計算：計算接觸面上的力。摩擦模型：考慮接觸面之間的摩擦行為。求解：使用非線性求解器來求解接觸問題。4.3.3示例考慮兩個物體接觸的簡單場景，以下是一個使用Python和FEniCS庫的示例代碼：fromfenicsimport*

#創(chuàng)建網(wǎng)格和定義函數(shù)空間

mesh=UnitSquareMesh(10,10)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'P',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定義材料屬性和外力

E=1e3#彈性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

f=Constant((0,-10))#外力

#定義接觸條件

tol=1E-14

defcontact_boundary(x,on_boundary):

returnnear(x[1],0,tol)

#定義接觸力

n=FacetNormal(mesh)

ds=Measure('ds',domain=mesh,subdomain_data=contact_boundary)

contact_force=inner(f,n)*ds

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

du=Function(V)

F=(I+grad(u))

J=det(F)

W=mu*inner(dev(sym(F.T*F)),dev(sym(F.T*F)))*dx\

+lmbda*ln(J)*dx\

-contact_force*v*dx

#求解非線性問題

solve(FiniteElementProblem(V,W,bc),du)

u.vector()[:]+=du.vector()[:]

plot(u)

interactive()此代碼定義了接觸邊界條件，并計算了接觸面上的力。通過求解非線性方程組，可以得到結(jié)構(gòu)在接觸條件下的位移和應(yīng)力分布。以上示例代碼展示了如何使用FEniCS庫進行線性、非線性和接觸應(yīng)力分析。這些代碼片段可以作為基礎(chǔ)，根據(jù)具體問題進行調(diào)整和擴展。5案例研究：有限元方法在應(yīng)力分析中的應(yīng)用5.1橋梁結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析5.1.1原理與內(nèi)容橋梁結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分析是確保橋梁安全性和耐久性的關(guān)鍵步驟。有限元方法（FiniteElementMethod,FEM）通過將橋梁結(jié)構(gòu)劃分為多個小的、簡單的單元，然后對每個單元進行獨立的力學(xué)分析，最后將所有單元的結(jié)果綜合起來，以求解整個結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布。這種方法能夠處理復(fù)雜的幾何形狀和材料特性，提供精確的應(yīng)力和應(yīng)變預(yù)測。5.1.2示例假設(shè)我們正在分析一座簡支梁橋的應(yīng)力分布，橋的長度為30米，寬度為5米，高度為2米，材料為混凝土，彈性模量為30GPa，泊松比為0.2。橋上承受著均勻分布的荷載，每平方米荷載為10kN。5.1.2.1幾何與材料屬性定義#定義幾何參數(shù)

length=30.0#橋梁長度

width=5.0#橋梁寬度

height=2.0#橋梁高度

#定義材料屬性

E=30e9#彈性模量

nu=0.2#泊松比

rho=2500#密度，假設(shè)為混凝土的密度5.1.2.2荷載與邊界條件#定義荷載

load_per_square=10e3#每平方米荷載

#定義邊界條件

#假設(shè)簡支梁橋兩端固定

boundary_conditions={

'left_end':{'displacement':[0,0,0]},

'right_end':{'displacement':[0,0,0]}

}5.1.2.3有限元分析#使用有限元軟件（如FEniCS）進行分析

#以下代碼示例展示了如何使用FEniCS進行有限元分析

fromfenicsimport*

#創(chuàng)建網(wǎng)格

mesh=BoxMesh(Point(0,0,0),Point(length,width,height),10,5,2)

#定義函數(shù)空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定義邊界條件

defleft_end(x,on_boundary):

returnnear(x[0],0.0)

defright_end(x,on_boundary):

returnnear(x[0],length)

bc_left=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),left_end)

bc_right=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),right_end)

bcs=[bc_left,bc_right]

#定義材料屬性

E=30e9

nu=0.2

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

defsigma(v):

returnlmbda*tr(eps(v))*Identity(3)+2*mu*eps(v)

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,-load_per_square/width,0))#均勻分布荷載

g=Constant((0,0,0))#邊界荷載

#應(yīng)變能

F=inner(sigma(u),eps(v))*dx

#動能

T=rho*dot(u,v)*dx

#定義總能量

E=F-dot(f,v)*dx-dot(g,v)*ds

#求解

solve(E==0,u,bcs)

#輸出結(jié)果

file=File("bridge.pvd")

file<<u5.2機械零件的有限元應(yīng)力分析5.2.1原理與內(nèi)容機械零件的應(yīng)力分析通常涉及復(fù)雜的載荷和邊界條件，有限元方法能夠精確地模擬這些條件，幫助工程師預(yù)測零件在不同工況下的應(yīng)力分布，從而優(yōu)化設(shè)計，避免過早失效。5.2.2示例考慮一個承受軸向拉力的圓柱形機械零件，直徑為10厘米，長度為20厘米，材料為鋼，彈性模量為200GPa，泊松比為0.3。零件承受的軸向拉力為50kN。5.2.2.1幾何與材料屬性定義#定義幾何參數(shù)

diameter=0.1#直徑

length=0.2#長度

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比5.2.2.2荷載與邊界條件#定義荷載

axial_load=50e3#軸向拉力

#定義邊界條件

#假設(shè)零件一端固定，另一端承受軸向拉力

boundary_conditions={

'fixed_end':{'displacement':[0,0,0]},

'loaded_end':{'force':[0,0,axial_load]}

}5.2.2.3有限元分析#使用有限元軟件（如FEniCS）進行分析

fromfenicsimport*

#創(chuàng)建網(wǎng)格

mesh=CylinderMesh(Point(0,0,0),Point(0,0,length),Point(0,diameter,0),10,5,2)

#定義函數(shù)空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定義邊界條件

deffixed_end(x,on_boundary):

returnnear(x[2],0.0)

defloaded_end(x,on_boundary):

returnnear(x[2],length)

bc_fixed=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),fixed_end)

bc_loaded=DirichletBC(V.sub(2),Constant(0),loaded_end)

bcs=[bc_fixed,bc_loaded]

#定義材料屬性

E=200e9

nu=0.3

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

defsigma(v):

returnlmbda*tr(eps(v))*Identity(3)+2*mu*eps(v)

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,0,-axial_load/(pi*(diameter/2)**2)))#軸向拉力

g=Constant((0,0,0))#邊界荷載

#應(yīng)變能

F=inner(sigma(u),eps(v))*dx

#動能

T=rho*dot(u,v)*dx

#定義總能量

E=F-dot(f,v)*dx-dot(g,v)*ds

#求解

solve(E==0,u,bcs)

#輸出結(jié)果

file=File("cylinder.pvd")

file<<u5.3復(fù)合材料的應(yīng)力分析5.3.1原理與內(nèi)容復(fù)合材料因其獨特的性能而廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車和體育用品等領(lǐng)域。有限元方法在復(fù)合材料應(yīng)力分析中的應(yīng)用，能夠考慮材料的各向異性，精確計算在復(fù)雜載荷下的應(yīng)力分布，這對于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的設(shè)計和優(yōu)化至關(guān)重要。5.3.2示例假設(shè)我們正在分析一個由碳纖維增強塑料（CFRP）制成的矩形板的應(yīng)力分布，板的尺寸為1米x0.5米，厚度為0.01米。CFRP的彈性模量分別為Ex=120GPa，Ey=10GPa，Ez=10GPa，泊松比分別為nuxy=0.3，nuyz=0.25，nuxz=0.25。板上承受著均勻分布的垂直荷載，每平方米荷載為5kN。5.3.2.1幾何與材料屬性定義#定義幾何參數(shù)

length=1.0#長度

width=0.5#寬度

thickness=0.01#厚度

#定義材料屬性

Ex=120e9#彈性模量x方向

Ey=10e9#彈性模量y方向

Ez=10e9#彈性模量z方向

nuxy=0.3#泊松比xy

nuyz=0.25#泊松比yz

nuxz=0.25#泊松比xz5.3.2.2荷載與邊界條件#定義荷載

load_per_square=5e3#每平方米荷載

#定義邊界條件

#假設(shè)矩形板四邊固定

boundary_conditions={

'left_edge':{'displacement':[0,0,0]},

'right_edge':{'displacement':[0,0,0]},

'top_edge':{'displacement':[0,0,0]},

'bottom_edge':{'displacement':[0,0,0]}

}5.3.2.3有限元分析#使用有限元軟件（如FEniCS）進行分析

fromfenicsimport*

#創(chuàng)建網(wǎng)格

mesh=BoxMesh(Point(0,0,0),Point(length,width,thickness),10,5,1)

#定義函數(shù)空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定義邊界條件

defleft_edge(x,on_boundary):

returnnear(x[0],0.0)

defright_edge(x,on_boundary):

returnnear(x[0],length)

deftop_edge(x,on_boundary):

returnnear(x[1],width)

defbottom_edge(x,on_boundary):

returnnear(x[1],0.0)

bc_left=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),left_edge)

bc_right=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),right_edge)

bc_top=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),top_edge)

bc_bottom=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),bottom_edge)

bcs=[bc_left,bc_right,bc_top,bc_bottom]

#定義材料屬性

Ex=120e9

Ey=10e9

Ez=10e9

nuxy=0.3

nuyz=0.25

nuxz=0.25

mu_x=Ex/(2*(1+nuxy))

mu_y=Ey/(2*(1+nuyz))

mu_z=Ez/(2*(1+nuxz))

lmbda_x=Ex*nuxy/((1+nuxy)*(1-nuxy))

lmbda_y=Ey*nuyz/((1+nuyz)*(1-nuyz))

lmbda_z=Ez*nuxz/((1+nuxz)*(1-nuxz))

#定義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

defsigma(v):

returnlmbda_x*tr(eps(v))*Identity(3)+2*mu_x*eps(v)

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,-load_per_square/width,0))#均勻分布荷載

g=Constant((0,0,0))#邊界荷載

#應(yīng)變能

F=inner(sigma(u),eps(v))*dx

#動能

T=rho*dot(u